(精品)1.2.1几个常见函数的导数 (3).ppt

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1、1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 主题几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式主题几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式1.f(x)=x1.f(x)=x，f(x)=xf(x)=x2 2，f(x)=f(x)=均可表示为均可表示为y=f(x)=xy=f(x)=x(Q(Q*)的形式，其导数有何规律？的形式，其导数有何规律？提示提示:因为因为(x)=1(x)=1x x1-11-1，(x(x2 2)=2)=2x x2-12-1，()=()=)=()=所以所以(x(x)=)=x x-1-1.2.2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，导数的几何意义是曲线在某一点

2、处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)(1)函数函数y=f(x)=c(y=f(x)=c(常数常数)的导数的物理意义是什么？的导数的物理意义是什么？(2)(2)函数函数y=f(x)=xy=f(x)=x的导数的物理意义呢？的导数的物理意义呢？提示提示:(1)(1)若若y=cy=c表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y=0y=0可可以解释为某物体的瞬时速度始终为以解释为某物体的瞬时速度始终为0 0，即一直处于静，即一直处于静止状态止状态.(2)(2)若若y=xy=x表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y=1

3、y=1可以解可以解释为某物体做瞬时速度为释为某物体做瞬时速度为1 1的匀速运动的匀速运动.3.3.利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较烦杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决烦杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？这个问题？提示提示:可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度过程，降低运算难度.结论结论:导数的描述导数的描述原函数原函数用文字语言描述导数用文字语言描述导数用符号语言描述用符号语言描述导数导数f(x)=c(cf(x)=c(c为为常数常数)常数的导数为常

4、数的导数为0 0f(x)=_f(x)=_f(x)=xf(x)=x(Q(Q*)幂函数的导数等于幂指幂函数的导数等于幂指数与原幂函数数与原幂函数(指数少指数少1)1)的积的积f(x)=_f(x)=_0 0 xx-1-1原函数原函数用文字语言描述导数用文字语言描述导数用符号语言描述用符号语言描述导数导数f(x)=sin xf(x)=sin x正弦函数的导数为余弦正弦函数的导数为余弦函数函数f(x)=_f(x)=_f(x)=cos xf(x)=cos x余弦函数的导数为负的余弦函数的导数为负的正弦函数正弦函数f(x)=_f(x)=_f(x)=af(x)=ax x指数函数的导数等于自指数函数的导数等于自

5、身与身与l ln an a的积的积f(x)=_f(x)=_cos xcos x-sin x-sin xa ax xln aln a原函数原函数用文字语言描述导数用文字语言描述导数用符号语言描用符号语言描述导数述导数f(x)=ef(x)=ex x以以e e为底数的指数函数的为底数的指数函数的导数不变导数不变f(x)=_f(x)=_f(x)=logf(x)=loga ax x对数函数的导数为真数对数函数的导数为真数的倒数与的倒数与 的积的积 f(x)=f(x)=f(x)=ln xf(x)=ln x自然对数的导数是真数自然对数的导数是真数的倒数的倒数f(x)=f(x)=e ex x_【对点训练对点训

6、练】1.1.若函数若函数f(x)=10f(x)=10 x x，则，则f(1)f(1)等于等于()A.A.B.10B.10C.10ln 10C.10ln 10D.D.【解析解析】选选C.C.因为因为f(x)=10f(x)=10 x xln 10ln 10，所以，所以f(1)=10ln 10.f(1)=10ln 10.【补偿训练补偿训练】曲线曲线y=xy=xn n在在x=2x=2处的导数为处的导数为1212，则，则n n等于等于()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C.y=xC.y=xn n求导，得求导，得y=nxy=nxn-1n-1，令，令n n2 2n-1 n-1

7、=12=12，解得，解得n=3.n=3.2.2.给出下列命题给出下列命题:y=ln 2y=ln 2，则，则y=;y=;y=y=，则，则y=;y=;y=2y=2x x，则，则y=2y=2x xln 2;ln 2;y=logy=log2 2x x，则，则y=.y=.其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选C.C.对于对于，y=0y=0，故，故错错;显然显然正确，故选正确，故选C.C.3.3.正弦函数正弦函数y=sin xy=sin x在在x=x=处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析解析】求导，得求导，得y=cos xy=co

8、s x，代入，代入x=x=，可得曲线，可得曲线y=sin xy=sin x在在x=x=处的切线斜率为处的切线斜率为 ，又切点纵坐标，又切点纵坐标为为sin sin ，即，即 ，所以所求切线方程为，所以所求切线方程为y-=y-=(x-)(x-)，去分母化简得去分母化简得12y-6=x-12y-6=x-，即，即 x-x-12y+6-=0.12y+6-=0.答案答案:x-12y+6-=0 x-12y+6-=0【补偿训练补偿训练】一物体在曲线一物体在曲线s=s=上运动，则该物体在上运动，则该物体在t=3t=3时的瞬时时的瞬时速度为速度为_._.【解析解析】因为因为s=()=s=()=，所以该物体在，所

9、以该物体在t=3t=3时的瞬时速度为时的瞬时速度为s(3)=s(3)=.=.答案答案:类型一利用公式求函数的导数类型一利用公式求函数的导数【典例典例1 1】(1)(1)给出下列结论给出下列结论:(cos )=-sin ;(cos )=-sin ;若若y=ln xy=ln x，则，则y=;y=;若若f(x)=3xf(x)=3x，则，则(f(1)=3;(f(1)=3;若若y=y=，则，则y=.y=.其中正确的个数是其中正确的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4(2)(2)求函数求函数f(x)=cos xf(x)=cos x在在 处的导数处的导数.【解题指南解题指南】(1)(1

10、)适当进行化简，再运用导数公式判适当进行化简，再运用导数公式判断断.(2)(2)先求函数的导函数，然后把对应点的横坐标代入先求函数的导函数，然后把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值导函数求相应的导数值.【解析解析】(1)(1)选选A.cos =A.cos =为常数，则为常数，则 (cos )(cos )=0=0，所以所以错误错误;y=(ln x)=;y=(ln x)=所以所以正确正确;因因为为f(x)=3xf(x)=3x，所以，所以f(x)=3f(x)=3，所以，所以(f(1)=0(f(1)=0，所，所以以错误错误;y=()=()=;y=()=()=，所以，所以错误错误.(2)(2)因为因

11、为f(x)=-sin xf(x)=-sin x，所以，所以 【方法总结方法总结】求函数导数的关注点求函数导数的关注点(1)(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.(2)(2)对于不能直接利用公式的类型，一般遵循对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化先化简，再求导简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误的基本原则，避免不必要的运算失误.(3)(3)要特别注意要特别注意“与与ln xln x”，“a ax x与与logloga ax x”，“sin xsin x与与cos xcos x”的导数区别的导数区别.【跟踪训练跟踪训练】若若f(x

12、)=xf(x)=x3 3，g(x)=logg(x)=log3 3x x，则则f(x)f(x)-g(x)=_.-g(x)=_.【解析解析】因为因为f(x)=3xf(x)=3x2 2，g(x)=g(x)=，所以所以f(x)-g(x)=3xf(x)-g(x)=3x2 2-.-.答案答案:3x3x2 2-【补偿训练补偿训练】质点的运动方程是质点的运动方程是s=sin t.s=sin t.(1)(1)求质点在求质点在t=t=时的速度时的速度.(2)(2)求质点运动的加速度求质点运动的加速度.【解析解析】(1)v(t)=s(t)=cos t(1)v(t)=s(t)=cos t，所以，所以v v 即质点在即

13、质点在t=t=时的速度为时的速度为 .(2)(2)因为因为v(t)=cos tv(t)=cos t，所以加速度所以加速度a(t)=v(t)=(cos t)=-sin t.a(t)=v(t)=(cos t)=-sin t.类型二导数公式的应用类型二导数公式的应用【典例典例2 2】(1)(1)点点P P是曲线是曲线y=ey=ex x上任意一点，则点上任意一点，则点P P到直到直线线y=xy=x的最小距离为的最小距离为_._.(2)(2)求过曲线求过曲线f(x)=cos xf(x)=cos x上一点上一点 且与曲线在这且与曲线在这点的切线垂直的直线方程点的切线垂直的直线方程.【解题指南解题指南】(1

14、)(1)求出函数导数，找出使距离最小的求出函数导数，找出使距离最小的位置所在直线位置所在直线(平行平行)，应用点到直线的距离求解，应用点到直线的距离求解.【解析解析】(1)(1)根据题意设平行于直线根据题意设平行于直线y=xy=x的的直线与曲线直线与曲线y=ey=ex x相切于点相切于点(x(x0 0，y y0 0)，该切点即为与该切点即为与y=xy=x距离最近的点，如图，距离最近的点，如图，则在点则在点(x(x0 0，y y0 0)处的切线斜率为处的切线斜率为1.1.因为因为y=(ey=(ex x)=e)=ex x，所以所以 =1=1，得得x x0 0=0=0，代入，代入y=ey=ex x，

15、得，得y y0 0=1=1，即即P(0P(0，1).1).利用点到直线的距离公式得最小距离为利用点到直线的距离公式得最小距离为 .答案答案:(2)(2)因为因为f(x)=cos xf(x)=cos x，所以，所以f(x)=-sin xf(x)=-sin x，则曲线则曲线f(x)=cos xf(x)=cos x在点在点 处的切线斜率为处的切线斜率为 所以所求直线的斜率为所以所求直线的斜率为 所求直线方程为所求直线方程为 即即 【方法总结方法总结】求曲线方程或切线方程时的注意点求曲线方程或切线方程时的注意点(1)(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满

16、足曲线方程也满足切线方程线方程也满足切线方程.(2)(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率曲线在切点处的导数就是切线的斜率.(3)(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点出切点.【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知函数已知函数y=kxy=kx是曲线是曲线y=ln xy=ln x的一条切的一条切线，则线，则k=_.k=_.【解析解析】设切点为设切点为(x(x0 0，y y0 0)，因为因为y=y=，所以所以k=k=，所以所以y=y=x x，又点又点(x(x0 0，y y0 0)在曲线在曲线y=ln xy=ln x上，上，所以所以y y0 0=l

17、n x=ln x0 0，所以所以ln xln x0 0=，所以所以x x0 0=e=e，所以所以k=.k=.答案答案:2.2.已知直线已知直线l:y=x-1:y=x-1，点，点M M为为y=xy=x4 4上任意一点，求上任意一点，求M M在什在什么位置时到直线么位置时到直线l的距离最短的距离最短.【解析解析】由题意知，在点由题意知，在点M M处的切线与直线处的切线与直线l平行时，平行时，点点M M到直线到直线l的距离最短的距离最短.设设M(xM(x1 1，y y1 1)，因为，因为y=4xy=4x3 3，所以所以 =1=1，解得，解得x x1 1=，所以点，所以点M M的坐标为的坐标为(,).

18、(,).【补偿训练补偿训练】设坐标平面上的抛物线设坐标平面上的抛物线C:y=xC:y=x2 2，过第一象限的点，过第一象限的点(a(a，a a2 2)作曲线作曲线C C的切线的切线l，则，则l与与y y轴的交点轴的交点Q Q的坐标为的坐标为_，l与与x x轴夹角为轴夹角为3030时，时，a=_.a=_.【解析解析】因为因为y=2xy=2x，所以，所以l为为y-ay-a2 2=2a(x-a).=2a(x-a).令令x=0 x=0，得，得y=-ay=-a2 2，故，故Q(0Q(0，-a-a2 2).).又因为又因为tan 30tan 30=2a=2a，所以，所以a=.a=.答案答案:(0(0，-a-a2 2)【知识思维导图知识思维导图】