第三章行波法积分变换法课件.ppt

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1、 朱红波 广东工业大学应用数学学院 数学物理方程1第三章第三章 行波法、积分变换法行波法、积分变换法 Fourier 变换积分变换法积分变换法:通过积分变换通过积分变换,将偏微分方程的某些定解问题将偏微分方程的某些定解问题化为常微分方程定解问题来求解。化为常微分方程定解问题来求解。在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题的在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题的方法，行波法与积分变换法方法，行波法与积分变换法.行波法又称为达朗倍尔方法，它是求解无界域内波动方程定解问题的一种有效的方法。Laplace 变换2第一节第一节 一维波动方程的达朗倍尔一维波动方程的达朗倍尔解法解法(行波法行波法)物理解释

2、：认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。外力作用。它可用来描述弹性体的振动、声波、电它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播磁波等波动的传播。一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的一、一维波动方程的达朗倍尔解：考虑无界弦的自由振动问题：自由振动问题：3给我们以启发，通过适当的变量代换，令给我们以启发，通过适当的变量代换，令将泛定方程改写成以下形式：将泛定方程改写成以下形式：方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：方程化为只含二阶混合

3、偏导数的下述标准形式：4 回到原来的变数回到原来的变数x x及及t t，立即得到泛定方程的解立即得到泛定方程的解的一般形式即其通解为的一般形式即其通解为其中其中F F及及G G为任意的单变量的二阶连续可微函数。为任意的单变量的二阶连续可微函数。由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如由式可见，自由弦振动方程的解可以表示为形如F(x+at)与G(x-at)的两个函数之和。的两个函数之和。5其中其中 u=F(x+at)表示一个在初始时刻表示一个在初始时刻t=0t=0时为时为u=F(x)u=F(x)的的波形，以速度波形，以速度a0a0向左（即向左（即x x轴反向）传播，而波形保轴反向）传播，而波形

4、保持不变，它称为持不变，它称为左传播波左传播波；u=u=G(xG(x-at)-at)则表示以速度则表示以速度a a向右传播的波，向右传播的波，称为称为右传播波右传播波。方程的形如方程的形如u=u=F(x+atF(x+at)或或u=u=G(xG(x-at)-at)的解称为的解称为行波行波。右传播波左传播波6弦振动方程的通解表达式说明弦振动方程的通解表达式说明:弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。两个方向传播出去。下面我们看到，通过把方程的解表示为右下面我们看到，通过把方程的解表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求定解问题传播波和左传播波的迭

5、加，可用来求定解问题的解。这个方法称为的解。这个方法称为行波法行波法。7代入初始条件，可得代入初始条件，可得（1 1）（2 2）将（将（1 1）式两端关于）式两端关于 x x 求导一次，得求导一次，得（3 3）由（由（2 2）、（）、（3 3）两式，解得）两式，解得8再将以上两式关于再将以上两式关于x x 积分一次就得到积分一次就得到其中其中c c1 1与与c c2 2是常数。由是常数。由c c1 1+c c2 2=0.=0.得到9这个公式称为这个公式称为达朗贝尔公式达朗贝尔公式。最后我们可得最后我们可得 10举例，求解弦振动方程的柯西问题举例，求解弦振动方程的柯西问题由达朗贝尔公式可得其解为

6、：由达朗贝尔公式可得其解为：11.Fourier变换设设是是定义在定义在R上的函数，且上的函数，且则则可以展开为可以展开为Fourier 级数级数其中其中第二节 一维定解问题的积分变换法12傅里叶积分定理傅里叶积分定理:设设f 在在 内满足下面两个条件：内满足下面两个条件：（1 1）积分）积分 存在；存在；（2 2）f(x)在在 内满足狄里克莱条件：在任意有限内满足狄里克莱条件：在任意有限区间至多有有限个第一类间断点区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则而且只有有限个极值点，则若左端的若左端的 f(x)在它的间断点在它的间断点x x 处，处，13定义：如果如果 f(x)满足傅里

7、叶积分定理的条件，则满足傅里叶积分定理的条件，则定义定义 f(x)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 称称为为的象函数象函数，定义的傅里叶逆的傅里叶逆变换为变换为 称为的象原函数象原函数。14Fourier积分定理可以写为积分定理可以写为称为称为反演公式反演公式以下举例说明以下举例说明15例1.求函数的Fourier变换16例2.求函数的Fourier变换17FourierFourier变换的性质变换的性质1.Fourier变换及其逆变换是线性变换变换及其逆变换是线性变换2.位移性质位移性质设设 ，则则 或183.相似性质相似性质4.微分性质微分性质195.积分性质6.对称性质特特别别地地,若当若当

8、时,则则 207.7.卷积性质卷积性质如果对于f(x)与g(x),使得存在，则定义f(x)与g(x)的卷积卷积为21卷积定理卷积定理（1）或（2）22证明2324用积分变换法求解定解问题思路：选择适当的变换定解问题 对泛定方程取变换对定解条件取变换含参变量的常微分方程方程的边界条件解常微分方程的定解问题未知函数的像函数取逆变换像原函数这就是定解问题的解252627282930拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换是与傅立叶变换类似的，通过积分实现的变换.对于函数对于函数为函数为函数 拉普拉斯变换，该积分为拉普拉拉普拉斯变换，该积分为拉普拉斯积分，斯积分，1.定义：定义：312.2.拉

9、普拉斯变换存在定理拉普拉斯变换存在定理:若函数若函数满足下列条件：满足下列条件：的任意有限区间上分段连续；的任意有限区间上分段连续；在在使得使得即存在常数即存在常数时，时，的增长速度不超过某一指数函数的增长速度不超过某一指数函数,当成立，则成立，则的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换对对一切的一切的一定存在，其中一定存在，其中c c称称为为函数函数的增长指数32拉普拉斯拉普拉斯逆变换逆变换又称又称原函数原函数为像函数为像函数33举例举例(1)求(2)求(3)求34(4)求353.性质性质(1)线性性质线性性质若若和和，则，则例例求求同理同理36(2)微分性质证明一般地，37(3)积分性质积分性质证明证

10、明设设故故由于由于故 38(4)相似性质相似性质(5)位移性质位移性质39(7)卷积定理卷积定理f(x)和和 g(x)的卷积的卷积则有则有40例二、设有一条半无限长各向同性的均匀导热杆，例二、设有一条半无限长各向同性的均匀导热杆，杆与周围介质绝热，不考虑热源，它的有界的一端杆与周围介质绝热，不考虑热源，它的有界的一端 (）温度的变化情况为已知，并假设在初始时刻温度的变化情况为已知，并假设在初始时刻时杆上温度为时杆上温度为，研究杆上温度分布随时间变化的规律。，研究杆上温度分布随时间变化的规律。它可表为以下的定解问题它可表为以下的定解问题：(用拉普拉斯变换求解用拉普拉斯变换求解)考虑作关于时间变量

11、考虑作关于时间变量的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Laplace变换应用41表示函数表示函数的拉普拉斯变换：的拉普拉斯变换：表示函数表示函数的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换将方程的两边进行拉普拉斯变换，并运用变换的微分性质可得将方程的两边进行拉普拉斯变换，并运用变换的微分性质可得 边界条件的拉普拉斯变换为边界条件的拉普拉斯变换为 42实际上是一个关于变量实际上是一个关于变量的二阶线性常系数常微分方程，的二阶线性常系数常微分方程，其通解为其通解为考虑到当考虑到当时，时，应为有界的，因此应为有界的，因此 由由，得到，得到43要求得要求得的表达式，只需运用拉普斯的表达式，只需运用拉普斯变换变换的卷的卷积积性性质质，对对为此，需要知道函数为此，需要知道函数的拉普拉斯逆变换，的拉普拉斯逆变换，作逆作逆变换变换。要求得要求得的表达式，只需运用拉普斯的表达式，只需运用拉普斯变换变换的卷的卷积积性性质质，对对的拉普拉斯逆变换为的拉普拉斯逆变换为经查表（见附录）可得此函数经查表（见附录）可得此函数44称称为为余余误误差函数差函数 由拉普拉斯变换的微分性质，可得由拉普拉斯变换的微分性质，可得45最后，由拉普拉斯变换的卷积性质可得原问题的解：最后，由拉普拉斯变换的卷积性质可得原问题的解：作变量代换，令作变量代换，令可将以上的结果写为下列形式：可将以上的结果写为下列形式：。46