(精品)1.3中国古代数学中的算法案例.ppt

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1、1.3中国古代数学中国古代数学中的算法案例中的算法案例秦九韶算法秦九韶算法 秦九韶秦九韶秦九韶（秦九韶（1208年年1261年）年）南宋官员、数学家，与李冶、南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东）人，生于称鲁郡（今山东）人，生于普州安岳（今属四川）。精普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，不知府、司农丞，后遭贬，不久死于梅州任所，著作久死于梅州任所，著作数数书九章书九章，其中的大衍求一，其

2、中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡法是具有世界意义的重要贡献。献。学习目标：学习目标：知识与技能：知识与技能：了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的计算方法和步骤，了解秦九韶算法的程序框图。了解秦九韶算法的程序框图。过程与方法：过程与方法：改变解决问题的思路，要将抽象的改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻辑思维能力。逻辑思维能力。情感态度与价值观：情感态度与价值观：体会中国古代数学对世界数体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。学发展的贡献

3、，增强爱国主义情怀。重点：重点：秦九韶算法的计算方法和步骤秦九韶算法的计算方法和步骤难点：难点：体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，体会秦九韶算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题利用它解决具体问题新课探究新课探究:思考思考1 1：怎样求多项式怎样求多项式f(x)=2x3-4x2+3x+1 当当x=2时的值呢？时的值呢？算法算法1：问：算法中共用了多少次乘法？多少次问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？加法？f(2)=3+2+1=63+2+1=6次乘法运算，次乘法运算，3 3次加法运算次加法运算f(2)=求多项式求多项式f(x)=2x3-4x2+3x+1，当当x=2时的值时的值?算法算

4、法2 2：共做了共做了3次乘法运算，次乘法运算，3次加法运算。次加法运算。f(x)=2x3-4x2+3x+1 改写改写为为：f(x)=(2x-4)x+3)x+1问：算法中共用了多少次乘法？多少次加问：算法中共用了多少次乘法？多少次加法？法？接下来应接下来应该如何计该如何计算？算？思考思考2：如何用秦九韶算法如何用秦九韶算法完成一般多项式的求值问题完成一般多项式的求值问题？一、一、数书九章数书九章秦九韶算法秦九韶算法设设f(x)是一元是一元n 次的多项次的多项式式首先多项式改写为：首先多项式改写为：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a

5、1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0=.=(.(anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0先算最内层的一次多项式的值，即先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即 共计算共计算n次乘法，次乘法，n次加法次加法这种将求一个这种将求一个n n次多项式次多项式f f(x)(x)的值转化成求的值转化成求n n个一个一次多项式的值的方法，称为次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。秦九韶算法。f(x)=(.(anx+an-1)x+an-2

6、)x+.+a1)x+a0共计算多少共计算多少次乘法，多次乘法，多少次加法？少次加法？比较比较:一元一元n次多项式次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 常规方法计算需要多少次乘法，多少次加法？常规方法计算需要多少次乘法，多少次加法？n+(n-1)+(n-2)+.+2+1=次乘法次乘法n次加法次加法秦九韶算法的优点：秦九韶算法的优点：大大减少了乘法的计算次数大大减少了乘法的计算次数,提高计算效率提高计算效率 这是一个在这是一个在秦九韶算法中反复执行秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。的步骤，因此可用循环结构来实现。递推公式：递推公式：二、程序框图：二、程

7、序框图：输入输入ai开始开始输入输入n,an,xi=0?输出输出v结束结束v=vx+aii=i-1YNi=n-1V=an思考思考3:该算法的程序框图如何表示？该算法的程序框图如何表示？例例1：已知多项式已知多项式f(x)=3xf(x)=3x4 4+2x+2x2 2+4x+2+4x+2，用秦九韶，用秦九韶算法求算法求f(-2)f(-2)的值及的值及V1,V3V1,V3的值。的值。解：解：理论迁移理论迁移补全补全 f(x)=3x4+0 x3+2x2+4x+2改写成改写成 f(x)=(3x+0)x+2)x+4)x+2 注意注意:n:n次多项式有次多项式有n+1n+1项项,因此缺少哪一因此缺少哪一项应

8、将其系数补项应将其系数补0.0.共用了多少次乘法，多少次加法？共用了多少次乘法，多少次加法？4 4次乘法，次乘法，3 3次加法次加法练习练习1：已知已知多项式多项式f(x)=3xf(x)=3x4 4+2x+2x3 3-5x-5x2 2-5x+1-5x+1当当用秦九韶算法求这个多项式当用秦九韶算法求这个多项式当x=-1时的值时的值,并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？算？1.1.用秦九韶算法计算多项式用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当当x=0.4时的值时时的值时,需要做乘法和加法的次数分需要做乘法和加法的次数分别是别是()()A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5A2.(20102.(2010山东模拟山东模拟)利用秦九韶算法计利用秦九韶算法计算函数算函数f(x)=x+2x2+3x3+4x4+5x5的值时的值时,需要做加法需要做加法 乘法的次数分别为乘法的次数分别为_ _ _.45课堂小结：课堂小结：1、秦九韶算法的方法和步骤、秦九韶算法的方法和步骤2、秦九韶算法的程序框图、秦九韶算法的程序框图作业：作业：1、P45 22、P48 23、课后练习、课后练习