材料力学6弯曲变形课件.ppt

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1、弯弯 曲曲 变变 形形第第 六六 章章目录/第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁目录目录/为保证构件正常的工作，不但要求其具有足够的为保证构件正常的工作，不但要求其具有足够的强度，在某些情况下，还应有足够的刚度，即弯曲强度，在某些情况下，还应有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。

2、变形不应过大，否则，将影响正常工作。l6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题/轴变形轴变形齿轮不能正常啮合、齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。出现噪音。P1P2轧辊轧辊钢板钢板轧钢轧钢轧辊变形，钢板沿宽度轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。方向的厚度不均。齿轮轴齿轮轴/利用弯曲变形利用弯曲变形缓冲、减震缓冲、减震汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁的变形。求解静不定梁则必须考虑梁的变形。F测力矩扳手测力矩扳手/6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角(3)

3、转角转角：截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度,称为称为转角转角转角转角 。7-2目录（1）挠曲线：挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）对于平面弯曲，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。对于平面弯曲，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。（2）挠度：）挠度：某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的挠度挠度挠度挠度w w 。（截面形心的挠度）（截面形心的挠度）/6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程挠曲线方程：挠曲线方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠

4、度转角关系为：挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角向上为正向上为正逆时针为正逆时针为正7-2目录讨论变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。讨论变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。/2.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程目录/由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程目录/由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号

5、一致，所以挠曲线的近似微分方程为：的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠度。6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程目录/6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录微分方程的原函数有无数个，而具体梁受力变形后挠曲线只有一个。微分方程的原函数有无数个，而具体梁受力变形后挠曲线只有一个。每段梁有每段梁有C、D两个两个积分常数。积分常

6、数。/积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形目录/例例1 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求

7、弯曲变形目录/4 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录/例例2 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录/3

8、3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录积分时，将（积分时，将（x2-a）作作为一个整体变量，可为一个整体变量，可简化运算！简化运算！/4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录/5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录/6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最

9、大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录/讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录注意注意:等截面梁，等截面梁，EI为常量，可将其写在等号左为常量，可将其写在等号左边减少麻烦；边减少麻烦；变截面梁，变截面梁，EI为为x的函数，故不但要将其的函数，故不但要将其写在等号右边，还要将其放进积分符号内。写在等号右边，还要将其放进积分符号内。/但在工程实际中，往往需要某些指定截面的但在工程实际中，往往需要某些指定截面的挠度和转角，这时采用积分法就显得繁琐。利用挠度和转

10、角，这时采用积分法就显得繁琐。利用积分法的结果（查表积分法的结果（查表6.1）采用叠加法就非常方）采用叠加法就非常方便。便。积分法是求梁位移的基本方法，其优点是可以积分法是求梁位移的基本方法，其优点是可以用数学的方法求梁任意截面的挠度和转角。用数学的方法求梁任意截面的挠度和转角。/材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内力、应力、变形都是载荷的线性齐次函数，所力、应力、变形都是载荷的线性齐次函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。用叠加法。叠加法：叠加法：几个载荷共同作用下所引起的某一物几个载荷共同作

11、用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和（代数和或矢量和）。总和（代数和或矢量和）。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形/在使用叠加法时应注意在使用叠加法时应注意:6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形1.勿舍简就繁勿舍简就繁,已知已知wmax,max不必通过不必通过w(x)来求；来求；2.根据实际题目作代换，不能照搬公式；根据实际题目作代换，不能照搬公式；3.给定载荷与图中载荷的方向若相反，应代负值；给定载荷与图中载荷的方向若相反，应代负值；4.当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适当挠

12、曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范围。用范围。/BA要求：计算吊车梁的最大挠度。要求：计算吊车梁的最大挠度。例例1 起重量为起重量为50kN的单梁吊车，由的单梁吊车，由45b工字钢制成，工字钢制成，q=87.485kg/m，Iz=33800cm4。跨度。跨度l=10m。已知。已知E=210GPa。yzlqP解：解：计算简图计算简图受力情况：受力情况：q=875N/mP=50kNC CP+Cq叠加得梁的最大挠度为：叠加得梁的最大挠度为：max CP+Cq=16.3mmq单独作用单独作用P单独作用单独作用自重引起的变形与载荷引起得变形相比很小。自重引起的变形与载荷引起得变形相比很小。/解

13、解叠加叠加lABm=ql2Cq单独作用单独作用m单独作用单独作用求梁求梁中点中点中点中点C C的挠度和的挠度和B B截面截面截面截面的转角。的转角。例例2BqAlm=ql2CBqAlC/例例3 3试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。(a)解：解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接利用表6.1情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。/作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移(b)(a)/在集度为q

14、/2的正对称均布荷载作用下，表6.1中序号10公式有C/注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用表6.1中序号10情况下的公式有第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有C/按叠加原理得/解解aDBAP2CP1求求B截面的转角和截面的转角和C点的挠度。点的挠度。例例4BC段的变形可引起段的变形可引起C点的挠度和点的挠度和B点转角。点转角。AB段的变形可引起段

15、的变形可引起C点的挠度和点的挠度和B点转角。点转角。如何计算？如何计算？（1）讨论）讨论BC变形引起的变形引起的wC1，B1，刚化刚化AB。P1CBDBAP2CP1/解解（2）讨论）讨论AB变形引起的变形引起的wC2，B2，刚化刚化BC。aDBAP2CP1求求B截面的转角和截面的转角和C点的挠度。点的挠度。例例4P1P1aDBACP1P2DBAP2C BP2DBACP1P1P1a BP1/（1）讨论）讨论BC变形引起的变形引起的yC1，B1，刚化刚化AB。P1CB解解（2）讨论）讨论AB变形引起的变形引起的yC2，B2，刚化刚化BC。DBAP2C BP2BP2DBACP1P1P1a BP1BP

16、1aDBAP2CP1求求B截面的转角和截面的转角和C点的挠度。点的挠度。例例8.3（3）叠加）叠加/逐段刚化法：逐段刚化法：在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体。/6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统(静定基静定基)比

17、较变比较变形，列变形协调条件形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录/解解例例5 5 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统目录3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁/4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列

18、出补充方程 所以所以5 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁/静不定梁与静定梁相比静不定梁与静定梁相比：受力比较均匀，弯矩小，应：受力比较均匀，弯矩小，应力、变形都比较小。强度高，刚度大，承载能力强。力、变形都比较小。强度高，刚度大，承载能力强。工程上应用广泛。工程上应用广泛。“多余多余多余多余”对于维持平衡而言，多余约束是多余的。对于维持平衡而言，多余约束是多余的。对于提高强度、刚度而言，多余约束是必对于提高强度、刚度而言，多余约束是必需的。需的。把静不定梁作为静定梁来设计其结果是偏于安全的。把静不定梁作为静定梁来设计其

19、结果是偏于安全的。/在工程实际中，对弯曲构件的刚度要求是：梁上最大挠度和最在工程实际中，对弯曲构件的刚度要求是：梁上最大挠度和最大转角（或某指定截面的挠度和转角）不得超过规定的限度，即大转角（或某指定截面的挠度和转角）不得超过规定的限度，即刚度条件刚度条件滑动轴承处滑动轴承处安装齿轮处安装齿轮处向心轴承处向心轴承处吊车梁吊车梁 l 为梁的跨度。为梁的跨度。普通机床主轴普通机床主轴l 为支撑的跨度。为支撑的跨度。l1rad=57.36-5 6-5 梁的刚度条件及提高弯曲刚度的措施梁的刚度条件及提高弯曲刚度的措施/1、选择合理截面形状，、选择合理截面形状，增大惯性矩增大惯性矩2、改善梁的受力和支座

20、位置、改善梁的受力和支座位置3、减小梁的长度、减小梁的长度4、增加支座（约束）、增加支座（约束）5、预加反弯度、预加反弯度要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。提高弯曲刚度的一些措施/提高弯曲刚度的一些措施1、选择合理截面形状、选择合理截面形状增大惯性矩增大惯性矩zzzzz 由于钢材的由于钢材的E值接近，为提高弯曲刚度而采用优质钢，不会达值接近，为提高弯曲刚度而采用优质钢，不会达到预期效果。到预期效果。不同材料不同材料E值不同，值不同，E值值大弯曲变形越小。大弯曲变形越小。/提高弯曲刚度的一些措施2、改善梁的受力和支座位置、改善梁的

21、受力和支座位置ll2l/92l/9P原材料的堆放：原材料的堆放：/3、减小梁的跨度、减小梁的跨度lPalbP1P2减小外伸长度减小外伸长度l，弯矩减小，弯矩减小，变形相应减小。变形相应减小。减小外伸长度减小外伸长度a、b，弯矩，弯矩减小，变形相应减小。减小，变形相应减小。提高弯曲刚度的一些措施/4、增加支座（约束）、增加支座（约束）提高弯曲刚度的一些措施尾顶针尾顶针/5、预加反弯度、预加反弯度l提高弯曲刚度的一些措施/小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会用变形比较法解简单超静定问题、学会用变形比较法解简单超静定问题目录/