矩阵的初等变换与线性方程组精选文档.ppt

《矩阵的初等变换与线性方程组精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的初等变换与线性方程组精选文档.ppt（90页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组第1页 共92页本讲稿第一页，共九十页第2页 共92页一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换本讲稿第二页，共九十页第3页 共92页1、引例、引例求解线性方程组：求解线性方程组：一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组本讲稿第三页，共九十页第4页 共92页解：解：1)消元消元本讲稿第四页，共九十页第5页 共92页2)回代回代（4 4个未知数个未知数3 3个方程，无穷解。可取每一个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知数，进行行的第一个未知数为非自

2、由未知数，进行回代）回代）(B4)本讲稿第五页，共九十页第6页 共92页则则（2）解得解得本讲稿第六页，共九十页第7页 共92页方程组的同解变换方程组的同解变换(消元过程消元过程)：1）对换两个方程）对换两个方程3）2）对增广矩阵对增广矩阵 B=(A|b)进行进行相应的三种初等相应的三种初等行行变换变换本讲稿第七页，共九十页第8页 共92页(B4)(B1)行行阶梯形：阶梯形：本讲稿第八页，共九十页第9页 共92页(B4)(B5)行行最简形最简形本讲稿第九页，共九十页第10 共92页对增广矩阵（对增广矩阵（A|b）施行初等行变换，变成行最简形。）施行初等行变换，变成行最简形。方程组的求解注意：注

3、意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。变元进行变换，并不是方程的同解变换。本讲稿第十页，共九十页第11 共92页1）2）3）jikrr+初等变换的逆变换初等变换的逆变换本讲稿第十一页，共九十页第12 共92页行等价：行等价：列等价：列等价：等价：等价：性质性质：矩阵的等价关系矩阵的等价关系A B反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性本讲稿第十二页，共九十页第13 共92页标准形标准形：本讲稿第十三页，共九十页第14 共92页如：如：本讲稿第十四页，共九十页第15 共92页初等矩阵的概念初等矩阵的概念单位矩阵

4、单位矩阵 经一次初等变换得到的经一次初等变换得到的矩阵矩阵1 1、定义、定义2 2、三种初等矩阵、三种初等矩阵三种初等变换三种初等变换 三种初等方阵三种初等方阵本讲稿第十五页，共九十页第16 共92页jirr1)|本讲稿第十六页，共九十页第17 共92页本讲稿第十七页，共九十页第18 共92页本讲稿第十八页，共九十页第19 共92页(k 0)2)|本讲稿第十九页，共九十页第20 共92页本讲稿第二十页，共九十页第21 共92页3）|本讲稿第二十一页，共九十页第22 共92页本讲稿第二十二页，共九十页第23 共92页本讲稿第二十三页，共九十页第24 共92页)(nkjiAE本讲稿第二十四页，共九

5、十页第25 共92页定理定理1 11）行变换，）行变换，A为为A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵2）列变换，）列变换，A为为A右乘右乘相应的相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵本讲稿第二十五页，共九十页第26 共92页初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵的转置仍为初等矩阵；本讲稿第二十六页，共九十页第27 共92页解：解：记记 B本讲稿第二十七页，共九十页第28 共92页定理定理2 2证证:A可逆可逆 存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵(充分性充分性 )(必要性必要性 )显然显然.本讲稿第二十八页，共九十页第2

6、9 共92页证明：证明：推论推论1 1A可逆可逆A经有限次初等行变换经有限次初等行变换 E可逆矩阵的行最简型为可逆矩阵的行最简型为E本讲稿第二十九页，共九十页第30 共92页初等行变换初等行变换同理，对方程组若A可逆本讲稿第三十页，共九十页第31 共92页（作业）（作业）推论推论2 2本讲稿第三十一页，共九十页第32 共92页 解解例例 2 2本讲稿第三十二页，共九十页第33 共92页本讲稿第三十三页，共九十页第34 共92页例例3 3解：解：本讲稿第三十四页，共九十页第35 共92页本讲稿第三十五页，共九十页第36 共92页小结小结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次

7、初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:本讲稿第三十六页，共九十页第37 共92页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论第三节第三节 矩阵的秩矩阵的秩本讲稿第三十七页，共九十页第38 共92页矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念本讲稿第三十八页，共九十页第39 共92页1.矩阵的子式矩阵的子式k阶子式阶子式(km,n)：任取任取k行、行、k列交叉得到的列交叉得到的矩阵的行列式矩阵的行列式相应的位置保持不变本讲稿第三十九页，共九十页第40 共92页2.最高阶非零子式和秩最高阶非零子式和秩A的秩的秩A的

8、最高阶非的最高阶非0子式的阶子式的阶R(A)或或 r(A)本讲稿第四十页，共九十页第41 共92页本讲稿第四十一页，共九十页第42 共92页例例1解解本讲稿第四十二页，共九十页第43 共92页例例2解解本讲稿第四十三页，共九十页第44 共92页问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法本讲稿第四十四页，共九十页第45 共92页1、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、本讲稿第四十五页

9、，共九十页第46 共92页显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，本讲稿第四十六页，共九十页第47 共92页例例4解解本讲稿第四十七页，共九十页第48 共92页A得得本讲稿第四十八页，共九十页第49 共92页取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一个最高阶非0子式注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对换情况。本讲稿第四十九页，共九十页第50 共92页例例5 5解解分析：分析：本讲稿第五十页，共九十页第51 共92页本讲稿第五十一页，共九十页第52 共92页1、n阶方阵阶方阵A可逆可逆2三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论本讲稿第五

10、十二页，共九十页第53 共92页3、4、5、Sylverster不等式不等式:本讲稿第五十三页，共九十页第54 共92页例例1例例2例例3本讲稿第五十四页，共九十页第55 共92页矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质1.2.3.4.5.6.7.(见下节见下节)8.(见下节见下节)本讲稿第五十五页，共九十页第56 共92页一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第四节第四节 线性方程组的解线性方程组的解本讲稿第五十六页，共九十页第57 共92页线性方程组线性方程组系数矩阵为系数矩阵为线性方程组可记为：线性方程组可记为：相容线性方程组。相容线性方程组

11、。（不）（不）一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件本讲稿第五十七页，共九十页第58 共92页1)m=n 时时,A是是n阶方阵阶方阵,若若|A|则可用克莱默则可用克莱默法则求解法则求解,或用或用A的逆矩阵表示解的逆矩阵表示解.0,2)对一般的情况如何判定有没有解对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求有解时如何求解解?问题：问题：本讲稿第五十八页，共九十页第59 共92页1、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组推：若方程组的个数小于变元的个数，推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。则不可能有唯一解。则方程组：1）无 解2）唯一解3）无穷解本讲稿第五十九页，共九十

12、页第60 共92页证：（充分性）证：（充分性）本讲稿第六十页，共九十页第61 共92页本讲稿第六十一页，共九十页第62 共92页Onn个m-n个本讲稿第六十二页，共九十页第63 共92页本讲稿第六十三页，共九十页第64 共92页本讲稿第六十四页，共九十页第65 共92页方程组的通解，自由度为方程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越越小，解的自由度越大大本讲稿第六十五页，共九十页第66 共92页2、齐次方程方程组、齐次方程方程组本讲稿第六十六页，共九十页第67 共92页齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐

13、次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；3、求解线性方程组步骤、求解线性方程组步骤:本讲稿第六十七页，共九十页第68 共92页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法本讲稿第六十八页，共九十页第69 共92页本讲稿第六十九页，共九十页第70 共92页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解本讲稿第七

14、十页，共九十页第71 共92页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换本讲稿第七十一页，共九十页第72 共92页故方程组有解，且有无穷解故方程组有解，且有无穷解本讲稿第七十二页，共九十页第73 共92页例例 本讲稿第七十三页，共九十页第74 共92页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解本讲稿第七十四页，共九十页第75 共92页本讲稿第七十五页，共九十页第76 共92页其通解为其通解为本讲稿第七十六页，共九十页第77 共92页这时又分两种情形：这时又分两种情形：本讲稿第七十七页，共九十页第78 共92页本讲稿第七十八页，共九十页第7

15、9 共92页解二解二:由于由于方程个数等于未知数个数方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法可考虑用下面的方法:本讲稿第七十九页，共九十页第80 共92页本讲稿第八十页，共九十页第81 共92页本讲稿第八十一页，共九十页第82 共92页本讲稿第八十二页，共九十页第83 共92页三、推广到矩阵方程三、推广到矩阵方程Th7 AX=B 有解有解 R(A)=R(A,B).证：将证：将X X，B B 按列分块，得按列分块，得本讲稿第八十三页，共九十页第84 共92页（充分性）（充分性）R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)本讲稿第八十四页，共九十页第85 共92页（必要性）（必要性）AX AXB B 有解有解本讲稿第八十五页，共九十页第86 共92页Th9本讲稿第八十六页，共九十页第87 共92页非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=三、小结三、小结本讲稿第八十七页，共九十页第88 共92页思考题思考题本讲稿第八十八页，共九十页第89 共92页答答相等相等.即即由此可知由此可知思考题解答思考题解答本讲稿第八十九页，共九十页第90 共92页6、本讲稿第九十页，共九十页