矩阵的特征值和特征向量二次型精选文档.ppt

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1、矩阵的特征值和特征向量二次型本讲稿第一页，共五十八页实验目的实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性本讲稿第二页，共五十八页一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 本讲稿第三页，共五十八页本讲稿第四页，共五十八页 其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使 AV=VD 成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹本讲稿第五页，共五十八页例例1 1

2、：求方阵的特征值、特征向量和迹解：解：A=2 2-2;2 5-4;-2-4 5;V D=eig(A)trace(A)本讲稿第六页，共五十八页V=-0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D=1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 trace(A)ans=12本讲稿第七页，共五十八页答：答：特征值为：本讲稿第八页，共五十八页本讲稿第九页，共五十八页例例2 2：求方阵的特征值、特征向量和迹解：解：A=4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;V D=eig(A)trace(A)本讲稿第十页，

3、共五十八页二、矩阵的相似对角化二、矩阵的相似对角化本讲稿第十一页，共五十八页例例3 3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。本讲稿第十二页，共五十八页解解(1)(1)：A=4 6 0;-3-5 0;-3-6 1;V D=eig(A)rank(V)ans=3答：答：A可对角化，且可对角化，且V=0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0D=1 0 0 0 -2 0 0 0 1本讲稿第十三页，共五十八页 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1;V D=eig(A)rank(V)ans=2答：答：A

4、不可对角化。不可对角化。解解(2)(2)：V=0 0.6325 0.4511 0 0.6325 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701D=1 0 0 0 1 0 0 0 1本讲稿第十四页，共五十八页 下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。本讲稿第十五页，共五十八页function y=trigle(A)%可对角化返回1 1，否则返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2)y=0;return;ende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)return;endd=e(1);f=sum(ab

5、s(e-d)10*eps);g=n-rank(A-d*eye(n);if f=g y=0;return;end e(find(abs(e-d)10*eps)=;end本讲稿第十六页，共五十八页function y=trigle(A)%可对角化返回1 1，否则返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2)y=0;returnende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)%若为空阵则为真若为空阵则为真本讲稿第十七页，共五十八页return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)10*eps);%特征值d的代数重数 g=n-ra

6、nk(A-d*eye(n);%特征值d的几何重数 if f=g y=0;return;end e(find(abs(e-d)A=4-3 1 2;5-8 5 4;6-12 8 5;1-3 2 2 trigle(A)ans=0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1;trigle(A)ans=1答：答：A不不可对角化。可对角化。P D=eig(A)解解(2)(2)：本讲稿第二十页，共五十八页答：答：A可对角化，且可对角化，且P=-0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.2113 0.5000 -0.5774

7、 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0D=-2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000本讲稿第二十一页，共五十八页二、二、二次型化标准型二次型化标准型本讲稿第二十二页，共五十八页本讲稿第二十三页，共五十八页例例5 5：判断下列矩阵是否对称A=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0;B=A;if(A=B)fprintf(A是对称矩阵是对称矩阵)else if(A=-B)fprintf(A是反对称矩阵是反对称矩阵)else fprintf(A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵既不是对称矩阵

8、，也不是反对称矩阵)endendA A是对称矩阵是对称矩阵解：解：本讲稿第二十四页，共五十八页本讲稿第二十五页，共五十八页Matlab中二次型化成标准形的命令为：P,T =schur (A)其中：A 二次型矩阵(即实对称矩阵)；T 为 A 的特征值所构成的对角形矩阵；P 为 T 对应的正交变换的正交矩阵，P 的列向量为 A的特征值所对应的特征向量 P,T =eig (A)本讲稿第二十六页，共五十八页例例6 6：求一个正交变换，将二次型解：解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形本讲稿第二十七页，共五十八页 A=1 1 0 1;1 1 1 0;0 1 1 1;-1 0 1 1;P,T =schur(

9、A)P=-0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 P,T =eig(A)本讲稿第二十八页，共五十八页T=-1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：本讲稿第二十九页，共五十八页例例7 7：求一个正交变换，将二次型解：解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形本讲稿第三十页，共五十八页 A=4 2 2;-2 1 1/2;2

10、1/2 1;P,T =schur(A)P=0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859本讲稿第三十一页，共五十八页T=-0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：本讲稿第三十二页，共五十八页三、三、正定二次型的判定正定二次型的判定本讲稿第三十三页，共五十八页本讲稿第三十四页，共五十八页1.1.顺序主子式判断法顺序主子式判断法 求二次型求二次型 F=XAX 的矩阵的矩阵 A 的各阶顺序的各阶顺序 主子式主子式 Di (i=1,2,3.);判断判断 D

11、i 是否大于是否大于0.程序：建立函数文件程序：建立函数文件 shxu.m本讲稿第三十五页，共五十八页function C,M=shxu(A)%C为为A的各阶顺序主子式组成的向量的各阶顺序主子式组成的向量%M为判定向量为判定向量:if C(i)0,then M(i)=1;%others M(i)=0 n=size(A);C=;M=;for i=1:n(1)A1=A(1:i,1:i);D=det(A1);C=C D;if D0 m=1;else m=0;end M=M,m;end 本讲稿第三十六页，共五十八页2 2、特征值判别法、特征值判别法 求二次型求二次型 f=XAX 的矩阵的矩阵 A 的全

12、部特征的全部特征 值值 （i=1,2,i=1,2,）；）；判断判断 是否大于是否大于 0.程序：建立函数文件程序：建立函数文件 tezh.m本讲稿第三十七页，共五十八页 function T,M =tezh(A)n=size(A);T=(eig(A);M=;for i=1:n(1)if T(i)0 m=1;else m=0;end M=M,m;end本讲稿第三十八页，共五十八页例例8 8 判定下列二次型是否正定 解解 二次型矩阵本讲稿第三十九页，共五十八页方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A=1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19;C,M=shxu(A)答：此二次

13、型是正定的。C=1 2 6 24 M=1 1 1 1本讲稿第四十页，共五十八页方法二方法二 特征值法特征值法 T=0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M=1 1 1 1 A=1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T,M =tezh(A)答：此二次型是正定的。本讲稿第四十一页，共五十八页例例9 9 判定下列二次型是否正定 解解 二次型矩阵本讲稿第四十二页，共五十八页方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A=9 6 24;-6 130 30;24 30 71;C,M=shxu(A)答：此二次型是正定的。C=9 1134 6174 M=1 1 1 本

14、讲稿第四十三页，共五十八页方法二方法二 特征值法特征值法 T=0.6576 65.0894 144.2530M=1 1 1 A=9 6 24;-6 130 30;24 30 71;T,M =tezh(A);答：此二次型是正定的。本讲稿第四十四页，共五十八页例例1010 判定下列二次型是否正定 解解 二次型矩阵本讲稿第四十五页，共五十八页方法一方法一 顺序主子式顺序主子式 A=10 4 12;4 2 14;12 14 1;C,M=shxu(A)答：此二次型不是正定的。C=10 4 -3588M=1 1 0本讲稿第四十六页，共五十八页方法二方法二 特征值法特征值法T=-17.4209 10.170

15、8 20.2501M=0 1 1 A=10 4 12;4 2 14;12 14 1;T,M =tezh(A)答：此二次型不是正定的。本讲稿第四十七页，共五十八页本讲稿第四十八页，共五十八页function C,M=shxuf(A)%C为为A的各阶顺序主子式组成的向量的各阶顺序主子式组成的向量%M为判定向量为判定向量:if C(i)0,then M(i)=1;if C(i)0 m=1;elseif D0 m=-1；else m=0;end M=M,m;end 本讲稿第四十九页，共五十八页 function T,M =tezhf(A)n=size(A);T=(eig(A);M=;for i=1:n

16、(1)if T(i)0 m=1;elseif T(i)A=-1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6-19;C,M=shxuf(A)答：此二次型是负定的。C=-1 2 -6 24M=-1 1 -1 1本讲稿第五十三页，共五十八页方法二方法二 特征值法特征值法T=-22.1991 -7.4945 -2.2421 -0.0643M=-1 -1 -1 -1 A=-1 1 2 1;1 3 0 3;-2 0 9 6;-1 3 6-19;T,M =tezhf(A)答：此二次型是负定的。本讲稿第五十四页，共五十八页1、已知矩阵(1)求矩阵A的特征值;(2)求矩阵A的特征值对应的全部特征向量.习题习题本讲稿第五十五页，共五十八页2 2 判断下列方阵是否可对角化,若可对角 化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。本讲稿第五十六页，共五十八页3、已知二次型 f=x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 (1)写出二次型矩阵A;(2)用正交变换将二次型化为标准形,并 写出所作的正交变换;本讲稿第五十七页，共五十八页5、判别下列二次型是否为负定负定二次型 （用两种方法求，写出程序）4、判别下列二次型是否为正定正定二次型 （用两种方法求，写出程序）本讲稿第五十八页，共五十八页