第十章第三节二项式定理.ppt

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1、一、二项式定理一、二项式定理 公式公式(ab)n(n N*)叫做二项式定理其中叫做二项式定理其中C(r0,1,2，n)叫做叫做 ，Tr1 叫做二项展开式的通项，它表示第叫做二项展开式的通项，它表示第项项 an an1b1 anrbr bn二项式二项式系数系数Canrbrr1(ab)n与与(ba)n的展开式有何区别与联系？的展开式有何区别与联系？提示：提示：(ab)n的展开式与的展开式与(ba)n的展开式的项完全的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同不同二、二项式系数的性质二、二项式系数的性质1对称性：与首末两端对称性：与首末两端

2、的两个二项式系数相等，的两个二项式系数相等，即即等距离等距离2增减性与最大值：二项式系数增减性与最大值：二项式系数C，当，当时，二时，二项式系数是递增的；由对称性知它的后半部分显逐渐项式系数是递增的；由对称性知它的后半部分显逐渐减小的，且在中间取得最大值减小的，且在中间取得最大值k当当n为偶数时，中间一项为偶数时，中间一项最大；最大；当当n为奇数时，中间两项为奇数时，中间两项，相等且最大相等且最大3各二项式系数的和各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即，即2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和二项展开式中，偶数项的二项式系数的和奇

3、数奇数项的二项式系数的和，即项的二项式系数的和，即.等于等于2n11的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为()A10B5C.D1解析：解析：含含x2的项为的项为 x2的系数为的系数为答案：答案：C2若若展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64，则展开式，则展开式的常数项为的常数项为()A10B20C30D120解析：解析：二项式系数之和二项式系数之和2n64，则，则n6，Tk1x6k，当，当62k0时，即时，即k3时为常数项，时为常数项，T3120.答案：答案：B3(1x)2n(n N*)的展开式中，系数最大的项是的展开式中，系数最大的项是()A第第1项项B第第n项项C第第n1项

4、项D第第n项与第项与第n1项项解析：解析：(1x)2n的展开式中，各项系数等于对应的二项式的展开式中，各项系数等于对应的二项式系数，故系数最大的项是第系数，故系数最大的项是第n1项项答案：答案：C4若若(ax2)9的展开式中常数项为的展开式中常数项为84，则，则a_，其展开式中二项式系数之和为其展开式中二项式系数之和为_(用数字作答用数字作答)解析：解析：二项式二项式(ax2)9的通项公式为的通项公式为a9kx182k(1)kxk(1)k a9kx183k，令，令183k0可得可得k6，即，即得常数项为得常数项为(1)6a9684a384，解之得，解之得a1.其展开其展开式二项式系数和为式二项

5、式系数和为29512.答案：答案：15125若若(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn，且，且a1 a21 3，则正整数，则正整数n的值是的值是_解析：解析：由已知条件可得由已知条件可得a1 a2解之得解之得n7.答案：答案：7二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式Tk1ankbk(k0,1,2，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整及其系数以及

6、数、式的整除等方面有着广泛的应用使用时要注意：除等方面有着广泛的应用使用时要注意：1.通项公式表示的是第通项公式表示的是第“k1”项，而不是第项，而不是第“k”项；项；2.通项公式中通项公式中a和和b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；3.展开式中第展开式中第k1项的二项式系数项的二项式系数与第与第k1项的系数，项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错出差错已知在已知在()n的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项项为常数项(1)求求n；(

7、2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项利用通项公式可求利用通项公式可求,注意运算注意运算.【解解】(1)通项公式为通项公式为因为第因为第6项为常数项，所以项为常数项，所以k5时，有时，有0，即，即n10.(2)令令得得k(n6)2，所求的系数为所求的系数为，(3)根据通项公式，由题意得根据通项公式，由题意得令令r(r Z)，则，则102k3r，即，即k5 k Z，r应为偶数，应为偶数，r可取可取2、0、2，即，即k可取可取2、5、8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项均为有理数，它们分别为项均为有理数，它们分别为1在二项式在二项式的

8、展开式中，前三项的系数成等差的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项解：解：二项展开式的前三项的系数分别是二项展开式的前三项的系数分别是1，(n1)，21 (n1)，解得解得n8或或n1(不合题意，舍去不合题意，舍去)，Tr1当当4 Z时，时，Tr1为有理项，为有理项，0r8且且r Z，r0,4,8符合要求符合要求故有理项有故有理项有3项，分别是项，分别是T1x4，T5T9 n8，展开式中共展开式中共9项，项，中间一项即第中间一项即第5项的二项式系数最大项的二项式系数最大T5求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用

9、赋值求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或n个值，个值，也可以取几组值也可以取几组值如：若如：若(axb)na0a1xa2x2anxn，则设则设f(x)(axb)n.有：有：(1)常数项常数项a0f(0)；(2)各项系数之和各项系数之和a0a1a2anf(1)；(3)a0a1a2a3(1)nanf(1)；(4)奇数项系数之和奇数项系数之和a0a2a4a6(5)偶数项系数之和偶数项系数之和a1a3a5a7若若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：求：(1)a7a6a1；(2)a7a5a3a1

10、；(3)a6a4a2a0.所求结果与各项系数有关，可以考虑用所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值特殊值”法，法，即即“赋值法赋值法”整体解决整体解决.【解解】(1)令令x0，则，则a01；令令x1，则，则a7a6a1a027128，a7a6a1129.(2)令令x1，则则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由由得：得：a7a5a3a1128(4)78256.(3)由由得得a6a4a2a0128(4)78128.2在本例条件求在本例条件求|a1|a2|a7|解：解：(3x1)7展开式中，展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零，而均大于零，而a6、a4、a2、a0均小于零，均小于零，

11、|a7|a6|a1|(a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a08256(8128)116383.1求二项式系数最大项：求二项式系数最大项：(1)如果如果n是偶数，则中间一项是偶数，则中间一项(第第(1)项项)的二项式系数的二项式系数最大；最大；(2)如果如果n是奇数，则中间两项是奇数，则中间两项(第第项与第项与第(1)项项)的二项的二项式系数相等并最大式系数相等并最大2求展开式系数最大项：如求求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，b R)的展开的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为项系数分别为A1，A2，An1，

12、且第，且第k项系数最大，应项系数最大，应用用从而解出从而解出k来，即得来，即得已知已知()n(n N*)的展开式中第五项的系的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是数与第三项的系数的比是10 1.(1)求展开式中各项系数的和；求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含求展开式中含 的项；的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项(1)可利用可利用“赋值法赋值法”求各项系数的和；求各项系数的和；(2)可利用展开式中的通项公式确定可利用展开式中的通项公式确定k的值；的值；(3)可利用通项公式求出可利用通项公式求出k的范围，再确定项的范围，再确

13、定项.【解解】由题意知，第五项系数为由题意知，第五项系数为(2)4，第三项的系数为第三项的系数为则有则有化简得化简得n25n240，解得解得n8或或n3(舍去舍去)(1)令令x1得各项系数的和为得各项系数的和为(12)81.(2)通项公式通项公式令令，则，则k1，故展开式中含故展开式中含的项为的项为T2(3)设展开式中的第设展开式中的第k项，第项，第k1项，第项，第k2项的系数绝对项的系数绝对值分别为值分别为若第若第k1项的系数绝对值最大，则，项的系数绝对值最大，则，解得解得5k6.又又T6的系数为负，的系数为负，系数最大的项为系数最大的项为T71792x11.由由n8知第知第5项二项式系数最

14、大，项二项式系数最大，此时此时T51120 x6.3(1)()n展开式中只有第六项的二项式系数最大，展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是则展开式的常数项是()A360B180C90D45(2)已知已知(1x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则，则(1x)n的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是_解析：解析：(1)依题意：只有第依题意：只有第6项的二项式系数最大，可得到项的二项式系数最大，可得到n10，所以展开式的通项为，所以展开式的通项为2kx2k,令令k2可得常数项可得常数项T3180.(2)令令x1，得，得2n32

15、，所以，所以n5，故系数最小的项是故系数最小的项是10 x3.答案：答案：(1)B(2)10 x3二项式定理的考查是高考热点内容之一，主要考查二项式定理的考查是高考热点内容之一，主要考查通项公式的应用通项公式的应用.利用通项公式求特定的项或特定项的系利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数数，或已知某项，求指数n等等.多以选择、填空题的形式出多以选择、填空题的形式出现现.2009年陕西卷考查了利用赋值法年陕西卷考查了利用赋值法.(2009陕西高考陕西高考)若若(12x)2009a0a1xa2009x2009(x R)，则则的值为的值为()A2B0C1D2解析解析令令x0，则，则a01，令令答案答案C由于展开式中共有由于展开式中共有n1项，解题时易忽视项，解题时易忽视a0，而导致错误，而导致错误二项展开式中要特别关注二项展开式中要特别关注a0与与an两项另外，请试两项另外，请试求一下求一下的值为多少？的值为多少？