单因子实验及变异数分析.ppt

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1、Chap 3 單因子實驗及變異數分析 Single-Factor Design1、完全隨機設計 Completely Randomized Design(Chap3)2、區集設計(Chap4)A Complete Randomized Block DesignA Latin Squares Design A Balanced Imcomplete Block Design3、共變量設計 Randomized Design with Covariate(15-3)4、隨機變因設計 Randomized Design with Random Factor (Chap 14)1dsn3_1 Sing

2、le-factor experiment with a treatments,A1,Aj,Aa The number of the observations under Aj is nj.The experiment is performed in a random order.(避免未知干擾因素的影響)Completely Randomized Design,CRD2dsn3_13-1 EXAMPLE(p61)調查 RF power setting 及 etch rate 之關係 Factor:RF power Response:etch rate 取 4 levels(treatments

3、):160w,180w,200w,220w 每一level 測試 5 件，即 為5 replicates these 20 runs are in a random order (see p62)Data and average3dsn3_1預檢資料由資料的圖形看出那些直觀的結論？如何佐證？(1)RF power setting affects the etch rate,(2)higher power settings result in increased etch rate.(3)The variability in etch rate does not depends on the p

4、ower setting.資料圖4dsn3_1上列三資料圖形，那一個是四組有明顯差異？那一個是四組無明顯差異？觀察四組的中心點和分散度，如何根據它們來分出有沒有明顯差異？(c)(b)(a)5dsn3_13-2 Aanlysis of Variance (ANOVA)變異數分析變異數分析 fixed effects model for balanced complete randomized design Yij=+i+ij,i=1,a,j=1,n Yij the(ij)th observation;the overall mean i the ith treatment effect;ij a

5、 random error DataModel暫設各組樣本數相同6dsn3_1說明說明:此資料含 a 個 treatments,每一 treatment 有 n 個 replicates 固定因子時，稱為 fixed effect design 重複個數相同時，稱為 balanced design 此類模式稱為 linear statistical models註註:1、model Yij=+i+ij,與 model Yij=i+ij 相同 2、balanced design 與 unbalanced design 的分析方法相同。3、若 a 項 treatments 是隨機決定的，此時i 為

6、一 random variable,稱為 random effect model,在 chap 12 討論此模式。7dsn3_1Subject 檢定因子的影響是否存在等同於 檢定各處方的均值是否有差異Yij=+i+ijYij=i+ij8dsn3_1分解 Total SS:SST=SSTr+SSEThus,where SST:total corrected sum of squares (=SSY)SSTr:sum of squares due to treatments(組間平方和)SSE:sum of squares due to error(組內平方和)理 論The fundamental

7、 ANOVA identity9dsn3_1註註:1、是Yij的變異數，代表 整體Y的變化2、此處將資料整體離差之平方和分解為 組間(平均數離差)平方和 及 組內(資料變化)平方和為 a 組資料的 pooled sample varianced,用以估計共同變異數Mean Square 証明？10dsn3_1期望值：証明？11dsn3_1分配：註：Thm 3-1 Cochrans theorem:Q chi-square(v),and Q =Q1+Qs,Qs has vi degrees of freedom.Q1,Qs are independent chi-square random va

8、riables with v1,vs d.f.if and only if v=v1+v2+vs 2.SSTr 與 SSE 自由度的和=SST 自由度12dsn3_1結論：When F0 F;(a-1,N-a),reject H0；因子的影響是顯著的，或，各組的平均值有顯著差異。When H0 is not true,E(MSTr)E(MSE)；F0 之值偏大。故得到太大的 F0 值時，應該拒絕 H0，而 F0 是一F分佈，設定顯著水準為時，F；(a-1,N-a)是臨界值。檢定法檢定量：(p-值=P(F F0)，當 p-值 F0)ErrorSSEN-aMSETotalSSTN-1和和14dsn

9、3_13-1 EXAMPLE(p61)調查 RF power setting 及 etch rate 之關係 Factor:RF power Response:etch rate 取 4 levels(treatments):160w,180w,200w,220w 每一level 測試 5 件，即 為5 replicates these 20 runs are in random order (see p62)Data and average15dsn3_1yij2=,yij=,yi.2=,SST=SSTr=SSE=參考SASOutput etch_rate研究目的:RF power 對 et

10、ch rate 是否有影響？16dsn3_1結論：在 0.01顯著水準，RF power 對 etch rate有顯著的影響。(四組的平均 etch rate 有顯著的差異)(p-值=0.0001)17dsn3_1點估計以下分別為i,i i 以及 ci i 的單一信賴區間。(one-at-a-time C.I.)註：i,i i 可估計，但 i 不可估計分布區間估計18dsn3_1快速計算法資料經過線性轉換後，F-值不變。故可重新編碼(coding),以簡化計算。例3-1的資料減去 600，可得到同樣的 F0-值 Why?19dsn3_1Model:Yij=+i+ij,i=1,a,j=1,ni

11、where i=0 Unbalanced Data計算：註:unbalanced data 與 balanced data 的分析方法相同。採用 balanced data 之優點：1、當樣本數相同時，檢定量對違背同變異數較不敏感。2、當樣本數相同時，檢定力達到最大。每組的觀察個數不同20dsn3_1模式假設:ij NID(0,2)，模式之三假設：1.Normality 常態性2.Independence 獨立性3.Homogeneity 同質性(Constant variance)3-4 Model Adequacy Checking藉由 residual 之值來檢查資料是否適合用 ANOV

12、A(t-化殘差)21dsn3_11.以殘差之 normal probability plot(Fig 3-4)及常態檢定結果來檢視常態性2.按實驗次序畫出殘差，檢視獨立性 (Fig 3-5)3.以殘差對各組平均數圖檢視同變異性(Fig 3-6)4.以 Bartletts 或 Levenes 方法檢定同變異性。6.是否存在其他影響因素。5.當資料違反等變異數時，可以資料轉換修正。Checking Guide22dsn3_1Figure 3.5 (p.78)殘差圖，橫軸為實驗順序Figure 3.6 (p.79)殘差圖，橫軸為 Y 估計值23dsn3_1Bartletts test (假設資料是常

13、態)由共同變異數與各變異數之差異作為檢定的標準，Bartletts test 對常態的假設很敏感等變異數檢定法Modified Levene test 由各組絕對離差(absolute deviation),dij,為檢定的標準，應用ANOVA至 dij，由 F-test 之 p-值判斷各組分散度是否相等。此法對違背常態的資料仍然是穩定的。24dsn3_1變異數與平均數相關時之轉換法原理:利用轉換式 Y*=Y1-，將可得到 constant var.25dsn3_1方法:1.由 yij 對各組平均數之圖 或 Si 對平均數之圖，觀察 之 趨勢，以決定值。(Fig.3.7,fig.3.8)2.B

14、ox-Cox 法:以不同的值代入，得到 SSE()，取使達到最小的SSE()值。26dsn3_1Figure 3.7 (p.83)殘差圖，橫軸為 Y 估計值Figure 3.8 (p.84)Plot of log Si versus log y-barfor the peak discharge data from Example 3.5.27dsn3_1EXAMPLE 3.5(p 81)比較測量洪水頻率的四種方法 Factor:方法 Response:最高流量 5 treatments,6 replicates Analysis method N Mean Std Dev 1 6 0.710

15、0000 0.66109001 2 6 2.6266667 1.19220244 3 6 7.9300000 1.64707013 4 6 14.7150000 2.80089093四方法之平均數與標準差如上，由log(S)對 log(mean)的圖，估計y 的轉換可使各組變異接近。(fig3-8 之斜率=0.5)28dsn3_1Y 與 Y 圖形比較殘差圖29dsn3_1 Y 之 ANOVA 表，結論為四方法有顯著差異在實作上，實驗者通常會試用數個轉換方程式，由觀察殘差圖之結果，選一最滿意的轉換式處理資料。30dsn3_1變數轉換對分佈的影響線性轉換 通常不會改變原資料的分佈型態次方或對數的轉換會改變分佈的形態。原資料分佈對數轉換後分佈31dsn3_1