第2章----电磁场基本方程.ppt

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1、第第2章章 电磁场基本方程电磁场基本方程Fundamental Equations of Electromagnetic Fields u1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和人类电气时代的到来.u1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组麦克斯韦方程组，它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心.本章将在复习“大学物理”电磁学部分的基础上，导出麦氏方程组，然后讨论它的边界条件、电磁场的能量关系和惟一性定理.这些是本课程其它章节的共同基础。1主要内容主要内容静态电磁场的基本定律静态电磁场的基本定律静态电磁场的基本定律静态电磁场的基本定律法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁

2、感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律MaxwellMaxwell方程组方程组方程组方程组电磁场的边界条件电磁场的边界条件电磁场的边界条件电磁场的边界条件坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量第第2 2章章 电磁场基本方程电磁场基本方程2电场强度电场强度电通（量）密度电通（量）密度磁场强度磁场强度磁通（量）密度磁通（量）密度 体电荷密度 体电流密度J （不是 ！）基本场矢量图2.1-4 电流密度的定义 2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量32.1 静态电磁场的

3、基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量 Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields基本定理基本定理积分形式 微分形式 静电场：静电场：无旋场无旋场（保守场，位场）静电场的环路定律有散场有散场，通量源是电荷or高斯定理静电场有散无旋，其通量源是静止电荷。(1)即(2)4恒定电流的磁场：恒定电流的磁场：有旋场有旋场，旋涡源是电流安培环路定律无散场无散场（管形场）or磁通连续性原理(1)(2)即即恒定磁场有旋无散，其旋涡源是电流。5解 a)介质层中的电场都沿径向电场都沿径向 ，垂直于内外导体表面垂直于内外导体表面，其大小

4、沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径 长1 的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。如图2.1-3所示，同轴线的内外导体半径分别为a和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的电流为I，外导体返回的电流为-I。a)设内外导体上单位长度的带电量分别为 ，求内外导体间的 ；b)用电压U来表示，则 =？其最大值 =？c)若给定b=1.8cm，应如何选择a以使用同轴线承受的耐压最大？例2.12图2.1-3 同轴线得于是2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量6故 同轴线内最大电场强度EM发生于内导

5、体表面处：c)EM最大值发生于 得 故 b)2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量7（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E 的面，使其成为闭合面。的面，使其成为闭合面。高斯定理解题步骤：高斯定理解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性。）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面）取合适的高斯面(封闭面封闭面)，即取在，即取在E相等的曲面上。相等的曲面上。（4）分别求出）分别求出 ，从而求得，从而求得 及及 。2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量82.2

6、 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律Faradays Laws of Electromagnetic Induction and the Total Current Law 静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动的电荷，它们是相互独立的.但是时变的电场和磁场之间是相互关联的。这首先由英国迈克尔法拉第在1831年的实验中发现。回路所感应的电动势 回路所交链的磁通量 电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时间变化率的负值量时间变化率的负值 问题引入：问题引入：Michael FaradayMi

7、chael Faraday 法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律：一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律9引起磁通变化的原因分为二类：回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化 磁场不变，回路切割磁力线情形有变磁场不变，回路切割磁力线情形有变应用Stokes定理，如果回路是静止的(右边第二项为零)，则因S是任意的，从而有意义：随时间变化的磁场将激发电场意义：随时间变化的磁场将激发电场由此，变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？由此，变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律 称为感

8、生电动势，如变压器 称为动生电动势，如发电机10二、位移电流和全电流定律二、位移电流和全电流定律现有方程现有方程：静态电场：静态磁场：时变电场：电荷守恒定律：用散度定理，将上式两端用体积分表示 得电流连续性方程电流连续性方程：(e)目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律11电场：(a)(c)磁场：(d)电流连续性方程(e)2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律12由此得位移电流密度 ：Maxwell提出，应保证Eq(e)成立，即

9、取2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律(Displacement current density)位位移移电电流流密密度度（）James Clerk Maxwell（18311879）（全电流定律）13位移电流的性质位移电流的性质1）实质是变化电场，）实质是变化电场，不产生焦耳热！不产生焦耳热！2）在激发磁场方面与）在激发磁场方面与I等效等效3）激发的磁场）激发的磁场B与其成右手螺旋关系：与其成右手螺旋关系：2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律14磁场强度沿任意闭合路径的线积分，等于该路径所包围曲面磁场强度沿任意闭

10、合路径的线积分，等于该路径所包围曲面上的全电流。上的全电流。对Eq.(b)两端作面积分，并用Stokes定理将左边的面积分化为线积分，得到积分形式的全电流定律 2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律151、传导电流传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成三、全电流连续性原理三、全电流连续性原理a)a)各个电流特点如下各个电流特点如下 b)b)全电流连续性原理全电流连续性原理 将磁场的旋度方程Eq.(b)两端取散度并用散度定理 2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律2、运流电流运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向

11、运动形成3、位移电流位移电流：电通量密度的时间变化率 传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：穿过任一封闭面的各类电流之和恒为穿过任一封闭面的各类电流之和恒为0 0 16已知平板电容器的面积为 ,相距为d,介质的介电常数 ，极板间电压为 U。试推导电容器的电流与电压的关系。例例2.2-2 平板电容器解 忽略极板的边缘效应和感应电场电场位移电流密度位移电流二平板间位移电流等于传导电流2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律172.3 Maxwell方程组方程组Maxwells Equations 一一、Maxwe

12、ll方程组及电流连续性方程方程组及电流连续性方程 综上所述,电磁场基本方程组电磁场基本方程组 (MaxwellMaxwell方程组方程组)为1.1.四个方程的简称和所反映的物理意义四个方程的简称和所反映的物理意义（a）法拉弟定律：时变磁场将激发电场；法拉弟定律：时变磁场将激发电场；（b）全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；（c）高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围的自由电荷电量；高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围的自由电荷电量；（d）磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。

13、（a）（b）（c）（d）182.2.电流连续性方程：电流连续性方程：（a)初始场源 和 是相关的，两者只有一个是独立的。3.3.只有只有(a)(ba)(b)是独立方程，是独立方程，(c)(dc)(d)可由之导出：可由之导出：则同理可导出(d)2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组(e)19图2.3-3 赫兹的电磁波实验 4.4.麦克斯韦麦克斯韦教授根据教授根据(a)(ba)(b)导出电磁波的波动方程，发现其传播速度导出电磁波的波动方程，发现其传播速度 与光速相同。他进而推断光也是一种电磁波，并预言其他电磁波的存在。与光速相同。他进而推断光也是一种电磁波，并预言其他电磁波的存在

14、。1887年德国年青教授赫兹赫兹首次发射和接收到电磁波。1888年证实电磁波以光速传播。从而证实了Maxwell的预言。1895年马可尼马可尼和波波夫波波夫成功地进行了无线电报传送实验，开始了人类应用电磁波的新纪元。2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组Heinrich Rudolf Hertz（18571894）理论源于实践又指导实践，理论源于实践又指导实践，并经受实践的检验。并经受实践的检验。20二、本构关系和波动方程二、本构关系和波动方程 a)本构关系 简单媒质是指均匀、线性、各向同性的媒质简单媒质是指均匀、线性、各向同性的媒质 若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质均匀媒

15、质；若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质线性媒质；若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质各向同性媒质；若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质非色散媒质；反之称为色散媒质色散媒质。2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组21b)波动方程无源区()波动方程的推导:将本构关系，代入Maxwell方程组，消去 和 分量，得到 和 的方程组：将(1b)式和(1c)式代入上式，并考虑无源情况，得到电场 的齐次波动方程 同理可得Maxwell方程组限定形式对(1a)式两端取旋度:方程的解是一种电磁波动，其传播速度是媒质中的光速 。2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程

16、组(2.3-1a)(2.3-1b)(2.3-1c)(2.3-1d)22有源区：场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方程，而是引入位函数来求解 和 .2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组可见，23三、电磁场的位函数三、电磁场的位函数目的：将非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解，在求出位函数后便可容易地得出场量 和 。a)矢量位函数 从电磁场基本方程组出发,图2.3-4 由场源求场的两种方法 b)标量位函数这样，我们就将 和 用矢量 和标量 表示 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组或24由c)位函数的非齐次波动方程 2.3 Maxwell2.3

17、 Maxwell方程组方程组洛仑兹规范洛仑兹规范（条件条件）定义 的散度:因此，非齐次波动方程25上式括号为 的非齐次波动方程的左边，因此2)2)若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程:1 1）洛仑兹规范的重要意义洛仑兹规范的重要意义 简化了位函数与场源之间的关系，使得 单独由 决定，单独由 定，给解题带来了方便；洛仑兹规范与电流连续性原理相一致洛仑兹规范与电流连续性原理相一致。代入洛仑兹规范证明：证明：对 的非齐次波动方程式两边取散度：确定 的值，与 共同惟一确定 ；2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组26例例2.31解解 根据麦

18、氏方程式（a）有 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组试用麦克斯韦方程组导出图2.3-5所示的RLC串联电路的电压方程（电路全长远小于波长）。将回路电压分段表示，得，（例2.2-2得：）图2.3-5 RLC串联电路27设外加电场为 则有因为回路中的杂散磁通可略，从而得 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律 采用复数表示（设角频率为 )：可见，电路理论的基本方程不过是场方程的一种特殊化电路理论的基本方程不过是场方程的一种特殊化。28例例2.32利用电流连续性方程和麦氏方程组证明导电媒质内部 证证 电流连续性方程 将简单媒质

19、中麦氏方程 代入上式，得 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组因有其解为 292.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 Boundary Conditions of EM Fields 实际应用中，常需要求解麦氏方程组在不同区域的特解，比如微波电路中通常用到的微带线，它就涉及三种媒质：介质基片中的媒质、金属导带和空气 不同媒质的介电常数不同媒质的介电常数、磁导率磁导率、电导率电导率不同，在分界面两侧不同，在分界面两侧的媒质参数有突变的媒质参数有突变。边界上边界上MaxwellMaxwell方程组的微分失去意义方程组的微分失去意义 从积分形式的从积分形式的MaxwellMax

20、well方程组出发推导边界两侧电磁场间的关系方程组出发推导边界两侧电磁场间的关系。30一、一般情形一、一般情形 是与小回路面积相垂直方向上的传导电流密度(单位:A/m)时，两面积分可以忽略当分界面上有面电流时，小回路包围电流 分界面上电场强度的切向分量连续分界面上电场强度的切向分量连续（不是（不是J J！）！）2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件31 (单位：C/m2)是分界面上自由电荷的面密度（理想导体电导率 ，内部不存在电场，电荷只存在于理想导体表面，形成面电荷）分界面上磁通密度的法向分量连续分界面上磁通密度的法向分量连续 由Maxwell方程组的方程（不是（不是 ）2.4 电

21、磁场的边界条件电磁场的边界条件32(a a)任任何何分分界界面面上上电电场场 的的切切向向分分量量连连续续。(b b)分分界界面面上上若若存存在在面面电电流流，则则磁磁场场 的的切切向向分分量量不不连连续续，其其差差等等于于面面电电流流密密度度，（这这种种情情况况只只在在理理想想导导体体表表面面存存在在，即即，只只有有理理想想导导体体表表面面存存在在面面电电流流）；否否则则磁磁场场 的的切切向向分分量量连连续续。(c c)分分界界面面上上有有面面电电荷荷时时，电电通通密密度度的的法法向向分分量量不不连连续续，其其差差等等于于面面电电荷荷密密度度，（这这种种情情况况也也只只在在理理想想导导体体表

22、表面面存存在在，即即，只只有有理理想想导导体体表表面面存存在在面面电电荷荷）；否否则则电电通通密密度度 的的法法向向分分量量连连续续。(d d)任任何何分分界界面面上上磁磁通通密密度度 的的法法向向分分量量连连续续。电磁场的边界条件电磁场的边界条件2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件代数式 矢量式(1a)(1b)(1c)(1d)(2a)(2b)(2c)(2d)33 基于两个散度方程得出的边界条件与基于两个旋度方程得出的边界条件是否完全相独立？的切向分量边界条件成立，则 的法向分量边界条件必成立(例2.4-3)；的切向分量边界条件成立，则 的法向分量边界条件也必成立。在分析时变场问题时，只需

23、用 和 在分界面上的切向分量边界条件即可。2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件34理想介质 的分界面上，二、两种常见情形二、两种常见情形2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件a)两种理想介质间的边界条件两种理想介质间的边界条件 代数式 矢量式 352.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件b)理想介质与理想导体间的边界条件理想介质与理想导体间的边界条件代数式 矢量式 设媒质是理想介质，是理想导体 导体表面处：电场只有法向分量，而磁场只有切向分量。导体表面处：电场只有法向分量，而磁场只有切向分量。理想导体表面的电磁场“电立不躺，磁躺不立电立不躺，磁躺不立”36例:一空心的长直长铜管通过电流I

24、，铜管的内外半径分别为a和b，（1）求各区磁场强度，磁场强度的旋度及磁感应强度的散度；（2）验证边界上的边界条件。解：解：37习题2.1-4题图2-1 同轴线横截面 解解圆柱坐标系下直流导体中通过的电流密度是均匀的。外导体（a）内导体区域:应用Maxwell方程组的方程 ：2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件内导体的电流密度大小：同轴线通过直流电流I，内外导体上电流大小相等，方向相反。求各区域中的磁场 和其旋度 ，并验证各分界面处的边界条件。38题图2-1 同轴线横截面 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件39所以各分界面处的切向磁场分量连续另外，法向分量所以各分界面处的切向磁场分量连

25、续另外，法向分量BnBn，即，即 处处为处处为0 0，因此它也是连续的。，因此它也是连续的。2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件下面验证边界条件：402.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量Poynting Theorem and Poynting Vector 一、坡印廷定理一、坡印廷定理 电磁场是具有能量的。时变电磁场中的能量守恒定律坡印廷定理；坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。将Maxwell Eqs(a)、(b)代入后：即41对简单媒质：代入上式，两端作体积分，应用散度定理后，有2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 右端代表体积右端代表体积

26、V V中电磁场能量的增加率和热损耗功率中电磁场能量的增加率和热损耗功率 左端是单位时间内流入封闭面左端是单位时间内流入封闭面S S的能量。的能量。表示表示体积体积V V中电磁场能量的增加率和热损耗功率，等于单中电磁场能量的增加率和热损耗功率，等于单位时间内流入封闭面位时间内流入封闭面S S的能量的能量。此即时变电磁场中的能量守恒定律，称为此即时变电磁场中的能量守恒定律，称为PoyntingPoynting定理定理。电电场场能能量量(体体)密密度度磁场能量磁场能量(体体)密度密度热损耗功热损耗功率密度率密度42二、坡印廷矢量二、坡印廷矢量 表示单位时间内流过单位面积的电磁能量，亦即功率流密度；的

27、方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量W/m2定义坡印廷矢量：43例例 2.5-32.5-3用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设内外导体半径分别为a和b，为理想导体。解解 电场强度磁场强度坡印廷矢量单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 穿过任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部传给了负载。电磁能量是通过导体周围的介质传播的电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。这表明：2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量44例 2.5-1导线半径为a，长为 ，电导率为 ，试

28、用坡印廷矢量计算导线损耗的能量。解解 导体内电场强度磁场强度以导体表面为闭合面，则导体吸收的电磁场功率为图2.5-3直流导线段2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量可见，传给导体的电磁场功率就等于该导体电阻的损耗功率可见，传给导体的电磁场功率就等于该导体电阻的损耗功率上面我们从场的观点也导出了电路中的焦耳定理：,其微分形式为：45电场强度磁场强度功率流密度电阻导体电容器电感 三、场与路的一些对应关系三、场与路的一些对应关系场路 电压 U 电流 I 功率 P=UI 电路理论中电压电路理论中电压U U和电流和电流I I是某一物理区域中电磁反应的总和是某一物理区域中电磁反应的总

29、和.462.6 惟一性定理惟一性定理Uniqueness Theorem 问题引入：用麦氏方程组求解电磁场问题时，在什么条件下所得解是惟一的？惟一性定理表述惟一性定理表述:对于时变电磁场，对封闭面对于时变电磁场，对封闭面S S所包围的体积所包围的体积V V，若给定，若给定S S面上电场面上电场 或磁场或磁场 的切向分量，则在体积的切向分量，则在体积V V内任内任一点，场方程的解是惟一的。一点，场方程的解是惟一的。47 边界上 的切向分量给定 边界上 的切向分量给定。边界上 的部分切向分量和其余边界上 的切向分量。给定给定S S面上电场面上电场 或磁场或磁场 二者之一的切向分量即可。二者之一的切向分量即可。作业作业:2.1-3 2.2-2 2.5-1 2.6 2.6 惟一性定理惟一性定理48