数学分析(下).pdf

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1、!第十八章隐函数定理及其应用内容提要!一!隐函数概念隐函数!#是由方程$!#!%!#$&#所确定的函数&隐函数定理主要讨论$#&在哪些条件下#由方程!#$&#可惟一确定隐函数!#&%&隐函数是否具有连续性与可微性&如何求出可微隐函数的导数&二!一元隐函数定理设二元函数$!#!在以点!#!为内点的某个区域(!%上有定义#如果满足如下条件$!#$!#!在(内连续且有连续的一阶偏导数#!#!与$!#!%!%$!#!%!&$!#!#&则在点的某邻域)!(内#由方程$!#!惟一确定了一个定义在某区间!#!#(!内的隐函数!#使得!#!#!%!%当#$!#!#(!时#!#!#$)!*且$!#!#%!&!#

2、在!#!#(!内有连续的导函数#且+!#!$#$!&三!隐函数的阶导线在二的条件下#如果$!#!在(内又有连续的二阶偏导数#则隐函数在!#!#(!内有连&!#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#续的二阶导数!,%-$#$%!.$!$%#-%$#!$#$!$&!%#$&!$#$#!$#$!#$!$!$#$!&四!多元隐函数定理设函数$!#%#/#!在以点!#%#/#!为内点的某个区域(!)(#内有定义#如果满足如下条件$!#$!#%#/#!在(内连续且关于每个自变量都有连续的一阶偏导数%!%$!#%#/#!%!&$!#%#/#!#&则在点的某邻域)!(内#由方程!$!#%#/#!惟一确定了一个

3、定义在点0!#%#/的某邻域)!0!/内的/元隐函数!#%#/#使得!#!#%#/%!%当!#%#/$)!0 时#!#%#/#!#%#/$)!且$!#%#/#!#%#/%!&!#%#/在)!0 内连续且有连续的偏导数#%#/#并且#%-$#$!#%-$#%$!#/%-$#/$!&五!方程组确定的隐函数由一组方程#当出现的变量个数/大于方程个数1时#可能由此确定一组隐函数!个数&1&以/!*#1!%为例#设方程组$!#!#2#3%4!#!#2#3%(!其中!+#,#-#.$!*&若有(!%#5#6!#对于每一点!#!$(#存在惟一的一对值2$5和3$6#它们和#!一起满足式!#则说式!确定了两个

4、定义在(#值域分别落在5和6内的隐函数2!2!#!和3!3!#!&它们在(上成立恒等式$!#!#2!#!#3!#!%4!#!#2!#!#3!#!%(六!可逆函数的隐函数设有一个映射!变换7$#%#!2#3#!%!2#3(#!2#3$(#当7为一一映射时#存在逆映射!逆变换7-#$2%2!#!#3%3!#!(#!#!$7!(&$#&第十八章!隐函数定理及其应用即7$(7!(#7#$7!(&由于式#是式!的特殊形式#因此)反函数组存在定理*必然是)隐函数组存在定理*的特例&典型例题与解题技巧$例%!设函数!#!在点!#!邻近二次连续可微#且#+!#!#,!#!(!#试证存在!的邻域)!#使对任何!

5、$)!#能求得!#!关于#的一个极小值8!%!%试证8+!#!+!#!&分析!证明对于给定的!#要求!#!关于#的极小值#按求极值的步骤#应对!找出#使得#+!#!&即要求找方程#+!#!的隐函数#!#!#使得#+!#!#!&证明!已知!#!在!#!邻近二次连续可微#+!#!#,!#!(&因此方程#+!#!满足隐函数存在定理的条件&在!#!的某个领域里方程#+!#!确定惟一的单值可微函数#!#!使得#!#!#+!#!#!%当!属于!的某个领域)!#时&又因#,!#!(#所以上述邻域充分小时#,!#!#!(&于是!#!关于#在!#!#!处取极小值#记之为8!#!#!&最后#我们来证8+!+!#!

6、&事实上8+!/0 1$!8!($!8!$!因在!#!处可微!/0 1$!#$!(#+!#!+#!($!#!,(!+!#!$!(#+#!($!#!,(#%$!-这里#.#%!当$!时&已知#+!#!#且/0 1$!#$!+#!.$!-#!,%#+!因此8+!#!+!#!&历年考研真题评析!$题%!华中理工大学#%2年 求空间曲线#!93 0)9#!#4 5 39#:!*3 0)9%在点!对应于9!%处的切线方程和法平面方程&解题分析!本题考查了隐函数定理的几何运用&解题过程!将9!%代入参数方程#得点%#!%&该曲线的切向量为%!#+%!%#!+%!%#:+%!%!#4 5 39#3 0)9#

7、%4 5 39!%9!%!#!%由此得切线方程为&#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#-%.#%!-#%:-!%!%法平面方程为#&#-%.!#.#&!-#.!%!:-!%即#(!(%:!%(*课后习题全解!6#!隐函数)#&方程4 5 3#(3 0)!7#!能否在原点的某邻域内确定隐函数!#或#!8!/!解!令$!#!4 5 3#(3 0)!7#!因为$#!3 0)#!7#!#$!4 5 3!#7#!所以$#$#$!在!%上连续#又由于$!#!#$!#!#!但$#!#!故由隐函数存在惟一性定理知#方程$!#!#即4 5 3#(3 0)!7#!在原点的某邻域内能确定隐函数!#&*%&方程#

8、!(:/)!(7#:!#在点!#的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数/!分析!运用隐函数的存在惟一性定理进行证明&!解!令$!#!#:!#!(:/)!(7#:#因为$#!(:7#:#$!#(:!#$:!/)!(#7#:所以$#$#$!#$:在包含点!#的区域(!(!#!#:+#$!#!(#:$!-内连续#又由于$!#!#$#!#!%#$!#!#!但$:!#!故由隐函数存在惟一性定理知#方程$!#!#:!#即#!(:/)!(7#:!#在点!#的某邻域内能确定隐函数#!#:和!8!#:&)&求由下列方程所确定的隐函数的导数$!#%!(&#*!&*!#求8!8#%!%/)#%(!%!9

9、:4;9)!#求8!8#%!&7#!(%:7:!#求,:,#,:,!%!*;(;%!%!72#2!#(;%!%;!;(#求8!8#8%!8#%!#%(!%(:%#(%!*:!#求,:,#,:,!%!2:!#(!(:#!:#求,:,#,#,!#,!,:&%#&第十八章!隐函数定理及其应用!解!#令$!#!#%!(&#*!&*因为$#!%#!(#%#&!&#$!#%(=#*!%所以8!8#!$#$!%!(#%#%!&#(=#&!%!#!%令$!#!/)#%(!%9:4;9)!#因为$#!#(!#%(!%#$!#%(!%所以8!8#!$#$!#(!#!#!&令$!#!#:!7#!(%:7:因为$#!

10、7#!#$!#7#!#$:!%7:所以,:,#!$#$:!7#!%7:#,:,!$!$:!#7#!%7:!*在等式;(;%!%!72#2!#;!#(;%!%两边分别求微分!;%!%8!728!(!7282#82!#;8#!;%!%8!所以!;%!%8!728!(!72&#;8#!;%!%8!解出8!8#!72;!;%!%#%(;72!%72!;%!%#%化简有8!8#!;%!%故8%!8#%!;%!%&8!8#(!&!;%!%8!8#!;%!%!(!&;%!%!;%!%!;%!;%!%!令$!#!#:!#%(!%(:%#(%!*:因为$#!%#%#$!%!(%#$:!%:*所以,:,#!$#$

11、:!#:%#,:,!$!$:!(#%:!2 令$!#!#:!:!#(!(:#!:因为$#!+#!:+%#$!+#:+%#$:!#+#!+%所以,:,#!$#$:!+#(!:+%#+#!+%,#,!$!$#!+#(#:+%+#(!:+%,!,:!$:$!#+#!+%+#(#:+%)*&答案略&#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#*&答案略)$&设是一元函数#试问应对提出什么条件#方程%!#!#(!在点!#的邻域内就能确定出惟一的!为#的函数/!解!此题用定理#$&#加以讨论&令$!#!%!#!#!#则$#?$!#!应在!#为内点的某一区域(!%上连续#因此!#应在#!#的某一邻域内连续&%?

12、初始条件$!#!%!#!#!#!已满足&?在(内存在连续的偏导数$!%#+!#!+!#所以!#在#!#的邻域应有连续的导数&*?$!#则应有%+!#+!#!+!#&综合上述#当!#在#!#的某一邻域内有连续的导数#且+!#时#方程%!#!#(!在点!#的邻域内就能确定出惟一的!为#的函数&6%!隐函数组)#&试讨论方程组#%(!%!#%:%#(!(:./0!%在点!#%的附近能否确定形如#!:#!8!:的隐函数组/!解!此题用定理#$&*加以讨论&令$!#!#:!#%(!%#%:%#4!#!#:!#(!(:%#则$#?$!#!#:和4!#!#:在!&内连续&%?初始条件$!#%!#4!#%!满

13、足&?$#!%#$!%!#$:!:#4#!#4!#4:!#在!&内连续&*?雅可比!9 4 5 A 0 行列式,!$#4,!#!$#$!4#4!%#%!#!%!#!在!#%处,!$#4,!#!#%!*#因此#方程组$!#4(!在!#%的附近能确定形如#!:#!8!:的隐函数组&*%&求下列方程组所确定的隐函数组的导数$&(#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#!#%(!%(:%!;%#%(!%!;#(#!求8!8#8:8#%!%#2%!3!#!3%#2!(#!求,2,#,3,#,2,!#,3,!%!&2!2#3(!#3!8!2#3%!(#!求,2,#,3,#&!分析!解此类题需将哪些为自变量

14、#哪些为因变量分清楚#最后通过解方程组来求解&!解!#在方程组中每一方程两边分别对#求导数%#(%!+(%:+!%#(%!+!(;解之#有8!8#!;%#%!#8:8#!;%:!%将方程组中变量2#3均看作#!的函数#分别对#!求偏导数#%2,2,#!,3,#!2#,2,#%3,3,#./0!%2,2,!,3,!3!#,2,!%3,3,!./0(#!解之#有,2,#!%3(2!*2 3#!#,3,#!#%2%*2 3#!#,2,!%3%*2 3#!#,3,!%2(#3*2 3#!&在方程组中每一方程两边分别对#求偏导2#!2(#2#+#(3#+%3#!2#8+#(!%!3 3#8+(%即!#+

15、#2#+%3#!2 +#8+#2#(!%!3 8+%#3#!8+(#解之#有,2,#!2 +#+%8+#%!3 8+%#+#+%8+#%!3 8+%#!2 +#!%!3 8+%#(+%8+#!#+#!%!3 8+%#(+%8+#,3,#!#+#2 +#8+#8+#+#+%8+#%!3 8+%#!8+#!#+#2 +#8+%!#+#!%!3 8+%#(+%8+#)&答案略*&设函数:!:!#!是由方程组#!72(3#!723#:!2 3!2#3为参量 所定义的函数#求当2!#3!时的8:&)%#&第十八章!隐函数定理及其应用!分析!先将8#8!用2#3#82#83表示出来#再根据方程组解出82#

16、83的用8#8!表示的表达式&!解!首先#由#!72(3#!723#有8#!72(3!82(838!723!8283(即8#!#82(#838!82!8(3解之#有82!#%#!8#(#8!#83!#%#!8#8!又由:!2 3#有8:!382(283所以8:!3%#!8#(#8!(2%#!8#8!2(3%#8#(32%!8!由于2!#3!时#:!#!#!#故8:!#!)&设以2#3为新的自变量变换下列方程$!#!#(!,:,#!#!,:,!#设2!/)#%(!%#3!9:4;9)!#%!%#%,%:,#%!%,%:,!%!#设2!#!#3!#!&!解!#因为82!#%(!%#%#%(!%8#

17、(#%(!%#%!#%(!%8!#%(!%!#8#(!8!83!#(!#%!#!%8#(#(!#%#8!#%(!%!8#(#8!所以!8:!,:,282(,:,383!:2#%(!%!#8#(!8!(:3#%(!%!8#(#8!#:2!:3#%(!%8#(!:2(#:3#%(!%8!故,:,#!#%(!%#,:,2!,:,!3#,:,!#%(!%!,:,2(#,:,!3从而有!#(!,:,#!#!,:,!#%(!%!#(!#,:,2!,:,!3!#!,:,2(#,:,!+,3!,:,2,:,3即以2#3为新自变量的方程为,:,2,:,3!&#%#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#!%因为8

18、:!,:,282(,:,383!,:,2!8#(#8!(,:,3#!8#!%8!,:,2(#!,:,!38#(#,:,2#!%,:,!38!所以,:,#!,:,2(#!,:,3#,:,!#,:,2#!%,:,3,%:,#%!,#,:,!2(#!,#,:,!3!:2 2(#!:2 3(#!:3 2(#!:3 3!%:2 2(%:2 3(#!%:3 3,%:,!%!#,!,:,!2(%#!&,:,3#!%,!,:,!3!#!#:2 2#!%:2 3(%#!&:3#!%!#:3 2#!%:3 3!#%:2 2%#%!%:2 3(#%!*:3 3(%#!&:3故!#%,%:,#%!%,%:,!%!#%

19、!%:2 2(%:2 3(#!%:3 3!%!#%:2 2%#%!%:2 3(#%!*:3 3(%#!&:3!*#%!:2 3#%#!:3即以2#3为新自变量的方程为,%:,2,3!#%2,:,3*2&设函数2!2!#!由方程组2!#!#:#9#!8!#:#9!#!:#9!所确定#求,2,#和,2,!&!分析!先求出82#再根据8#&列出方程组解出8:#89#最后解出,2,#与,2,!的表达式&!解!首先82!#8#(!8!(:8:(989又由方程组8!#:#9!:#9(!有8!8!(8:8:(8989!:8:(989(!解之#有8:!8!8!8998:89:9!8!9,!8#,!:#98!#

20、!89!8:8!8!:8:89:9!8!:,!8#,!:#98!所以!82!#8#(!:8!9,!8#,!:#9(98!:,!8#,!:#912348!&*%#&第十八章!隐函数定理及其应用因而,2,#!#!,2,!(8!,!#,!:#9,!8#&答案略-$&设2!;9)#3!3 0)#&证明$当5#5%#!(时#2#3可以用来作为曲线坐标%解出#!作为2#3的函数%画出#!平面上2!#3!%所对应的坐标曲线%计算,!2#3,!#!和,!#!,!2#3并验证它们互为倒数&!分析!本题考察#判断2#3有无反函数组原条件#即,!2!,!#!不等于0然后再解出#!用2#3表示的函数表达式&!解!#将

21、2#3作为曲线的坐标#即表明函数组2!;9)#3!3 0)#存在反函数组#其主要条件为,!2#3,!#!#因为2#!4 3 4%#2!4 5;#3#!4 3 4#4 5;#3!4 3 4#所以,!2#3,!#!%4 3 4%#4 5;#!4 3 4#4 5;#4 3 4#!4 3 4&#(!4 3 4#4 5;%#!3 0)#5 5#5%#!(!故2#3可以用来作为曲线坐标&!%由!2;9)#!33 0)#得4 5 3#!23即#!9:4 4 5 323又!2;9)#!23 7 4%#!#!2#4 5 3%#!#!23%2%!#!3%2!%因而#!9:4 4 5 323!3%2!./0%!&当

22、2!#3(!%时#有#!%&!./0!&#=!平面2!#3!%所对应的坐标曲线如图#$#所示&!*因为#2!#2%3!%#3!#3%2!%!#!&!%#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#图#$#3!#2%3!%23!%!23#3%2!%!4 5 3#!2!23%2!%!#;9)#!3!33%2!%!#3 0)#所以,!#!,!2#3!#!4 5 3#!#;9)#3 0)#!3 0)#!#,!2#3,!#!小结!分别求出2#2!#3#3!%再通过行列式的计算#验证,!#!,!2#3与,!2#3,!#!互为倒数&-=&将以下式中的!#!#:变换成球面坐标!#(的形式$#2!,2,!#%(,2,

23、!%(,2,!:%#$%2!,%2,#%(,%2,!%(,%2,:%&!分析!分两步进行坐标变换#:不变为第一步#(不变为第二步#分别讨论后则可以得到结论中需要证明的等式&!解!球面坐标)#(与直角坐标#!#:之间的关系为#!)3 0)4 5 3(#!)3 0)3 0)(#:!)4 5 3对于极坐标#!4 5 3#!3 0)变换#根据第十七章6*习题%的证明过程和结论#有$#2!,2,!#%(,2,!%!,2,!%(#%,2,!%$%2!,%2,#%(,%2,!%!,%2,%(#,2,(#%,%2,%下面将变换分两步进行$首先令#!4 5 3(!3 0)(!:不变再令:!)4 5 3!)3 0

24、)(!(不变!#由#!4 5 3(!3 0)(!有,2,!#%(,2,!%!,2,!%(#%,2,!(%&$%#&第十八章!隐函数定理及其应用所以!$#2!,2,!#%(,2,!%(,2,!:%!,2,!:%(,2,!+,%(#%,2,!(%又由:!)4 5 3!)3 0)(!有,2,!:%(,2,!%!,2,!)%(#)%,2,!%故$#2!,2,!)%(#)%,2,!%(#)%3 0)%,2,!(%!%由#!4 5 3(!3 0)(!有,%2,#%(,%2,!%!,%2,%(#,2,(#%,%2,(%所以$%2!,%2,#%(,%2,!%(,%2,:%!,%2,:%(,%2,!%(#,2,

25、(#%,%2,(%又由:!)4 5 3!)3 0)(!有,%2,:%(,%2,%!,%2,)%(#),2,)(#)%,%2,%为了求,2,#将第十七章6*习题%中的#换成为:#!换为#则根据计算出的,2,!#有,2,!3 0),2,)(4 5 3),2,因此#有$%2!,%2,)%(#),2,)(#)%,%2,%(#,2,(#%,%2,(%!,%2,)%(#)%,%2,%(#)%3 0)%,%2,(%(%),2,)(4 5;)%,2,!小结!本题思路较为简单#主要是找出分两步进行坐标变换这个突破口#再分别证明即可&)#&设2!#%#3!%#?!:%#其中!#%(!%(:!%&!#试求以2#3#

26、?为自变量的反函数组%!%计算,!2#3#?,!#!#:&!解!#因为!2%(3%(?%!#*!#%(!%(:%!#%所以#!2%!22%(3%(?%#!3%!32%(3%(?%#:!?%!?2%(3%(?%!%因为!,2,#!#%#%*#,2,!%#!*#,2,:!%#:*同理,3,#!%#!*#,3,!#%!%*#,3,:!%!:*,?,#!%#:*#!,?,!%!:*#!,?,:!#%:%*所以!,!2#3#?,!#!#:!%#%*%#!*%#:*%#!*%!%*%!:*%#:*%!:*%:%*&%#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#!#%+#2!2:2&#*!%&#*:%&#%!*

27、&!*:%&#%:*&!%:*2#%!%:%,!#%!#%(!%(:%!#26&!几何应用*#&求平面曲线#%1&(!%1&!;%1&!;(上任一点处的切线方程#并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长&!分析!通常先求出曲线方程对#!的偏导数再代入公式得出切线方程&!解!令$!#!#%&(!%&;%&#因为$#!%&#&#!$!%&!#&所以曲线上任一点!#!#或!#处的切线方程为$#!#!#($!#!即%&#&!#(%&!#&!或#&(!#&!;%&分别令#!和!#则得此切线在!轴和#轴上的截距分别为;%&!#&#;%&#&切线被坐标轴所截取线段长为!;%&!#&%(!;%&#&+,%#%!

28、;故这些切线被坐标轴所截取的线段等长&*%&求下列曲线在所示点处的切线与法平面$!#!;3 0)%9#!3 0)94 5 39#:!A4 5 3%9#在点9!%*%!%#%(&!%(:%!=#:%!&#%(!%#在点!#%&!分析!要求切线需求出在!#中#!#:切点处的斜率&分别对9求导后可求得切线方程%在!%中分别对两个方程先求偏导数即可&!解!#切点为#%!*#!%!*#:%!*!;%#%#A!%因为8#89!%;3 0)94 5 39#!8!89!4 5 3%93 0)%9#!8:89!%A3 0)94 5 39所以切向量为!#+%!*#!+%!*#:+%!*!;#A故切线方程为#;(:

29、A!#!%法平面方程为;#;!%A:A!%!即;#A:!#%!;%A%!%设$!#!#:!%#%(&!%(:%=#4!#!#:!:%&#%!%#在点!#%处#有$#!*#!$!2#!$:!*&%#&第十八章!隐函数定理及其应用4#!2#!4!%#!4:!*,!$#4,!#:!&%#!,!$#4,!:#!*#!,!$#4,!#!%$所以切向量为!$#切线方程为#$!(#!:%法平面方程为$!#(#!(#(!:%!或$#(#!(:#%!)&答案略*&证明对任意常数)#(#球面#%(!%(:%!)%与锥面#%(!%!;9)%(&:%是正交的&!分析!要求球面与锥面正交#只要证明两个面的法向量的内积为

30、即可&!证明!设点!#!#:是球面#%(!%(:%!)%与锥面#%(!%!;9)%(:%交线上任意一点&显然#球面#%(!%(:%!)%在!#!#:处切平面的法向量#!#!#:&令$!#!#:!#%(!%!;9)%(:%因为$#!%#$!%!#$:!%!;9)%(:所以锥面#%(!%!;9)%(:%在点!#!#:处切平面的法向量为%!#!#!;9)%(:由#&%!#%(!%!;9)%(:%!知#6%故球面与锥面在交点处是正交的&*&*&答案略)$&试证明$函数$!#!在点*!#!的梯度恰好是$的等值线在点*的法向量!设$有连续一阶偏导数&证明!函数$!#!在点*!#!处的等值线方程为$!#!$

31、!#!在*处切线的斜率为8!8#*!$#!#!$!#!因此切线的方向向量为#!$!#!#$#!#!从而等值线在*处法线的方向向量为!$#!#!#!$!#!C:9 82!*-=&确定正数&#使曲面#!:!&与椭球面#%;%(!%(:%A%!#在某一点相切!即在该点有公共切平面&!分析!先求出两曲面在切点的切平面的法向量#再据此推出&的值&!解!设*!#!#:为公共切点#则满足#!:!&#%;%(!%(:%A%./0!#因为曲面#!:!&和曲面#%;%(!%(:%A%!#在*处切平面的法向量分别为#!:#:#!和!%!%#;%#%!%#%:A!%且两曲面在*处有公共切平面#故它们的切平面法向量平行

32、#则#;%!:!%#:!:A%#!9由#!:!&可推出#%;%!%!:%A%即&#%;%!#!&!%!#!&:%A%!#或#!B;!&#!B!&#!:!BA!&故当&!;A!&(时#两曲面在切点;!&#!&#A!&或;!&#!&#A!&或;!&#!&#A!&或;!&#!&#A!&%#&第十八章!隐函数定理及其应用处有公共切平面&!小结!注意题目条件要求求出的&为正数#而此题实际上可以解出正负两个&的值&)#&答案略-#&求两曲面$!#!#:!#4!#!#:!的交线在#!平面上的投影曲线的切线方程&!分析!要求在#!平面上的投影曲线方程#必须先消去$与4方程中的B变量再进行计算&!解!为了求投影

33、曲线方程#只需从$!#!#:!#4!#!#:!中消去变量:#为此#假设$:#则由$!#!#:!确定二元函数:!:!#!#将:!:!#!代入4#有4!#!#:!#!所以投影曲线方程为4!#!#:!#!:(!由4!#!#:!#!即为投影柱面方程 可确定一个一元函数!#&令C!#!4!#!#:!#!因为!C#!4#(4:#C!4!(4:!#:#!$#$:#:!$!$:所以8!8#!C#C!4:$#4#$:4!$:4:$!故投影曲线4!#!#:!#!:(!在此曲线上点*!#!#处的切线方程为!4:!*#$#!*#4#!*#$:!*#4!*#$:!*#4:!*#$!*#!#或!4:!*#$#!*#4#!

34、*#$:!*#!#(!4:!*#$!*#4!*#$:!*#!其中*#!*#!#!#:!#!小结!此题考察了用求偏导数确定切线方程的方法&6*!条件极值)#&应用拉格朗日乘数法#求下列函数的条件极值$!#!#!#%(!%#若#(!#!%!%!#!#:#9!#(!(:(9#若#!:9!A*!其中#!#:#9(#A(%!&!#!#:!#!:#若#%(!%(:%!#(!(:!&!解!#令D!#!#&!#%(!%(&!#(!#由D#!%#(&!D!%!(&!D&!#(!./0#!解出#!#%#!#%#&!#又因为8!#!#%(!#%#8+!#!%#%!#8,!#!%(%!*所以8,!#%!*(&(%#&

35、!数学分析同步辅导及习题全解 下册#从而#!#%为8!#的极小值点#即#%#!#%为!#!的极小值点#故!#!的极小值为#%#!#%!#%&!%令D!#!#:#9#&!#(!(:(9(&!#!:9A*由D#!#(&!:9!D!#(&#:9!D:!#(&#!9!D9!#(&#!:!D&!#!:9A*./0!解出#!:!9!A#&!#A&设条件方程#!:9!A*所确定的隐函数为9!9!#!#:#记$!#!#:!#!#:#9!#!#:因为$#!#(99#!#9#$!(99!#9!$:!:(99:!#9:所以$#!%9#%#$!%9!%#$:!%9:%#$#!9#!#$#:!9#:#$!:9!:&则$

36、!#!#:在*!A#A#A 处的三阶黑赛矩阵为$!*!%A!#A!#A#A!%A!#A#A!#A!%1234A由%A(#%A!#A#A!%1234A!&A%(#%A!#A!#A#A!%A!#A#A!#A!%1234A!*A&(知#三阶黑赛矩阵$!*是正定的&故*#!A#A#A#A 为!#!#:#9 在条件#!:9!A*下的极小值点#其极小值为!A#A#A#A!*A&!&令D!#!#:#&!#!:(&!#%(!%(:%#(*!#(!(:!则!D#!:(%&#(*!D!#:(%&!(*!D:!#!(%&:(*!D&!#%(!%(:%#!D*!#(!(:./0!#!&!(!D#(#D!(&D:#有&

37、)&#&第十八章!隐函数定理及其应用&#!:(%&!#%(!%(:%(*!#(!(:!&#!:(%&!解得&!&%#!:!(#(&#有!:(#:(#!(%&!#(!(:(&*!:(#:(#!(&*!解得*!#&!:(#:(#!又!#!&#&#得方程组:!#!#(&#!#!:!#(&:!:#!#(&#:./0!)*+为了解上述方程组#下面先证明$方程)*+成立#当且仅当#!#!:!#:#!中只有一式成立&若至少有两式成立#不妨设#!#!:!#则#!:#于是由约束条件#(!(:!得知#!:!#这又与条件#%(!%(:%!#相矛盾&若都不成立#即#!#!:#:#则#!#:都不为零&因为若#!#则由#

38、(!(:!和#%(!%(:%!#知!:!B#!%或!:!B#%但#!时式)化为!:!#矛盾#故#!#:均不为#于是有#(&#!#(&!:!#(&#:!即#!:!#:!#&从而#!:#这又与#(&#%!相矛盾&综合上面的分析#要使方程组)*+成立#则#!#!:!#:#!中只能有一个式子成立&现设#!#则!:#:#但#(&:!#(&#:!所以#!#!:!#:!#&#又由方程(#有%#(:!#:!./0#&解之#有#!B#!2#:!8%!2同理#有#!:!B#!2#!8%!2!:!B#!2#!8%!2故得2个解#!2#!2#%!2#!2#!2#%!2#!2#%!2#!2#!2#%!2#!2#&#&#

39、&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#%!2#!2#!2#%!2#!2#!2设由方程组#%(!%(:%!#(!(:(!确定隐函数!#:!:!#则由%#(%!+(%:+!#(!+(:+(!有!+!:#!:#:+!#!:!,!:!:+#!:#!+:+!:%:,!:!#!+!#!+:+!:%又!#!#:!#!:+!:(#!+:(#!:+#,!#!,:(#!:,(#!+:+(%!+:(%!:+在*#!2#!2#%!2处!+!#:+!#+!*#!,*#!%2&#:,*#!%2&,!*#!*!2(!%2=(!%2#$(所以*#为 极 小 值 点#极 小 值 为!*#!#!&2&类 似 地#*%!2#!2#

40、!2#*&#!2#%!2#!2也为极小值点#极小值!*%!*&!*#!#!&2在*#!2#!2#%!2处!+!#:+!#+!*!,*!%2&#:,*!%2&,!*!*!2!%2=!%2#$5所以*为 极 大 值 点#极 大 值 为!*!#!&2&类 似 地#*%!2#!2#!2#*2#!2#%!2#!2也为极大值点#极大值!*!*2!*!#!&2*%&!#求表面积一定而体积最大的长方体%!%求体积一定而表面积最小的长方体&*&#&第十八章!隐函数定理及其应用!分析!两小题的方法类似#均是在已知约束条件下求最值的问题#可采用求偏导数.列方程组的方法求解&!解!#设长方体的长.宽.高分别为#!#:

41、#则体积E!#!:!#(#!(#:(约束条件为%#!(%#:(%!:!F!表面积令D!#!#:!#!:(&!%#!(%#:(%!:F由D#!:(%&!(%&:!D!#:(%&#(%&:!D:!#!(%&#(%&!D&!%#!(%#:(%!:F./0!解之#有#!:!F!2!%设长方体体积为E#约束条件为#!:!3&E1;#!F2F!2由D#!%!(%:(&!:!D!%#(%:(%&#:!D:!%#(%!(&#!D&!#!:E./0!得%#!(%#:!%#!(%!:所以#!同理有!:因而#!:!&!E依题意#所求表面积最小的长方体确实存在#边长为&!E的正方体表面积最小&*&求空间一点!#!#:

42、到平面G#(H!(I:(!的最短距离&!分析!求最短距离需先列出点列到面距离的方程式#再用求偏导数的方法求极值&!解!设!#!#:为平面G#(H!(I:(!上任意一点#则目标函数为!#!#:!#%(!%(!:%约束条件为G#(H!(I:(!令D!#!#:#&!#%(!%(!:%(&!G#(H!(I:(则!D#!%!#(&G!D!%!(&H!D:!%!:(&I!D&!G#(H!(I:(./0!#&!DG(#DH(&DI#有%!G#(H!(I:%!G#(H!(I:(&!G%(H%(I%!解之#有&!%!G#(H!(I:(G%(H%(I%从而有#!#G%&#!#!H%&#:#!:I%&!&#&!数学

43、分析同步辅导及习题全解 下册#依题意#点!#!#:到平面G#(H!(I:(!确实存在最短距离#且为J!#%(!#!%(!:#:!%!+G#(H!(I:(+G%(H%(I!%)*&答案略-&设;#;%#;/为已知的/个正数#求!#%#/!9/K!#;K#K在限制条件#%#(#%(#%/&#下的最大值&!分析!先判断出的最大值左取于#在/维球的边界#再用求偏导数的方程分别对#%#/求导#再进行最大值的计算&!解!因为+#L!;L(#!L!#%#/所以!#%#/在/维单位球#%#(#%(#%/5#内无稳定点#因而在此球内部不取最大值#即的最大值应在边界#%#(#%(#%/!#上达到&令D!#%#/#

44、&%9/K%#;K#K.&!#%#.#%.#%/-#由D#K!;K(%&#K!D&%9/K%#%K-#%./0!K%#%#/可得&(#K!;K%&从而有#*&%9/K%#;%K%#:&%M#%9/K%#;%!K所以#K%;K9/K%#;%!K或#K%-;K9/K%#;%!K#!K%#%#/故在限制条件9/K%#%K&#下的最大值为9/K%#;%!K#最小值为-9/K%#;%!K&!小结!本题的约束条件#%#.#%.#%/&#并不是常规的等式形式#需要据此推断出的最大值在#%#.#%/%#这个边界上达到#才能继续求解&*2&求函数!#%#/%#%#.#%.#%/在条件9/K%#;K#K%#!;K

45、(#K%#%#/下的最小值&!分析!同样利用求偏导数建立方程组的方法求解0!解!令D!#%#/#&%9/K%#%K.&!9/K%#;K#K-#由D#K%#K.&;K%#D&%9/K%#;K#K-#%./0!K%#%#/&$&#&第十八章!隐函数定理及其应用可得%9/K%#;K#K.&9/K%#;%K%.&9/K%#;%K%#&%-%9/K%#;%K所以#K%-#%&;K%;K9/K%#;%K#!K%#%#/因为有下界#所以存在最小值#且为#9/K%#;%K&总练习题)#&方程!%#%!#%!在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数!#/!解!令$!#!%#%!#%因为$#!*#&%#$!%

46、!在!%连续#又当!#时#$!%!#所以$!#!%#%!#%!在!#!$(!(!#!+#$!#!#-的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数!#&*%&设函数!#在区间!;#内连接#函数(!在区间!A#J 内连接#而且(+!(&问在怎样条件下#方程(!#能确定函数!(#!#并研究例子$!,3 0)!(3 E!#%!-7!3 0)%#&!分析!运用隐函数存在惟一定理来探讨论题&!解!此题主要用隐函数存在惟一性定理来讨论&设$!#!(!#!#!$(!(!#!+;5#5#A5!5J-#若!$!#!在以*!#!为内点的区域(!%上连续!由已知条件满足%#要满足初始条件$!#!#则要求;5#5#A5!5J使

47、(!#!%&要满足在(内存在连续的偏导数$!(+!#则要求(+!在!A#J 内连续%$!#!#由已知条件$!#!(+!(满足&综合上述#当;#$!;#!$!A#J 使(!#!#且(+!在!A#J 内连续时#在这样的点*!#!的某邻域)!*(内时#方程(!#能确定函数!(#!#&例子$!,令(!3 0)!(3 E!#!#!#因为!#!#在!F#(F 内连续#(!3 0)!(3 E!在!F#(F 内连续#(+!4 5 3!(4 E!(且连续#由(!的值域为!F#(F#故;#$!F#(F#!$!F#(F使(!#所以由上面的讨论知方程3 0)!(3 E!#能确定隐函数!(#!#!-令(!7!#!#!3

48、 0)%#因为(!7!(#!#&#所以等式(!#在!%内不成立#故不能确定隐函数&)&答案略*&已知4#!#!#:#4%!#!#:#!#!都是可微的#8L!#!4L!#!#!#!#!L!#%&#&!数学分析同步辅导及习题全解 下册#证明$+!8#8%+!#!#!#4#4#!4#:4%#4%!4%:&!分析!先求出8分别对#!的偏导数#在计算中根据行列式的性质进行拆项相加以简化运算&!证明!因为+8L+#!4L#(4L:#+8L+!4L!(4L:!#L!#%所以+!8#8%+!#!4#(4#:#!4#!(4#:!4%#(4%:#!4%!(4%:!4#!4#!(4#:!4%#!4%!(4%:!(4

49、#:#!4#!(4#:!4%:#!4%!(4%:!4#!4#!4%#!4%!(!4#!4#:4%#!4%:(#4#:!4#!4%:!4%!#!#4#4#!4#:4%#4%!4%:)&设#!2#3#?#!8!2#3#?#:!2#3#?#求+2+#+2+!#+2+:&!解!在#!2#3#?#!8!2#3#?#:!2#3#?中#将2#3#?看作#!#:的三元函数#并对#求偏导数#有#!2+2+#(3+3+#(?+?+#!82+2+#(83+3+#(8?+?+#!2+2+#(3+3+#(?+?+./0#解之#有+2+#!+!8#+!3#?+!#8#+!2#3#?同理#有+2+!+!#+!3#?+!#8

50、#+!2#3#?#+2+:!+!#8+!3#?+!#8#&答案略*$&设!#!#:#2 满足方程组!#(!(!:!$!2#8!#(8!(8!:!4!2#!#(!(!:!C!2#这里所有的函数假定有连续的导数&!#说出一个能在该点邻域内确定#!#:为2的函数的充分条件%!%在!#!#8!#!#%#!#!#&的情形下#上述条件相当于什么/!分析!运用隐函数组定理来判断在某点邻域内#!#:能否为2的函数&!解!#令!$#!#!#:#2!#(!(!:$!24#!#!#:#2!8!#(8!(8!:4!2C#!#!#:#2!#(!(!:C!2./0由隐函数组定理知#所给方程组在该点邻域内确定#!#:为2的