有限单元法 第6章 平板弯曲问题的有限元分析.ppt

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1、 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法第6章平板弯曲问题的有限元分析 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法教学提示：对于工程中经常遇到的不规则薄板，经典理论通常显得无能为力，此时必须运用数值方法进行分析。本章就平板弯曲问题的有限元分析进行了介绍，分别运用三角形单元、矩形单元、八结点四边形等参单元等单元划分形式对平板弯曲问题进行介绍，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等方面。教学要求：本章要求学生重点掌握运用三角形单元进行薄板的有限元分析，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等。同时要熟悉矩形单元的运用，了解八结点四边形等参单元的分析过程。有限单元法有限单元

2、法有限单元法有限单元法6.1薄板受弯分析的基本方程 当薄板上受有一般载荷时，总可以把个荷载分解为两个分量：一个是作用在薄板中面内的中面荷载（也称纵向荷载）；另一个是垂直于中面的法向荷载（也称横向荷载）。对于中面荷载，可以认为它们沿薄板的厚度均匀分布，因而它们所引起的位移、应变和应力，可以按平面应力问题进行分析。横向荷载将使薄板发生弯曲和翘曲，它们所引起的位移、应变和应力，应按薄板弯曲问题进行计算。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面称为弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移称为挠度。本节只介绍薄板弯曲的小挠度理论，即薄板虽然很薄，但仍具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于其厚度。有限单元法有限

3、单元法有限单元法有限单元法6.1.1基本假设分析薄板弯曲的挠度问题时，和材料力学中分析直梁的弯曲问题时相似（薄板的中面相当于直梁的轴线，薄板的弹性曲面相当于直梁的挠曲线），也采用一些由实践经验得到的基本假设，使问题大大简化，但同时又能在一定程度上反映实际情况。这些基本假设是：（1）薄板的法线变形后没有伸缩。（2）变形前的中面法线在变形后仍是弹性曲面的法线。（3）薄板中面内各点，没有平等于中面的位称。（4）忽略挤压应力所引起的变形。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1.2几何方程取薄板的中面为xy面，z轴垂直于中面，如图6.1所示。由假设（1）可知，再由 ，可得 。也就是说，中面法线上

4、的所有各点具有相同的位移，即弹性曲面的挠度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法根据假设（2），可以推知：薄板的法线（z方向线段）与x方向或y方向的线段保持垂直，即没有剪应变，也就是：上式也可写成：对式（6-1）进行积分，注意到只是x和y的函数，不随z而变，因而得：（6-2）（6-1）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法假设（3）可以表示为，代入到式（6-2）得：于是式（6-2）就简化为：（6-3）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法现用挠度来表示应变，不难得到：这就是弯曲薄板的应变与挠度之间的几何方程。（6-4）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法在小变形情况下，和分别为弹性

5、曲面在x和y方向的曲率和，而为弹性曲面在x和y方向的扭率。这三个参数称作弹性曲面的弯扭变形分量，它们完全确定了薄板内各点的应变分量。用矩阵可表示为：（6-5）将上式代入到式（6-4），得到：（6-6）从上式中可以看出，薄板内所有各点的应变分量都可由弹性曲面的弯扭变形求出。因此，有时也把式（6-5）称作薄板弯曲问题的几何方程。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1.3物理方程假设（4）说明：可以忽略挤压应力引起的变形。因此薄板内各点的应变分量可用应力分量来表示，即：这和薄板平面应力问题中的物理方程相同，由式（6-7）解出应力，可得：（6-7）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将式（

6、6-4）代入上式，得到用挠度表示的应力分量，用矩阵来表示可写成：（6-8）（6-8）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：（6-9）在薄板的弯曲问题中，由于大多数情况下，都很难使得应力分量在薄板的侧面上（板边上）精确地满足应力边界条件，而只能使这些应力分量所组成的内力整体地满足边界条件，因此，有必要考察薄板横截面上的内力。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从薄板内取出一个平行六面体，它在x和y方向上具有单位宽度，在z方向的高度为t（图6.3）。在x为常量的横截面上，作用有和。由于和都和z成正比，所以它们在薄板全厚度上的代数和分别等于零。只可能分别合成弯矩和扭矩。用表示由所合成的单

7、位宽度上的弯矩，则得：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将式（6-8）中的的表达式代入上式，并对z积分，得到与此相似，应力分量将合成扭矩将式（6-8）中的表达式代入上式，并对z积分，得到 （6-11）（6-10）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法同样，在y为常量的横截面上，每单位宽度上的和也分别合成如下的弯矩和扭矩在这里可以看到，由剪应力和的互等关系，得到扭矩和的互等关系。将式（6-10）、（6-11）和（6-12）中的第一式合并起来，用矩阵表示，则有（6-12）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中是薄板弯曲问题的弹性矩阵，它等于平面应力问题中的弹性矩阵乘以。式（6-13）

8、表示了薄板的内力与应变两者之间的关系，因而是薄板弯曲问题中的物理方程。（6-13）（6-14）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法弯矩和扭矩、的方向及其作用面的位置示于图6.4a中。按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如图6.4b所示（图中所示各力偶的方向均为正）。从式（6-13）中解出、，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。图6.4（a）（b）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从式（6-13）中解出、，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。（6-15）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2三角形单元 有限单元法有限单元法有限单元法有限

9、单元法6.2.1位移模式问题为保证挠度 w 为坐标的全三次多项式，从帕斯卡三角形可知必须要有10项，但三角形3个结点只能有9个自由度，若舍去三次项中的任一项，显然都无法保证对坐标的不变性，为此Tocher提出了一种解决方案如下：但是当三角形的二边分别平行坐标x轴、y轴时，从式（6-16）无法通过结点的位移条件来确定广义坐标参数，为此必须在离散化时设法避免边界（内部）单元不出现上述现象，分析结果表明此位移模式对应的单元能得到很好的结果。（6-16）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法另一解决方案是Adini提出的此方案由于舍去了二次项xy，故常扭率无法得到保证，从而位移偏小，精度很差。这也可

10、以从挠曲函数的Taylor级数展开来说明，由于不包含完全二次项，故只能有一阶精确度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法还有一种Bell提出的解决方案，他对三角形单元除了3个角点作为结点外，取形心点挠度作为位移参数，从而取位移模式为全三次多项式利用10个位移参数条件确定广义坐标参数，通过分析建立起单元刚度、等效结点荷载矩阵，在整体分析之前采取如下措施消去内点自由度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法单元刚度方程 （6-19）式中 从式（6-19）的第二个方程可解出：（a）将式（a）代回式（6-19）第一个方程并进行整理，可得：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法设单元刚度矩阵：等

11、效结点荷载：（6-20）则单元刚度方程为 （6-21）通过静力凝聚最后获得了9自由度的三角形单元。但是Zienkiowicz曾指出这样所得到的单元不能保证收敛性，因此，通常采用另外一种位移模式，即下面介绍的面积坐标面积坐标下的位移模式。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2.2面积坐标下的位移模式 设面积坐标变量为。其定义如下：如图6.6所示，三角形单元中任意一点P的位置可以由如下三个比值来确定：A为三角形单元的面积，为小三角形面积 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法根据三角形面积公式，可以得到面积坐标与直角坐标的关系为：式中 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法Zienki

12、owicz等采用面积坐标解决了直角坐标下所产生的困难，提出了如下的位移模式利用结点的位移参数条件可以确定广义坐标参数，从而建立形函数（当然也可象前面介绍的那样由形函数性质来确定）如下（a）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中脚标轮换规则为 1231，如果注意到：则式（a）可改写成：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从式（c）出发，可按如下两步法确定形函数：（1）以、作为结点自由度（位移参数），求对应它们的形函数；（2）利用关系式 将（1）中的、变换成、，然后进行合并整理即可得到对于（、）结点位移参数的形函数。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法下面具体推导如下：（1）由、的位

13、移条件可得、(e)（2）由式（c）求导可得 (f)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（3）建立如下位移条件（g）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法并由此求得式：（h）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（4）将式（e）和式（h）代回式（b）并整理，可得：式中：（j）（i）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（5）将式（d）代入式（i）并再整理即可得：其中：（第二脚标轮换）1231不难验证所得形函数与式（6-22）完全相同。但这种推求方法显然比普通广义坐标法直接求而后得形函数要方便得多。（6-23）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2.3单元分析无论是以式（6-16

14、）还是用式（6-22）、（6-23）建立单元的挠度场，有了w就可用常规方法来进行单元列式。下面以面积坐标的形函数和式（6-23）来推导并给出三角形单元的显式单元刚度矩阵等等。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法注意到面积坐标，设取、为独立坐标，则：由此不难得到：式中A是三角形单元中面面积。（6-24）（6-25）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法因此，可得形变矩阵为：设：（6-27）（6-26）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：因为是面积坐标三次式，因此是面积坐标一次式。若记（a）（6-28）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法则可得（6-29）式中（d）（c）（b）

15、有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中、为i结点的3个面积坐标，也即i结点的。（e）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法若将单元刚度矩阵写成分块子矩阵形式，则对各向刚性薄板若将单元刚度矩阵写成分块子矩阵形式，则对各向刚性薄板（6-30）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：其中：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法因为式中 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法利用并记：则单元刚度子矩阵 为（6-33）（6-31）（6-32）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法若单元上受垂直中面的分布荷载作用，则等效结点荷载为当q为常数时，有式（6-35）（6-34）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法经推导，若记（各向同性时）（6-37）（6-36）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中，则薄板内力矩阵可写作：（6-38）由此式可见，的每一列的物理意义为“单位位移引起板中任一点的内力（点位置取决于、和）”。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法结束