教育专题：142正弦函数、余弦函数的性质第1课时.ppt

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1、第一课时第一课时 周周 期性期性1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 思考：思考：如何画出正弦曲线、如何画出正弦曲线、余弦曲线的图象？余弦曲线的图象？yxo1-1y=sinx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 五点作图法五点作图法正弦线法正弦线法 复习复习:正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y完成下表并用五点作完成下表并用五点作图图法作出法作出y=sinx和和y=cosx给给定区定区间间上的上的图图象。象。自自变变量量cosxsinx y=sinx (x R)y=cosx (x R)

2、0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1根据正弦函数和余弦根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说函数的图象，你能说出它们具有哪些性质出它们具有哪些性质？-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxy yxyO1-1y=cosxy=cosx探究：探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具有根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质吗？哪些性质吗？诱导公式诱导公式sin(x+2sin(x+2)=sinx,)=sinx,的几何意义的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律正弦函数值是按照一定规律不断重复地不断

3、重复地出现的出现的oyx48xoy612观察上图观察上图,正弦曲线每相隔正弦曲线每相隔 个单位重复出现个单位重复出现.诱导公式诱导公式其理论依据是什么？其理论依据是什么？-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxy y当自变量当自变量x x的值增加的值增加2 2的整数倍时，函数值重复出现的整数倍时，函数值重复出现.数学数学上，用上，用周期性周期性这个概念来定量地刻画这种这个概念来定量地刻画这种“周而复始周而复始”的变的变化规律化规律.周期函数：周期函数：对于函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常，如果存在一个非零常数，使得当数，使得当x取定义域内的每一个值时，取定义域

4、内的每一个值时，都有都有f(x)f(x+T)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周就叫做周期函数期函数非零常数非零常数T叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在一个最小的正数存在一个最小的正数,则这个最小正数则这个最小正数叫做叫做f(x)的的最小正周期最小正周期.周期函数：周期函数：对于函数对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常非零常数数，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的每一个值每一个值时，时，都有都有f(x)f(x+T)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做周周期函数期函数非零常数非零常数T叫做这个函数的叫做这个

5、函数的周期周期 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在一个存在一个最小的正数最小的正数,则这个最小正数则这个最小正数叫做叫做f(x)的的最小正周期最小正周期.思考思考1 1：等式等式sin(30sin(300 0+120+1200 0)=sin30)=sin300 0是否成立？是否成立？如果成立，能否说明如果成立，能否说明1201200 0是正弦函数是正弦函数 y=sinx,xRy=sinx,xR的一个周期吗？为什么？的一个周期吗？为什么？不是：不是：等式等式sin(30sin(300 0+120+1200 0)=sin30)=sin300 0是否成立？是否成立？30

6、300 0成成立立，当当x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时，不不是是都有都有f(x)f(x+1201200 0)思考思考2：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？以是哪些？答：答：周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个.正弦函数的周期可以是正弦函数的周期可以是都是正弦函数的周期都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数事实上，任何一个常数 都是它的周期都是它的周期.思思考考3 3：正正弦弦函函数数有有没没有有最最小小正正周周期期？如如果果有有，是是多多少少？如果没有，请说明理由？如果没有，请说明理由.正弦函数存在最小正

7、周期，是正弦函数存在最小正周期，是思考思考4 4：周期函数一定存在最小正周期吗？举例说明。周期函数一定存在最小正周期吗？举例说明。周期函数周期函数不一定不一定存在最小正周期，例如函数存在最小正周期，例如函数y=2y=2思考思考5：通过以上的探究，你能得到正弦函数在周期性方通过以上的探究，你能得到正弦函数在周期性方面的什么结论？余弦函数呢？面的什么结论？余弦函数呢？结论：结论：正弦函数是周期函数，正弦函数是周期函数，都是它都是它的周期，最小正周期是的周期，最小正周期是 .余弦函数也是周期函数，余弦函数也是周期函数，都是它都是它的周期，最小正周期是的周期，最小正周期是 .正正、余余弦弦函函数数是是

8、周周期期函函数数，2k2k（kZ,kZ,k0k0）都都是是它它的的周周期期，最小正周期是最小正周期是2 2说说明明：今今后后我我们们所所涉涉及及到到的的周周期期，若若不不特特别别说说明明，一一般都是指函数的最小正周期。般都是指函数的最小正周期。解：解：(1)(2)是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数.例例 求下列函数的周期：求下列函数的周期：(1)y=3cosx,xR;R;(2)y=sin2x,xR;R;是以是以2为周期的周期函数为周期的周期函数.满足满足（）（）（）解：解：所以原函数是以所以原函数是以为周期的周期函数为周期的周期函数注意注意:f(x)的的特点，特点，f(x+T)的结构的结

9、构(3)y=2sin(),xR.R.思思考考：你你能能从从例例1 1的的解解答答过过程程中中归归纳纳一一下下这这些些函函数数的的周周期期与与解析式中哪些量有关吗？解析式中哪些量有关吗？一般地，函数一般地，函数 （其中（其中 ）的）的最小正周期最小正周期 .课堂练习课堂练习P362求下列函数的周期：求下列函数的周期：例例2 2 已已知知定定义义在在R R上上的的函函数数f(x)f(x)满满足足f(xf(x2)2)f(x)=0f(x)=0，试试判断判断f(x)f(x)是否为周期函数？是否为周期函数？解：解：由已知有：由已知有：f(xf(x2)=-f(x)2)=-f(x)f(x+4)=f(x+4)=

10、即即f(xf(x4)=f(x)4)=f(x)由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)f(x)是周期函数是周期函数.f(x)f(x)=-f(x)=-f(x)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2=一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+),xRR及函数及函数y=Acos(x+),x R(其中其中A,为常数为常数,且且A0,0)的周期的周期是是T=2/.合作探究：合作探究：若（）的周期为，则（若（）的周期为，则（）的）的周期为多少？周期为多少？思考探究思考探究：你能从例题的解答过程中归纳一下这些：你能从例题的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？课堂小结：课堂小结：1、一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数，使得当，使得当x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有f(x)f(x+T)，那么函数，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数就叫做周期函数非零常数T叫叫做这个函数的周期做这个函数的周期 2、函数函数y=Asin(x+),xRR及函数及函数y=Acos(x+),x R(其中其中A,为常数，且为常数，且A0,0)的周期是的周期是T=2/.课外作业：课外作业：P46-P47课外作业：课外作业：P46-P47