数字逻辑第二章.ppt

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1、数字逻辑A主讲：信息与通信学院主讲：信息与通信学院 谢跃雷谢跃雷 1/6/20231GUET School of Information&Communications第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础l 逻辑代数：逻辑代数：“逻辑逻辑逻辑逻辑 ”一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与逻辑推理规律的一门科学。逻辑推理规律的一门科学。逻辑推理规律的一门科学。逻辑推理规律的一门科学。1849年英国数学家乔治年英国数学家乔治.布尔布尔(George Boole)首先提出用来描述客观事务

2、首先提出用来描述客观事务逻辑关系逻辑关系的数学方法的数学方法称为称为布尔代数布尔代数。后来。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数开关代数或或逻辑代数逻辑代数。l 与普通代数区别：与普通代数区别：与与普通代数有着不同的概念，它表示的普通代数有着不同的概念，它表示的普通代数有着不同的概念，它表示的普通代数有着不同的概念，它表示的不是数不是数不是数不是数量量量量大小之间的关系，而是一种大小之间的关系，而是一种大小之间的关系，而是一种大小之间的关系，而是一种逻辑关系逻辑关系逻辑关系逻辑关系，即研究的是客观事物之间的

3、，即研究的是客观事物之间的，即研究的是客观事物之间的，即研究的是客观事物之间的因果因果因果因果关系关系关系关系，或者说条件、原因与结果之间的关系。，或者说条件、原因与结果之间的关系。，或者说条件、原因与结果之间的关系。，或者说条件、原因与结果之间的关系。注：可与普通代数对应比较学习逻辑代数注：可与普通代数对应比较学习逻辑代数注：可与普通代数对应比较学习逻辑代数注：可与普通代数对应比较学习逻辑代数1/6/20232GUET School of Information&Communications2.1 2.1 2.1 2.1 逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概

4、念F=F=f f（A A1 1，A A2 2，A An n）数字电路也是研究逻辑的数字电路也是研究逻辑的数字电路也是研究逻辑的数字电路也是研究逻辑的，即数字电路的，即数字电路的，即数字电路的，即数字电路的输入、输出的因果关系输入、输出的因果关系输入、输出的因果关系输入、输出的因果关系，也就是，也就是，也就是，也就是研究输入和输出之间的逻辑关系。研究输入和输出之间的逻辑关系。研究输入和输出之间的逻辑关系。研究输入和输出之间的逻辑关系。如图所示如图所示如图所示如图所示:一、一、一、一、基本概念基本概念基本概念基本概念输入输入逻辑变逻辑变量量输出输出逻辑变量逻辑变量逻辑函数逻辑函数式式A A1 1A

5、 A2 2 A An nF FF=f(A1,A2,An)图图图图2 21 1数字电路系统框图数字电路系统框图数字电路系统框图数字电路系统框图1/6/20233GUET School of Information&Communicationsl l取值：取值：取值：取值：无论输入或输出逻辑变量取值只有无论输入或输出逻辑变量取值只有无论输入或输出逻辑变量取值只有无论输入或输出逻辑变量取值只有“0 0 0 0”和和和和“1 1 1 1”，故称为，故称为，故称为，故称为“二值逻辑二值逻辑二值逻辑二值逻辑 ”，通常称为逻辑，通常称为逻辑，通常称为逻辑，通常称为逻辑0 0 0 0和逻辑和逻辑和逻辑和逻辑1

6、 1 1 1。一般用大写英文字母表示。一般用大写英文字母表示。一般用大写英文字母表示。一般用大写英文字母表示l l正正正正逻逻逻逻辑辑辑辑：1 1 1 1代代代代表表表表条条条条件件件件具具具具备备备备或或或或事事事事件件件件发发发发生生生生，如如如如高高高高电电电电平平平平，开开开开关关关关闭闭闭闭合合合合，灯灯灯灯亮亮亮亮等，等，等，等，0 0 0 0代表条件不具备或事件不发生，如低电平，开关断开，灯灭等。代表条件不具备或事件不发生，如低电平，开关断开，灯灭等。代表条件不具备或事件不发生，如低电平，开关断开，灯灭等。代表条件不具备或事件不发生，如低电平，开关断开，灯灭等。l l负负负负逻逻

7、逻逻辑辑辑辑：与与与与正正正正逻逻逻逻辑辑辑辑相相相相反反反反，1 1 1 1代代代代表表表表条条条条件件件件不不不不具具具具备备备备或或或或事事事事件件件件不不不不发发发发生生生生，0 0 0 0代代代代表表表表条条条条件具备事件发生。件具备事件发生。件具备事件发生。件具备事件发生。本课程中只考虑本课程中只考虑本课程中只考虑本课程中只考虑正逻辑正逻辑正逻辑正逻辑l l其其其其中中中中，A1A1，A2A2，An An 也也也也称称称称为为为为逻逻逻逻辑辑辑辑自自自自变变变变量量量量；F F 称称称称为为为为逻逻逻逻辑辑辑辑因因因因变变变变量量量量。当当当当A1A1，A2A2，AnAn的的的的逻

8、逻逻逻辑辑辑辑取取取取值值值值确确确确定定定定后后后后，F F的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑值值值值就就就就被被被被唯唯唯唯一一一一地地地地确确确确定定定定下下下下来来来来，则称则称则称则称 F F 是是是是A1A1，A2A2，AnAn的的的的逻辑函数逻辑函数逻辑函数逻辑函数。特点：特点：特点：特点：1/6/20234GUET School of Information&Communications二、三种基本逻辑运算二、三种基本逻辑运算1.与运算与运算 a.定义定义：该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件：该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件都满足时都满足时，事件才，事件才发生发生这就是这就

9、是与与逻辑关系。逻辑关系。b.真值表真值表l开关：开关：1表示表示闭合闭合，0表示表示断开断开l灯：灯：1表示灯亮，表示灯亮，0灭灭可得如下可得如下真值表真值表：只有输入全为只有输入全为1时，输出才为时，输出才为1ABF000010100111 表2-1-1(a)状态表开关开关A开关开关B灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮ABF图2-2与门电路与门电路 表2-1-1(b)真值表1/6/20235GUET School of Information&Communications c.函数式函数式:在函数式中，用在函数式中，用.表示与运算，记做表示与运算，记做F=A.B 或或 F

10、=AB 又称为又称为与运算与运算或或逻辑乘逻辑乘。d.逻辑符号：逻辑符号：ABF&ABFe.与逻辑运算与逻辑运算0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=11/6/20236GUET School of Information&Communications2.或运算或运算a.a.定义：定义：该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件至少有一个满足时，该图代表的逻辑关系是：决定事件的全部条件至少有一个满足时，事件就发生事件就发生这就是这就是或或逻辑关系。逻辑关系。输入有一个为输入有一个为1时，输出就为时，输出就为1b.真值表真值表ABY000011101111 表2-1-2(a)状态表开关开关A

11、开关开关B灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮 表2-1-2(b)真值表ABF图2-3或门电路或门电路1/6/20237GUET School of Information&Communicationsc.c.函数式函数式：在函数式中，用：在函数式中，用 表示或运算，记做表示或运算，记做F=AB 又称为又称为或运算或运算或或逻辑加逻辑加。d.逻辑符号逻辑符号：ABF1ABF+0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1e.e.或逻辑运算或逻辑运算1/6/20238GUET School of Information&Communications3.非门非门 a.定义：定义：该

12、图代表的逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件不发生该图代表的逻辑关系是：决定事件的条件满足时，事件不发生这就是这就是非非逻辑关系。逻辑关系。b.真值表真值表AY0110表2-1-3(a)状态表开关开关A灯灯断断亮亮合合灭灭ARF图2-4非门电路非门电路 表2-1-3(b)真值表1/6/20239GUET School of Information&Communicationsd.逻辑符号：逻辑符号：A1FAF c.函数式函数式：在函数式中，用：在函数式中，用 表示非运算，记做表示非运算，记做F=A读作读作“A非非”e.非逻辑运算非逻辑运算0=1 1=01/6/202310GUET Schoo

13、l of Information&Communications(1)(2)(3)AB+FABF11AFABFABFAF&ABFAF与逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号ABF逻辑符号总结逻辑符号总结现行国家标准现行国家标准过去适用的符号过去适用的符号国外常用的符号国外常用的符号能能实实现现基基本本逻逻辑辑关关系系的的基基本本单单元元电电路路称称为为逻逻辑辑门门电电路路。如如与与门门、或或门门、非非门门（反相器）等。（反相器）等。1/6/202311GUET School of Information&Communications三、三、几种最常见的复合逻辑运算几种最常见的

14、复合逻辑运算1、与非与非F=A B&ABFAB0 0 0 11 01 1 F1 1102、或非或非1ABFAB0 0 0 11 01 1 F1 000F=A+B1/6/202312GUET School of Information&Communications3.3.同同或或逻辑逻辑若两个输入变量的值若两个输入变量的值相同相同，输出为，输出为1，否则为，否则为0。(1)(2)(3)B=1AFBAFABF运算规则：运算规则：0 0=10 1=01 0=01 1=1一般形式：一般形式：A 0=AA 1=AA A=0A A=1AB0 0 0 11 01 1 F1 001同或逻辑同或逻辑1/6/20

15、2313GUET School of Information&Communications4.4.异或逻辑异或逻辑若两个输入变量的值若两个输入变量的值相异相异，输出为，输出为1，否则为，否则为0。运算规则：运算规则：0 0=00 1=11 0=11 1=0+一般形式：一般形式：A 0=AA 1=AA A=1A A=0+B=1AFBAFABF异或逻辑异或逻辑(1)(2)(3)AB0 0 0 11 01 1 F0 1101/6/202314GUET School of Information&Communications同或同或与与异或异或逻辑的关系：逻辑的关系：+A B =A B A B =A

16、B根据运算规则和真值表可知：根据运算规则和真值表可知：A B =A B A B =A B+若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：A B =A B=A B A B =A B=A B+若变量若变量A和变量和变量B相相同同，则，则A必与必与B相相异异或或A与与B相相异异；反之亦然。因此有：；反之亦然。因此有：1/6/202315GUET School of Information&Communications5.与或非逻辑与或非逻辑 A B C DF 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0

17、1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0函数式形如：函数式形如：F=AB+CD&ABCDF逻辑符号逻辑符号：A与与B等于等于1，或者，或者C与与D等于等于1，Y等于等于0。真值表：真值表：1/6/202316GUET School of Information&Communications(1)关于变量和常量关系的公式关于变量和常量关系的公式.2 逻辑代数的运算法逻辑代数的运

18、算法则则+A 1=AA 0=AA A=1+A 0=AA 1=AA A=1A 1=AA 0=0A A=0A+0=AA+1=1A+A=1(2)交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律：交换律：A+B=B+AA B=B AA B=B AA B=B A+A B C=(A B)C 结合律：结合律：A+B+C=(A+B)+C A B C=(A B)C A B C=(A B)C+一、基本公式一、基本公式1/6/202317GUET School of Information&Communications分配律：分配律：A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)分配律第二公式分配律第二

19、公式A(B C)=AB AC+逻辑函数相等：逻辑函数相等：若两个逻辑函数具有相同真值表，则两者相等若两个逻辑函数具有相同真值表，则两者相等分配律第二公式真值表1111111011111011100111110000100010000000(A+B)(A+C)A+BCCBA1/6/202318GUET School of Information&Communications(3)特殊规律特殊规律重叠律：重叠律：A+A=AA A=AA A=1A A=0+反演律反演律(摩根定理摩根定理)：A+B=A BAB=A+B A B=A B A B=A B+1/6/202319GUET School of I

20、nformation&Communications调换律：调换律：若若A B=C，则必有：，则必有：A C=B，B C=A。若若A B=C，则必有：，则必有：A C=B，B C=A。+A B=A B(A+B)A+B=A B (A B)A+B=A B(A B)A B=A B (A+B)+推论：推论：1/6/202320GUET School of Information&Communications二、基本定理二、基本定理代入定理代入定理任任何何一一个个含含有有变变量量A的的等等式式，如如果果将将所所有有出出现现变变量量A的的地地方方都代之以一个逻辑函数都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，

21、则等式仍然成立。例2-3已已知知等等式式A(B+E)=AB+AE，试试证证明明将将所所有有出出现现E的的地方代之以地方代之以(C+D)，等式仍成立。，等式仍成立。解解 原式左边原式左边AB+(C+D)AB+A(C+D)AB+AC+AD原式右边原式右边 AB+A(C+D)AB+AC+AD所以等式仍然成立。所以等式仍然成立。1/6/202321GUET School of Information&Communications反演定理反演定理设设F是是一一个个逻逻辑辑函函数数表表达达式式，如如果果将将F中中所所有有的的与与运运算算和和或或运运算算互互换换；常常量量0和和常常量量1互互换换；原原变变量

22、量和和反反变变量量互互换换，这这样样得得到的新函数式就是到的新函数式就是F。F 称为原函数称为原函数F的反函数。的反函数。该定理可简单记为：该定理可简单记为：+，0 1,A A 。注意事项：注意事项：1.逻辑运算的优先顺序：逻辑运算的优先顺序：括号括号，与与，或或,异或异或。2.多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。多个变量上的非号的处理：可保持不变；也可用代入法处理。1/6/202322GUET School of Information&Communications解解由反演规则，可得由反演规则，可得注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序解由反演定理，可得解由反演定理，可得若

23、用若用反演律反演律求解，则求解，则已知：已知：Y=A(B+C)+CD例例26 =(A+B C)CD =A CDY=(A+B C)C+DY=(A+B C)C+D1/6/202323GUET School of Information&Communications对偶定理对偶定理设设F F是是一一个个逻逻辑辑函函数数表表达达式式，如如果果将将F F中中所所有有的的与与运运算算和和或或运运算算互互换换；常常量量0 0和和常常量量1 1互互换换，则则可可得得到到一一个个新新函函数数式式F F或或F F。F F称为称为F F的对偶式。的对偶式。该定理可简单记为：该定理可简单记为：+，0 11/6/202

24、324GUET School of Information&Communications对偶定理对偶定理：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。例如证明例如证明 A+BC=(A+B)(A+C)Y=A(B+C)=A+BCZ=AB+AC =(A+B)(A+C)左边：左边：右边：右边：1/6/202325GUET School of Information&Communications三、常用公式三、常用公式1/6/202326GUET School of Information&Communications冗余项公式冗余项公式1/6/202327GUET Sc

25、hool of Information&Communications2.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用事务间的因果关系是一种逻辑关系，可用逻辑函数逻辑函数表示。表示。如如举重裁判举重裁判的例子：的例子：设有三个裁判，分别用设有三个裁判，分别用A,B,CA,B,C表示，其中表示，其中A A是主裁判。是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。规定至少有两个裁判确认（其中必须包含主裁判）时，运动员的试举才算成功。当用当用Y Y表示举重结果时，表示举重结果时，Y Y与与A,B,CA,B,C的逻辑关系可表示为：的逻

26、辑关系可表示为：Y=A(B+C)这就是一个逻辑函数的例子。又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函这就是一个逻辑函数的例子。又如，三变量多数表决逻辑。也是逻辑函数的例子。数的例子。一、逻辑函数一、逻辑函数1/6/202328GUET School of Information&Communications二、逻辑函数的表示方法二、逻辑函数的表示方法常用的有五种：常用的有五种：真值表真值表；逻辑函数式逻辑函数式；逻辑图逻辑图；波形图波形图；卡诺图卡诺图。1.真值表真值表举重裁判的真值表：举重裁判的真值表：左侧是左侧是输入变量输入变量的所有取值，右侧是的所有取值，右侧是输输出变量出变量的值，即函数值。

27、的值，即函数值。当输入变量个数为当输入变量个数为n时，真值表共有时，真值表共有2n行。行。特点：特点：描述逻辑问题方便描述逻辑问题方便；直观直观；较繁琐较繁琐。A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 11/6/202329GUET School of Information&Communications2.函数式函数式举重裁判的函数式：举重裁判的函数式：Y=A(B+C)特点：特点：便于运算、化简；便于运算、化简；便于画逻辑图；便于画逻辑图；不便从逻辑问题直接得到。不便从逻辑问题直接得到。3.逻辑图逻辑图举重裁判

28、函数的逻辑图：举重裁判函数的逻辑图：特点：特点：便于用电路实现。便于用电路实现。&AYBC1/6/202330GUET School of Information&Communications4.波形图波形图YABC举重裁判函数的举重裁判函数的波形图：波形图：特点：特点：便于调试电路。便于调试电路。5.卡诺图卡诺图卡诺图后面重点介绍卡诺图后面重点介绍1/6/202331GUET School of Information&Communications6.表示方法间的相互转换表示方法间的相互转换真值表真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 黑箭头容易实现。红篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。下黑箭头

29、容易实现。红篮箭头不能直接实现，可借助函数式实现。下面要重点介绍红箭头，即由面要重点介绍红箭头，即由真值表求函数式真值表求函数式。三、逻辑函数的两种标准形式三、逻辑函数的两种标准形式 逻辑函数的两种标准形式分别是逻辑函数的两种标准形式分别是与或式与或式和和或与式或与式，我们重点，我们重点介绍与或式。首先，介绍介绍与或式。首先，介绍最小项最小项和和最大项最大项。1/6/202332GUET School of Information&Communications(一）最小项和最大项最小项和最大项（1）定义最小最小项项(与项与项）最大最大项项(或项或项）定定义义注：注：在提到最小项和最大项时，一定

30、要说明在提到最小项和最大项时，一定要说明变量的数目变量的数目，否则没意义的。，否则没意义的。例如：三例如：三变变量最小量最小项项四四变变量最小量最小项项三三变变量最大量最大项项四四变变量最大量最大项项l一个一个n n变量的最小项，变量的最小项，就是一个包含所有就是一个包含所有n n变量的逻辑变量的逻辑“与与”项项，其中每个变量都以其中每个变量都以原原变量变量或或反变量反变量的形式的形式出现一次。出现一次。l一个一个n n变量的最大项，变量的最大项，就是一个包含所有就是一个包含所有n n变变量的逻辑量的逻辑“或或“项项，其，其中每个变量都以中每个变量都以原变量原变量或反变量或反变量的形式出现一的

31、形式出现一次，且仅出现一次。次，且仅出现一次。1/6/202333GUET School of Information&Communications（2）表示方法表示方法最小项最小项(m(mi i)最大项最大项(M(Mi i)表表示示方方法法例如：三例如：三变变量最小量最小项项；四四变变量最小量最小项项 三三变变量最大量最大项项四四变变量最大量最大项项注：注：将项号将项号i二进制代入，有二进制代入，有mi=1,Mi=0l通常用通常用m mi i来表示最小项，来表示最小项，其中下标其中下标i i叫做项号，它的叫做项号，它的确定原则是：确定原则是：原变量用原变量用“1 1”表示，反变量用表示，反变

32、量用“0 0”表示表示。l通常用通常用MMi i来表示最大项，来表示最大项，其中下标其中下标i i叫项号，它的叫项号，它的确定原则是：确定原则是：原变量用原变量用“0 0”表示，反变量用表示，反变量用“1 1”表示表示。1/6/202334GUET School of Information&Communications表2-3-1 3变量最小项与最大项AB00011000C0101100111110101对应最小项对应最小项(m i)A B C=m0A B C=m1A B C=m2A B C=m3A B C=m4A B C=m5A B C=m6A B C=m7对应最大项对应最大项(M i)A

33、+B+C=M0A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7可以看出：可以看出：项号相同的最小项和最大项具有互非的特性项号相同的最小项和最大项具有互非的特性。如：。如：1/6/202335GUET School of Information&Communications(3)性质性质最小项最小项最大项最大项性性质质全体最小项之和恒为全体最小项之和恒为1 1对于变量的任一组取对于变量的任一组取值，必有一个也只有值，必有一个也只有一个最大项的值为一个最大项的值为0 0对于变量的任一组取对于变量的任一组取值，必有一个也只有值，必有一个

34、也只有一个最小项的值为一个最小项的值为1 1全体最大项之积恒为全体最大项之积恒为0 0任意两个最小项任意两个最小项m mi i和和m mj(ijj(ij)之积恒为之积恒为0 0任意两个不同最大项任意两个不同最大项之和恒为之和恒为1 1两相邻最小项可以合两相邻最小项可以合并成一项，并可消去并成一项，并可消去一个变量。一个变量。相邻最大项之积可以相邻最大项之积可以合并，消去一个以原合并，消去一个以原变量和反变量出现的变量和反变量出现的变量。变量。1/6/202336GUET School of Information&Communications(二）最小项表达式和最大项表达式二）最小项表达式和最

35、大项表达式最小项表达式的书写形式：最小项表达式的书写形式：(1)(1)最小项表达式最小项表达式全全部部由由最最小小项项相相加加而而构构成成的的与与或或表表达达式式称称为为最最小小项项表表达达式式，又称为，又称为标准与或式标准与或式，或，或标准积之和式标准积之和式。()()=mCBAF7,6,3,1,或写成：或写成：()+=mmmmCBAF,1367可以简写成：可以简写成：+=CBABCACABABCF对于逻辑函数对于逻辑函数1/6/202337GUET School of Information&Communications逻辑函数展开成逻辑函数展开成最小项表达式最小项表达式方方法法：先先变变

36、换换成成与与或或表表达达式式，然然后后将将各各与与项项中中所所缺缺的的变变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一一的最小项表达式。的最小项表达式。1/6/202338GUET School of Information&Communications（2）真值表）真值表最小项表达式最小项表达式A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 方法：将函数值为方法：将函数值为1的行的行对应的对应的最小项最小项取取出相加。出相加。以举重裁判逻辑为例。以举重裁判逻辑为例。Y=1对应对应m5、m6、m7

37、三个最小项，固有：三个最小项，固有：Y=ABC+ABC+ABC简写成简写成Y(A,B,C)=m5+m6+m7或或Y(A,B,C)=或或=)7,6,5(Y(A,B,C)1/6/202339GUET School of Information&Communications最大项表达式的书写形式：最大项表达式的书写形式：(3)最大项表达式最大项表达式全全部部由由最最大大项项相相与与而而构构成成的的或或与与表表达达式式称称为为最最大大项项表表达达式式，又称为，又称为标准标准或与或与式式，或，或标准和之积式标准和之积式。1/6/202340GUET School of Information&Commu

38、nications()两种标准形之间的相互转换两种标准形之间的相互转换a.最小项表达式最小项表达式最大项表达式最大项表达式1/6/202341GUET School of Information&Communicationsb最大项表达式最大项表达式最小项表达式最小项表达式1/6/202342GUET School of Information&Communications2.4 2.4 公式法化简逻辑函数公式法化简逻辑函数化简意义：化简意义：用化简后的表达式构成逻辑电路，可用化简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降节省器件，降低成本，提高工作的可靠性低成本，提高工作的可靠性。乘积项的个数最

39、少；乘积项的个数最少；每个乘积项中包含的变量数最少每个乘积项中包含的变量数最少。逻辑函数式有多种形式逻辑函数式有多种形式:AB+AC 与或式与或式=AB AC 与非与非式与非与非式A(B+C)或与式或与式=AB+C 或非或非式或非或非式与或式使用最多，因此我们只讨论与或式使用最多，因此我们只讨论与或式与或式的最简标准：的最简标准：两次取反两次取反两次取反两次取反1/6/202343GUET School of Information&Communications公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻辑函数。逻辑函数。合并项法：合并

40、项法：利用公式利用公式 将两项合并为一项。将两项合并为一项。1/6/202344GUET School of Information&Communications利用公式，消去多余项。利用公式，消去多余项。消去法：消去法：利用公式利用公式，消去多余因子。，消去多余因子。吸收法：吸收法：1/6/202345GUET School of Information&Communications配项法：配项法：利用公式，利用公式，将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其他乘积项将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其他乘积项进行合并化简。进行合并化简。1/6/202346GUET Schoo

41、l of Information&Communications1/6/202347GUET School of Information&Communications方方法法：将将或或与与表表达达式式转转换换成成它它的的对对偶偶与与或或式式，先先对对与与或或对偶式进行化简，再求化简后的对偶式进行化简，再求化简后的与或与或式的对偶式。式的对偶式。1/6/202348GUET School of Information&CommunicationsF=(ABABCABC)(AD+BC)公式法化简，并没有一套成熟的方法和固定的步骤可遵循，只公式法化简，并没有一套成熟的方法和固定的步骤可遵循，只能多加练

42、习才能生巧。能多加练习才能生巧。解：解：（利用（利用ABABABAB）F(AB+AB)C+ABC)(AD+BC)=(BC+AC)(AD+BC)=ABCD+ACD+ABC=ACD+ABC(利用分配律展开利用分配律展开)=(ABC+ABC+ABC)(AD+BC)=(ABC+AC)(AD+BC)(利用并项法）利用并项法）（利用消因子法）（利用消因子法）(利用分配律展开利用分配律展开)(利用吸收法利用吸收法)例例2141/6/202349GUET School of Information&Communications例2-15：用公式法化简 F=ABC+AC+ABC+BCD=ABC+(A+AB)C+

43、BCD=ABC+AC+BC+BCD=ABC+AC+B(C+CD)=ABC+AC+BC+BD=A(BC+C)+BC+BD=AB+AC+BC+BD=AB+BC+BD公式法化简，并没有一套成熟的方法和固定的步骤可遵循，只公式法化简，并没有一套成熟的方法和固定的步骤可遵循，只能多加练习才能生巧。能多加练习才能生巧。1/6/202350GUET School of Information&Communications卡卡诺诺图图是是一一个个方方格格图图，将将逻逻辑辑变变量量分分成成两两组组，每每一一组组变变量量取取值值组组合合按按循循环环码码的的规规则则排排列列，图图中中的的每每一一个个方方格格对对应应

44、着着逻逻辑辑变量的一个最小项。由变量的一个最小项。由Karnaugh提出，又称提出，又称K图。图。循环码循环码:是指相邻两组编码之间只有一个变量值不同的编码。是指相邻两组编码之间只有一个变量值不同的编码。2.5 卡诺图法化简卡诺图法化简什么是卡诺图什么是卡诺图m000011110CDABm1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m800011110图2-5-3 4变量卡诺图图2-5-2 3变量卡诺图m00001111001BCAm1m3m2m6m7m5m4m0图2-5-1 2变量卡诺图0101BAm1m3m2循环码循环码循环码循环码循循环环码码1/6/202351GU

45、ET School of Information&Communications用卡诺图表示逻辑函数的方法用卡诺图表示逻辑函数的方法依依据据：由由于于任任意意一一个个n n变变量量的的逻逻辑辑函函数数都都可可以以变变换换成成最最小小项项表表达达式式，而而n n变变量量的的卡卡诺诺图图包包含含n n个个变变量量的的所所有有最最小小项项，所所以以n n变变量量的的卡卡诺诺图图可可以以表表示示n n变量的任意一个逻辑函数。变量的任意一个逻辑函数。001001110001111001BCA图2-5-4 卡诺图标记法方方法法：逻逻辑辑函函数数包包含含有有哪哪几几个个最最小小项项，就就在在卡卡诺诺图图相相对

46、对应应的方格内填的方格内填1 1，其余各方格填，其余各方格填0 0（注：（注：0 0可省略）可省略）。例例如如：逻逻辑辑函函数数 ，可可在在变变量量卡卡诺诺图图对对应的应的m3，m5，m6，m7方格内填方格内填1，其余方格填，其余方格填0。填填1的的方方格格表表示示当当函函数数的的变变量量取取值值与与方方格格所所对对应应的的变变量量取取值值相相同同时时，逻逻辑辑函函数的值为数的值为1。1/6/202352GUET School of Information&Communications00000110000111100001ABCD111100111110图2-5-5 函数F=m(12,13,

47、5,7,10,11,14,15)的卡诺图如如果果逻逻辑辑函函数数不不是是最最小小项项表表达达式式的的形形式式，通通常常采采用用以以下下两两种方法填写卡诺图：种方法填写卡诺图：(1)(1)将逻辑函数变换成最小项表达式的形式。将逻辑函数变换成最小项表达式的形式。1/6/202353GUET School of Information&Communications(2)(2)观观察察法法：对对于于某某乘乘积积项项，找找出出所所有有使使得得该该乘乘积积项项为为1 1的的变变量量取取值值情情况况，则则在在这这些些变变量量取取值值所所对对应应的的方方格格内内都都填填1 1，就就是是该乘积项的卡诺图表示。该

48、乘积项的卡诺图表示。1111111000111100001ABCD1110图2-5-6 F=ABC+CD+BD的卡诺图对于乘积项对于乘积项，只有当变量取值为，只有当变量取值为0100和和0101时，乘积时，乘积项的值为项的值为1，所以在卡诺图对应的，所以在卡诺图对应的m4、m5方格内填方格内填1。对对于于乘乘积积项项BD，只只有有当当变变量量B和和D都都为为1时时，乘乘积积项项的的值值才才为为1，所所以以在在满满足足该该条条件件的的m5、m7、m13、m15四四个个方方格格内内填填1。其其余余乘积项按相同方法处理。乘积项按相同方法处理。1/6/202354GUET School of Info

49、rmation&Communications(a)F=A B(b)F=A C(c)F=BC图2-5-7 两个相邻项的合并举例110001111001BCA1011110110001111001BCA10001BCA3 3利用卡诺图合并最小项的规律利用卡诺图合并最小项的规律依依据据：在在卡卡诺诺图图中中，处处于于相相邻邻位位置置的的两两个个最最小小项项都都只只有有一一个个变变量量表表现现出出取取值值0 0和和1 1的的差差别别，根根据据公公式式ABAB+ABAB=A A，这这两两个个最小项就可以合并为一项。最小项就可以合并为一项。(1)(1)个相邻项的合并个相邻项的合并个个相相邻邻的的1 1格格

50、圈圈在在一一起起，产产生生的的合合并并项项由由圈圈内内没没有有0 0、1 1变变化的那些变量组成，消去了一个变量。化的那些变量组成，消去了一个变量。相邻指有公共边或几何位置对称相邻指有公共边或几何位置对称1/6/202355GUET School of Information&Communications110001111001BCA图2-5-8 4个相邻项的合并举例0111100001111001BCA(a)F=B(b)F=A(c)F=C10001BCA111111111(2)(2)个相邻项的合并个相邻项的合并个个相相邻邻的的1格格圈圈在在一一起起，有有两两个个变变量量表表现现出出0、1的的