河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期四调考试数学试卷含答案.pdf

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1、河北省衡水中学河北省衡水中学 2023 届上学期高三年级四调考试届上学期高三年级四调考试数数学学本试卷分第本试卷分第卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分。共共 4 页页，总分总分 150 分分，考试时间考试时间 120分钟。分钟。第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合题目要求的。题目要求的。1已知?，则?在复平面内对应的点位于A实轴上B虚轴上C第一、三象限的角平分线上D第二、四象限的角平分线上2

2、 已知向量?，?满足?，?，?，?，则向量?在向量?上的投影向量的坐标为A?B?C?D?3在?烈 中，?，烈 h?，?烈?，则?烈?烈?A?B?C?D?4已知?，烈，为平面内任意三点，则“?烈?与?的夹角为钝角”是“?烈?t?烈?”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件52 000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为?如图，在矩形?烈?中，?与 烈?相交于点?，烈?，?，?烈?，?烈?，且点?为线段 烈?的黄金分割点，则烈?A?烈?

3、烈?B?烈?烈?C?烈?烈?D?烈?烈?6已知复数 z 满足?，则实数 的取值范围是A?B?h?h?C?D?7已知点?是?烈 所在平面内一点，有下列四个等式：?烈?；?烈?烈?；?烈?；?烈?烈?如果只有一个等式不成立，则该等式为ABCD8对于给定的正整数?，设集合?，?，且?记?为集合?中的最大元素，当?取遍?的所有非空子集时，对应的所有?的和记为?，则?A?B?C?D?二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分

4、选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9设非零向量?，?的夹角为?，?为任意非零向量，定义运算?sin?，则下列结论正确的是A若?，则?B?C?sin?D若?，则?的最大值为 110已知复数?，?满足?，则下列结论正确的是A若?，则?B?C若?，则?D?11如图放置的边长为 1 的正方形?烈?的顶点?，?分别在?轴的正半轴、?轴的非负半轴上滑动，则?烈?的值可能是AB?C?D?12已知函数?及其导函数?的定义域均为 R若对任意的?，?，都有?，则下列结论正确的是A?B?C若?，则?D?必为奇函数第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题

5、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知?，则?的虚部是_14若函数?sin?cos?的图象关于直线?h对称，则实数 _15在?烈 中，?烈?烈?，?是线段 烈 上的动点，有下列三个结论：?烈?；?烈?；?烈?则所有正确结论的序号是_16已知向量?，?，?满足?，?，?，则向量?与?的夹角的最大值是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）设复数?，?cos?sin?，其中?(1)若复数?为实数，求?的值；(2)求?的取值范围18（

6、12 分）记?烈 的内角?，烈，的对边分别是，?，?，已知?烈 的外接圆半径?，且tan烈 tan?sin?cos?(1)求 烈 和?的值；(2)求?烈 面积的最大值19（12 分）如图，在平行四边形?烈?中，?烈?，?，?烈?，?为?的中点，?.(1)若?烈?，求实数?的值；(2)求烈?的取值范围20（12 分）已知函数?为奇函数，且在区间?上单调递增，在区间?上单调递减(1)求?的解析式；(2)若过点?可作曲线?的三条切线，求实数 m 的取值范围21（12 分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措2021 年该市产生的垃圾量为 200 万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从 2022

7、 年开始，连续 5 年，每年的垃圾排放量比上一年减少20 万吨，从第 6 年开始，每年的垃圾排放量为上一年的 75%(1)写出该市从 2022 年开始的年垃圾排放量与治理年数?的表达式；(2)设 An为从 2022 年开始?年内的年平均垃圾排放量 如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由22（12 分）已知函数?ln?(1)证明：?；(2)设函数 g?，若 g?在区间?上存在最大值，求实数 的取值范围5数学数学参考答案参考答案一、选择题一、选择题1C【解析】因为?，所以?在复平面内对应的点的坐标为?，位于第一、三象

8、限的角平分线上2B【解析】由?，得?，则?，即?，则?，所以向量 在向量?上的投影向量的坐标为?.3A【解析】因为?烈 为直角三角形，且?，烈 h?，?烈?，所以 烈?，且t?烈?烈?，所以?烈?烈?烈?烈?cos?.4B【解析】设?烈?与?的夹角为?，当?为钝角时，?烈?烈?烈?烈?烈?t?，所以?烈?t?烈?；当?烈?t?烈?时，?烈?t?烈?，所以?烈?t?，即?烈?t?，故cos?t?，所以?t?，所以“?烈?与?的夹角为钝角”是“?烈?t?烈?”的充分不必要条件5D【解析】由题意得烈?烈?，显然 烈?，烈?烈?，所以烈?烈?烈?，故烈?烈?烈?，因为烈?烈?烈?烈?烈?烈?烈?烈?，

9、所以烈?烈?烈?.6D【解析】设?，?，?，则?，整理得?，所以?即?h?因为此方程有实根，所以?h?h?，解得?.7 B【解析】对于，设 烈 的中点为?，连接?，则?烈?.又?烈?，所以?烈?，所以?，故点?为?烈 的重心；对于，由?烈?烈?，得?烈?烈?，故?烈?，即?烈 为直角三角形；对于，由点?到?烈 三个顶点的距离相等，得点?为?烈 的外心；对于，由?烈?烈?，得?烈?烈?，同理可得烈?烈?，所以?烈，?烈?，烈?，即点?为?烈 的垂心，当?烈 为等边三角形时，重心、外心、垂心重合，此时均成立，不成立，满足要求；当成立时，其他三个均不一定成立68D【解析】根据题意知?为集合?的非空子

10、集，满足?的集合只有 1 个，即?；满足?的集合有 2 个，即2，1，2；满足?的集合有 4 个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足?的集合有?个，所以?，则?，两式相减得?.?，所以?，所以?.二、选择题二、选择题9ACD【解析】对于 A，因为?sin?，所以sin?，解得?或?，所以?，故选项 A 正确；对于 B，不妨取?，?，?，设 与?的夹角为?，与?的夹角为?，则?sin?sin?sin?，此时?，故选项B错误；对于C，?sin?cos?sin?cos?sin?，故选项 C 正确；对于 D，当?时，?sin?sin?，当且仅当?时取等号，所以?max，故选项 D 正确10 BD【

11、解析】设?，?，则?，不满足?，也不满足?，故选项 AC 错误；对于 B，设?，?在复平面内对应的向量分别为?，?，且?，由向量加法的几何意义知?，故?，故选项 B 正确；对于 D，设?，?，?，?，?，且，?，?，?，则?，所以?，?，故选项 D 正确11 AC【解析】设?t?，因为?，所以?cos?sin?烈?，故?烈 cos?cos?cos?sin?，?烈 sin?cos?，所以?烈?cos?sin?cos?同理可得 sin?cos?sin?，所以?sin?cos?sin?，所以?烈?cos?sin?cos?sin?cos?sin?sin?因为?t?，所以?sin?，则?烈?，故?烈?的

12、值可能是 l，212 BC【解析】对于 A，令?，由?，得?，故?或?，故选项 A 错误；对于 B，令?，则?，故?因为?，令?，?，所以?，即?，故选项 B 正确；对于 C，令?，?，则?，若?，7则?；令?，则?，即?，所以?；令?，?，则?，即?，所以?；令?，?，则?，即?，所以?；令?，?，则?，即?，所以?；令?，?，则?h?，即?h?，所以?h?；令?h，?，则?烈?h?，即?烈?，所以?烈?，由此可得?的值有周期性，且周期为 6 又?h?，所以?烈?h?，故选项 C 正确；对于 D，令?，则?，当?时，?，即?，则?，即?，所以?为偶函数，故选项 D 错误三、填空题三、填空题1

13、3?【解析】设?，由?，得?，即?，所以?解得?，所以?，故 z 的虚部是?14【解析】因为函数?sin?cos?的图象关于直线?h对称，所以?sin?cos?在?h时取得最值，结合辅助角公式得?h?，即?，整理得?，解得 15【解析】因为?烈?烈?烈?，所以?烈 是等边三角形，取 BC 的中点为 O，连接 AO，以 O 为坐标原点，BC 所在的直线为?轴，OA 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图设?烈?，则?，烈?，?，?，所以?烈?，所以?烈?，即?烈?，故正确；?烈?，故错误；?烈?，故错误16?h【解析】由?，得?又由?，得?，则?h?，即?，即?，所以cost?，当且仅当?

14、时取等号，所以向量?与 的夹角的最大值是?h.8四、解答题四、解答题17 解：(1)?cos?sin?cos?sin?cos?sin?（2分）若复数?为实数，则cos?sin?故tan?.（3 分）又?，所以?（4 分）(2)因为?，?cos?sin?所以?cos?sin?cos?sin?cos?sin?cos?sin?cos?（6 分）又?，所以?所以?cos?（8 分）则?即?故?的取值范围是?.（10 分）18解：(1)因为tan烈 tan?sin?cos，所以sin烈cos烈sincos?sin?cos即sin烈cos cos烈sinC?sin?cos烈?故sin烈?sin?cos烈（

15、2 分）因为?烈?，所以sin?sin?cos烈又sin?，所以cos烈?，因为?t 烈 t?，所以 烈?（4分）由正弦定理得?sin烈?，则?.（6 分）(2)由余弦定理?cos烈，得?9由基本不等式得?，当且仅当?时取等号，所以?（10 分）所以?烈?sin烈?故?烈 面积的最大值为?（12 分）19解：(1)在平行四边形 ABCD 中，?烈?，烈?，烈?，建立如图所示的平面直角坐标系，则?，?，烈?，?.（2 分）又 E 为 CD 的中点，所以?烈?则?烈?因为?，所以?，则烈?.（4 分）因为?烈?，所以?烈?即烈?，解得?（6 分）(2)由(1)知?，?烈?，烈?，则?烈?（8 分）

16、所以烈?烈?烈?h因为?，所以当?时，烈?取得最大值为h；当?时，烈?取得最小值为?，故烈?的取值范围是?h?（12 分）20解：(1)因为函数?为 R 上的奇函数，所以?，即?，所以?又?所以?，则?（2 分）10又?在区间?上单调递增，在区间?上单调递减，所以?在?处取得极大值，因为?，?所以?，即?，解得 （4分）所以?，经检验符合题意（5分）(2)由(1)知?，所以点?不在曲线?上，且?.设切点为?，则?，?故切线的斜率满足?，整理得?.因为过点?可作曲线?的三条切线，所以关于?的方程?有三个实根（7 分）设?，则?h?h?令?t?，得?t?t；令?，得?t?或?所以?在区间?上单调递

17、增，在区间?上单调递减，所以?的极大值点为?，极小值点为?（9 分）所以关于?的方程?有三个实根的必要条件是?t?解得?t?t?（10 分）此时?t?t?，?烈?所以当?t?t?时，关于?的方程?有三个实根故实数?的取值范围是?.（12 分）21解：(1)设治理?年后，该市的年垃圾排放量构成数列?当?时，?是首项为?，公差为?的等差数列，所以?.（2 分）当?时，数列?是以?为首项，公比为?的等比数列，11所以?（4 分）所以?h.（5 分）(2)现有的治理措施是有效的，理由如下：设?为数列?的前?项和，则?所以?.（8 分）由(1)知当?时，?，所以?为递减数列；（9分）当?h 时，?，所以

18、?为递减数列，且以ht?，所以当?时，?为递减数列，故?t?，?t?，?，?t?所以?t?（11 分）所以数列?为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的（12 分）22(1)证明：要证明?，只需证明?.设?，?，则?（1 分）令?t?，得?t?t；令?，得?所以?在区间?上单调递减，在区间?上单调递增，所以?，即?即?，故?（4 分）(2)解：由题意得?，则?12令?，?，则?.（5 分）当?时，?，?在区间?上单调递增，所以?，所以?在区间?上单调递增，无最大值，不符合题意；（6分）当?时，?t?，?在区间?上单调递减，所以?t?，所以?在区间?上单调递减，无最大值，不符合题意（7分）当?t t 时，由?，得?当?时，?，?在区间?上单调递增当?时，?t?，?在区间?上单调递减（9 分）由(1)知?所以当?时，?t?.（10 分）取?，则?，且?t?又?，所以由零点存在定理，得存在?，使得?所以当?时，?，即?；当?时，?t?，即?t?，所以?在区间?上单调递增，在区间?上单调递减，所以?在区间?上存在最大值?，符合题意，综上，实数 的取值范围是?（12 分）