数学建模——决策分析.ppt

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1、决策分析决策分析2011 年数学建模培训2011年5月05-1月-23西安交通大学 理学院2主主 要要 内内 容容预备知识预备知识决策分析简介决策分析简介随机性决策随机性决策效用函数效用函数决策准则决策准则贝叶斯决策贝叶斯决策小结小结05-1月-23西安交通大学 理学院3预备知识预备知识可以在相同条件下重复进行；可以在相同条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，但事先能明每次试验的可能结果不止一个，但事先能明确全部可能的结果；确全部可能的结果；进行试验之前不能肯定哪一个结果会出现。进行试验之前不能肯定哪一个结果会出现。例如：例如：抛掷一枚硬币，观察其出现正面、反面的情况抛掷一枚硬币，观察其

2、出现正面、反面的情况记录车站售票处一天内售出的车票张数记录车站售票处一天内售出的车票张数从一批元件中抽取一个，测试其使用寿命从一批元件中抽取一个，测试其使用寿命n随机试验随机试验05-1月-23西安交通大学 理学院4预备知识预备知识随机变量随机变量：随试验结果的不同而变化的量，随试验结果的不同而变化的量，是试验结果的函数是试验结果的函数离散型随机变量离散型随机变量：其所有可能取值为有限其所有可能取值为有限个或虽有无限个但可以一一排列个或虽有无限个但可以一一排列连续型随机变量连续型随机变量：其可以取某个区间内的：其可以取某个区间内的所有值，所有可能取值不能像离散型变量所有值，所有可能取值不能像离

3、散型变量那样一一列出那样一一列出05-1月-23西安交通大学 理学院5预备知识预备知识设设 为一个随机变量，记为一个随机变量，记 称称 为随机变量为随机变量 的概率分布函数。的概率分布函数。n随机变量的分布函数随机变量的分布函数n性质性质05-1月-23西安交通大学 理学院6预备知识预备知识n离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律n设设 为离散型随机变量，其可能取值为为离散型随机变量，其可能取值为 ，则则 称为称为 的分布律的分布律(概率函数概率函数)。通常用如下表格的形。通常用如下表格的形式表示。式表示。n性质性质 05-1月-23西安交通大学 理学院7预备知识预备知识设随机变量设随机

4、变量 的分布函数为的分布函数为 ，若存，若存在一个非负函数在一个非负函数 ，使对任意实数，使对任意实数 ，有有 则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量，为其概为其概率密度率密度.n连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数n性质性质 05-1月-23西安交通大学 理学院8预备知识预备知识离散型变量离散型变量n连续型变量连续型变量n数学期望数学期望(随机变随机变量取值的平均结果量取值的平均结果)n方差方差(所有可能取值偏离所有可能取值偏离均值的分散程度均值的分散程度)05-1月-23西安交通大学 理学院9预备知识预备知识伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验

5、假设试验假设试验E E只有两种结果只有两种结果 和和 ，其中其中 ，则将，则将E E独立地独立地重复进行重复进行n n次构成的试验称为次构成的试验称为n n重伯努利试重伯努利试验验，有时简称伯努利试验。，有时简称伯努利试验。如：掷硬币如：掷硬币(出现正面和反面出现正面和反面)、射击、射击(命中和未命中命中和未命中)等等施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院10预备知识预备知识n两点分布两点分布0 01 1 在一次试验中，事件在一次试验中，事件 发生的概率为发生的概率

6、为 ，不发生的，不发生的概率为概率为 。若以。若以 记事件记事件 发生的次数，则其发生的次数，则其可能取值为可能取值为0 0和和1 1，它的分布律为，它的分布律为 或者或者这个分布称为两点分布这个分布称为两点分布(0-1(0-1分布分布)。05-1月-23西安交通大学 理学院11预备知识预备知识事件事件 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 ，随，随机变量机变量 表示表示 在在n n重伯努利试验中发生重伯努利试验中发生的次数，则的次数，则 且且n二项分布二项分布施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,

7、2003.均值与方差均值与方差05-1月-23西安交通大学 理学院12预备知识预备知识n泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布若随机变量若随机变量 的概率函数为的概率函数为则称则称 。施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.均值与方差均值与方差05-1月-23西安交通大学 理学院13预备知识预备知识若连续型随机变量若连续型随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 服从区间服从区间 上的均匀分布上的均匀分布,记为记为 n均匀分布均匀分布均值与方差均值与方差05-1月-23西安交通大学 理学

8、院14预备知识预备知识n正态正态(Gauss)(Gauss)分布分布若连续型随机变量若连续型随机变量 具有概率密度具有概率密度 其中其中 为常数，则称为常数，则称 服从参数为服从参数为 的正态分布，记为的正态分布，记为 。均值与方差均值与方差05-1月-23西安交通大学 理学院15预备知识预备知识在正态分布中，若在正态分布中，若 ，则称，则称 服从标准服从标准正态分布正态分布N(0,1)N(0,1)，其密度函数和分布函数分别为，其密度函数和分布函数分别为n标准正态分布标准正态分布分布函数分布函数密度函数密度函数重要性质重要性质若若 ，则，则05-1月-23西安交通大学 理学院16预备知识预备知

9、识n泊松定理泊松定理在在n n重伯努利试验中，若事件重伯努利试验中，若事件 在每次试验中在每次试验中发生的概率为发生的概率为 (与试验次数与试验次数n n有关有关)，如果当，如果当 时，时，(0(0为常数为常数 )，则有，则有作用：作用：对二项分布对二项分布(n(n、很大，很大，很小很小)作近似作近似计算计算施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院17预备知识预备知识nDe Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理在在n

10、n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件 在每次试验在每次试验中出现的概率为中出现的概率为 ()()，为为n n次试次试验中验中 出现的次数，则出现的次数，则作用：作用：对二项分布对二项分布(n(n很大很大)作近似计算作近似计算施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院18预备知识预备知识n置信度置信度(置信水平置信水平)总体参数落在样本统计值某一区间内的概总体参数落在样本统计值某一区间内的概率，或区间估计的可靠程度。率，或区间估计的可靠程度。特定个体对待定命题真实性

11、相信的程度。特定个体对待定命题真实性相信的程度。施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院19预备知识预备知识设设 、为随机试验为随机试验 中的事件，中的事件，表表示在事件示在事件 发生的条件下发生的条件下 发生的概率，发生的概率，且有且有n贝叶斯分析贝叶斯分析n 为为n n个互不相容的事件，且个互不相容的事件，且n ，则，则 是样本空间是样本空间S S的一个划分的一个划分n 对任意事件对任意事件 ，由全概率公式，有，由全概率公式，有施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数

12、理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院20预备知识预备知识贝叶斯公式贝叶斯公式n贝叶斯定理贝叶斯定理n 为随机事件的结果或观测值；为随机事件的结果或观测值；n 为为先验概先验概率分布率分布；n 为为后验概率分布后验概率分布.施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,2003.,2003.05-1月-23西安交通大学 理学院21决策分析简介决策分析简介n定义定义研究不确定性决策问题的一种系统分析方法，其目研究不确定性决策问题的一种系统分

13、析方法，其目的是改进决策过程，从一系列方案中找出一个能满的是改进决策过程，从一系列方案中找出一个能满足一定目标的合适方案。足一定目标的合适方案。-中国大百科全中国大百科全书书决策是从一组备选方案中选择所偏爱的方案或行动决策是从一组备选方案中选择所偏爱的方案或行动路线的过程，它渗透到生活的每个方面。决策通常路线的过程，它渗透到生活的每个方面。决策通常涉及外部世界的不确定性以及个人偏爱的冲突，通涉及外部世界的不确定性以及个人偏爱的冲突，通常从信息的集聚开始，通过主观概率的估计和审议常从信息的集聚开始，通过主观概率的估计和审议直到选定最终行动直到选定最终行动 -认知科学百科全书认知科学百科全书05-

14、1月-23西安交通大学 理学院22决策分析发展简史决策分析发展简史17381738年，年，BernoulliBernoulli提出了效用和期望效用的概念；提出了效用和期望效用的概念；19501950年，年，WaldWald用对策论的定理解决了统计决策中用对策论的定理解决了统计决策中的一些基本问题；的一些基本问题；19541954年，年，BlackwellBlackwell和和GirshickGirshick将主观概率和效用理将主观概率和效用理论整合成一个求解统计决策问题的清晰过程；论整合成一个求解统计决策问题的清晰过程；19541954年，年，SavageSavage建立了具有理论体系并形成具

15、有严建立了具有理论体系并形成具有严格的哲学基础和公理框架的统计决策理论；格的哲学基础和公理框架的统计决策理论；随后，形成以随后，形成以BayesBayes分析为基础的统计决策理论；分析为基础的统计决策理论；今天，决策分析已形成工业、商业和政府部门制今天，决策分析已形成工业、商业和政府部门制定决策所使用的重要方法。定决策所使用的重要方法。05-1月-23西安交通大学 理学院23决策问题示例决策问题示例一投资者有笔资金要投资，有两个方向供他选择一投资者有笔资金要投资，有两个方向供他选择 ：购买股票，根据市场情况，可净赚：购买股票，根据市场情况，可净赚50005000元，但元，但也可能亏损也可能亏损

16、1000010000元；元；：存银行：不论市场情况如何，总可以赚：存银行：不论市场情况如何，总可以赚10001000元元n例例1(1(投资问题投资问题)5000500010001000-10000-1000010001000收益矩阵收益矩阵05-1月-23西安交通大学 理学院24决策问题示例决策问题示例n例例2(2(双人博弈问题双人博弈问题)3 3-2-20 01 14 4-3-3-4-4-1-12 2甲的得分矩阵甲的得分矩阵n甲乙两人玩一种游戏，双方各自独立出牌甲乙两人玩一种游戏，双方各自独立出牌n甲：三张牌，分别记为甲：三张牌，分别记为 ，n乙：三张牌，分别记为乙：三张牌，分别记为 ，n按

17、下表计算甲的得分与乙的失分按下表计算甲的得分与乙的失分05-1月-23西安交通大学 理学院25决策问题示例决策问题示例课题组负责人获悉，某一单位有个科研项目要招标，他课题组负责人获悉，某一单位有个科研项目要招标，他感到课题组有能力承接该项目，因为研究方向相符，并感到课题组有能力承接该项目，因为研究方向相符，并有一定的研究基础；但其他几个单位也准备投标，而且有一定的研究基础；但其他几个单位也准备投标，而且不乏竞争力。不乏竞争力。参加投标并中标：参加投标并中标：耗费相当数量的人力物力，但也耗费相当数量的人力物力，但也有收益；有收益；参加投标未中标：参加投标未中标：耗费相当数量的人力物力，无收耗费相

18、当数量的人力物力，无收益；益；不参加投标：不参加投标：没有耗费，也无收益没有耗费，也无收益.n例例3(3(项目申请问题项目申请问题)05-1月-23西安交通大学 理学院26决策问题的分类决策问题的分类确定型决策：确定型决策：可提供方案的条件已确定可提供方案的条件已确定不确定型决策不确定型决策(随机决策随机决策)：决策时条件不确定决策时条件不确定对抗型决策：对抗型决策：包含两个或以上人之间的竞争，决包含两个或以上人之间的竞争，决策人不能直接控制所有决策，需考虑对手的决策策人不能直接控制所有决策，需考虑对手的决策。n按决策问题所处条件不同按决策问题所处条件不同风险决策：风险决策：已知各种情况出现概

19、率，可综合考虑已知各种情况出现概率，可综合考虑完全不确定型决策：完全不确定型决策：未知任何信息未知任何信息例例2 2为对抗型决策，例为对抗型决策，例1 1和例和例3 3均为不确定型决策均为不确定型决策05-1月-23西安交通大学 理学院27随机决策问题示例随机决策问题示例(1)(1)为保证某种设备正常工作，需配备适量的维修工。为保证某种设备正常工作，需配备适量的维修工。假设假设n现有同类设备现有同类设备300300台，它们之间工作相互独立；台，它们之间工作相互独立；n每台设备出故障概率均为每台设备出故障概率均为0.010.01；n一台设备的故障由一人处理一台设备的故障由一人处理.问题问题n至少

20、需配备多少工人，才能保证设备发生故障但至少需配备多少工人，才能保证设备发生故障但不能得到及时维修的概率小于不能得到及时维修的概率小于0.010.01？n例例4(4(合理配备工人问题合理配备工人问题)05-1月-23西安交通大学 理学院28例例4(4(续续)求解过程：求解过程：设需要配备工人数为设需要配备工人数为 ，在同一时刻设，在同一时刻设备发生故障的台数为备发生故障的台数为 ，则，则 ，问题是，问题是找到最小的找到最小的 使得使得 ，由泊松定理，由泊松定理，即即查找泊松分布表，查找泊松分布表，可得可得 。05-1月-23西安交通大学 理学院29随机决策问题示例随机决策问题示例(2)(2)顾客

21、缴纳月费成为会员，享受顾客缴纳月费成为会员，享受DVDDVD租赁服务。会租赁服务。会员只需对感兴趣的员只需对感兴趣的DVDDVD在网上提交订单，网站会在网上提交订单，网站会以快递的方式尽可能满足其要求。以快递的方式尽可能满足其要求。会员提交的订单包括多张会员提交的订单包括多张DVDDVD，基于其偏爱程度，基于其偏爱程度排序。网站根据手头的排序。网站根据手头的DVDDVD数量和会员的订单进数量和会员的订单进行分发。行分发。每个会员每月租赁次数不超过每个会员每月租赁次数不超过2 2次，每次可租次，每次可租3 3张张DVDDVD。看完之后，只需将。看完之后，只需将DVDDVD放进网站提供的信放进网站

22、提供的信封寄回封寄回(邮费网站承担邮费网站承担)，即可进行下次租赁。，即可进行下次租赁。n例例5(DVD5(DVD在线租赁问题在线租赁问题)05-1月-23西安交通大学 理学院30例例5(5(续续)DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5人数人数200200100100505025251010n网站准备购买一批新的网站准备购买一批新的DVDDVD，通过问卷调查，通过问卷调查10001000个会员，得个会员，得到想看这些到想看这些DVDDVD的人数的人数(如下表所示如下表所示)n基本假设基本假设n60%60%会员每月租赁会员每月租赁DV

23、DDVD两次，而另外两次，而另外40%40%只租一次；只租一次；n网站现有网站现有1010万会员万会员n问题问题 ：每种每种DVDDVD至少准备多少张，才能满足下面需求至少准备多少张，才能满足下面需求n保证想看该保证想看该DVDDVD的会员中有的会员中有50%50%可以在一个月内看到？可以在一个月内看到？n保证在保证在3 3个月内至少个月内至少95%95%的会员看到该的会员看到该DVDDVD？表表1 1：对：对10001000个会员调查的部分结果个会员调查的部分结果05-1月-23西安交通大学 理学院31例例5(5(续续)对某种对某种DVDDVD，会员是否租赁有随机性，会员是否租赁有随机性(租

24、赁或不租赁租赁或不租赁)，可用两点分布描述，假定被租赁的概率为可用两点分布描述，假定被租赁的概率为p p；会员总数为会员总数为n n，每个会员租该，每个会员租该DVDDVD概率为概率为 p p，且会员是，且会员是否租赁之间相互独立，于是租赁该否租赁之间相互独立，于是租赁该DVDDVD的会员数服从的会员数服从二项分布二项分布B(n,p);B(n,p);n n充分大时，根据中心极限定理，可用正态分布来逼近充分大时，根据中心极限定理，可用正态分布来逼近二项分布，进而求得在一定置信度下满足会员需求的二项分布，进而求得在一定置信度下满足会员需求的DVDDVD数量下限；数量下限；考虑考虑DVDDVD的可重

25、复利用率，可得到经营者在一定条件的可重复利用率，可得到经营者在一定条件下尽量降低成本，并满足会员需求的下尽量降低成本，并满足会员需求的DVDDVD最小购买量。最小购买量。n问题分析问题分析05-1月-23西安交通大学 理学院32例例5(5(续续)设设 =n求解过程求解过程1 1，第，第i i个会员租赁第个会员租赁第j j张张DVDDVD，0 0，第，第i i个会员不租赁第个会员不租赁第j j张张DVDDVD，n则则 服从两点分布，即服从两点分布，即 ，其中其中 的值见下表的值见下表2.2.DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5第第j

26、 j张张DVDDVD被被租赁概率租赁概率表表2 2：会员租赁：会员租赁5 5种种DVDDVD的概率的概率05-1月-23西安交通大学 理学院33例例5(5(续续)设设 ，即，即1010万个会员中租赁万个会员中租赁 第第j j种种DVDDVD的总数，由于的总数，由于 ()()之间相互独之间相互独立，因此立，因此 服从二项分布，即服从二项分布，即n同时，同时，n由于租赁该由于租赁该DVDDVD会员人数随机，为了使至少会员人数随机，为了使至少50%50%会员看到会员看到该该DVDDVD，网站应准备的，网站应准备的DVDDVD数量也应有随机性。数量也应有随机性。05-1月-23西安交通大学 理学院34

27、例例5(5(续续)于是，以它的数学期望作为网站应准备的于是，以它的数学期望作为网站应准备的DVDDVD数量，即数量，即n这样，满足至少这样，满足至少50%50%的会员看到该的会员看到该DVDDVD的概率可以近似为的概率可以近似为De Moivre LaplaceDe Moivre Laplace中心极限定理中心极限定理至少至少50%50%的会员看到该的会员看到该DVDDVD的置信度为的置信度为50%50%05-1月-23西安交通大学 理学院35例例5(5(续续)为提高至少为提高至少50%50%的人能看到该片的置信度，需要改变提供的人能看到该片的置信度，需要改变提供的的DVDDVD数量。设置信度

28、为数量。设置信度为99%99%，即，即 ，查表可得，查表可得t=2.33t=2.33，即，即准备这么多张相应的准备这么多张相应的DVDDVD，则可使，则可使50%50%的的人看到该人看到该DVDDVD的置信度提高至的置信度提高至99%99%05-1月-23西安交通大学 理学院36例例5(5(续续)于是，该于是，该DVDDVD被再次利用的期望值为被再次利用的期望值为n因此，只需准备所需量的因此，只需准备所需量的70%70%即可满足题目中的要求。即可满足题目中的要求。n综上所述，为了以综上所述，为了以99%99%的置信度满足至少的置信度满足至少50%50%的会员看到的会员看到某种某种DVDDVD，

29、需准备该，需准备该DVDDVD的数量为的数量为n部分部分DVDDVD可重复利用可重复利用q60%60%会员每月租赁会员每月租赁DVDDVD两次，两次，40%40%租一次。租一次。q租两次的会员会将第一次的租两次的会员会将第一次的DVDDVD归还，则可以满足其他会员的要求。归还，则可以满足其他会员的要求。q但该张但该张DVDDVD在一个月内被会员第一次还是第二次租赁是随机的，可假在一个月内被会员第一次还是第二次租赁是随机的，可假设二者等可能发生。设二者等可能发生。05-1月-23西安交通大学 理学院37例例5(5(续续)置信度及对应置信度及对应t t值值DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3D

30、VD3DVD4DVD4DVD5DVD550%50%t=0t=070007000350035001750175087587535035070%70%t=0.53t=0.5370247024351835181763176388588535635680%80%t=0.85t=0.8570387038352935291771177189089036036099%99%t=2.33t=2.33710471043578357818071807916916375375n由公式由公式 n代入相关数据，即可得到下表代入相关数据，即可得到下表3 3所示的为保证至少所示的为保证至少50%50%的人的人在一个月内看到

31、该在一个月内看到该DVDDVD，网站需准备的，网站需准备的DVDDVD张数。张数。表表3 3：为了使至少：为了使至少50%50%的人看到某的人看到某DVDDVD，网站需，网站需准备的准备的DVDDVD张数张数.05-1月-23西安交通大学 理学院38随机决策问题的特点随机决策问题的特点自然状态自然状态：凡是能够引起决策问题的不确：凡是能够引起决策问题的不确定因素定因素随机性决策问题的特点随机性决策问题的特点决策人面临选择，可以选择的行动决策人面临选择，可以选择的行动(备选方案备选方案)不唯一；不唯一；自然状态存在不确定性，由于自然状态的不确自然状态存在不确定性，由于自然状态的不确定性导致后果不

32、确定；定性导致后果不确定；后果的价值待定后果的价值待定.05-1月-23西安交通大学 理学院39随机决策问题的要素随机决策问题的要素行动集行动集(方案集方案集)：记为：记为 ，决策人，决策人可能采取行动的集合；若有观测值，也称策略集；可能采取行动的集合；若有观测值，也称策略集；自然状态集自然状态集(状态空间、参数空间状态空间、参数空间)：所有可能的自：所有可能的自然状态，记为然状态，记为 ；后果集后果集：记为：记为 ，决策问题的各种可能后果；决策问题的各种可能后果；信息集信息集(样本空间、观测空间样本空间、观测空间).).05-1月-23西安交通大学 理学院40随机决策问题的分析方法随机决策问

33、题的分析方法n决策树的树状图决策树的树状图决决策策点点决决策策枝枝机机会会点点机机会会枝枝后后果果点点后后果果值值05-1月-23西安交通大学 理学院41决策树的树状图示例决策树的树状图示例n出门带伞问题出门带伞问题:尽可能少地增加决策人的负担尽可能少地增加决策人的负担的情况下避免淋雨的情况下避免淋雨带伞带伞不带伞不带伞有雨有雨无雨无雨有雨有雨无雨无雨带伞遇雨带伞遇雨带伞无雨带伞无雨未带伞遇雨未带伞遇雨未带伞无雨未带伞无雨注：注：树状图不仅可以表示单步决策问题，也可以表示复杂树状图不仅可以表示单步决策问题，也可以表示复杂的多级决策问题。的多级决策问题。岳超源岳超源.决策理论与方法决策理论与方法

34、.北京北京:科学出版社科学出版社,2002.,2002.05-1月-23西安交通大学 理学院42随机决策问题的求解步骤随机决策问题的求解步骤构造决策问题：构造决策问题：为决策问题提供可能的解决方案为决策问题提供可能的解决方案并确定目标；并确定目标；n确定各种决策可能的后果并设定各种后果的概率；确定各种决策可能的后果并设定各种后果的概率；n确定各种后果对决策人的实际价值确定各种后果对决策人的实际价值(对后果的偏爱对后果的偏爱)；n备选方案的评价与比较，选择最满意的决策备选方案的评价与比较，选择最满意的决策q方案优劣的依据是各种决策的期望效用，使其最大化方案优劣的依据是各种决策的期望效用，使其最大

35、化岳超源岳超源.决策理论与方法决策理论与方法.北京北京:科学出版社科学出版社,2002.,2002.05-1月-23西安交通大学 理学院43效用函数的定义效用函数的定义后果集有时是用语言描述的，评价时需要量化，后果集有时是用语言描述的，评价时需要量化，即使后果集是用数量表达的，不同的人对其认识即使后果集是用数量表达的，不同的人对其认识也不同。也不同。如何对后果集进行合理的量化？如何对后果集进行合理的量化？n定义定义 在集合在集合 上的实值函数上的实值函数 ，若它和，若它和 上的优先关上的优先关系系 一致，即一致，即当且仅当当且仅当则称则称 为为效用函数效用函数.：各种后果及其出现的概率组合：各

36、种后果及其出现的概率组合“”“”表示若表示若 ，则决策人只选，则决策人只选 ，而不选，而不选 注：注：05-1月-23西安交通大学 理学院44效用函数的构造效用函数的构造离散型后果离散型后果确定后果之间的优先序和优先程度确定后果之间的优先序和优先程度连续型后果连续型后果通过分析找到通过分析找到 的若干特征，求特征点的的若干特征，求特征点的效用，连成光滑曲线效用，连成光滑曲线 n针对一个具体决策问题，如何构造效用函数？针对一个具体决策问题，如何构造效用函数？05-1月-23西安交通大学 理学院45离散型后果效用函数的构造离散型后果效用函数的构造n设后果集为离散型，即设后果集为离散型，即 ，则构，

37、则构造其效用函数的主要步骤为造其效用函数的主要步骤为05-1月-23西安交通大学 理学院46离散型后果效用函数的构造离散型后果效用函数的构造(续续)05-1月-23西安交通大学 理学院47离散型后果效用函数的构造示例离散型后果效用函数的构造示例例例6 6 天气预报说球赛时可能会下雨，一足球爱好天气预报说球赛时可能会下雨，一足球爱好者需决定是否去球场看球。对此人而言，不下雨者需决定是否去球场看球。对此人而言，不下雨去球场看球是最理想的，若不下雨，则留在家中去球场看球是最理想的，若不下雨，则留在家中看电视转播为好；不下雨在家看电视虽然不如下看电视转播为好；不下雨在家看电视虽然不如下雨看电视，但比下

38、雨去球场看球挨淋要强。试设雨看电视，但比下雨去球场看球挨淋要强。试设定各种后果的效用值。定各种后果的效用值。：看球；：看球；：看电视。：看电视。：下雨看球；：下雨看球；：无雨看球；：无雨看球；：下雨看电视；：下雨看电视；：无雨看电视。：无雨看电视。05-1月-23西安交通大学 理学院48离散型后果效用函数的构造示例离散型后果效用函数的构造示例(续续)：看球；：看球；：看电视。：看电视。：下雨看球；：下雨看球；：无雨看球；：无雨看球；：下雨看电视；：下雨看电视；：无雨看：无雨看电视。电视。有雨看球有雨看球无雨看球无雨看球有雨看电视有雨看电视无雨看电视无雨看电视看球看球看电视看电视有雨有雨无雨无雨

39、有雨有雨无雨无雨n首先构造该问题的决策树，如下图所示。由题意，首先构造该问题的决策树，如下图所示。由题意，决策人对决策人对4 4种后果的优劣排序是：种后果的优劣排序是：05-1月-23西安交通大学 理学院49离散型后果效用函数的构造示例离散型后果效用函数的构造示例(续续)n效用函数的构造过程效用函数的构造过程05-1月-23西安交通大学 理学院50离散型后果效用函数的构造示例离散型后果效用函数的构造示例(续续)n一致性检验的过程一致性检验的过程05-1月-23西安交通大学 理学院51效用函数的构造效用函数的构造后果损失的严重程度后果损失的严重程度后果出现损失的可能性大小后果出现损失的可能性大小

40、n风险风险n风险的度量方式风险的度量方式1-1-方差方差05-1月-23西安交通大学 理学院52效用函数的构造效用函数的构造n风险的度量方式风险的度量方式2-2-自方差自方差05-1月-23西安交通大学 理学院53效用函数的构造效用函数的构造n风险的度量方式风险的度量方式3-3-临界概率临界概率05-1月-23西安交通大学 理学院54决策准则决策准则决策人无法确知未来的真实自然状态，但可以给出决策人无法确知未来的真实自然状态，但可以给出各种可能出现的自然状态各种可能出现的自然状态 及各种状态出现及各种状态出现的概率的概率n风险型决策风险型决策n准则准则1-1-最大可能值准则最大可能值准则 n在

41、方案在方案 的所有后果中，以出现可能性最大的后果，的所有后果中，以出现可能性最大的后果，作为评价作为评价 优越的数值指标优越的数值指标 ，即，即采用采用 出现出现 的效用的效用 采用采用 出现出现 的损失的损失 05-1月-23西安交通大学 理学院55决策准则决策准则若后果为若后果为效用效用,令令 ,则则应选应选 使使n最大可能值准则的具体过程最大可能值准则的具体过程n若后果为若后果为损失损失,令令 ,则则应选应选 使使.05-1月-23西安交通大学 理学院56决策准则决策准则n例例6 6 设决策问题的损失矩阵如表设决策问题的损失矩阵如表4 4所示所示0.20.27 76.56.56 60.5

42、0.53 34 45 50.30.34 41 10 0表表4 4：损失矩阵：损失矩阵05-1月-23西安交通大学 理学院57决策准则决策准则按照贝叶斯准则，在以按照贝叶斯准则，在以效用效用表示后果时应该用期望效用表示后果时应该用期望效用 作为评价作为评价 的指标，即的指标，即决策人应该选择方案决策人应该选择方案 使期望效用达到最大，即使期望效用达到最大，即n准则准则2-2-贝叶斯准则贝叶斯准则 05-1月-23西安交通大学 理学院58决策准则决策准则若以若以损失损失表示后果，则应使用期望损失表示后果，则应使用期望损失 评价方案评价方案 的的优劣，应选择方案优劣，应选择方案 使期望损失达最小，即

43、使期望损失达最小，即n在例在例6 6中，各行动方案的期望损失为中，各行动方案的期望损失为n所以，根据期望损失最小化准则，应选择行动方案所以，根据期望损失最小化准则，应选择行动方案 。05-1月-23西安交通大学 理学院59决策准则决策准则该准则要求先确定决策人的实际价值，即效用函数，若采该准则要求先确定决策人的实际价值，即效用函数，若采用损失，则应该是效用函数的负值，再根据贝叶斯原则寻用损失，则应该是效用函数的负值，再根据贝叶斯原则寻找最优方案。找最优方案。n准则准则3-3-伯努利准则伯努利准则 n准则准则4-E-V4-E-V准则准则 n贝叶斯准则只采用后果的均值贝叶斯准则只采用后果的均值(期

44、望损失期望损失 )作为评价方作为评价方案优劣的标准，而忽略了风险因素。案优劣的标准，而忽略了风险因素。n为了兼顾风险，可选用为了兼顾风险，可选用E-VE-V准则，即均值准则，即均值-方差准则。方差准则。05-1月-23西安交通大学 理学院60决策准则决策准则设自然状态设自然状态 的概率分布为的概率分布为 ，方案，方案 ，的的期望损失为期望损失为nE-VE-V准则介绍准则介绍 05-1月-23西安交通大学 理学院61决策准则决策准则nE-VE-V准则的应用准则的应用4.14.13.63.63.73.72.292.293.793.795.975.97表表5 5：例：例6 6中各种方案的中各种方案的

45、E-VE-V值值.n不存在符合不存在符合E-VE-V准则的方案准则的方案.05-1月-23西安交通大学 理学院62决策准则决策准则在状态概率分布的估计不可靠或未知时，可以采用下式评在状态概率分布的估计不可靠或未知时，可以采用下式评价方案价方案 的优劣的优劣n准则准则5-5-不完全信息情况下的决策准则不完全信息情况下的决策准则 n其中其中 是所估计的概率分布的可靠系数是所估计的概率分布的可靠系数.越小越小,越优。越优。n该准则实际上是贝叶斯准则该准则实际上是贝叶斯准则()()与求解严格不确定性问与求解严格不确定性问题题WaldWald悲观准则悲观准则()()的线性组合，对自然状态估计可靠的线性组

46、合，对自然状态估计可靠的部分作为风险问题用贝叶斯准则的部分作为风险问题用贝叶斯准则()()估计，不可靠的部估计，不可靠的部分作为严格不确定性问题用分作为严格不确定性问题用WaldWald的悲观准则的悲观准则()()求解。求解。05-1月-23西安交通大学 理学院63贝叶斯决策贝叶斯决策实际应用中，需估计的随机变量是未来的自然状态实际应用中，需估计的随机变量是未来的自然状态 ，通过，通过随机试验所观察到的往往是与之相关的另一随机变量随机试验所观察到的往往是与之相关的另一随机变量 的值。的值。n对连续型随机变量对连续型随机变量 和和 ，其条件概率密度函数为，其条件概率密度函数为 连续时连续时 离散

47、时离散时05-1月-23西安交通大学 理学院64贝叶斯决策贝叶斯决策决策空间决策空间：所有可能的决策规则的集合：所有可能的决策规则的集合样本空间样本空间：随机试验得到的观测值：随机试验得到的观测值 组成的集合组成的集合决策规则决策规则 ：样本空间到决策空间的映射：样本空间到决策空间的映射当决策人通过随机试验得到观测值当决策人通过随机试验得到观测值 后，需基于后，需基于观测值观测值 和某种决策准则和某种决策准则 去选择适当的行动去选择适当的行动 ，使得使得 若真实状态为若真实状态为 ，则相应的损失为，则相应的损失为05-1月-23西安交通大学 理学院65贝叶斯决策贝叶斯决策风险函数风险函数：给定

48、自然状态：给定自然状态 ，采取决策规则，采取决策规则 时，时，损失函数损失函数 对随机试验后果对随机试验后果 的期望值，记的期望值，记为为 ，即，即 为为连续连续型随机变量型随机变量 为为离散离散型随机变量型随机变量问题问题：决策分析时自然状态未知，只能对其设定先验概率，：决策分析时自然状态未知，只能对其设定先验概率，用风险函数关于自然状态的期望来描述实际损失。用风险函数关于自然状态的期望来描述实际损失。05-1月-23西安交通大学 理学院66贝叶斯决策贝叶斯决策贝叶斯风险贝叶斯风险：若自然状态的先验概率为：若自然状态的先验概率为 ，决策人采取决策决策人采取决策 ，风险函数，风险函数 关于自关

49、于自然状态然状态 的期望值，记为的期望值，记为 ，即，即 和和 为为连续连续型随机变量时型随机变量时 和和 为为离散离散型随机变量时型随机变量时05-1月-23西安交通大学 理学院67贝叶斯决策贝叶斯决策如果如果 ，则策略，则策略 优于优于 ，记为，记为对于先验分布对于先验分布 ，若策略空间存在某个策略，若策略空间存在某个策略 ，使得对任意的使得对任意的 ，有，有 ，则称，则称 是是贝叶斯规则贝叶斯规则(Bayes(Bayes策略策略)。贝叶斯规则贝叶斯规则 是最优是最优 决策规则，它能使贝叶斯风险决策规则，它能使贝叶斯风险达到极小。考虑贝叶斯风险时应选择达到极小。考虑贝叶斯风险时应选择 ，使

50、，使 。.05-1月-23西安交通大学 理学院68贝叶斯决策贝叶斯决策不存在观测值的决策问题称为不存在观测值的决策问题称为无观察数据问题无观察数据问题。此时，此时，以上是用损失函数描述决策后果的情况。以上是用损失函数描述决策后果的情况。若采用效用函数代替损失函数，则若采用效用函数代替损失函数，则 相相应的是真实的自然状态为应的是真实的自然状态为 、采用策略、采用策略 时收时收益性后果的期望效用；益性后果的期望效用；相应的是先验概相应的是先验概率为率为 、采用策略、采用策略 时收益性后果的期望时收益性后果的期望效用。效用。05-1月-23西安交通大学 理学院69贝叶斯决策贝叶斯决策由贝叶斯决策准