中考数学压轴题全解析.pdf

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1、12021 年浙江中考压轴大题详解2021 杭州中考 T23如图，锐角三角形 内接于 ， 的平分线 交 于点 ，交 边于点 ，连接 .(1) 求证：.(2) 已知 = , = = ，求线段 的长（用含 , 的代数式表示）.(3) 已知点 在线段 上（不与点 ，点 重合） ，点 在线段 上（不与点 ，点 重合） ， = . 求证：2= .解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 因为 平分 ，所以 = ，又 = (同弧所对圆周角相等)，所以 (AAA).(2) 因为 = = ，由（1）可知 = = ，所以 = .(3) 我们不妨逆推， 要证 2= ， 只需证： ， 即证： =，这是成立的，

2、因为 = +，又 = +，而 = , = ，所以， = + 成立，命题得证！评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋总体难度较小。第二问没有到达该有的难度；最后一问思路明确，无难点，完全可以改成一道小题。22021 宁波中考 T24如图 1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点 ，满足 =，连结 并延长，交 的延长线于点 ， 与 交于点 .(1) 若 = ，请用含 的代数式表示 .(2) 如图 2，连结 ， = ，求证： = .(3) 如图 3，在 (2) 的条件下，连结 ， = 2.x 若 tan =32，求 的周长.y 求 的最小值.3解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 由题

3、意可知： = = (等弧所对圆周角相等)，又因为 为直径，所以 = 90，所以 = 90 .(2) 由题意，我们不难想到去证明 . 因为 = (同弧所对圆周角相等)，又 = 180 = 90+ ， = 180 =180 = 90+， 又 = ， 所以 ()， 所以 = .(3)x 因为 = 2,tan =32， 所以 =3, =7， 又 = = =2，则 = 1, = 1. 连结 ，可得 =12, =32，又 = = 1，从而 =72，从而 的周长为5+72.y 作 交 于点 ，则 = ，又 = ，所以 ，不妨设 = ，则 = 2 ，由射影定理， = 2(2 )，所以 = 2(2 ) + 2=

4、 ( 1)2+ 3 3.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋难度较大，综合性较强，融合了圆、三角函数、全等、二次函数等相关知识，值得反复品味。特别是最后两问，考场上要能做出来并不是非常容易的。42021 温州中考 T24如图，在平面直角坐标系中， 经过原点 ，分别交 轴、 轴于点 (2,0),(0,8)，连结 . 直线 分别交 于点 ,(点 在左侧)，交 轴于点 (17,0)，连结.(1) 求 的半径和直线 的函数表达式.(2) 求点 , 的坐标.(3) 点 在线段 上，连结 . 当 与 的一个内角相等时，求所有满足条件的 的长.5解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 因为 (2

5、,0),(0,8)，所以 (1,4)，所以 =17，利用待定系数法可求得 = 14 +174.(2) 不妨设 (,14 +174)，则 = ( 1)2+ (14 +174 4)2=17，解得(3,5),(5,3).(方法较多，此处不一一列举)(3)x当 = 时， 我们会发现 = = 45， 又 = = 32，此时 ()，所以 = = 8，所以 1(10,0)；y 当 = = 45时，显然，此时 2(5,0)；z当 = 时，我们发现 = = 45，所以 ，且相似比为=328，所以 = 328=94，所以 3(174,0).评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋难度中偏下，无思路上的障碍，做起来

6、较为流畅，拿到绝大部分的分数是没有问题的。62021 绍兴中考 T24如图，矩形 中， = 4，点 是边 的中点，点 是对角线 上一动点， = 30. 连结 ，作点 关于直线 的对称点 .(1) 若 ，求 的长.(2) 若 ，求 的长.(3) 直线 交 于点 ，若 是锐角三角形，求 长的取值范围.7解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 如下图所示，当 时，不难得出此时 1= 3.(2) 如下图所示， 可知此时 平分 ， 由角平分线定理可得 2=+11=2.(3) 经过大致画图，可分为以下两种情况：x如下图所示， 介于 3和 4之间，由 (2) 可知 3= 2，下面求 4，由角平分线定

7、理可得 4=+4 4= 6 23. 所以，2 6 23.y如下图所示， 介于 5和 6之间，又显然 6已不在线段 上，所以 8，又容易计算得 5= 6. 所以 6 0) 图象上的一个动点，连结 ， 的延长线交反比例函数 =( 0, 0, 0) 的图象于点 ，连结 . 试探究：对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积是否会发生变化？请说明理由.解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 设 (,1)，则 (,1)，从而 = ，又 /，所以四边形 是平行四边形 (一组对边平行且相等).(2) 设 (,1)，则 =12，与 =4联立得 (2,2)，从而 =121 2 = 1.(3) 设 (

8、,1)， =12，(0,1)，因为 /，所以 =12 +1，与 =联立，消去 得 22 = 0，即 =11+42. 从而 = =12 (111+42) =1+1+44. 即对于确定的实数 ， 的面积不改变.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋难度较低，感觉适合做选填压轴，硬算即可。92021 嘉兴中考 T24小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后，进一步开展探究活动：将一个矩形 绕点 顺时针旋转 (0 90)，得到矩形 ，连结 .【探究 1】如图 1，当 = 90时，点 恰好在 延长线上. 若 = 1，求 的长.【探究 2】如图 2，连结 ，过点 作 /交 于点 . 线段 与线段

9、相等吗？请说明理由.【探究 3】在探究 2 的条件下，射线 分别交 ,于点 ,(如图 3)，发现线段, 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 不妨设 = ，则 ，从而1=1+，解得 =5+12(另一解舍去).(2) 连结 ,， 因为 = ， 所以 = ， 又 = =，从而 = ，从而 = .(3) 我们知道 = ，所以 ，从而有 2= ，下面想证： = . 容易知道 ， 所以 = ， 从而 = +， 而 = +， 从而 = ，从而 = ，即 2= .评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋难度较小，结合了全等和相似，通过书本的例题课外延

10、伸拓展，还是蛮有水准的。102021 金华中考 T24在平面直角坐标系中，点 的坐标为 (73,0)，点 在直线 =38 上，过点 作 的垂线，过原点 作直线 的垂线，两垂线相交于点 .(1) 如图，点 ， 分别在第三、二象限内， 与 相交于点 .x若 = ，求证： = ；y若 = 45，求四边形 的面积.(2) 是否存在点 ，使得以 , 为顶点的三角形与 相似？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由.11解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1)x因为 = ，所以设 = = ，则 = 90 ， = = 90 ，所以 = .y作 垂直直线 于点 ，则根据点到直线距离公式可得 =|38(73

11、)|1+(38)2= 3，又 = = 45，从而， = = 3， = =2 2= 5，从而，四边形 的面积为12 5 5 +12 32 52 =552.(图略)(2) 我们可以根据点 与点 与点 的位置关系进行分类：x如下图 1， 当点 在点 左侧时， 显然此时 ， 所以 = ，又 = ，所以，点 为线段 的中点，所以 ，所以， = = 4， = = 5，所以 = 9.y 当点 在点 与点 之间时，(i) 如上图 2，当 = 时，又 = ，所以我们延长 和 ，交于点 ，有 = ，所以 ，所以， = =12 = 4.(ii) 当 = 时，此时 /，设 = ，则有=，即3=83，解得 = 4 7.

12、(图略)z如上图 3， 当点 在点 右侧时， 显然此时 ， 所以 = ，此时 = = (通过角相等证明)，所以 ，从而 = =12 = 4， = = 5，所以 = 1.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋此题难度中篇上，查考分类讨论的思想，对于相似和全等都有所体现，作为一道压轴题还是挺不错的！122021 衢州中考 T24【推理】如图 1， 在正方形 中， 点 是 上一动点， 将正方形沿着 折叠， 点 落在点 处， 连结 ,， 延长 交 于点 .(1) 求证： ；【运用】(2) 如图 2，在【推理】条件下，延长 交 于点 . 若=45， = 9，求线段 的长.【拓展】(3) 将正方形改成矩

13、形， 同样沿着 折叠， 连结 ， 延长 , 交直线 于 , 两点，若= ，=45，求的值 (用含 的代数式表示).13解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1) 证明略；(2) 设正方形边长为 ，易知： = ，所以， = ，所以 + = = = 9，从而， = 4， = + 5，在直角三角形 中，由勾股定理可知：( 4)2+ 2= ( + 5)2，解得 = 9 + 310，即 = 310.(3) 显然此题需要根据点 的位置进行分类讨论：x当点 在点 右侧时，延续 (2) 中的思路，我们设 = ，则 = ，不妨设 = 4, = = 5，根据 ，可得 =9，从而， = 4， = + 5，在直角

14、三角形 中，由勾股定理可知：( 4)2+ ()2= ( + 5)2，整理得 22 18 9 = 0，根据求根公式可得 =9+39+22，则=99=9+23.y同上思路，设 = ，则 = ，不妨设 = 4, = = 5，根据，可得 =1，从而在直角三角形 中，由勾股定理可知：( + 4)2+ ()2= ( + 5)2，可得 =1+1+922，则=11=1 + 92.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋本题难度中等，第二问是关键，第二问很好地为后面的思路做了铺垫。142021 台州中考 T24如图， 是半径为 3 的 的一条弦， = 42，点 是 上的一个动点 (不与点 , 重合)，以 , 为

15、顶点作平行四边形 .(1) 如图 2，若点 是劣弧 的中点.x求证：平行四边形 是菱形；y求平行四边形 的面积.(2) 若点 运动到优弧 上，且平行四边形 有一边与 相切.x求 的长；y直接写出平行四边形 对角线所夹锐角的正切值.解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1)x = ，显然平行四边形 是菱形；y连 ，连 与 交于点 ，则 =2 2= 1，即 = 4，则 =12 42 4 = 82.(2)x如图所示，连 ，将其延长并交 于点 ，由相切可知 ，所以 = 90，由垂径定理可知 为 中点，所以此时 = 42. 可知另一种情况即为此时 的长度，连 ，设 = = ，则有(42)2 23 =

16、32 2，解得 =423，则 =823.y作 ，在 中，用等积法可以求得 =329，进而可以求得 =2 2=2829，则 =1029，所以 tan =825.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋本题难度中偏下，应该是比较好拿分的一道题，只是后面计算有点复杂.152021 丽水中考 T24如图，在菱形 中， 是锐角， 是 边上的动点，将射线 绕点 按逆时针方向旋转，交直线 于点 .(1) 当 ， = 时，x求证： = ；y连结 ,，若=25，求 菱形的值.(2) 当 =12 时，延长 交射线 于点 ，延长 交射线 于点，连结 ,，若 = 4, = 2. 则当 为何值时， 是等腰三角形.解答 by 微信公众号：宁波初中数学小屋(1)x设 = = ，则 = + = 90，显然有，所以 = .y显然，设 = = 2，有 ，有 = 3， = 5，则 = = 4， 从而， ， 所以 菱形=12()2=825.(2)首先可证：(=12=，从而， = = ，同理可证： = ). 下面典型的分三种情况讨论：x当 = 时，所以 = = 2，又 ，所以 =13 =43.y当 = 时，显然有 ，从而，=12，所以，所以 = 2.z 当 = 时，同y的方法可知 =15 =45.评注 by 微信公众号：宁波初中数学小屋丽水的题难度不小，颇感意外，这道题应该说不是很好做。