2022年博士生课程空间机器人关键技术.doc

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1、博士生课程空间机器人关键技术1空间机器人概述2数学力学根底3冗余自由度机器人4柔性机械臂5欠驱动机器人6机器人乖巧手（一） 空间机器人的概述1.空间机器人在空间技术中的地位从20世纪50年代，以美国和苏联为首的空间技术大国就在空间技术领域展开了剧烈的竞赛。i苏联1957年8月3日，前苏联研制的第一枚洲际弹道导弹SS-6初次发射成功。不久，前苏联火箭总设计师柯罗廖夫从美国新闻界得知美国试图在1957-1958年的国际地球物理年里发射一颗人造地球卫星。因而，他立马上SS-6导弹稍加修正，将弹头换上一个构造简单的卫星，抢先将第一颗人造卫星送上了太空。接着，在第一颗人造卫星发射后一个月，即11月3日，

2、又用SS-6导弹作航天运输工具，将装有小狗“莱伊卡”的第二颗人造卫星送入太空的圆形地球轨道。1959年5月，前苏联又将“月球”l号人造卫星送入了月球轨道。ii美国在1958年往常，以“红石”近程导弹和“维金”探空火箭为根底，分别研制成“丘比特”C和“先锋”号等小型运载火箭，用于发射最初的几个有效载荷仅为数千克至十几千克的小卫星。开展到今天，从地面实验室研究到人造卫星、空间站、载人飞船、航天飞机、行星外表探测器，空间技术大国都投入了大量人力、物力和财力。空间技术关于天文学、气象、通讯、医学、农业以及微电子等领域都产生了特别大的效益。不仅如此，空间技术关于今后国家平安更具有重要的意义。在空间技术开

3、展的过程中空间机器人的作用越来越明显。20世纪60年代前苏联的挪动机器人研究所(著名的俄罗斯Rover科技前身)研制了世界上第一台和第二台月球车Lunohod-1和Lunohod-2。1976年美国发射海盗一号和二号(Rover-1、Rover-2)的登陆舱相继在在火星外表登陆，通过遥操作机械臂进展火星外表土壤取样。随着空间技术研究的日益深化，人类空间活动的日益频繁，需要进展大量的宇航员的舱外活动(EVA)，这对宇航员不仅危险，而且没有大气层的防护，宇宙射线和太空的各种飞行颗粒都会对宇航员造成损害。建造国际空间站，以及今后的月球和火星基地，工程浩大，只靠宇航员也是非力所能及的。还有空间产业、空

4、间科学实验和探测，这些工作是危险的，但有一定重复性，各航天大国都在研究用空间机器人来代替宇航员的大部分工作。此外许多空间飞行器长期工作在无人值守的状态，这些飞行器上面各种装置的维护和修理依托发射飞船，把宇航员送上太空的方法既不经济，也不现实。在今后的空间活动中，许多工作仅靠宇航员的舱外作业是无法完成的，必须借助空间机器人来完成空间作业。2空间机器人的任务和分类1)空间建筑与装配。一些大型的安装部件，比方无线电天线，太阳能电池，各个舱段的组装等舱外活动都离不开空间机器人，机器人将承担各种搬运，各构件之间的连接紧固，有毒或危险品的处理等任务。有人估计，在不久今后空间站建造初期，一半以上的工作都将由

5、机器人完成。2)卫星和其他航天器的维护与修理。随着人类在太空活动的不断开展，人类在太空的资产越来越多，其中人造卫星占了绝大多数。假如这些卫星一旦发生毛病，丢弃它们再发射新的卫星就特别不经济，必须设法修理后使它们重新发挥作用。但是假如派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的咨询题，而且由于航天器在太空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人根本无法执行任务，因而只能依托空间机器人。挑战者号和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行平安的关注，采纳空间机械臂修复哈勃太空望远镜大概是一件特别自然的事情。安装上新的科学仪器(包括一台视野宽敞的摄象仪和一台摄谱仪)后，哈勃望远镜的观测才能可加强十倍以上。空间

6、机器人所进展的维护和修理工作包括回收失灵卫星，对毛病卫星进展就地修理，为空间飞行器补给物资等。3)空间消费和科学实验。宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境，利用这一环境能够消费出地面上无法或难以消费出的产品。在太空中还能够进展地面上不能做的科学实验。和空间装配，空间修理不同，空间消费和科学实验主要在舱内环境里进展，操作内容多半是重复性动作，在多数情况下，宇航员能够直截了当检查和操纵。这时候的空间机器人好像工作在地面的工厂里的消费线上一样。因而，能够采纳的机器人多是通用型多功能机器人。空间机器人是空间技术研究的重要内容，它是代替宇航员进展空间科学研究和作业的有力工具。空间机器人

7、按照用处能够分为i空间站机器人(包括空间站与航天飞机舱内机器人和空间站与航天飞机舱外机械臂)；ii星载机器人(包括空间自由飞行机器人和空间自由漂浮机器人)；iii外星外表探测机器人。从空间机器人的构造组成来看，可分为单臂和多臂(主要是双臂)空间机器人。(3) 空间机器人的特点空间环境和地面环境差异特别大，空间机器人工作在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环境中，因而，空间机器人与地面机器人的要求也必定不一样，有它本身的特点。由于空间机器人在空间微重力的环境下工作，因而当机械臂运动时，会对载体产生反作用力和力矩，从而改变载体的位置和姿势，即空间机器人的机械臂和载体之间存在着运动学和动力学耦

8、合咨询题。假如不考虑这种力学耦合咨询题，而仍然采纳地面固定基座机器人的运动操纵技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务。因而研究空间机器人，首先要处理的是如何考虑这种要素，建立互相作用的运动学、动力学模型及运动操纵算法。另一个关键咨询题是在地面上模仿微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机器人运动特别性、卫星姿势、捕捉目的途径规划等各种运动操纵算法的可行性。由因而高真空，液体无法附着在固体外表，而且极易挥发，无法采纳地面上常规的液体光滑和密封技术，而必须考虑固体光滑和磁流体密封。关于舱内空间机器人，要求体积比拟小，重量比拟轻，抗干扰才能强。其次，要求空间机器人的智能程度高，功能全。空间机器人耗

9、费的能量要尽可能小，工作寿命要尽可能长。由因而工作在太空这一特别的环境之下，对它的平安性、可靠性和可维修性要求也比拟高。从操纵的角度看，由于空间的遥操作间隔远大于地面，时延成为不可忽略的要素，在地面上成功的操纵策略和操纵方法关于空间的遥操作往往行不通，必须考虑空间机器人的自主性和智能性，以及操纵和通讯的智能系统。总之，由于空间活动的本钱高昂，空间技术的研究和开展需要强大的经济根底为后盾，这导致空间飞行器的设计需要采取特别的思路，操纵系统需要采纳先进的策略和软硬件装备。由于空间活动的未知要素多，必须具备一定的自主工作才能(智能性和灵敏性)，同时还必须具有良好的容错才能和可靠性。空间发射本钱高，减

10、轻发射重量成为诸多考虑要素的首选要素，这就使空间机器人大多为轻质柔性构造，因而具有较大的变形。微重力和载体不固定，使得空间机器人系统为非完好系统。因而空间机器人的根本特点是：轻质柔性、灵敏性、容错性、非完好约束、智能性。此外为了使空间机器人具有容错性，一般都采纳冗余自由度的构形、欠驱动方式和柔性构造。这些造成空间机器人系统的高度复杂性和综合性。空间机器人的研究涉及多学科领域，它集成了力学、机械学、操纵工程、计算机科学、测试技术和通讯技术等多学科领域的最新成就。(4) 空间机器人开展现状加拿大臂(Canadarm)的空间机械臂的正式名称是SRMS(the Shuttle Remote Manip

11、ulator System)，长15.2m,重410kg。已制造并交付使用了5套完好机械臂系统。每套臂系统中有2套手动操纵器，分别操纵3个挪动和3个转动等6个自由度。该臂末端速度为600mm/s(空载);有载荷的情况下的速度为60mm/s。已飞向太空执行任务34次。在地面上是用气浮方式模仿太空微重力环境，作二维水平运动来试验、维护的。加拿大为国际空间站提供一个挪动效劳系统(MSS)及其有关地面设备。作为报答，加拿大将获得国际空间站3%的使用权。挪动效劳系统包括空间站遥控机械臂系统(SSRMS)、专用机械手(SPDM)两部分。SSRMS长17.6m，重936kg，负荷时挪动速度为6mm/s，空载

12、时挪动速度为600mm/s，定位精度10mm/()，能搬动重量为19500kg、尺寸为18.3m4.6m的有效载荷。SSRMS可用于空间站的装配与效劳、轨道器的对接与别离、有效载荷操作以及协助出舱活动等，在国际空间站的装配和维护中将发挥关键作用。SPDM是一个双臂机器人，每个臂长2m，有7个自由度，能承担目前由舱外活动航天员完成的许多维修和装配任务。从1981年第一次太空飞行，SRMS就表现出高可靠性、高效性和万能性，能够对负载进展精确、精细和复杂的操作。它是由加拿大MDA公司为美国NASA设计和制造的。以后NASA又订制了4台SRMS。加拿大臂能够无缝地实现把卫星放入轨道和回收有毛病的卫星。

13、1990年4月24日加拿大臂稳定地将Hubble空间望远镜放入轨道。从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行走，进展了总计129小时的EVA。Canadarm 的非计划性任务包括去除堵塞的废水口的冰块，它们可能对航天飞机返回时收起天线和激活失效卫星重新放入正确轨道造成威胁。在 1998 年12月， Canadarm 在 国际空间站的第一次装配任务中发挥了关键作用, 实现了美国单元与俄国空间站Zarya的对接。Canadarm 将会接着在空间站装配中发挥严重的作用。加拿大臂由肩关节(2个自由度)、肘关节(1个自由度)和腕关节(3个自由度)，整个臂分为上臂和下

14、臂。总质量905磅(410kg)。碳复合材料2数学力学根底(1). 矩阵理论矩阵的四个根本子空间线性方程组能够用矩阵方式写为(1)式中，A为mn系数矩阵，x为n维向量空间Rn的列向量，b为m维向量空间Rm的列向量。假如方程的数目小于未知数的数目，即mn。我们假设A是行满秩的，即A的秩r等于m。由于方程数m小于变量数n，方程组为欠定方程组。由线性代数可知，方程组的解不唯一，在所有的解向量中，有一个解向量是最小范数解。其他的解能够认为是由这个解和线性方程组对应的齐次线性方程组Ax = 0通解之和。齐次线性方程的这些解组成了向量空间Rn中的一个子空间，称为矩阵A的零空间，或者称为A的核。它的维数是n

15、 - m。记作N(A)。假如矩阵A的秩r小于m，零空间的维数则为n-r。类似地，齐次线性方程组ATx = 0的全体解组成了向量空间Rm的一个子空间，称为矩阵A的左零空间。它的维数是m - r。记作N(AT)。假如矩阵行满秩，即r = m，N(AT)为零。A的r个线性无关列在m维向量空间中张成一个r维子空间，记作R(A)，称为矩阵A的列空间。A的r个线性无关行在n维向量空间中张成一个r维子空间，它也能够看成是矩阵AT的列空间。定理1任何mn矩阵A，其左零空间N(AT)与列空间R(A)互为向量空间Rm中的正交子空间，同时Rm= R(A)N(AT)，一般称为它们互为正交补空间。定理2任何mn矩阵A，

16、其零空间N(A)与行空间R(AT)互为向量空间Rn中的正交子空间，同时Rn = R(AT)N(A)，一般称为它们互为正交补空间。综如上述内容可知，给出一个mn实矩阵A，与之相联络的有4个重要的子空间：A的列空间：它由矩阵A的线性无关的列生成，用R(A)表示。A的行空间：它由矩阵A的线性无关的行生成，用R(AT)表示。A的零空间：它由满足齐次方程组Ax = 0的全体解组成，用N(A)表示。A的左零空间：它由满足齐次方程组ATx = 0的全体解组成，用N(AT)表示。Rn中的两个子空间R(AT)、N(A)；Rm中的两个子空间R(A)、N(AT)。它们的关系为 Rn = R(AT)N(A)， 且R(

17、AT) = N(A)；Rm = R(A)N(AT)， 且R(A) = N(AT)；(2)这里，上标“”表示是正交补空间。矩阵的广义逆。由对线性方程组Ax = b较完好的讨论，可知它可能无解，或有唯一的一组解，或有无穷多组解。初看起来，无解的矛盾方程组没有任何意义，但是在实际工程咨询题中，常常会遇到矛盾方程组，或者叫作超定方程组。尽管不能求得Ax = b精确解，但是假设能求得x，使最小，也是具有实际意义的，这确实是矛盾方程组的最小二乘解。关于欠定方程组，在无穷多组解中常常需要求最小范数解。这两个咨询题不能用一般的矩阵逆的概念处理，这促使人们把矩阵逆的概念推行到长矩阵和非满秩的方阵，这确实是广义逆

18、产生的背景。1955年Penrose建立了下面的命题：对任一个矩阵，存在唯的矩阵G，同时满足下面四个方程：(i)AGA = A；(ii) GAG = G；(iii) (AG)T = AG；(iv)(GA) T= GA。(3)它是在Moore在1922年发表的论文根底上提出的。一般将同时满足上面矩阵方程的矩阵G称为矩阵A的Moore-Penrose逆，或简称为M-P逆，记为A+。它来源于线性方程组求解，目的是：线性方程组Axb对下述咨询题的解能用矩阵方式给出。(i)相容方程的解；(ii)相容方程的最小范数解；(iii)矛盾方程的最优近似解；(iv)矛盾方程范数最小最优近似解。这里讨论的矩阵均为实

19、矩阵。它确定一个Rn至Rm的线性变换y = Ax。A是mn矩阵，x是n维向量，y是m维向量。前面已讲到，与矩阵A相联络的有四个重要子空间。Rn的两个子空间R(AT)和N(A)；Rm的两个子空间R(A)和N(AT)。它们的关系为Rn = R(AT)N(A)，且R(AT)N(A)； Rm = R(A)N(AT)，且R(A)N(AT)。换言之，R(AT)与N(A)互为Rn中的正交补空间，R(A)与 N(AT) 互为Rm中的正交补空间。关于广义逆，需要用特别多时间讲清晰，这里不预备详细介绍。只考虑最理想的情况，即矩阵A是满秩的(行满秩或列满秩)。当m n，矩阵A是只可能列满秩。有必要研究满秩矩阵的单边

20、逆：左逆和右逆。它们是广义逆的特例。定义1设ARmn，假设存在GRnm，使得AG = I（或GA = I），则称G为A的右逆（或左逆），记为（或）。能够证明，假如矩阵ARmn行满秩，则必存在以下方式的右逆， (4)假如矩阵ARmn列满秩，则必存在以下方式的左逆， (5)下面的两个定理给出了左逆和右逆的存在条件。定理3 设ARmn，则以下的提法是等价的：1) A是左可逆的；2) A的零空间N(A) = 0，A的行空间R(AT) = Rn；3) m n，Rank(A) = n ，即是列满秩的。定理4 设ARmn，则以下的提法是等价的：1) A是右可逆的；2) A的左零空间N(AT) = 0，A的列

21、空间R(A) = Rm；3) m n，Rank(A) = m ，即是行满秩的。矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是矩阵理论的根本知识，它关于广义逆的计算和冗余自由度机器人逆运动学的求解都具有重要的应用价值。在线性代数中曾把n阶对称矩阵A分解成如下的乘积方式 A = PDPT (6)其中D为对角矩阵，其对角线元素为A的实特征值，P为正交矩阵，其第j列为与D的第j个对角线元素相应的特征向量(j = 1,2,n)。我们已经看到，这种分解式是研究对称矩阵的有力工具，由它能够推出一系列有用的结论。只有对称矩阵才有这种分解式。关于非对称矩阵,以致一般的长方形矩阵是否能够建立类似的分解式?下面的定理答复了这个

22、咨询题。定理5 设A为任意mn阶矩阵，其秩数为r，则有m阶正交矩阵P和n阶正交矩阵Q，使得A = PDQT 或 PTAQ=D(7)其中D为如下方式的mn阶矩阵图1刚体的质量参数XYPiOZdmGi它的左上角的子块Dr是r阶对角矩阵l1l2lr0其余几个子块是各自具有适当阶数的零矩阵，我们一律记为Q。l1，l2，lr称为矩阵A奇异值。关于矩阵的其他概念，如向量和矩阵的范数，向量空间的基底与坐标，线性相关与线性无关等不介绍了。(2). 力学根底 刚体的质量参数刚体的质量参数除了刚体的质量m，还包括与刚体质量分布有关的量，即刚体质心G在刚体上的位置和刚体的惯性张量(惯性并矢)。在这里我们由刚体的动能

23、引出刚体惯性张量的概念。如图1所示，刚体坐标系(即连杆坐标系)的原点为Oi，它在参考系中的位置可由其向径确定，刚体上任一元质量dm在刚体上的位置由给定。而它在参考系中的位置由确定。刚体的质心为Gi，质心在刚体上的位置向径是，在参考系中的向径是。质心应满足(8)因而，(9)刚体上元质量dm的动能dT = 。由于，故，其中是刚体的角速度向量。整个刚体的动能应将元质量的动能dT对整个刚体质量进展积分，即，利用矢量数学可得其中积分项是仅与刚体质量分布有关的量，给出如下定义定义2 刚体对点Oi的惯性张量(10)如此刚体的动能为(11)假设刚体作定点转动，由于= 0，刚体动能为(11-1)假设取质心G为连

24、杆坐标系原点，由于= 0，刚体动能为(11-2)这是一般理论力学教科书中的刚体动能公式。在连杆坐标系中，的分量是个33矩阵，称为刚体在该连杆坐标系中对Oi点的惯性矩阵，记为(12)式中，将它代入(17)式，可得的各元素为(13)刚体动能的矩阵方式为(14)刚体对参考系原点O的角动量和角动量定理质点对参考系原点O的角动量为，同样，刚体上元质量dm对O点的角动量为，将元质量的角动量普及整个刚体积分，可得刚体的角动量为上式中第3项积分,用惯性张量概念，可化简为(15)假设P点不动，即= 0，则(15-1)假设取质心G为连杆坐标系原点，即= 0和，则(15-2)下面我们引出一个刚体动力学的重要定理角动

25、量定理，它在刚体力学中的地位相当于质点力学中的动量定理。角动量定理能够表达为：对惯性参考系原点O的绝对角动量的绝对时间导数等于所有外力对同一点的合力矩，即(16)由此式和角动量的定义可得(这里略去整个推导过程)(17)这确实是向量方式的 Euler方程，是作用在刚体i上的所有外力对Oi点的主矩。Euler方程和Newton定律构成了刚体系Newton-Euler力学的根底，是机器人动力学的主要力学工具之一。在刚体连杆坐标系Oixiyizi中，(17)式的分量矩阵方式为(18)式中，。如今考虑几种特别情况：假如连杆坐标系的原点Oi取刚体的质心Gi，即= 0，则(18-1)连杆坐标系原点加速度为零

26、，或者指向质心，则(18-2)假设略去式(18-1)和式(18-2)中的下角标，能够写成统一的公式，在刚体连杆坐标系Oixiyizi中，此式的矩阵分量方式为。假如坐标系Oixiyizi的3个坐标轴为主轴，上式能够进一步简化为(19)在大多数力学专著中，Euler方程都采纳式(1.10.28)的方式，读者在使用时需留意其特别的使用条件。广义坐标和自由度、位形空间q空间描绘一个力学系统或机电系统的位形要用到一组坐标，这组坐标称为广义坐标，用q1，q2，qn表示，简称为q坐标。一个系统的重要特性是它的自由度，关于非自由系统，系统的状态会遭到某些强加的限制，这些限制称为约束，约束的数学表达式确实是约束

27、方程。系统的自由度等于系统的广义坐标数减去这些坐标间的独立约束数。各种坐标都能够用作广义坐标，完全描绘一个系统的位形。关于同一个系统，描绘其位形不一定要有一样数目的广义坐标，也不一定要求有一样数目的约束。只要广义坐标数减去约束数一样，即等于系统的自由度。例如，关于定点转动的刚体，假如广义坐标采纳Euler角，只要3个坐标，没有约束。假如采纳Euler参数，有4个坐标，这4个坐标之间存在一个约束，即4个Euler参数的平方和等于1。不管采纳Euler角，依然Euler参数，坐标数减去约束数都等于3。一般广义坐标都具有显而易见的几何意义，当所选的广义坐标互相独立而不违犯约束时，广义坐标数确实是系统

28、自由度数，这确实是为什么有时人们把独立的坐标定义为广义坐标的缘故。实际上，“广义坐标”本身与“独立坐标”并没有必定联络。特别自然地，我们能够把系统的位形看成是这个坐标构成的n维空间中的一个点。这n维空间称为位形空间，简称q空间。这个点是系统的位形点。当系统随时间改变其位形时，系统位形点在q空间中描出一条曲线。假如所有的q坐标是独立的，这条曲线是连续的和不受任何约束的。但是假如存在对q的约束，这些约束是q空间中的一个超曲面，位形点将在这个超曲面上运动。约束的分类关于一个系统，能够用这n个广义坐标来描绘其位形，任一时刻系统位形及其速度是该系统在该时刻的状态。假设对有m个约束，约束方程能够一般地表示

29、为，(20)当约束方程中不显含时间t时，称为定常约束，否则称为非定常约束。假设约束方程中仅含运动变量，即，(21)或，(22)如此的约束称为几何约束。几何约束的约束方程能够写成微分方式，只要将上式求微分，能够得到微分方式的几何约束方程，(23)或，(24)系统的速度也会遭到约束，其约束方程如式(23)或(24)，在此式中仅含运动变量、速度和时间，而不含加速度，如此的约束称为一阶约束。依照约束方程是速度的线性关系式或非线性关系式，能够把它们分为一阶线性约束或一阶非线性约束。在机器人或大多数机械系统中，普遍存在一阶线性约束，只有欠驱动机器人存在二阶线性约束。一阶线性约束能够表示为，(25)式中，A

30、ij和Ai0是坐标qj及时间t的函数，这种约束称为普法夫(Pfaff)约束。假如方程左边不可积分，即不是全微分时，这类约束称为非完好约束(一阶非完好约束)。假如方程左边可积分，即是全微分时，这类约束为完好约束。几何约束都是完好约束，能够表示成普法夫(Pfaff)方式。因而普法夫(Pfaff)约束方程是完好约束和非完好约束的统一方式。具有非完好约束的系统是非完好系统，全部约束为完好约束的系统是完好系统。大多数地面机器人系统是完好系统，非完好的机器人系统的例子是机器人多指乖巧手、轮式挪动机器人等。而用于太空的空间机器人多数是非完好系统。图2无质量刚性杆连接的两个质点作为完好系统的一个例子，考虑图1

31、.11.1所示的在x-y平面上运动的两个质点，这两个质点被一个长度为l的无质量的刚性杆连接。对应的约束方程为，这个约束方程只含有坐标，因而是完好约束。在这种情况下，有4个坐标和1个约束方程，因而自由度为3。为了得到独立的广义坐标，能够利用这个约束方程从运动方程中消去一个坐标。这个消去过程常常会遇到代数运算的困难，因而特别少采纳。我们能够另外寻找独立的广义坐标。例如能够取杆中点的直角坐标x，y和杆与x轴的夹角这3个坐标，它们是独立的。我们已经假设杆长l是不变的，约束方程不显含时间，如此的约束是定常约束。假设长度l是时间的函数，如此的约束为非定常约束。在一般意义下，非定常约束是时变约束。如今我们考

32、虑一个非完好约束和系统，一个系统有m个约束，它们形如，(26)但是是不可积分的，式中，Aij和Ai0是坐标qj及时间t的函数。这种约束是非完好约束。由于它们不可积，由(26)不能得到形如(21)或(22)的约束方程，如此也就无法消去不独立的变量，也就无法找到一组独立的广义坐标。因而，非完好系统总是要求比自由度更多的广义坐标数来描绘其位形。图3无质量刚性杆连接的两个刀口支撑的质点作为非完好系统的例子，我们再次考虑图2所示的用无质量的刚性杆连接的两个质点，不同的地点在于在两个质点上各附加一个刀口支撑(图3)，这种支撑只同意质点沿垂至于杆的方向运动，因而杆中心的速度必须垂直于杆的方向，这导致以下约束

33、方程或者(27)这个式子左边不是恰当微分(全微分)，即没有一个函数f(x, y, )存在，能使(27)式左边成为 进一步说，方程(27)也不能被任何整数因子相乘，得到恰当微分，因而是不可积的。由数学分析理论可知微分方程可积的充要条件是(28)式中ax，ay，a是x，y和的函数。应用这个准则检查方程(27)，我们可知它是不可积的。用无质量杆连接的两个质点组成的系统能够说明完好系统和非完好系统的重要区别。关于在平面上运动的两个质点组成的系统(图2)，自由度是4，对应于4个独立坐标的位形空间是4维的。加上一个刚性杆约束，使系统的自由度减少为3，系统只有3个独立坐标，对应的位形空间是3维的。在位形空间

34、中的任何位形点都是可达的。如今考虑非完好约束的妨碍，在各质点上附加的刀口约束，使质点只能沿垂直于刚性杆的方向运动。系统的自由度减少为2，但是所需要的最少的广义坐标数仍然为3。从位形空间的角度来看，3维的位形空间中的任一位形点都能够由任何其他位形点到达。非完好约束的作用在于限制了在位形空间任一点同意运动的方向，但是这并不能减少位形空间的的维数。 虚功和虚功原理在分析力学中虚功是一个重要的概念，它与用能量方法推导系统的运动方程直截了当相关，同时是研究系统稳定性的一个重要概念。由于虚功的概念与虚位移的概念亲密相关，因而我们首先研究虚位移的本质。为了引出虚位移的概念，我们考虑一个由N个质点组成的系统，

35、其位形由系统在惯性系中的3N个直角坐标x1，x2，x3N给定，这些坐标可能受有一些约束。在任一给定时刻，设诸坐标产生无限小的位移x1，x2，x3N，它们是一些虚拟和假想的位移，由于我们假定这些位移不是发生在一个时间过程中，同时不一定要与这些约束相一致系统位形的这一微小改变x叫做虚位移。通常情况下，一个虚位移服从瞬时约束，即假定所有的动约束(时变约束)在虚位移过程中部停滞下来。例设这个系统遭到m个完好约束，(j = 1, 2, , m)(29)取fj的全微分，可得，(j = 1, 2, , m)(30)一个服从这些约束的虚位移的各个x由下面k个方程关联，即，(j = 1, 2, , k)(31)

36、这里我们用x代替了在方程(30)中的dx，同时略去dt项，由于在虚位移期间时间约束保持“固定”。类似的，假设系统遭到m个非完好约束，约束方程为，(j = 1, 2, , m)(32)各x由以下m个方程相关联，即，(j = 1, 2, , m)(33)这就出现一个咨询题，虚位移能否是实位移，实位移是由一组dx描绘的，同时是在时间增量dt内发生的。换句话说，在什么条件下，各x能够用相应的dx替代？比拟方程式(30)和(31)说明任何完好约束同时必须是时不变的，即条件，(j = 1, 2, , k)(34)必须适用。同样地，任何非完好约束必须满足条件，(j = 1, 2, , m)(35)至此，对虚

37、位移的讨论所采纳的是直角坐标。如今来调查一个系统，其位形是由最少数目的广义坐标给定的。如此，任何约束都能够是非完好的，同时能够表示为，(j = 1, 2, , m)(1.11.17)或者以另一种方式表示为，(j = 1, 2, , m)(1.11.18)其中各个a都是q和t的函数。任何与约束相容的虚位移必须符合条件，(j = 1, 2, , m)(1.11.19)如今我们在讨论虚功的概念。让我们再回到由N个质点组成的系统，其位形由系统在直角坐标系中的3N个直角坐标x1，x2，x3N给定。假定力的分量F1，F2，F3N作用在对应坐标的正向。这些力在虚位移x上的虚功W为 (1.11.20)虚功表达

38、式的另一种方式为 (1.11.21)其中Fi是作月于第i个质点上的力，ri是该质点的位置向量，由向量表达式能够看出，虚功与所采纳任何特定的坐标系无关，所以，这是假定运动是相关于惯性参考系来度量的。在虚功的表达式中，重要的是要认识到在虚位移过程中假定各力都保持不变，即便是实际的力由于无限小位移而发生急剧变化时亦如此。力随位置而发生突变是可能的，比方在某些非线性系统中确实是如此。值得留意的另一点是，虚功表达式被定义为对虚位移是线性的，换言之，虚功类似于一次变分。如今来调查有约束系统，我们把作用于第i个质点的合力分为主动力Fi和约束力Ri，约束力的虚功为(1.11.22)经常存在的多数约束隶属于所谓

39、无功约束。能够如此来定义无功约束：无功约束是如此的双面约束，关于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的虚功为零。能够看出，关于只受有无功约束的系统，虚功Wc等于零，即(1.11.23)式中的虚位移ri与瞬时约束相一致。无功约束的例子有(1)质点间互相的刚性连接，(2)在无摩擦外表上的滑动，和(3)无滑动的滚动接触，即纯滚动。下面详细地来调查第一个例子。首先假定两质点由无质量的刚杆相连，如图1.11.1所示，按照牛顿第三定律刚杆作用于质点ml和m2上的力是大小相等、方向相反而且共线的。因而R2 = R2er = -R1(1.11.24)式中，er是沿着刚性杆方向的单位向量。进一步讲，由于杆是刚性

40、的，二质点的位移在杆的方向的分量必定相等，或err1 = err2(1.11.25)因而约束力的虚功为零。关于在无摩擦外表上的滑动的物体，和无滑动的滚动接触的园盘，也可得到一样的结论。除非作出相反的说明，在以后但凡讨论约束时我们对约束力一词应解释为无功约束力。在诸如有摩擦的滑动约束情况，切向摩擦力归并到主动力Fi一类，而法向分量则按通常的方式作为无功约束力来处理。单面约束不归入无功约束一类，由于能够找到如此一组许可的虚位移，单面约束力在这组虚位移中的虚功不是零。在讨论虚功原理时，将进一步对此加以分析。虚功原理 虚功概念的重要应用之一是在力学系统的静平衡研究方面，假设所调查的是具有N个质点的平稳

41、系统，假如该系统处于静平衡，则关于每个质点，有Fi + Ri = 0(1.11.26)因而，所有的力在与约束相一致的任意虚位移中所作的功是零，即(1.11.27)假如我们假定所有的约束力是无功的，而且ri是与约束相一致的可逆虚位移，因而(1.11.28)由式(1.11.27)和(1.11.28)可得到如下的结果：(1.11.29)这就证明了下述结论：假如受有无功约束的质点系处于静平衡，则关于与约束相一致的任意虚位移，主动力的虚功等于零。如今假定，同一个质点系初始是静止的，但并非处于平衡。因而，在一个或更多的质点上必有净力作用，同时依照牛顿运动定律，质点将开场沿净力的方向运动。由于任何运动必定同

42、约束(假定是固定的)相一致，我们总能够沿每点实际运动的方向选取一组虚位移。在此情形虚功是正的，亦即(1.11.30)反向的诸r将导致关于该系统的负功。但是，不管是什么情形，假如系统不是处于平衡，总能够找到一组与约束相一致的虚位移，它将使得主动力的虚功不是零。这些结果能够概括为虚功原理：关于受有无功约束而初始处于静止的平稳系统，其静平衡的必要和充分条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的虚功为零。达朗伯原理 再来调查只有N个质点的系统，并就每个质点写出如下方式的方程：(i = 1, 2, , N)(1.11.31)和往常一样，式中Fi和Ri分别是施加在第i个质点上的主动力和约束力。项具有力的

43、量纲，叫做作用于第i个质点的惯性力，其中mi是常质量，而是相关于惯性参考考系的加速度。与惯性力不同，适应地把Fi和Ri叫做真实力或实际力。因而，式(1.11.31)说明，作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和等于零。这一结果称为达朗伯原理。在每个质点上全部力的和等于零如此一个要求，类似于静平衡的必要条件。由于虚功原理运用于处在静平衡的系统，因而能够将该原理应用于这个包括惯性力在内的力系。全部力在任意虚位移中所作的总功是(1.11.32)这个方程即达朗伯原理的拉格朗日方式，它是经典动力学的最重要方程之一。由于在虚功原理的上述应用中包括惯性力在内，该原理的正确性就和对静平衡系统一样，被推行

44、到动力学系统。要留意，方程(1.11.32)中不包括往往是末知的诸约束力，而仅仅要求主动力Fi和诸r与瞬时约束相一致，则该方程既适用于平稳系统，也同样适用于非平稳系统。1.11.5广义力 在上面关于虚功的讨论中已经调查了主动力(或是与它们等效的各正交分量)在某一虚位移中所做的功。例如，假设给定作用于具有N个质点的系统上的一组力F1，F2，F3N则这些力的虚功为(1.11.33)如今假定，3N个直角坐标x1，x2，x3N经由变换式x1 = x1(q1，q2，qn，t)x2 = x2(q1，q2，qn，t)(1.11.34)x3N = x3N (q1，q2，qn，t)与n个广义坐标q1，q2，qn

45、相关。假如将此式微分，井令t = 0 (由于我们考虑的是虚位移)，我们得到(j= 1, 2, , 3N)(1.11.35)一般地说，式中的系数是各q和t的函数，将这些xj的表达式代入式(33)，得到(1.11.36)我们用下式来定义广义力Qi，(i = 1，2，n)(1.11.37)然后把式(37)代入式(36)，改变求和次序，得到(1.11.38)比拟一下虚功表达式(1.11.33)和(1.11.38)，我们能够看出它们在数学方式是一样的。前面我们已经把各F定义为一般的力分量，它们沿各x正向作用于对应的各x。由式(1.11.33)可见，Fj也等于所有其它x都为零时在每单位xj位移中的虚功。类似地，我们能够把广义力Qi看成作用于系统的所有F在每单位qi位移中所做的虚功，但假定其它的q都是零。这里我们通常假定虚位移足够小，对系统几何形状的妨碍微缺乏道，且在虚位移过程中各力都保持不变。广义力的量纲取决于对应的广义坐标的量纲，但是不管如何，Qiqi必定具有功或能的量纲。因而，假设qi代表线位移，则对应的Qi是一般的力。另一种情况，假如qi是角度，则对应的Qi是力矩。在有些情况，广义坐