王热学-第二章气体动理论.ppt

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1、第二章第二章 气体动理论气体动理论 (Kinetic Theory of Gases)2.1 理想气体的压强理想气体的压强 2.2 温度的微观意义温度的微观意义 2.3 能量均分定理能量均分定理 2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 2.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 2.1 理想气体的压强理想气体的压强一、一、理想气体的微观模型理想气体的微观模型理想气体理想气体：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。1.对单个分子的力学性质的假设对单个分子的力学性质的假设 分子当作质点，不占体积；分子当作质点，不占体积；分子之间，分子和器壁之

2、间无相互作用，但可分子之间，分子和器壁之间无相互作用，但可 以通过碰撞交换能量动量以通过碰撞交换能量动量；弹性碰撞弹性碰撞(能量动量守恒能量动量守恒)；分子运动分子运动服从牛顿力学。服从牛顿力学。理想气体分子像一个个极小的理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用彼此间无相互作用的的遵守牛顿力学规律的遵守牛顿力学规律的弹性质点弹性质点fr2.对分子集体的统计性假设对分子集体的统计性假设 分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；若忽略重力影响，达到平衡态时分子按位置的分若忽略重力影响，达到平衡态时分子按位置的分 布是均匀的布是均匀的,即分子数密度到

3、处一样，并且有即分子数密度到处一样，并且有dV：体积元体积元 (宏观小，微观大宏观小，微观大)平衡态时，平衡态时，分子速度按方向的分布是均匀的。分子速度按方向的分布是均匀的。每个分子的速度指向任何方向的概率是一样的。每个分子的速度指向任何方向的概率是一样的。二、理想气体压强公式的推导二、理想气体压强公式的推导1.压强宏观意义压强宏观意义SF2.气体压强微观意义气体压强微观意义气体压强等于气体对单位面积器壁的压力，气体对容器壁气体压强等于气体对单位面积器壁的压力，气体对容器壁的压力是气体分子对器壁频繁碰撞的总的的压力是气体分子对器壁频繁碰撞的总的平均效果平均效果。器壁受到的冲量为器壁受到的冲量为

4、3.具体推导具体推导方方法法：理理想想气气体体模模型型出出发发，应应用用力力学学规规律律和和统统计计平平均均，处处理理由由大大量量分分子子组组成的成的质点系质点系对器壁产生的压强。对器壁产生的压强。考考虑虑速速度度为为 的的单单个个气气体体分分子子与与器器壁壁发生弹性碰撞后，发生弹性碰撞后，分子动量的增量为分子动量的增量为：x考考虑虑容容器器壁壁上上一一面面积积元元 dA，速速度度为为 的的气气体体分分子子（这这种种速速度度的的分分子子的的数数密密度度为为 ni ）在在 dt 时时间间间间隔隔内内能能与与面面积积元元 dA 发发生生碰撞的数目为：碰撞的数目为：速度为速度为分子在分子在 dt 时

5、间对时间对 dA 的冲量为：的冲量为：所有分子在所有分子在 dt 时间内对时间内对 dA 产生的总冲量为：产生的总冲量为：气体对器壁的宏观压强为：气体对器壁的宏观压强为：xdA分子的平均平动动能分子的平均平动动能统计规律：统计规律：宏观量宏观量和微观量和微观量的统计平均值的定量关系；的统计平均值的定量关系；对大量气体分子才对大量气体分子才有意义。有意义。问题：问题：问题：问题：压强公式中关键的物理量是什么？压强公式中关键的物理量是什么？压强公式中关键的物理量是什么？压强公式中关键的物理量是什么？n ni i:分子按速度的分布函数分子按速度的分布函数，如麦克斯韦分布函数。，如麦克斯韦分布函数。气

6、体动理论气体动理论气体动理论气体动理论2.2 温度的微观意义温度的微观意义由压强公式由压强公式状态方程状态方程平均平动动能公式平均平动动能公式热力学温度公式热力学温度公式可得可得温度的微观意义：温度的微观意义：温度是气体分子平均平动动能的量度。温度是气体分子平均平动动能的量度。关于温度概念关于温度概念 温度是大量分子热运动的宏观表现，具有温度是大量分子热运动的宏观表现，具有统计意义统计意义，个别，个别 分子并无这种温度概念。分子并无这种温度概念。温度是标志物体内部分子温度是标志物体内部分子无规则热运动激烈程度无规则热运动激烈程度的物理量，的物理量，温度越高，分子的平均平动动能就越大。温度越高，

7、分子的平均平动动能就越大。分子的平均平动动能总和为系统的内动能，与温度有关。分子的平均平动动能总和为系统的内动能，与温度有关。温度和物体的整体运动温度和物体的整体运动 (轨道动能轨道动能)无关。无关。温度还与分子热运动的温度还与分子热运动的平均转动平均转动和和振动动能振动动能有关。有关。一切气体、液体和固体，分子作一切气体、液体和固体，分子作无规则热运动的平均平动动无规则热运动的平均平动动 能都为能都为 3kT/2，与分子质量及分子间有无相互作用无关。与分子质量及分子间有无相互作用无关。两个温度不同的系统达到热平衡的微观过程：平两个温度不同的系统达到热平衡的微观过程：平均平动动能均平动动能 大

8、的分子通过碰撞，将能量传递给大的分子通过碰撞，将能量传递给平平均平动动能小的分子，均平动动能小的分子，直到其相等。这种由于直到其相等。这种由于温度差而传递的能量称为热量温度差而传递的能量称为热量。问题：问题：问题：问题：如果分子是多原子分子，温度是否与其热运动的转如果分子是多原子分子，温度是否与其热运动的转如果分子是多原子分子，温度是否与其热运动的转如果分子是多原子分子，温度是否与其热运动的转动动能和振动动能有关？动动能和振动动能有关？动动能和振动动能有关？动动能和振动动能有关？由只与温度有关的平均平动动能公式得到气体分子由只与温度有关的平均平动动能公式得到气体分子 的的方均根速率方均根速率。

9、M为摩为摩尔质量尔质量m为单个为单个分子质量分子质量同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。如：如：在在0时，时，H2 分子的方均根速率分子的方均根速率 在在0时，时，O2 分子的方均根速率分子的方均根速率例例 1.在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于 1 电子伏特电子伏特?解解:1 eV=1 电子电量电子电量 1伏特伏特 =1.602 10-19 库仑库仑 1 伏特伏特 =1.602 10-19 焦耳焦耳非平衡等离子体：非平衡等离子体：在日光灯中，电子温度约为在日光灯中，电子温度约为 20000 K,2000

10、0 K,而离子而离子 及大量中性原子温度约为室温，这种电子和及大量中性原子温度约为室温，这种电子和 离子温度各不相同的等离子体叫非平衡等离离子温度各不相同的等离子体叫非平衡等离 子体。为什么？子体。为什么？例例 2.某气体在温度某气体在温度T=273K时，压强为时，压强为p=1.0 10-2atm,密度密度=1.24 10-2kg/m3。求：该气体分子的方均根速率求：该气体分子的方均根速率解解:不能直接使用不能直接使用!气体动理论气体动理论气体动理论气体动理论 2.3 能量均分定理能量均分定理自由度数自由度数：确定一个物体的空间位置所需要的独立：确定一个物体的空间位置所需要的独立 坐标的数目，

11、称为该物体的坐标的数目，称为该物体的自由度数自由度数。一、自由度数一、自由度数 i一个一个质点质点的自由度的自由度t=3 (x,y,z)共计共计 3 个自由度个自由度1.单原子分子单原子分子 (如如He)同质点，具有同质点，具有 3 个个平动自由度平动自由度，用，用 t=3 表示。表示。2.刚性刚性双原子分子双原子分子 (如如 H2)暂不考虑双原子之间的振动，即认为分子是刚性的。暂不考虑双原子之间的振动，即认为分子是刚性的。质心平动自由度：质心平动自由度：t=3所以只有两个独立坐标，所以只有两个独立坐标，称为称为转动自由度转动自由度，表示为表示为 r=2。刚性双原子分子总自由度数：刚性双原子分

12、子总自由度数：i=t+r=3+2=5两原子连线定位：两原子连线定位：zxyo o3.刚性刚性三原子分子三原子分子 (如如H2O)刚性三原子分子总自由度数：刚性三原子分子总自由度数：i=t+r=3+3=64.刚性刚性多原子（三个以上）组成的分子的多原子（三个以上）组成的分子的 总自由度数总自由度数同刚性三原子分子同刚性三原子分子 考考虑虑 3 号号原原子子绕绕 1、2 号号连连线线转转动动，需需一一角角量量 ，为转动自由度。为转动自由度。5.n 原子组成的分子的原子组成的分子的总自由度数总自由度数3n其中：其中：3 个平动自由度个平动自由度 3 个转动自由度个转动自由度 3n-6 个个振动自由度

13、振动自由度 当分子运动受到某种当分子运动受到某种约束或限制时，其约束或限制时，其自自由度相应减少由度相应减少 123xyzo o二、能量均分定理二、能量均分定理一个分子的平均平动动能为一个分子的平均平动动能为考虑到考虑到各对应一个平动自由度各对应一个平动自由度能量均分定理：能量均分定理：能量均分定理：能量均分定理：在温度为在温度为在温度为在温度为 T T 的平衡态下的平衡态下的平衡态下的平衡态下，气体分子气体分子气体分子气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于每个自由度的平均动能都相等，而且等于每个自由度的平均动能都相等，而且等于每个自由度的平均动能都相等，而且等于 。平均平动动能在三个平

14、平均平动动能在三个平动自由度间平均分配。动自由度间平均分配。关于分子热运动动能的统计规律，是对大量分子统计平均的关于分子热运动动能的统计规律，是对大量分子统计平均的结果，靠无规碰撞来实现。结果，靠无规碰撞来实现。三、气体分子的平均总动能三、气体分子的平均总动能设分子有：设分子有：平动自由度平动自由度 t 转动自由度转动自由度 r振动自由度振动自由度 v单原子分子单原子分子 刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子分子平均总动能：分子平均总动能：室温至几百度下，实际多原子分子的振动自由度被冻室温至几百度下，实际多原子分子的振动自由度被冻结（量子效应），实际分子可当做刚性分子处理。

15、结（量子效应），实际分子可当做刚性分子处理。理想气体模型理想气体模型的的单原子分子单原子分子 刚性双原子分子刚性双原子分子除平动能，还有除平动能，还有转动能：转动能：z每个转动自由度分配平均动能每个转动自由度分配平均动能每个平动自由度分配平均能每个平动自由度分配平均能四、理想气体的内能四、理想气体的内能气体的内能气体的内能 =总动能总动能 +总势能总势能理想气体的内能理想气体的内能 =总动能总动能 +0 mol 理想气体的内能：理想气体的内能：理想气体分子之理想气体分子之间无相互作用力间无相互作用力1 mol 刚性双原子分子气体内能：刚性双原子分子气体内能：1 mol 单原子分子气体内能：单原

16、子分子气体内能：理想气体的内能是温度理想气体的内能是温度 T T 的单值函数的单值函数 1 mol 刚性多原子分子气体内能：刚性多原子分子气体内能：大量气大量气体分子体分子碰撞碰撞平动自由平动自由度的平均度的平均动能相等动能相等平动和转动平动和转动间能量交换间能量交换也是平等的也是平等的在温度为在温度为T的平衡态下的平衡态下,气体分子气体分子每个自由度的平均动能都相等，每个自由度的平均动能都相等，而且等于而且等于 。能量均分定理能量均分定理小结小结气体动理论气体动理论气体动理论气体动理论例例.2g氢气与氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭氦气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相同。容

17、器内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子氢气视为刚性双原子分子)。求求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢气与氦气压强之比；氢气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。氢气与氦气内能之比。解：解：(1)(2)(3)定义定义:某一事件某一事件 i 发生的概率为发生的概率为 Pi Ni -事件事件 i 发生的发生的 次数次数 N -各种事件发生的各种事件发生的 总次总次数数统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量

18、变到质变量变到质变).（3）总是伴随着涨落）总是伴随着涨落.NNPiNilim=例例.扔硬币扔硬币一一.问题：什么是统计规律性问题：什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。2.4 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律伽耳顿板伽耳顿板实验：实验：1.单个小球落入某特定狭槽是个偶然事件。单个小球落入某特定狭槽是个偶然事件。2.少量小球按狭槽的分布也带有明显的偶然性。少量小球按狭槽的分布也带有明显的偶然性。3.大量小球按狭槽的分布是确定的，遵大量小球按狭槽的分布是确定的，遵从一种从一种统计分布规律统计分布规律。可将统计规律推广到气体分子的

19、无规则可将统计规律推广到气体分子的无规则运动的描述：运动的描述：任一时刻，各个分子都具有不同的位任一时刻，各个分子都具有不同的位 置和速度；同一分子在不同时刻也处置和速度；同一分子在不同时刻也处 在不同的运动状态。在不同的运动状态。但对处于平衡态下的所有分子而言，但对处于平衡态下的所有分子而言，处在一定空间范围及速度间隔的分子处在一定空间范围及速度间隔的分子 数目却是确定的。数目却是确定的。理想气体分子运动的速度各不相同，但从整体上理想气体分子运动的速度各不相同，但从整体上统计地说，气体分子速度的分布是有一定规律的：这统计地说，气体分子速度的分布是有一定规律的：这就是就是麦克斯韦速度分布律麦克

20、斯韦速度分布律。二、速率分布函数二、速率分布函数 只考虑气体分子速率（不考虑方向）的分布的规只考虑气体分子速率（不考虑方向）的分布的规律叫律叫麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律。用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念，即采用统计的说明方法少的概念，即采用统计的说明方法,这就是这就是分子按速率分子按速率的分布的分布。设气体的总分子数为设气体的总分子数为N。显然，分子的最小速率为显然，分子的最小速率为0，最大速率原则上不受限制，因此最大速率原则上不受限制，因此 ：速率在速率在 附近附近 dv 速率间隔内的分子数，速率间隔内的分子数，：速率分布

21、函数速率分布函数：速率在速率在 附近附近 dv 速率间隔内的分子数占总分子速率间隔内的分子数占总分子 数的比例，是速率数的比例，是速率v的函数，并且的函数，并且 f(v)代表速率在代表速率在 v 附近单位速率间隔内的分子数占总附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比例，也叫分子数的比例，也叫概率密度概率密度。即：所有速率区间的分子数占总分子数的比例之和为即：所有速率区间的分子数占总分子数的比例之和为1。f(v)f(vp)vvpv v+dv面积面积=dNVN：速率分布函数速率分布函数归一化条件归一化条件三、麦克斯韦速率分布函数三、麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：麦

22、克斯韦给出：在平衡态下麦克斯韦给出：在平衡态下,气体分子速率在气体分子速率在 区区间内的分子数间内的分子数占总分子数的比例占总分子数的比例为为也可理解为在平衡态下也可理解为在平衡态下,一个气体分子的一个气体分子的速率在速率在 区区间内的的间内的的概率。概率。0f(v)四、麦克斯韦速率分布函数及曲线的意义四、麦克斯韦速率分布函数及曲线的意义1.在平衡态下，气体分子按速率分布特点是中间多，在平衡态下，气体分子按速率分布特点是中间多，两头少。两头少。2.f(v)存在存在一个极大值一个极大值 f(vp)，对应的速率，对应的速率 vp为为最概最概 然速率然速率(最可几速率最可几速率)。vp 的的物理意义

23、：物理意义：一定温度下，对相同的速率区一定温度下，对相同的速率区间，间，vp所在区间内的分子数占总分所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大，子数的百分比最大，气体分子出气体分子出现在现在vp 所在区间内的几率最大。所在区间内的几率最大。f(vp)最概然速率最概然速率 的确定的确定由由得得若令若令 ，则麦克斯韦速率函数可改写为如下，则麦克斯韦速率函数可改写为如下便于记忆的形式便于记忆的形式0f(v)f(vp)温度升高，温度升高，vP 值向值向v大的方向移动，大的方向移动，f(vP)下降下降 3.最概然速率与温度关系最概然速率与温度关系A.A.某气体，某气体，分子质量一定，分子质量一定，温度不同

24、温度不同T1T2T3但保持但保持 f(v)曲线下的总面积曲线下的总面积0f(v)f(vp1)f(vp2)f(vp3)B.相同温度下，不同种气体相同温度下，不同种气体m1m2m30f(v)f(vp1)f(vp2)f(vp3)五、麦克斯韦速率分布律的应用五、麦克斯韦速率分布律的应用它们的速率之和它们的速率之和全部全部N个分子的速率之和个分子的速率之和平均速率平均速率速率在速率在 区间的分子数区间的分子数1.平均速率平均速率2.方均根速率方均根速率数学定义数学定义物理应用物理应用三个统计速率的应用三个统计速率的应用讨论平均自由程时应用。讨论平均自由程时应用。讨论分子的平均平动动能时应用。讨论分子的平

25、均平动动能时应用。讨论速率分布时应用，它给出讨论速率分布时应用，它给出了了 f(v)极大值的位置，随温极大值的位置，随温度增高而向度增高而向 v 增大的方向移动。增大的方向移动。f(v)f(v)代表速率在代表速率在 v 附近单位速率间隔内的分子数占附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比例，总分子数的比例，例例1.f(v)是速率分布函数，试说明下列各表达式的物是速率分布函数，试说明下列各表达式的物理意义。理意义。(1)(2)(3)(4)(5)速率在速率在 v 附近单位速率间隔内的分子数。附近单位速率间隔内的分子数。速率在速率在 附近附近 d 速率间隔内的分子数速率间隔内的分子数 占总占总 分子

26、数的比例。分子数的比例。平均速率平均速率平均平动动能平均平动动能归一化条件，所有速率区间内的分归一化条件，所有速率区间内的分子数占总分子数的比例之和为子数占总分子数的比例之和为1。速率小于最概然速率速率小于最概然速率 vp 的分子数。的分子数。速率为速率为 v1 到到 v2 的分子的平均速率的分子的平均速率。最概然速率最概然速率 vp 附近附近 dv 速率间隔的速率间隔的分子数占总分子数的比例。分子数占总分子数的比例。速率为速率为 v1 到到 v2 的分子的总的分子的总平动动能平动动能。的分子数占总分子数的比例。的分子数占总分子数的比例。(6)(8)(7)(9)(10)例例2.己知：有己知：有

27、N个假想的气体分子个假想的气体分子,其速率分布如图所其速率分布如图所示示,v 2v0 的分子数为零。的分子数为零。N，v0己知。己知。求：求：1.b=?=?2.速率在速率在v0-2v0之间的分子数之间的分子数=?=?3.分子的平均速率分子的平均速率=?=?写出写出 f(v)函数函数解：解：v02v0b0vf(v)(1)求求 b=?:=?:v02v0b0vf(v)由归一化条件由归一化条件另法：另法：由图可有面积由图可有面积 S(2)求求v0-2v0间的间的分子分子数数:v02v0b0vf(v)(3)求平均速率求平均速率:由定义由定义气体动理论气体动理论气体动理论气体动理论2.9 气体分子的平均自

28、由程气体分子的平均自由程气体分子自由程线度：气体分子自由程线度：10-8m一个分子连续两次一个分子连续两次碰撞之间经历的平碰撞之间经历的平均自由路程叫均自由路程叫平均平均自由程自由程 一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率单位时间内分子经历的平均距离单位时间内分子经历的平均距离 ，平均碰撞平均碰撞 次次平均碰撞频率平均碰撞频率碰撞截面碰撞截面 AdddA统计理论可计算统计理论可计算平均自由程平均自由程单位时间内分子单位时间内分子A走走 ，相应的圆柱体体积为相应的圆柱体体积为 ，则，则平均碰撞频率平均碰撞频率对空气分子对空气分子标准状态下

29、标准状态下气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。自由程就是容器线度的大小。例：热水瓶胆的两壁间距例：热水瓶胆的两壁间距 l=0.4cm，其间充满其间充满 t=27 、p=1 Pa 的的 N2，N2 分子的有效直径分子的有效直径 ，问氮，问氮气分子的平均自由程是多少？气分子的平均自由程是多少？解：解：此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子此计算值大于热水瓶胆的两壁间距，所以氮气分子的平均自由程为的平均自由程为 0.4 cm。本本 章章 总总 结结一、理想气体状态方程：一、理想气体状态方程：二、宏观量的微观机理：二、

30、宏观量的微观机理：单原子分子单原子分子 刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子分子的分子的平均动能平均动能及及 摩尔摩尔相应气体的相应气体的内能内能：三、能量均分定理：三、能量均分定理：在温度为在温度为 T 的平衡态下的平衡态下，气体分子每气体分子每 个自由度的平均动能都相等，而且等个自由度的平均动能都相等，而且等 于于 。四、麦克斯韦速率分布四、麦克斯韦速率分布在平衡态下在平衡态下,气体分子速率在气体分子速率在 区区间内的分间内的分子数占总分子数的比例为子数占总分子数的比例为它给出了它给出了 极大极大值的位置。值的位置。最可几最可几速率：速率：讨论平均自由程时讨论平均自由程时应用。应用。平均速率：平均速率：讨论分子的平均平讨论分子的平均平动动能时应用。动动能时应用。方均根速率：方均根速率：五、平均自由程五、平均自由程作业（作业（P87-90）：）：2.6、2.7、2.24.气体动理论气体动理论气体动理论气体动理论作业（作业（P86-87）：）：2.2、2.3、2.5