福建省漳州第一中学2022-2023学年高三上学期数学周测八含答案.pdf

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1、高三数学科试卷共 4 页 第 页 1 漳州一中 漳州一中 20222023 学年高三（上）数学周测（八）学年高三（上）数学周测（八）一、选择题（本大题共 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1已知集合已知集合1,4,Mx，21,Nx，若，若NM，则实数，则实数x组成的集合为组成的集合为()A 0B2,2C2,0,2D2,0,1,22已知复数已知复数(1)()zaai aR，则“，则“1a ”是“”是“1z”的”的()A充分不必要条件充分不必

2、要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 3.若若13tantan2，且，且(,)4 2，则，则sin(2)6的值为的值为()A310 B4 310C4 3310D4 33104.五经一般指儒家典籍诗经 尚书 礼记 周易 春秋的合称，为历代儒家学子研习的核心书经.五经一般指儒家典籍诗经 尚书 礼记 周易 春秋的合称，为历代儒家学子研习的核心书经.现某国学研究小组三人分工研究五经内容，每人至少研究其中一部典籍，每部典籍一个人研究，则不同的分配方案有现某国学研究小组三人分工研究五经内容，每人至少研究其中一部典籍，每部典籍一个人研究，则不

3、同的分配方案有()A125种种 B150种种 C180种种 D243种种 5.核酸检测分析是用荧光定量.核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量的数量nX与扩增次数与扩增次数n满足满足0lglg(1)lgnXnpX，其中，其中p为扩增效率，为扩增效率，0X为为DNA的初始数量已知某被测标本的初始数量已知某被测标本DNA扩增扩增10次后，数量变为原来的次后

4、，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率倍，那么该样本的扩增效率p约为约为()（参考数据：（参考数据：0.2101.585，0.2100.631）A36.9%B41.5%C58.5%D63.1%6.函数.函数2()(,)axbf xa b cRxc的图象可能是的图象可能是()A B C D 7.已知双曲线已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为1F，2F，过点，过点1F且垂直于且垂直于x轴的直线与轴的直线与C交于交于M，N两点，两点，2MF与与y轴交于点轴交于点P，以，以MN为直径的圆经过点为直径的圆经过点P，则，则C的离心率为的离心率为()A5

5、B2 C3 D2 高三数学科试卷共 4 页 第 页 2 8.已知已知()2xxeef x叫作叫作双曲余弦函数，双曲余弦函数，()2xxeeg x叫作叫作双曲正弦函数若关于双曲正弦函数若关于x的不等式的不等式2()()()()0mf x g xe mf xg xe在在 1，1上恒成立，则实数上恒成立，则实数m的取值范围是的取值范围是()A222,1ee B,e C222,1ee D,e 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的

6、得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错得得分，有选错得得 0 分）分）9已知函数已知函数()sin(4)cos(4)36f xxx，则下列结论正确的是则下列结论正确的是()A()f x的最大值为的最大值为2 B()f x在在,8 12上单调递增上单调递增 C()f x在在0,上有上有4个零点个零点 D把把()f x的图象向右平移的图象向右平移12个单位长度，得到的图象关于个单位长度，得到的图象关于直线直线8x 对称对称 10设正实数设正实数a，b满足满足1ab，则，则()A22loglog2ab B1174abab C2132 2ab D122a b 11如图

7、，在长方体如图，在长方体1111ABCDABC D中，中，4AB，12BCBB，E，F分分 别为棱别为棱AB，11AD的中点，则下列说法中正确的有的中点，则下列说法中正确的有()A1DBCE B三棱锥三棱锥DCEF的体积为的体积为83 C若若P是棱是棱11C D上一点，且上一点，且11D P，则，则E，C，P，F四点共面四点共面 D平面平面CEF截该长方体所得的截面为五边形截该长方体所得的截面为五边形 12.已知各项都是正数的数列已知各项都是正数的数列 na的前的前n项和为项和为nS，且，且122nnnaSa，则，则()A2nS是等差数列是等差数列 B212nnnSSS C1nnaa D1ln

8、nnSnS 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13已知已知a，b是两个单位向量是两个单位向量，2cab，且，且 bc，则，则()a ab 14若若21()nxx的展开式中只有第的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 15函数函数()sinln 23f xxx的所有零点之和为的所有零点之和为 16在梯形在梯形ABCD中，中，/ABCD，2AB，1ADCDCB，将，将ACD沿沿AC折起折起，连接，连接BD，得到三棱锥得到三棱锥DABC，则三棱锥，则三棱锥DABC体积的最

9、大值为体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的，此时该三棱锥的外接球的表面积为表面积为 高三数学科试卷共 4 页 第 页 3 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分（本小题满分 10 分）分）如图，在平面四边形如图，在平面四边形ABCD中，中，ADCD，ABAC，2 3AB （1）若）若30ABC，3CDAD，求，求BD的长；的长；（2）若）若2AC，30ADB，求，求sinCAD的值的值 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知正项等差数列已知正项

10、等差数列 na满足：满足：*33()nnaa nN，且，且12a，31a，8a成等比数列成等比数列（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）设）设112(12)(12)nnnanaac，nR是数列是数列 nc的前的前n项和，若对任意项和，若对任意*nN均有均有nR恒成立，求恒成立，求的最小值的最小值 19（本小题满分（本小题满分12分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是梯形，是梯形，/ABCD，ADCD，24CDAB，PAD是正三角形，是正三角形，PBBC，E是棱是棱PD的中点的中点（1）证明：平面）证明：平面PAD 平面平面ABCD；（2）若二面角）若

11、二面角EACD的大小为的大小为45，求，求PAD的边长的边长 高三数学科试卷共 4 页 第 页 4 20（本小题满分（本小题满分 12 分）分）20222022 年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩“为原型的纪念品在专卖店进行售卖已知这款纪的现象主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩“为原型的纪念品在专卖店进行售卖已知这款纪念品的生产成本为念品的生产成本为80元元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以

12、下件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位名消费者的心理价位整理如下：整理如下：心理价位（元心理价位（元/件）件）90 100 110 120 人数人数 10 20 50 20 假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该

13、纪念品设这款纪念品的品公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品设这款纪念品的销售价格为销售价格为x（单位：元（单位：元/件），件），90120 x，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立用样本的，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率频率分布估计总体的分布，频率视为概率（1）若）若100 x，试估计消费者购买该纪念品的，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有概率；已知某时段有4名消费者进店，名消费者进店，X为这一时段为这一时段该纪念品的购买人数，试求该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望的分布列和数学期望()E X

14、；（2）假设共有）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销（单位：元），当该纪念品的销售价格售价格x定为多少时，定为多少时，Y的数学期望的数学期望()E Y达到最大值？达到最大值？21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知抛物线已知抛物线2:2(0)E ypx p，点，点1(,)4Qm为为E上一点，且上一点，且点点Q到到E的准线的距离等于其到坐标的准线的距离等于其到坐标原点原点O的距离的距离（1）求）求E的的标准标准方程；方程；（2）设）设线段线段AB为圆为圆22(2)4xy的一条不垂直于的一条不垂

15、直于y轴的直径，分别延长轴的直径，分别延长AO，BO交交E于于C，D两点，求四边形两点，求四边形ABCD面积的最小值面积的最小值 22（本小题满分（本小题满分 12 分）分）设函数设函数2()22xxf xaee（1）若）若()f x有两个不同的零点，求实数有两个不同的零点，求实数a的取值范围；的取值范围；（2）若函数）若函数21()(2)22xxxg xaeaee有两个极值点有两个极值点1x，2x，证明：，证明：2121()()12g xg xxxa 2e+2x漳州一中漳州一中 2022202220232023 学年高三（上）数学周测（学年高三（上）数学周测（八八）参考答案）参考答案 一、一

16、、单选题：单选题：CADB CBCD 二、二、多选题：多选题：9.ACD 10.BD 11.BCD 12.ABD 三、三、填空题：填空题：1312 14.45 15.9 16.312,5 四、四、解答题：解答题：17.解：解：（1）在在Rt ABC中，中，tan2ACABABC-1 分分 3CDAD，在，在Rt ACD中，中，tan3CDCADAD，60CAD，-2 分分 cos1ADACCAD，-3 分分 在在ABD中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得2222cos19BDABADAB ADBAD，-4 分分 19BD-5 分分（2）设）设CAD，则，则60ABD，2cosAD,-6 分分

17、在在ABD中，由正弦定理可得中，由正弦定理可得2cos2 3sin(60)sin30，化简可得：，化简可得：3cossin2，-8 分分 代入代入22sincos1，可得：，可得：24sin7，-9 分分 又又为锐角，所以为锐角，所以2 7sin7，即，即2 7sin7CAD-10 分分 18.解：解：（1）由数列）由数列 na为正项等差数列，设首项为为正项等差数列，设首项为1a，公差为，公差为d，则，则10a，0d，又又*33()nnaa nN，则，则313aa，即，即1da，-2 分分 又又12a，31a，8a成等比数列，成等比数列，则则231 8(1)2aaa，-3 分分 将代入得：将代

18、入得：11ad，-5 分分 即即1(1)1nann .-6 分分（2）由（）由（1）得）得1111122112()(12)(12)(12)(12)2121nnnannaannnnc，-8 分分 则则111111111122()()()2()355921213213nnnnR，-10 分分 又对任意又对任意*nN均有均有nR恒成立，则恒成立，则23，则，则的最小值为的最小值为23-12 分分 19.解：解：（1 1）证明：如图所示）证明：如图所示：取取PC中点中点F，连接连接EF，BF E点点是棱是棱PD的中点，的中点，/EFCD，且，且12EFCD，/ABCD，12ABCD/EFAB，EFAB

19、，四边形四边形ABFE是平行四边形，是平行四边形，/AEBF PBBC，BFPC，AEPC-3 分分 E是正是正PAD的边的边PD的中点，的中点，AEPD,PD PC 平面平面PCD，PDPCP，AE平面平面PCD-4 分分 CD平面平面PCD，AECD ADCD，,AD AE 平面平面PAD，ADAEA，CD平面平面PAD-5 分分 CD平面平面ABCD，面面PAD 平面平面ABCD-6 分分（2）解：取）解：取AD中点中点O，由（，由（1）知，）知，平平面面PAD 平面平面ABCD，又平，又平面面PAD平面平面=ABCD AD，POAD,PO平面平面ABCD.以以O为坐标原点，为坐标原点，

20、OA，OP所在直线分别为所在直线分别为为为x，z轴，平行于轴，平行于AB的直线为的直线为y轴，建立轴，建立如图如图所示的所示的空间直角坐标系空间直角坐标系-7 分分 设正三角形设正三角形PAD的边长为的边长为2a，则则(,0,0)A a，(,0,0)Da，(,4,0)Ca，(0,0,3)Pa，3(,0,)22aaE (2,4,0)ACa，33(,0,)22aaAE .设平面设平面EAC的一个法向量的一个法向量(,)mx y z，则则(2,4,0)(,)2403333(,0,)(,)02222AC max y zaxyaaaaAE mx y zxz 令令1x，则，则2ay，3z，(1,3)2am

21、-9 分分 又平面又平面ACD的一个法向量的一个法向量(0,0,1)n，-10 分分 二面角二面角EACD的大小为的大小为45，232cos45244m nmna，解得解得2 2a，正三角形正三角形PAD的边长为的边长为4 2-12 分分 20.解：解：（1）当当100 x 时，消费者购买该纪念品的概率时，消费者购买该纪念品的概率900.9100P，-1 分分 由题意由题意(4,0.9)XB，44()0.9(1 0.9)iiiP XiC,0,1,2,3,4i 41(0)0.110000P X，同理，同理9(1)2500P X，243(2)5000P X,729(3)2500P X,6561(4

22、)10000P X X的分布列为：的分布列为：-5 分分 X 0 1 2 3 4 P 110000 92500 2435000 7292500 656110000-5 分分()4 0.93.6E X.-6 分分（2）由（）由（1）知）知当当90100 x时，时，90()(80)18100E YMxM（100 x 时等号成立时等号成立），当100110 x时，时，70()(80)21100E YMxM（当110 x 时等号成立时等号成立），当110120 x时，时，20()(80)8100E YMxM（当120 x 时等号成立时等号成立）.0M，因此，因此()21E YM最大，此时最大，此时11

23、0 x-11 分分 当该纪念品的销售价格定为当该纪念品的销售价格定为110元时，元时，Y的数学期望的数学期望()E Y达到最大值达到最大值21M-12 分分 21.解：解：（1）22(0)ypx p，准线方程为准线方程为2px ，点点1(,)4Qm为为E上一点，上一点，22pm，-1 分分 Q到到E的准线的距离等于其到坐标原点的准线的距离等于其到坐标原点O的距离，的距离，1142162pp，0p，1p，-3 分分 E的方程为的方程为22yx；-4 分分（2）由题意，直线）由题意，直线AC斜率存在且不为斜率存在且不为0，设直线设直线AC的方程为：的方程为：ykx，设点，设点112222(,),(

24、,),(2)4ykxA x yC xyxy 联立得：联立得：22(1)40kxx，由，由10 x，得，得1241xk，-5 分分 22ykxyx，联立得：，联立得：2220k xx，由，由20 x，得，得222xk，-6 分分 2221222(31)11kACkxxkk，-7 分分 因为因为ACBD，用，用1k代替代替k，得，得2222232(1)2(3)1111kkkBDkkk，-8 分分 故四边形故四边形ABCD面积面积22222662012(31)(3)12(1)kkkkSACBDk kkk，-10 分分 令令21688(2),6tkt tStktt，设函数设函数8()6(2)f ttt

25、t，222868()60tf ttt,故故()f t在在(2,+)单调单调递增，递增，故当故当2t，即，即1k 时，时，S取到最小值取到最小值16，四边形四边形ABCD面积的最小值是面积的最小值是16-12 分分 22.解：解：（1）令）令xte，则，则()f x有有2个零点，等价于个零点，等价于2220att存在两个正根，存在两个正根，020a，解得，解得102a，使得使得()f x有两个零点的有两个零点的a的取值范围是的取值范围是1(0,)2；-4 分分 证明：（证明：（2）22()(2)2(1)(22)xxxxxxxg xaeaeeeeaee，0 xe，10 xe ，且，且()g x有两

26、个极值点有两个极值点1x，2x，1x，2x为为2220 xxaee的两个不同解，的两个不同解，由（由（1）知）知102a，且，且121222,xxxxeee eaa，不妨设，不妨设21xx，-6 分分 212121222121211()(2)()2()()()2xxxxxxa eeaeeeeg xg xxxxx 1221212121211()()()(2)()22xxxxxxxxxxeea eeeeaeee exx 2121212112()()(2)2xxxxxxeea eeae exx 2121212112()(2)2(21)xxxxeeaaaeeaaxxxx 要证明要证明2121()()1

27、2g xg xxxa，只需证只需证2121(21)(21)xxeeaaxxa，102a，210a，只需证只需证21211xxeexxa，-9 分分 注意到注意到122xxeea，只需证只需证2121212xxxxeeeexx，两边同除，两边同除1xe得得212121112xxxxeexx，21xx，只需证，只需证2121212(1)(1)()xxxxeexx，设设21(0)xxt t，令，令()(1)22(0)ttu tt eet，则只需证，则只需证()0u t 即可，即可，则则()(1)1tu te t，令，令()()(1)1tv tu te t，则则()0tv tte，()v t在在(0,)上单调递增，上单调递增，()(0)0v tv，即，即()0u t，()u t在在(0,)上单调递增，上单调递增，()(0)0u tu，得证，得证-12 分分