(精品)1.3.1单调性.ppt

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1、导数在函数中的应用导数在函数中的应用问题问题1yxoxy=f(x)a导数导数刻画了函数图像变化的趋势，（上升或下降的陡峭成度）函数的函数的单调性单调性也也刻画了函数图像变化的趋势问题2：x1x2AyxoBf(X)与函数与函数f(x)的的单调性单调性有什么联系？有什么联系？0在曲线f(x)单调增区间增区间图像上任取两点A、B，设 A(x1,y1),B(x2,y2),当当x0时时，x1x2，y100 x1x2AyxoBf(X)x1x2Ayxof(x)Bx在某区间上在某区间上，则，则该区间该区间为为f(x)的单调的单调增区间增区间 ，则则该区间该区间为为f(x)的单调的单调减区间减区间在某区间在某区

2、间上当当(-,1)和（和（4,+）时时当当(1,4)时，时，当当x=4,或或 x=1 时，时，0 xy41例例1：求求 函数函数 f(x)=x2-4x+3 的单调区间单调区间：解法1：图像法解法2：求导法：X=2xy0f(x)区间增（区间增（2，+）减区间减区间（-，2）=2x-4=2(x-2)例例1：求求 函数函数 f(x)=x2-4x+3 的单调区间单调区间：当当 00，即，即x 2x 2时，函数单调时，函数单调递增递增；当当 00，即，即x x 20f(x)大致图像？大致图像？减区间是减区间是 （0，2）x20f(x)解：=cosx例例3：求函数求函数 f(x)=sinx 在(0,2)的

3、减区间的减区间即Cosx0 x(),函数函数 f(x)在在x()单调递减单调递减,图像法图像法02 f(x)=sinx证法二（用单调性定义证明）证法二（用单调性定义证明）x0 恒成立 练习练习3.求函数求函数 的单调增区间的单调增区间（）函数函数f(x)的单调增区间的单调增区间解：令定义域定义域（0，+）,即即 x0,解解练习练习4.求求f(x)=x-ln(1+x)+1 的单调增区间的单调增区间函数定义域是函数定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间是的递增区间是 (1,+)练习6.若 在 内是减函数,则 的取值范围为_ 解法解法2：分离变量得：分离变量得：0-1练习练习5求函数求函数 单

4、调减区间单调减区间 Xr0求函数求函数f(x)的导数的导数f(x).令f(x)0解不等式，所得解不等式，所得x的范围就是递增区间的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，所得解不等式，所得x的范围就是递减区间的范围就是递减区间1.用导数求函数单调区间的步骤：用导数求函数单调区间的步骤：课堂小结：课堂小结：谢谢 谢谢！以上结论以上结论逆命题逆命题成立么？成立么？xyOy=x3 f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;解解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)练习、判断函数的单调性，并求出单调区间：练习、判断函数的单调性，并求出单调区间：当当 0，即即 时，时，函数单调递增函数单调递增当当 0

5、单调递减单调递减 h(t)000点点a a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小极小值点值点a 极大极大值点值点b因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x

6、=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.x2y0(2).求导数求导数求函数求函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(1).确定函数的定义域；确定函数的定义域；(3).求方程求方程 的根的根.(4)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果如果左正右负左正右负,那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极大值极大值;如果如果左负右正左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得在这个根处取得极小值极小值.f(x0)=0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函

7、数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0 x yOf(x)x3 3思考思考 若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否可否只由只由f(x)=0求得即可求得即可?x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?f(x0)=0是函数在是函数在x0取得极取得极值的什么条件？值的什么条件？练习练习 求函数求函数 的极值的极值3x227=3(x+3)(x3)解解:：y=(x327x)=当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表.解得解得x1=3，x2=3.令令y=0，x-3(-3,3)3+00+y极大值极大值54极小值极小值-54当当x=3时，时，y有极大值，且有

8、极大值，且y极大值极大值=54.当当x=3时，时，y有极小值，且有极小值，且y极小值极小值=54例例3 设设 ，在，在x=-1和和x=1处有极值，且处有极值，且 f(-1)=-1,求求a，b，c的值，并求出函数的极值。的值，并求出函数的极值。函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数 如果如果f(x0)是函数的最大值，那么是函数的最大值，那么f(x0)不小于函数不小于函数y=f(x)在相应区间上的所有函数值在相应区间上的所有函数值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也

9、就是说，如果也就是说，如果x0是函数是函数y=f(x)的极大（小）值点，的极大（小）值点，那么在点那么在点x0附近找不到比附近找不到比f(x0)更大（小）的值更大（小）的值 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最们更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小小 如果如果f(x0)是函数的最小值，那么是函数的最小值，那么f(x0)不大于函数不大于函数y=f(x)在相应区间上的所有函数值在相应区间上的所有函数值 观察图中一个观察图中一个定义在闭区间定义在闭区间a,b上的函数上的函数f(x)的图象的图象指出

10、函数极小值，指出函数极小值，极大值。极大值。在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的的最大值点是最大值点是 ，最大值是，最大值是 。最小值点是最小值点是 ，最小值是，最小值是 。一般地，在闭区间一般地，在闭区间a,b上函数上函数y=f(x)的图像是一条的图像是一条连续不断的曲线，那么函数连续不断的曲线，那么函数y=f(x)在在a,b上必有最大值上必有最大值与最小值与最小值最值存在定理：最值存在定理：在某一区间上函数在某一区间上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的图像是一条连续不断的曲线，才有函数的曲线，才有函数y=f(x)在这个区间上有最值在这个区间上有最值 给定函数的区间必须是闭区

11、间，在开区间给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内图象连续的函数内图象连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值不一定有最大值与最小值如函数如函数f(x)=1/x在在(0,+)内连续，但没有最大值与最小值；内连续，但没有最大值与最小值；“最值最值”与与“极值极值”的区别和联系的区别和联系例例1求求 在在 的最大值与最小值。的最大值与最小值。解：解：由例由例4可知，在可知，在0,3上，上，当当x=2时，时，f(x)有极小值，有极小值，并且极小值为并且极小值为f(2)=-4/3，又由于又由于f(0)=4，f(3)=1，因此，函数，因此，函数在在0,3的最大值是的最大值是4，最小值是，最小值

12、是-4/3在在0,3上的图象得到直观验证上的图象得到直观验证x2y0上述结论可以从函数上述结论可以从函数例题选：例题选：题型一：求单调区间：题型一：求单调区间：例例1 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=+x(1)解：解：y 当当x3时，时，0单调减区间是单调减区间是(,3)，(3，3)与与(3，+)(2)解：解：y 单调增区间是单调增区间是(0，+)例例2 已知已知 ，求函数，求函数 的单调区间。的单调区间。例例3 设设 ，（1）求函数）求函数f(x)的单调递增，递减区间；的单调递增，递减区间；（2）当）当 时，时，f(x)7。题型二：已知单调性，求参数的取值范围：题

13、型二：已知单调性，求参数的取值范围：例例1 函数函数 在区间在区间(-,-2),和和(0,+)内单调递增，且在区间内单调递增，且在区间(-2,0)内单调递减，则内单调递减，则p的取值集合为的取值集合为 .题型三：证明不等式题型三：证明不等式例1 (1)已知x1，求证：xln(1x).(2)已知x0，求证：1+2xe2x.题型四：最值题型四：最值 例例1已知函数已知函数 在在2，2上有最小上有最小值值37，（1）求实数）求实数a的值；（的值；（2）求）求f(x)在在2，2上的最大值。上的最大值。f(x)在在(0,1)是减函数，在是减函数，在(1,+)上是增函数；上是增函数；f(x)的最小值是的最

14、小值是1.例例2.已知函数已知函数 是否存在实数是否存在实数a,b，使使f(x)同时满足下列两个条件：同时满足下列两个条件：例例3 设设a0为常数，求函数为常数，求函数 在区间在区间0,a上上的最大值和最小值。的最大值和最小值。解（解（1）若）若0-3。例例5 已知函数已知函数 ，（1）若函数）若函数f(x)在在 上是增函数，求实数上是增函数，求实数a的取值范围；的取值范围；（2）若）若x=-1/3是是f(x)的极值点，求的极值点，求f(x)在在1,a上的最大值；上的最大值；（3）在）在(2)的条件下，是否存在实数的条件下，是否存在实数b，使得函数，使得函数g(x)=bx的的 图像与函数图像与

15、函数f(x)的图像恰有的图像恰有3个交点，若存在个交点，若存在，求出，求出 实数实数b的取值范围；取不存在，试说明理由。的取值范围；取不存在，试说明理由。（1）a0,（2）f(1)=-6，（3）b-7,且且b-3。例例6 求函数求函数f(x)5x2 的值域的值域.原问题转化为求原问题转化为求f(x)在区间在区间3,4上的最值问题。上的最值问题。得得f(x)的定义域为的定义域为3x4，yf(x)在在3，4上上f(x)0恒成恒成立立,f(x)在在3，4上单调递增上单调递增 当当x3时时ymin=-15-当当x=4时时ymax=202 函数的值域为函数的值域为15，202 .例例7 若函数若函数f(x)在在0，a上单调递增且可导，上单调递增且可导，f(x)0，f(x)是严格单调递增的，求是严格单调递增的，求 在在(0，a上的最大值上的最大值，f(x)是严格单调递增的是严格单调递增的 f(x)0，f(x)xf(x)0，f(x)0，0，在在(0，a上是增函数。上是增函数。在在(0，a上最大值为上最大值为