清华机械工程控制基础课件第三章 线性系统的时域分析(.ppt

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1、建议：课前要预习课后要复习上课积极思考并回答问题1/5/2023机械工程线性系统的时域分析法动态性能指标一阶一阶系统的时域分析系统的时域分析第1讲1/5/2023机械工程证明：上讲回顾1/5/2023机械工程2.4.5.3 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。式中 系统总增益（总传递函数）前向通路数 第k条前向通路总增益：所有不同回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意m个不接触回路增益乘积之和。为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通

2、路特征式的余因子。上讲回顾1/5/2023机械工程控制系统的分析方法分析控制系统第一步第一步 建立模型建立模型第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法(自学)1/5/2023机械工程第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法引言一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳态误差计算1/5/2023机械工程第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法3.1 3.1 引言引言分析控制系统的分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型一旦建立，数学模型一旦建立，第二步第二步 分析控制性能分析控制性能，分析有多种方法

3、，主要有分析有多种方法，主要有时域分析法时域分析法，频域分析法频域分析法，根轨迹法根轨迹法等。每种方法，各等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。例如，切削机床的自动控制的例子。在分析和设计控制系统时，对各种

4、控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。应来建立。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用

5、输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号试验信号来评价系统性来评价系统性能是合理的。能是合理的。1/5/2023机械工程时间响应分析时间响应分析 在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。析是重要的方法之一。本章内容本章内容1.1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓正确进行时间响应

6、分析的基础；所谓系统的时系统的时间响应及其组成间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；性与系统在输入作用下的动态历程；1/5/2023机械工程 2.2.典型的输入信号典型的输入信号;及一阶、二阶系统及一阶、二阶系统的典型时间响应。的典型时间响应。典型输入信号便于进行时间响应分析；典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输

7、入信号产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；典型时间响应而求得；1/5/2023机械工程3.1.1 时间响应及其组成转ppt1/5/2023机械工程3.1.2 典型试验典型试验(输入输入)信号信号 Typical test signals(1)实际系统的输入信号不可知性实际系统的输入信号不可知性(2)典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系(3)电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号:确定性信号：确定性信号：变量和自变量之间的关系

8、能够用一确定性函数变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。描述。非确定性信号非确定性信号则反之，变量与自变量之间的关系是随机的，则反之，变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律只服从某些统计规律。分析和设计系统分析和设计系统:采用典型输入信号，比较其时间响应。采用典型输入信号，比较其时间响应。任意输入信号的时间响应任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，利用系统对典型输入信号的响应，由关系式由关系式 或或 （*表卷积），就能求出。表卷积），就能求出。1/5/2023机械工程（单位）阶跃函数（单位）阶跃函数（Step function）室温调节系统和水位调节系统室温

9、调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（单位）斜坡函数（Ramp function）速度速度（单单位）加速度函数（位）加速度函数（Acceleration function）抛物）抛物线线 （单单位）脉冲函数（位）脉冲函数（Impulse function）正弦函数（正弦函数（Simusoidal function）Asinut，当，当输输入作用具有周期性入作用具有周期性变变化化时时。通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（制系统的特性进行比

10、较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp、对、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）常用输入信号：常用输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和某些随机函数。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。1/5/2023机械工程单位阶跃函数单位阶跃函数:其导数为零

11、，对控制系统只给出了其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号；位置，故称位置输入信号；单位斜坡函数单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号；信号或速度输入信号；单位抛物线函数单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度其二次导数为常数，称为加速度输入信号输入信号。下面主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单下面主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单下面主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单下面主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应位阶跃函数的时间响应位阶跃函数的时间响应位阶跃函数的时间响应1/5/2023机械工程3.1.

12、3 动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程 瞬时响应和稳态响应瞬时响应和稳态响应 Transient Response&Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。1 瞬态响应瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。2 稳态响应稳态响应 是指当是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。最终

13、复现输入量的程度。3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性绝对稳定性，即系统是稳定的，还是，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一

14、状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。统便是不稳定的。1/5/2023机械工程1/5/2023机械工程系统不稳定产生的后果系统不稳定产生的后果实

15、际上，物理系统输出实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程的，而使线性微分方程不再适用。非线性系统不再适用。非线性系统的稳定性在第七章。的稳定性在第七章。1/5/2023机械工程稳态误差稳态误差：如果在稳态时，：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统态误差。这个误

16、差表示系统的准确度。的准确度。稳态特性：稳态特性：稳态误差是系稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的统控制精度或抗扰动能力的一种度量。一种度量。相对稳定性相对稳定性：因为物理控制系：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常态以前，它的瞬态响应，常常表现为表现为阻尼振荡过程阻尼振荡过程。称称

17、动态过程。动态过程。1/5/2023机械工程在分析控制系统时，在分析控制系统时，我们既要研究系统我们既要研究系统的瞬态响应，如达的瞬态响应，如达到新的稳定状态所到新的稳定状态所需的时间，同时也需的时间，同时也要研究系统的稳态要研究系统的稳态特性，以确定对输特性，以确定对输入信号跟踪的误差入信号跟踪的误差大小。大小。动态性能指标：动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量零（静止

18、状态，输出量和输入量的各阶导数为的各阶导数为0 0），对（单位），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。性，通常采用下列一些性能指标。1/5/2023机械工程动态性能指标延迟时间 ：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上

19、升时间越短，响应速度越快 峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。1/5/2023机械工程动态性能指标调节时间 ：（Settling Time）响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作，超调量（Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即 或评价系统的响应速度；同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。评价系统的阻尼程度。1/5/2023机械工程3.2 一阶一阶系统的时域分析系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。

20、图称为一阶系统。图3-3（a）所示）所示的的RC电路，其微分方程为电路，其微分方程为 其中其中C(t)为电路输出电压，为电路输出电压，r(t)为电路输为电路输入电压，入电压，T=RC为时间常数。为时间常数。当初使条件为零时，其传递函数为当初使条件为零时，其传递函数为 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。时域响应。1/5/2023机械工程3.2.1 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应Unit-impulse response of first-ord

21、er systems当当输输入信号入信号为为理想理想单单位脉冲函数位脉冲函数 时时，Xi(s)Xi(s)1 1，输输出量的拉氏出量的拉氏变换变换与系与系统统的的传递传递函数相同，即函数相同，即 这时这时相同的相同的输输出称出称为为脉冲响脉冲响应记应记作作w(t):w(t):1/5/2023机械工程 只有瞬态项，而只有瞬态项，而B B（t t）为为零。由式（零。由式（3.3.13.3.1）可得表）可得表3.3.13.3.1 t 0 T 2T 4T 0 01/5/2023机械工程 一阶系统的一阶系统的单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数是一个是一个单调下降单调下降的指的指数曲线。数曲线。过渡过程过渡过

22、程：将指数曲衰减到初值的将指数曲衰减到初值的2%2%之前的过程定之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为义为过渡过程，相应的时间为4T4T。称此时间为过渡称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为过程时间或调整时间，记为 。系统的时间常数系统的时间常数T T愈小愈小,愈短愈短,系统的惯性愈小，系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。反应的快速性能愈好。脉冲响应形式类似与零输入响应。脉冲响应形式类似与零输入响应。实际脉冲信号实际脉冲信号实际脉冲信号实际脉冲信号:具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来代替理想的

23、脉冲信号代替理想的脉冲信号代替理想的脉冲信号代替理想的脉冲信号,脉冲宽度与系统的时间常数脉冲宽度与系统的时间常数脉冲宽度与系统的时间常数脉冲宽度与系统的时间常数T T T T 相相相相比足够小，一般为比足够小，一般为比足够小，一般为比足够小，一般为:1/5/2023机械工程输入信号为单位阶跃函数时，即输入信号为单位阶跃函数时，即响应函数的响应函数的LaplaceLaplace变换式为：变换式为：其时间响应函数其时间响应函数 记为记为 为：为：由式（由式（3.3.23.3.2）和式（）和式（3.1.123.1.12）可知，）可知，中中 是瞬态是瞬态项，项，1 1是稳态项是稳态项B B（t t）（

24、3.3.23.3.2）3.2.2 单位阶跃响应单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 1/5/2023机械工程注注*：R(s)的极点形成系统的极点形成系统响应的稳态分量。响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。也适用于高阶线性定常系统。响响应应曲曲线线在在时时的斜率的斜率为为，如果系，如果系统输统输出响出响应应的速度恒的速度恒为为，则则只要只要tT时时，输输出出c(t)就就能达

25、到其能达到其终值终值。由于由于c(t)的终值为的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。动态性能指标：动态性能指标：1/5/2023机械工程 t 0 0 T 0.632 2T 0.865 4T 0.982 1 0由式（由式（3.3.23.3.2）可得表）可得表3.3.23.3.2和图和图3.3.23.3.2 1/5/2023机械工程 如图如图3.3.23.3.2所示，式（所示，式（3.3.23.3.2）表示的一阶系统的单）表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为 。曲线有两个重要的特征点。曲线

26、有两个重要的特征点。A A点点：其对应的时间：其对应的时间t=Tt=T时，系统的响应时，系统的响应 达到了达到了稳态值的稳态值的63.2%63.2%；零点零点：其对应的：其对应的t=0t=0时，时，的切线斜率（响应速的切线斜率（响应速度）等于度）等于1 1/T/T。指数曲线的斜率指数曲线的斜率，即速率，即速率 是随时间是随时间t t的增大而的增大而单调减小的，当单调减小的，当t t为为 时，其响应速度为零；时，其响应速度为零；当当 时，响应已达到稳态值的时，响应已达到稳态值的98%98%以上，以上，过渡过过渡过程时间程时间 时间常数时间常数T T 反映了固有特性反映了固有特性，其值愈小，系统的

27、惯，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。性就愈小，系统的响应也就愈快。1/5/2023机械工程实验方法求一阶系统的传递函数实验方法求一阶系统的传递函数 ：1.1.输入输入单位阶跃信号单位阶跃信号，并测出它的，并测出它的响应曲线，及稳响应曲线，及稳态值态值 ；2.2.从响应曲线上找出从响应曲线上找出0.632 0.632 （即特征点（即特征点A A）所对所对应的应的时间时间t t,或或t=0t=0点的切线斜率点的切线斜率 3.3.参考式（参考式（3.3.13.3.1）求出求出 ，或者，由，或者，由单位阶跃响单位阶跃响应应 ，根据关系，根据关系 ；求得；求得 ；4 4由由 求得求得 。

28、1/5/2023机械工程3.2.3 一阶一阶系统的单位斜坡响应系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems当当 对上式求拉氏反变换，得：对上式求拉氏反变换，得：因因为为所以一所以一阶阶系系统统跟踪跟踪单单位斜坡信号的位斜坡信号的稳态误稳态误差差为为上式表明：上式表明：一一阶阶系系统统能跟踪斜坡能跟踪斜坡输输入信入信号。号。稳态时稳态时，输输入和入和输输出信号的出信号的变变化率完化率完全相同全相同 由于系由于系统统存在存在惯惯性，性，从从 0上升到上升到1时时，对应对应的的输输出信号在数出信号在数值值上要上要滞后于滞后于输输入信号一个常量入

29、信号一个常量T，这这就是就是稳态误稳态误差差产产生生的原因。的原因。减少时间常数减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。跟踪斜坡信号的稳态误差。1/5/2023机械工程3.2.4 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 上式表明，跟踪上式表明，跟踪误误差随差随时间时间推移而增大，直至无限大。因此，一推移而增大，直至无限大。因此，一阶阶系系统统不能不能实现对实现对加速度加速度输输入函数的跟踪。入函数的跟踪。1/5/2023机械工程表3-1一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号频域输出响应传递函数11

30、(t)t微分微分等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。1/5/2023机械工程3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型随动系统A Servo System（位置控制系统）如图3-6所示。1/5/2023机械工程

31、该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。1/5/2023机械工程电位差就是误差信号。桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零

32、。1/5/2023机械工程(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：（3-10）电动机的转矩系数为电枢电流对于电枢电路（3-11）电动机电枢绕组的电感和电阻。电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：（3-12）J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。（3-13）1/5/2023机械工程开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1（3-14）如果略去电枢电感（3-15）增益阻尼系数，由于电动机反电势 的存在，增大了系统的粘性摩擦。开环增益机电时间常数不考虑负

33、载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：（3-16）1/5/2023机械工程不考虑负载力矩，随动系统的开环传递函数简化为：（3-16）相应的闭环传递函数（3-17）为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式（3-18）自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）1/5/2023机械工程二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示（3-18）自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程：（3-19）（3-20）由此得两个特征根为由此得两个特征根为由此得两个特征根为由此得两个特征根为:由式（由式（由式（由式

34、（3-203-20）可见，随着阻尼比）可见，随着阻尼比）可见，随着阻尼比）可见，随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。取值的不同，二阶系统的特征根也不同。取值的不同，二阶系统的特征根也不同。取值的不同，二阶系统的特征根也不同。1/5/2023机械工程（1 1）当当 时时，特征根为共轭复数，特征根为共轭复数 一对位于复数一对位于复数ss平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为平面的左半平面内的共轭复数极点，系统为欠阻尼系统欠阻尼系统。（2 2）当当 时时，两特征根为共轭纯虚根，即，两特征根为共轭纯虚根，即 系统为系统为无阻尼系统无阻尼系统。（3 3）当当 时时，特征方程有两个相等的负实根

35、，即，特征方程有两个相等的负实根，即 系统为系统为临界阻尼系统临界阻尼系统。（4 4）当当 时时，特征方程有两个不等的负实根，特征方程有两个不等的负实根 系统为系统为过阻尼系统过阻尼系统。1/5/2023机械工程 过阻尼二阶系统过阻尼二阶系统:传递函数可分解为两个传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。节的串联。临界阻尼的二阶系统：临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负但考虑负载效应载效应

36、,是不能等价为两个相同的一阶惯是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。价为两个不同的一阶惯性环节串联。1/5/2023机械工程一 二阶系统的单位脉冲响应输入信号是输入信号是理想的单位脉冲函数理想的单位脉冲函数 时，系统的输出时，系统的输出 称为称为单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数，特别记为，特别记为 。对于二阶。对于二阶系统系统，因为，因为 而而 所以所以 同样有：同样有：记记 ，称，称 为二阶系统的为二阶系统的有阻尼固有频率有阻尼固有频率。3.4.33.4.31/5/2023机械工程 （1 1）当）当

37、 ，欠阻尼系统时，由式（，欠阻尼系统时，由式（3.4.33.4.3）可得可得 （2 2）当）当 ，系统为无阻尼系统时，由式，系统为无阻尼系统时，由式（3.4.33.4.3）可得）可得 （3 3）当）当 ，系统为临界阻尼系统时，由式，系统为临界阻尼系统时，由式（3.4.33.4.3）可得）可得 3.4.43.4.43.4.53.4.53.4.63.4.61/5/2023机械工程（4）当 1，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.3）可得由式（3.4.7）可知，过阻尼系统可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加。当 取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图3.4.2所示。3.4.73.4.

38、71/5/2023机械工程 1/5/2023机械工程欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线:减幅的正弦振荡曲线。愈小，衰减愈慢，振荡频率 愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于 称为时间衰减函数，记为)。对于欠阻尼系统，单位脉冲响应的最大值可由式（3.4.4）求得。令 ，可解得 将此值代入式（3.4.4），得1/5/2023机械工程二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示（3-18）自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,二阶系统的特征方程：（3-19）（3-20）3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 Unit-Step Response of Second-Order Systems阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数的比值 临界阻尼系数，时，阻尼系数1/5/2023机械工程两个正实部的特征根 发散，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，欠阻尼系统，为两个相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡，两个不相等的根(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应令衰减系数 阻尼振荡频率，由式（3-18）得（3-18）1/5/2023机械工程对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为（3-21）稳态分量 瞬态分量1/5/2023机械工程