教育专题：12反比例函数的图象与性质.ppt

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1、反比例函数的反比例函数的图象与性质图象与性质本课内容本节内容1.2复习复习什么是反比例函数？什么是反比例函数？一般地，形如一般地，形如 y=(k是常数是常数,k 0)的函数的函数叫做反比例函数叫做反比例函数.其中其中 k是反比例系数是反比例系数.研究一个函数要从函数的图象入手，研究一个函数要从函数的图象入手，总结函数的性质总结函数的性质.反比例函数的图象是什么形状的？反比例函数的图象是什么形状的？它的图象又有什么规律和性质？它的图象又有什么规律和性质？带着这些疑问我们开始下面的学习带着这些疑问我们开始下面的学习.探究探究 反比例函数反比例函数 (k为常数，为常数，k0)的图象是什么样子呢？的图

2、象是什么样子呢？我们我们先将先将k取为取为6，画出，画出反比例函数反比例函数 的图象的图象并进行观察并进行观察.想想我们为什想想我们为什么要取么要取k=6？列表列表 比一比比一比举举例例列表列表 比一比比一比你的取值和老师的取值一样吗？取值的时候应该注意什么？比一比，你画对了吗？比一比，你画对了吗？下面的图象都出现了什么错误？下面的图象都出现了什么错误？观察画出的观察画出的 的图象，思考下列问题：的图象，思考下列问题：（1 1）每个函数的图象分）每个函数的图象分别位于哪些象限？别位于哪些象限？可以发现这两个函数的图象可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别均由两支曲线组成，且分别位于第

3、一、三象限位于第一、三象限.对于对于y 轴右边的点，轴右边的点，当自变当自变量量x 逐渐增大时，函数值逐渐增大时，函数值 y 反而减小；反而减小；对于对于y 轴左边的轴左边的点也有这一性质点也有这一性质.（2）在每一象限内，函数）在每一象限内，函数值值 y 随自变量随自变量 x 的变化如何的变化如何变化？变化？一般地，一般地，当当k 0 时，时，反比例函数反比例函数 的图象由分别在的图象由分别在第一、三第一、三象限内的两支曲象限内的两支曲 线组成，线组成，它们与它们与 x 轴、轴、y 轴都轴都不相交不相交，在在每个象限内每个象限内，函数值函数值 y 随自变量随自变量 x 的的 增大而减小增大而

4、减小.结论结论我们知道反比例函数中的我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，值也可以是负数，以以 k=-6 为例，如何画反比例函数为例，如何画反比例函数的图象？的图象？的图象与的图象与 的图象有什么关系？的图象有什么关系？动脑筋动脑筋法一：列表描点作图法一：列表描点作图 法二：利用对称性法二：利用对称性当当x取任一非零实数取任一非零实数a时，时，的函数值为的函数值为 ，而，而 的函的函数值为数值为 ，从而都有点从而都有点P（a,）与点与点Q（a,）关于关于x 轴对称轴对称，因此因此 的图象与的图象与 的图象的图象关于关于x轴对称轴对称.于是只要把于是只要把的图象沿着的图象沿着x 轴翻折并将

5、图象轴翻折并将图象“复制复制”出来，出来，就得到就得到 的图象的图象.从图中看出：从图中看出：的图象由分别在第二、的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与四象限的两支曲线组成，它们与x 轴、轴、y 轴轴都不相交，在每个象限内，函数值都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变随自变量量x 的增大而增大的增大而增大.类似地，当类似地，当k0时，时，反比例函数反比例函数的图象与的图象与 的图象的图象关于关于x 轴对称轴对称从而当从而当 k0时，时，反比例函数反比例函数的图象由分别在的图象由分别在第二、四象限第二、四象限内的两支内的两支曲线组成，曲线组成，它们与它们与x轴、轴、y轴都轴都不相交不

6、相交，在每个象限内，在每个象限内，函数值函数值y随自变量随自变量x的的增大而增大增大而增大.反比例函数反比例函数 （k为常数，为常数，k0）的图象是由两支曲线组成的，的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为这两支曲线称为双曲线双曲线（hyperbola）.反比例函数反比例函数 y=（k0 0）有下列性质：）有下列性质：(1)(1)反比例函数的图象反比例函数的图象 是由两支曲线组成的是由两支曲线组成的.一一三三(3)(3)当当 k0 0 0 时，两支曲线分别位于第时，两支曲线分别位于第_、_象限，象限，在每在每个象限内个象限内 y 随随 x 值的增大而值的增大而 .例例1.已知反比例函数已知反比

7、例函数 的图象经过点的图象经过点P（2，4）.（1）求求k 的值，的值，并写出该函数的表达式；并写出该函数的表达式；（2）判断点判断点A（-2，-4），），B（3，5）是否在这个函）是否在这个函数的图象上；数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，在每个象限内，函数值函数值y 随自变量随自变量x 的增大如何变化？的增大如何变化？举举例例例例1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点P（2，4）.（1）求求k 的值，的值，并写出该函数的表达式；并写出该函数的表达式；解：解：因为反比例函数因为反比例函数 的图象经过点的图象经过点P（2，

8、4），），即点即点P 的坐标满足这一函数表达式，的坐标满足这一函数表达式，因而因而 4=，解得，解得k=8.因此，因此，这个反比例函数的表达式为这个反比例函数的表达式为 .举举例例例例1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点P（2，4）.（2）判断点判断点A（-2，-4），），B（3，5）是否在这个函）是否在这个函数的图象上；数的图象上；解：把点解：把点A，B 的坐标分别代入的坐标分别代入 ，可知点可知点A 的坐标满足函数表达式，的坐标满足函数表达式，点点B 的坐标的坐标不满足函数表达式，不满足函数表达式，所以点所以点A 在这个函数的图在这个函数的图象上，象上，点点B 不在这

9、个函数的图象上不在这个函数的图象上.例例1.已知反比例函数已知反比例函数 的图象经过点的图象经过点P（2，4）.（3）这个函数的图象位于哪些象限？这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，在每个象限内，函数值函数值y 随自变量随自变量x 的增大如何变化？的增大如何变化？解：因为解：因为k 0，所以这个反比例函数的图象所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，位于第一、三象限，在每个象限内，在每个象限内，函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而减小的增大而减小.例例2.如图是某反比例函数如图是某反比例函数 的图象的图象.根据图象，根据图象，回答下列问题：回答下列问题：（1）k 的取值范围是的取值

10、范围是k 0还是还是k 0？说明理由；说明理由；（2）如果点如果点A（-3，y1），），B（-2，y2）是该函数图象上的两点，是该函数图象上的两点，试比较试比较 y1，y2的大小的大小.举举例例例例2.如图是某反比例函数如图是某反比例函数 的图象的图象.根据图象，回答下列问题：根据图象，回答下列问题：解（解（1）由图可知，由图可知，反比例函数反比例函数的图象的两支曲线分别位于第的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，一、三象限内，在每个象限内，在每个象限内，函数值函数值y随自变量随自变量x的增大而减小，因此，的增大而减小，因此，k 0.（2）因为点因为点A(-3，y1），），B（-2，y2）是

11、该图象上）是该图象上的两点，且的两点，且-3 0，-2 0，所以点所以点A，B 都位于第都位于第三象限三象限.又因为又因为-3 -2，由反比例函数图象的性质由反比例函数图象的性质可知：可知：y1 y2.举举例例说一说说一说 从反比例函数的解析式中再分析从反比例函数的解析式中再分析1.1.为什么反比例函数为什么反比例函数当当k0 0时，图象经过一、时，图象经过一、三象限？三象限？当当k0 0时，图象经过二、时，图象经过二、四象限？四象限？由解析式可知：由解析式可知：当当k0时，时，x和和 y同号同号，因此图象经过因此图象经过一三一三象限象限.当当k0时，时，x和和 y异号异号，因此图象经过因此图

12、象经过二四二四象限象限.说一说说一说 从反比例函数的解析式中再分析从反比例函数的解析式中再分析2.2.为什么反比例函数为什么反比例函数的图象不会与坐标轴相交的图象不会与坐标轴相交？由解析式可知：由解析式可知：x不可以取数值不可以取数值 0，因此图象与因此图象与y轴无交点；轴无交点；因因 k0，所以，所以 y0，因此图像与因此图像与 x轴无交点轴无交点.说一说说一说 从反比例函数的解析式中再分析从反比例函数的解析式中再分析3.3.为什么反比例函数为什么反比例函数的图象关于原点对称？的图象关于原点对称？由解析式可知：由解析式可知：坐标点（坐标点（x，y）和）和坐标点（坐标点（y，x）都）都在函数的

13、图象上，在函数的图象上，因此它关于原点对称因此它关于原点对称.说一说说一说 从反比例函数的解析式中再分析从反比例函数的解析式中再分析4.4.反比例函数反比例函数的图象有何位置关系？的图象有何位置关系？由解析式可知：由解析式可知：两个函数当两个函数当x一定时，一定时，y互为相反数，因此互为相反数，因此它们关于它们关于x轴对称轴对称.又有当又有当 y一定时，一定时，x互互为相反数，因此它们为相反数，因此它们也关于也关于 y 轴对称轴对称.小结与复习小结与复习解析式图象象限增减性一三象限二四象限在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大做一做做一做习题一：简单图像性质习题一：简

14、单图像性质1.1.反比例函数反比例函数 中比例系数中比例系数k为为 ，它的图象经过它的图象经过 象限，当象限，当x00时，时，y随随x的增大而的增大而 .2.2.反比例函数反比例函数 的图象经过的图象经过 象限，在各个象限内象限，在各个象限内y随随x的增大而的增大而二四二四增大增大一三一三减小减小3.3.若反比例函数若反比例函数 的图象在二四象的图象在二四象 限，那么限，那么 ，在双曲线每一支上，在双曲线每一支上 y随随x的增大而的增大而 .增大增大4.4.反比例函数反比例函数 的图象，当的图象，当x00时，时，y随随x的增大而减小，则的增大而减小，则m ，图象，图象 经过第经过第 象限象限.30时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大D.当当x0时，时，y随随x的增大而增大，故的增大而增大，故选选C.C(2010(2010南宁南宁)结结 束束单位：北京市第二十五中学单位：北京市第二十五中学姓名：许雯姓名：许雯