数学分析课件第四版华东师大研制--第4章-函数的连续性.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 连续函数的概念一、函数在一点的连续性三、区间上的连续函数二、间断点的分类返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义1由由定定义义1知知，我我们们是是通通过过函函数数的的极极限限来来定定义义连连续续一、函数在一点的连续性性的，换句话说连续就是指性的，换句话说连续就是指返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如：例如：这是因为这是因为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又如：函数又如：函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页极限极限由极限的定义由极限的定义,定义定义1可以叙述为可以叙

2、述为:对于任意正数对于任意正数 ,这是因为这是因为存在存在d d 0,0,这样就得到函数这样就得到函数 f(x)在点在点x0可改写为可改写为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页连续性的另外一种表达形式连续性的另外一种表达形式.定义定义2如果如果对对任意的存在任意的存在 当时当时返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应的函数应的函数(在在 y0 处处)的增量的增量返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为狄利克雷函数为狄利克雷函数.证证注意注意:上述极限式绝不能写成上述极限式绝不能写成例例1返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由上面的定义和例题应该可以看

3、出由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要要求求这这个个极极限限值值只只能能是是函函数数在在该该点点的的函函数数值值.极极限限存存在在是是函函数数连连续续的的一一个个必必要要条条件件)，而而且且还还x0 连连续续，那那么么它它在在点点 x0 必必须须要要有有极极限限(这这就就是是说说,有有极极限限与与在在点点 x0 连连续续是是有有区区别别的的.首首先先 f(x)在在点点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义3很明显很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数由左、右极限与极

4、限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续.点点x定理定理4.1f 在在有定义，若有定义，若的的定定义义可可得得：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 讨论函数讨论函数解解 因为因为点击上图动画演示点击上图动画演示返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页综上所述综上所述,所以所以,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、间断点的分类定义定义4定义定义.若若f 在点在点 x0 无定义无定义,或者在点或者在点 x0有定义但却有定义但却由此由此,根据函数极限与连续之间的联系根据函数极限与连续之间的联系,如果如果 f 在在点点 x0 不不连

5、连续续,则则必必出出现现下下面面两两种种情情况况之之一一:或或不不连连续续点点.在在该该点点不不连连续续,那那么么称称点点 x0 为为函函数数的的一一个个间间断断点点返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页等于等于f(x0).根据上面的分析根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点可去间断点:若若一个可去间断点一个可去间断点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 x0 是是 f 的的跳跃间断点与函数跳跃间断点与函数 f 在点在点 x0 是是否有定否有定 点点.3.第二类间断点第二类间断点:若若 f 在点在点 x0 的左、右极限至少

6、的左、右极限至少 可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点统统称称为为第第一一类类间间断断点点.义义无无 关关.有一个不存在有一个不存在,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 因为因为例例3 3 所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 1.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 讨论函数讨论函数在在 x=0 处处是否连续？若不连续，则是什么类型的是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若若点点x0是是 的的可可去去间间断断点点,那那么么只只要要重重新新定定 x0 连续连续.间断点？间断点？

7、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 f(x)在在 x=0 处右连续而不处右连续而不左连续左连续,从而不从而不解解 因为因为断断点点是是跳跳跃跃间间断断点点.连连续续.既既然然它它的的左左、右右极极限限都都存存在在，那那么么这这个个间间返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5解解 因为由归结原理可知，因为由归结原理可知，均不存在，均不存在，点？点？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、区间上的连续函数若函数若函数 f 在区间在区间I上的每一点都连续上的每一点都连续,则称则称 f 为为 I例如例如,以及以及都是都是R上的连续函数；而函数上的连续函数

8、；而函数是区间是区间-1,1-1,1上的连续函数上的连续函数,在在处的连续分处的连续分别指右连续和左连续别指右连续和左连续.数数在在该该点点连连续续是是指指相相应应的的左左连连续续或或右右连连续续.上上的的连连续续函函数数.对对于于闭闭区区间间或或半半闭闭区区间间的的端端点点,函函返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如果函数如果函数 f 在在 a,b 上的不连续点都是第一类的上的不连续点都是第一类的,复习思考题能能要要添添加加或或改改变变某某些些分分段段点点处处的的值值).是是由由若若干干个个小小区区间间上上的的连连续续曲曲线线合合并并而而成成(当当然然可可一一个个按按段段连连续续

9、函函数数.从从几几何何上上看看,按按段段连连续续曲曲线线就就并并且且不不连连续续点点只只有有有有限限个个,那那么么称称 f 是是 a,b 上上的的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局一、连续函数的局部性质四、一致连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质这些性质是具有分析修养的重要标志.部性质与整体性质.熟练地掌握和运用返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指所谓连续函数局部性质就是指:连续连续(左连续或右连续左连续或右连续),),则可推知则可推知 f

10、 在点在点 x0 的某的某 号性、四则运算的保连续性等性质号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域个局部邻域(左邻域或右邻域左邻域或右邻域)内具有有界性、保内具有有界性、保返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故故|f(x)|的一个明确的上界的一个明确的上界.证证注意注意:我们在证明有界性时我们在证明有界性时,而不是用术语而不是用术语定理定理4.2（局部有界性）（局部有界性）则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理4.3（局部保号性）局部保号性）则对任意一个满足则对任意一个满足证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 在具体应用保号性时在具体应用

11、保号性时,我们经常取我们经常取 于是证得于是证得定理定理4.4（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数也是连续函数.我们知道我们知道,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R 上上 到到,具体过程请读者自行给出具体过程请读者自行给出.的连续函数的连续函数,故由四则运算性质故由四则运算性质,易知多项式函数易知多项式函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理同理,有理函数有理函数(分母不为零分母不为零)同样是连续函数同样是连续函

12、数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下定理定理4.5是不变的是不变的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 对这个定理我们再作一些讨论对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定以加深大家对该定请大家仔细观察定理请大家仔细观察定理4.5 的证明的证明,看看此时究竟哪看看此时究竟哪理的认识理的认识.里通不过里通不过.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应用定理应用定理4.5,就得到所就得到所(*)(*)式相应的结论仍旧是成立的式相应的结论仍旧是成立的.则有则有改

13、为改为 需要的结论需要的结论.事实上事实上,只要补充定义只要补充定义（或者重新定义）或者重新定义）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上述上述(1)和和(2)究竟有什么本质的区别呢究竟有什么本质的区别呢?请读者作请读者作例例1解解合，所以合，所以出进一步的讨论出进一步的讨论.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2解解例例3解解所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 在本节中将研究在本节中将研究 f 在在二、闭区间上连续函数的性质定义定义1若若点点,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的最

14、大值不存在的最大值不存在,最小值为零最小值为零.注意注意:既无最大值既无最大值,又无最小值又无最小值.定理定理4.6（最大、最小值定理）（最大、最小值定理）例如例如,符号函数符号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数(其上确界为其上确界为1,下确界为下确界为-1)这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论这是因为由定理这是因为由定理4.6 可知可知,值值,从而有上界与下界从而有上界与下界,于是于是 f(x)在在a

15、,b 上上是有是有虽然也是连续函数虽然也是连续函数,但是但是内涵内涵,在今后的学习中有很广泛的应用在今后的学习中有很广泛的应用.界的界的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理定理4.7（介值性定理）（介值性定理）上连续上连续,则则(至少至少)存在一点存在一点质有着根本的区别质有着根本的区别.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从几何上看从几何上看,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线的一侧穿到另一侧时的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点两者至少有一个交点.返回返回返回返回后页

16、后页后页后页前页前页前页前页 推论推论（根的存在性定理）根的存在性定理）应当注意应当注意,此推论与定理此推论与定理4.7是等价的是等价的.于是于是,只要只要则至少存在一点则至少存在一点使使下面用确界定理来证明上述推论下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习大家要注意学习证明了推论证明了推论,也就完成了定理也就完成了定理4.7 证明证明.确界定理的使用方法确界定理的使用方法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(E为图中为图中x 轴上的红轴上的红 证证 不妨设不妨设 并设并设零点零点.证明如下：证明如下：的最大值就是函数的的最大值就是函数的线部分线部分)从几何上看从几何上看,E返

17、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为所以所以又又 E 是有界的是有界的,故由确故由确我们来否定下面两种情形我们来否定下面两种情形:1.由由 f(x)在点在点 是是连续的连续的,根据保号性根据保号性,存在存在界定理界定理,存在，显然存在，显然返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.同样根据保号性同样根据保号性,同时由同时由 x0=sup E,对上述对上述d d,存在存在 排除了上面两种情形后排除了上面两种情形后,就推得就推得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题下面再举一些应用介值性定理的例题.设设 在在 上连续上连续,那么它的最大值那么它的最大值 M 与最与最结论结论:小值小值 m 存在存在,并且并且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 先证存在性：先证存在性：由极限的保号由极限的保号使使使得使得(读作读作 r 的的 n 次算术根次算术根).例例3则存在唯一的正数则存在唯一的正数连续，连续，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们只需证明我们只需证明严格递增严格递增即可即可.事实上，事实上，即即例例4 求证求证:再证唯一性再证唯一性:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证即即返回返