数学分析1.pdf

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1、数学分析数学分析数学分析数学分析2河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29数学分析容易吗？数学分析很难学理论抽象，逻辑性强 数学分析很重要数学后续课程的基础，数学专业考研考博的必考内容 数学分析很简单逻辑性强数学分析数学分析数学分析数学分析3河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29数学分析与微积分、高等数学 数学分析重理论分析，推导，计算（数学专业）微积分重计算（经济管理类）高等数学重计算，内容比微积分含量多（工科）数学分析数学分析数学分析数学分析4河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29数学分析学习方法多做题多记题多看书多总结数学分析数学分析数学分析数学分

2、析5河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29基本要求 作业每次都要做，每周交一次 每章讲完，要求大家写一份学习总结 数学分析数学分析数学分析数学分析6河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-291 实数数学分析研究的是实数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质.数学分析数学分析数学分析数学分析7河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29五、实数的稠密性六、实数与数轴上的点一一对应七、实数的绝对值与三角形不等式三、实数的四则运算四、实数的阿基米德性一、实数的十进制小数表示二、实数的大小数学分析数学分析数学分析数学分析8河南财经政法大学数学与信息科学系

3、2012-09-29记号与术语N:(0)自然数集 包含自然数集 包含R:实数集实数集Z:整数集整数集Q:有理数集有理数集:存在存在R:负实数集负实数集:任意任意+R:正实数集正实数集+N:正整数集正整数集数学分析数学分析数学分析数学分析9河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-291.任何一个实数都可以用十进制小数表示任何一个实数都可以用十进制小数表示.若若+012R,.;nxxa a aa则则012R,.nxxa a aa 则 则.,2,1,9,2,1,0,N0 naan其中其中2.有限小数有限小数kaaaax210.),0(ka其中其中又可表示为又可表示为99)1(.1210 kk

4、aaaaax.9)1(.1210kkaaaaa一、实数的十进制小数表示数学分析数学分析数学分析数学分析10河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.即即:若若,.210naaaax,.210nbbbby.,2,1,0,nbayxnn则用无限小数表示实数，称为则用无限小数表示实数，称为正规表示正规表示.742851.071如如Q,xx 可用循环十进制小数表示，可用循环十进制小数表示，3.Q|,Z,0mx xm nnn 其中其中表示有理数集.表示有理数集.数学分析数学分析数学分析数学分析11河南财经政法大学

5、数学与信息科学系2012-09-29,.,1210pkkkaaaaaax若反之 若反之0111Q.1010110pkkjiipkjpijaaxa 则则,nmx 若一般若一般,.1210pkkkaaaaaax则则.np 其中其中4.无理数为无限不循环小数无理数为无限不循环小数.:3.1415926;如如.1010010001.0 x数学分析数学分析数学分析数学分析12河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29二、实数的大小00+N,ababn 或使 或使.,.11210210 nnnnbabbbbaaaa而而定义定义1+,R,x y若是正规的十进制小数表示若是正规的十进制小数表示,规定

6、规定.yxyx 规定规定,R,x y +R,R,xy .0 xy规定规定012.nyb b bb 012.,nxa a aa数学分析数学分析数学分析数学分析13河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29(1),.xy xy xy实数的大小关系有以下性质实数的大小关系有以下性质:三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.(2),.xyyzxz若则若则即大小关系具有传递性即大小关系具有传递性.数学分析数学分析数学分析数学分析14河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29三、实数的四则运算实数集实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为对加、减

7、、乘、除（除数不为 0）亦是有理数集）亦是有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为对加、减、乘、除（除数不为 0）是实数的四则运算与大小关系）是实数的四则运算与大小关系,还满足还满足:+(1),R,R,.x yxyxy 若则若则.,)2(22112121yxyxyyxx 则则封闭的.封闭的.封闭的.封闭的.数学分析数学分析数学分析数学分析15河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29四、实数的阿基米德性实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性:+,R,N,.a bnnba 使得 使得理由如下：设理由如下：设N,.0210 kaaaaaan.1011 kka则则为第一个不为零的正整数,为第

8、一个不为零的正整数,pb,.210nbbbbb 设设,101 kpn令令.101anbk 则则数学分析数学分析数学分析数学分析16河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29例例1+10,N,.bnbn 若则使得 若则使得1.bn 证证1,a 令由阿基米德性令由阿基米德性+N,1nnb 使，即阿基米德阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.,希腊希腊)数学分析数学分析数学分析数学分析17河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29五、实数的稠密性之间，既有有理与任意两个不相等的实数之间，既有有理与任意两个不相等的实数ba.2数又有无理数.必有另一个之间与任意

9、两个不相等的实数数又有无理数.必有另一个之间与任意两个不相等的实数,.1ba.2.bacc 例如实数例如实数证证+1N,abn若，则由例，存在使若，则由例，存在使).(211abn数学分析数学分析数学分析数学分析18河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29的最大的正整数，是满足设的最大的正整数，是满足设ankk.1ank即即是则是则nknk2,1 ,21,bnknka 于是于是例例2.0,R,bababa ，则，对若，则，对若 证证,0 baba，设倘若，设倘若,ba则则.矛盾与矛盾与 ba的无理数.的无理数.14kabnn而是与之间而是与之间 ,ab与之间的有理数与之间的有理数数

10、学分析数学分析数学分析数学分析19河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29六、实数与数轴上的点一一对应实数集实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系与数轴上的点可建立一一对应关系.1.这种对应关系，粗略地可这样描述：这种对应关系，粗略地可这样描述：(0),PP设是数轴上的一点 不妨设在 的右边若在设是数轴上的一点 不妨设在 的右边若在01.nnan 整数与之间，则整数与之间，则1(,1,.n nPiai把十等分 若点在第 个区间，则把十等分 若点在第 个区间，则,2,3,.nan 类似可得到类似可得到对应于令点这时对应于令点这时p,012.naa aa数学分析数学分析数学分析数学分

11、析20河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29反之反之,任何一实数也对应数轴上一点任何一实数也对应数轴上一点.2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的完备性.我们将在后面有关章节中作进一步讨论.数学分析数学分析数学分析数学分析21河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29七、实数的绝对值与三角形不等式2.实数的绝对值性质实数的绝对值性质:.0|0;0|)1(aaaa时当且仅当时当且仅当.|)2(aaa,|)3(hahha .|hahha.0,0,|aaaaa|.1aa的绝对值实数定

12、义为:的绝对值实数定义为:数学分析数学分析数学分析数学分析22河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29|)4(bababa (三角形不等式三角形不等式).|)5(baab|(6)(0).|aabbb的证明：的证明：3.三角形不等式三角形不等式|bababa 得由得由|,|bbbaaa|,|)|(|bababa.|baba 即即|,|bbabbaa又又.|baba 即即数学分析数学分析数学分析数学分析24河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.2 数集与确界原理数

13、学分析数学分析数学分析数学分析25河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29记号与术语(;)|:U axxaa 点的 邻域点的 邻域(;)|0|:Uaxxaa 点的空心邻域点的空心邻域(;)|0:Uaxxaa 点的 右邻域点的 右邻域(;)|0:Uaxaxa 点的 左邻域点的 左邻域(;)|:UMxxMM 的邻域的邻域(;)|:UMxxMM 的邻域 的邻域(;)|:UMxxMM 的邻域的邻域max:SS数集的最大值数集的最大值 min:SS数集 的最小值数集 的最小值数学分析数学分析数学分析数学分析26河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29一、有界集定义定义1 R,.S

14、S设 设(1)R,MxSxMM若使得则称为若使得则称为,.SS的一个上界 称为有上界的数集的一个上界 称为有上界的数集(2)R,LxSxLL若使得则称为若使得则称为,.SS的一个下界 称为有下界的数集的一个下界 称为有下界的数集.S则称为有界集则称为有界集(3),S若既有上界又有下界若既有上界又有下界:0,|.MxSxM 其充要条件为使有 其充要条件为使有数学分析数学分析数学分析数学分析27河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29(1),SS 若不是有上界的数集 则称无上界 即若不是有上界的数集 则称无上界 即00R,.MxSxM 使得使得(2),SS 若不是有下界的数集 则称无下

15、界 即若不是有下界的数集 则称无下界 即00R,.LxSxL 使得使得(3),SS 若不是有界的数集 则称无界集 即若不是有界的数集 则称无界集 即000,|.MxSxM 使得使得数学分析数学分析数学分析数学分析28河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2910R,1,2;1,MMxMM 若取若若取若 1021,MxMM 取取因此因此 S 无上界无上界.证证,2LxSxn 则则故故 S 有下界有下界.取取 L=1,2|N,.nSn 证明数集无上界 有下界证明数集无上界 有下界例例1例2例22+31N.2nSnn证明数集有界证明数集有界证证22+3331111N,1,22222nnnn

16、nn .S因此有界因此有界数学分析数学分析数学分析数学分析29河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29二、确界:R.R,满足若设满足若设 SS定义定义2.sup,SS 记为的上确界是则称记为的上确界是则称;,)i(xSx,(ii)0Sx 0,x 使得使得若数集若数集 S 有上界有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界最小的上界称为上确界.同样同样,若若S 有下界有下界,则最大的下界称为下确界则最大的下界称为下确界.数学分析数学分析数学分析数学分析30河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09

17、-290 x x注2注2(ii)显然,条件亦可换成:显然,条件亦可换成:00,.xS x 0,0,注1 注1 条件条件(i)说明 是 的一个上界说明 是 的一个上界,条件条件(ii)说明说明S 比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上S 界,即上确界是最小的上界.界,即上确界是最小的上界.数学分析数学分析数学分析数学分析31河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29定义定义3R,.R:SS 设若满足 设若满足(i),;xSx 00(ii),;xSx.inf,SS 记为的下确界是则称记为的下确界是则称00,.xS x 0,0,(ii),下确界

18、定义中的亦可换成下确界定义中的亦可换成注2注1注2注1 由定义,下确界是最大的下界.由定义,下确界是最大的下界.数学分析数学分析数学分析数学分析32河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29证证 先证先证 sup S=1.;111,i)(nxSx.,211000 xSx，则取若，则取若(ii)1.设设例例2 11,1,2,Sx xnn设求证设求证.0inf1sup SS，.1supS因此，因此，00,10,n 若则令由阿基米德性若则令由阿基米德性000011.1,1.xSxnn 使得令则使得令则数学分析数学分析数学分析数学分析33河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29.

19、0inf S因此因此.0inf S再证再证00(ii)0,0,.xS x ;011,)i(nxSx以下确界原理也可作公理,不予证明.虽然我们定义了上确界以下确界原理也可作公理,不予证明.虽然我们定义了上确界,但并没有证明上确界的存在性但并没有证明上确界的存在性,这是由于上界集是无限集这是由于上界集是无限集,而无限数集不一定有最小值而无限数集不一定有最小值,例如例如(0,)无最小值无最小值.数学分析数学分析数学分析数学分析34河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29三、确界存在性定理证明略证明略R,.,;SSSS 设若有上界 则必有上确界设若有上界 则必有上确界定理定理1.1(确界原

20、理确界原理),.SS若有下界 则必有下确界若有下界 则必有下确界数学分析数学分析数学分析数学分析46河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29.,yxByAx 有有:.,满足为非空数集设满足为非空数集设BA例3例3.infsupBA 且且证明：数集 证明：数集 A 有上确界，数集 有上确界，数集 B 有下确界，由定义有下确界，由定义,上确界上确界 sup A 是最小的上界是最小的上界,因此因此,任意任意证证 由假设,由假设,B 中任一数中任一数y 都是都是A 的上界,的上界,A 中的任一数中的任一数x 都是都是B 的下界的下界.因此由确界原理因此由确界原理,A 有上确界有上确界,B

21、有下确界有下确界.数学分析数学分析数学分析数学分析47河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29例4例4,R中非空有上界的数集是设中非空有上界的数集是设S(i)R,|,aSaxa xS若定义则若定义则supsup;SaSa+(ii)R,|,bbSbx xS若定义则若定义则supsup.bSbSy B;sup A y.这样这样,sup A 又是又是B 的一个下界的一个下界,而而 inf B 是最大的下界是最大的下界,因此因此 sup A inf B.数学分析数学分析数学分析数学分析48河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29证证,)i(aSax ,Sx其中其中必有必有,su

22、pSx 于是于是.supaSax,00Sx 对于对于使使,sup0 Sx从而从而,0aSax且且,)(sup0 aSax因此因此.sup)sup(aSaS 数学分析数学分析数学分析数学分析49河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29,)ii(bSbx 其中其中,Sx必有必有,supSx于是于是.supSbbx 0,0,b 令令则存在则存在,0Sx 使使0sup,xS 因此因此0supsup.bxbSbbS 这就证明了这就证明了.supsupSbbS 数学分析数学分析数学分析数学分析50河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29四、非正常确界;R,)i(.1 aa规定规定s

23、upN,inf 2|N.nn 例1例12.推广的确界原理推广的确界原理:非空数集必有上、下确界非空数集必有上、下确界.sup,)ii(SS记无上界若记无上界若.inf,SS记无下界若记无下界若例例2 设数集设数集1R,.ABxAx 求证:求证:supinf0.AB的充要条件是的充要条件是 数学分析数学分析数学分析数学分析51河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2900,sup,.MAxA xM 1令=则由于 1令=则由于001,.xB xM令于是令于是0001,.yAyMx且且证 证 设设sup.A若若 ,0.xB x 显然显然0,于是于是0001,.yByx 且且因此因此inf0

24、.B 反之,若反之,若inf0,B 则则0,M sup.A因此因此 数学分析数学分析数学分析数学分析53河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-293 函 数 概 念一、函数的定义二、函数的四则运算三、复合函数四、反函数五、初等函数函数的概念,在中学数学中我们已有了初步的了解.本节将作进一步的讨论.数学分析数学分析数学分析数学分析54河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29一、函数的定义:,fDM.xy),()(DxxfyyDf 称为称为f 的值域;的值域;D 称为 称为 f 的定义域;的定义域;定义定义1 D与与M是是R中非空数集,若有对应法则中非空数集,若有对应法则f,

25、使使D内每一个数内每一个数x,都有惟一的一个数都有惟一的一个数y M与它相对应,则称与它相对应,则称f 是定义在是定义在D上的函数,记作上的函数,记作数学分析数学分析数学分析数学分析55河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29,)(),(DxxfyyxG 称为称为f 的图象.的图象.注注1 函数由定义域 函数由定义域 D 和对应法则 和对应法则 f 二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则,也就确定了函数也就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关它与自变量与应变量的符号无关.注注2 表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法

26、和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体(即存在域).表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体(即存在域).数学分析数学分析数学分析数学分析56河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29 QxQxxD,0,1)(例例2 狄利克雷函数狄利克雷函数 000,1,0,1sgnxxxx例例1 符号函数符号函数O11 xy1yxO数学分析数学分析数学分析数学分析57河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29狄利克雷狄利克

27、雷(Dirichlet,P.G.L.18051859,德国德国)黎曼黎曼(Riemann,B.18261866,德国德国)数学分析数学分析数学分析数学分析58河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29+1,(,N,);()0,0,1(0,1).ppxp qqqqR xxxQ当既约真分数或当既约真分数或例例3 黎曼函数黎曼函数O0.20.40.60.810.20.40.6xy数学分析数学分析数学分析数学分析59河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29二、函数的四则运算.,gfDgDf的定义域为函数的定义域为设函数的定义域为函数的定义域为设函数1.,fgfgfgDDD 的定义

28、域为的定义域为,()()()().fgxDDfgxf xg x 且且2.,f gfgfgDDD 的定义域为的定义域为,()()()().fgxDDfgxf xg x且且*3.,fgffDDDg的定义域为的定义域为*,gDx xD其中其中()0,g x且且.)()()(,xgxfxDxgfgf数学分析数学分析数学分析数学分析60河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29三、复合函数,fgfDgD设函数的定义域为函数的定义域为设函数的定义域为函数的定义域为fg复合函数的定义域为复合函数的定义域为,(),f ggfDx xDg xD 且则且则,()().f gxDfg xf g x 21,

29、Rxx 的复合函数为的复合函数为,1)(2xxgfy例例4 (),0,()f uu ug x函数与函数函数与函数.1,1 gfD其中其中数学分析数学分析数学分析数学分析61河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29211()()arcsin(ln),e,e;fg h xxD 22()()ln(arcsin),(0,1;fhgxx D 21/21/24()()arcsin(ln),e,e;g hfxxD 26()()ln(arcsin(),1,0)(0,1.h gfxxD 213()()arcsin(ln),e,e;gfh xx D 25()()ln(arcsin),1,0)(0,1;

30、hfgxx D ,1,6.kD k 其中是相应复合函数的定义域其中是相应复合函数的定义域2();()arcsin;()ln.f xxg xx h xx 设则设则例例5数学分析数学分析数学分析数学分析62河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29四、反函数(),yf DxD 惟一惟一,)(yxf 使使11().fyfx 因此一般反函数记为因此一般反函数记为,:ffD若函数的定义域为满足若函数的定义域为满足(),yf D 且且,1 f则存在函数则存在函数)(1DfDf 1(),fyxyx反函数表示式中是自变量是反函数表示式中是自变量是注注因变量.由于函数与自变量、因变量记号无关，因变量.

31、由于函数与自变量、因变量记号无关，().xf xyxD其中是使的惟一的其中是使的惟一的,)(1xyf 数学分析数学分析数学分析数学分析63河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29例例6sh chxx双曲函数和定义如下:双曲函数和定义如下:11sh(ee),ch(e+e),R.22xxxxxxxshRshxx在上严格增,因此有反函数.在上严格增,因此有反函数.1(ee),e2xxxy 设得到的一元二次方程设得到的一元二次方程2(e)2 e10.xxy 2ln1(,xyy解得负舍)解得负舍)shyx因此的反函数为因此的反函数为2ln1,R.yxxx数学分析数学分析数学分析数学分析64河

32、南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29+chRRx 因此在和的反函数分别为因此在和的反函数分别为21ln1,1,).yxxxR 增,在上严格减.增,在上严格减.22ln1,1,).yxxx+chRR1,),Rx 在和的值域均为在上严格在和的值域均为在上严格1(e+e),e2xxxy 设得到的一元二次方程设得到的一元二次方程2(e)2 e10.xxy 2ln1,xyy解得解得数学分析数学分析数学分析数学分析65河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29定义定义1 以下六类函数称为基本初等函数以下六类函数称为基本初等函数);()1(为常数常量函数为常数常量函数ccy(2)()

33、;yx 幂函数为实数幂函数为实数);1,0()3(aaayx指数函数指数函数(4)log(0,1);ayx aa 对数函数对数函数(5)sin,cos,yxyx 三角函数三角函数;cot,tanxyxy 五、初等函数数学分析数学分析数学分析数学分析66河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29sup,1,inf,01.rxrarQ rxaaarQ rxa定义定义,1,0 aa定义定义2,arccos,arcsin)6(xyxy 反三角函数反三角函数arctan,arccot.yxyx 定义定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数由基本初等函数经过有限次四则运算和

34、复合运算所得到的函数,称为初等函数称为初等函数.狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数.数学分析数学分析数学分析数学分析67河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-292.f(x)和和g(x)定义在定义在a,b上上,是否一定存在某个区间是否一定存在某个区间0000,()()aba bxabf xg x 使或 使或?)()(,00 xgxfbax 复习思考题3.():R x验证黎曼函数具有以下性质验证黎曼函数具有以下性质0,().R x 只有有限多个解只有有限多个解1.函数函数f(x)定义在定义在a,b上，上，f(a)=0,f(b)=1,0,1是否一定都在

35、是否一定都在 f 的值域的值域f(a,b)之中之中数学分析数学分析数学分析数学分析68河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-294 具有某些特性的函数一、有界函数本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性.四、周期函数三、奇函数与偶函数二、单调函数数学分析数学分析数学分析数学分析69河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29一、有界函数定义定义1 设设f 定义在定义在D上上.R,(),MxD f xMfD 若则称在上有上界；若则称在上有上界；R,(),LxD f xLfD 若则称在上有下界；若则称在上有下界；R,(),.MxD f xMfD 若则称在上有界 若则称在

36、上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证上既有上界又有下界在上有界在易证DfDf00R,(),MxD f xMfD 若则称在上无上若则称在上无上界；界；数学分析数学分析数学分析数学分析70河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2900R,(),.MxD f xMfD 若则称在上无界若则称在上无界:()tan0,),.2f xx求证在上无上界 有下界求证在上无上界 有下界例例10,).2上有下界上有下界0R,arctan(1),MxM令令 0,).2上无上界上无上界00,),(),2Lxf xL，则，则 证证在因此在因此f000,),tan1,2xxMM则且则且在因此在因此f00R,(

37、),LxD f xLfD若则称在上无下界；若则称在上无下界；数学分析数学分析数学分析数学分析71河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29),(sup)(xgxg()()sup()sup(),f x g xf xg x 因此因此,sup()sup()xf xg x由的任意性 可知由的任意性 可知,)()(的一个上界是的一个上界是xgxf).(sup)(sup)()(supxgxfxgxfDxDxDx因此因此,()sup(),xDf xf x 证证).(sup)(sup)()(sup:xgxfxgxfDxDxDx 求证求证(),().fxg xD设函数是上的正值有界函数设函数是上的正值

38、有界函数例例2数学分析数学分析数学分析数学分析72河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29例例3(),()f xg xD设在上有界,证明:设在上有界,证明:inf()()inf()sup().x Dx Dx Df xg xf xg x 证证000,()inf().x DxD f xf x 0()sup(),x Dg xg x 又故又故00()()inf()sup().x Dx Df xg xf xg x 因此因此00inf()()()()x Df xg xf xg x inf()sup().x Dx Df xg x 数学分析数学分析数学分析数学分析73河南财经政法大学数学与信息科学

39、系2012-09-29二、单调函数1212,x xDxx若当时若当时12(i)()(),f xf xfD有则称为上的增函数;有则称为上的增函数;12()(),.f xf xf特别有时 称为严格增函数特别有时 称为严格增函数12(ii)()(),f xf xfD有则称为上的减函数;有则称为上的减函数;12()(),.f xf xf特别有时 称为严格减函数特别有时 称为严格减函数.上的函数是定义在设上的函数是定义在设Df定义定义2数学分析数学分析数学分析数学分析74河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29证证1+211Ryxyy y由在上为正值严格增,可知由在上为正值严格增,可知()(

40、)f xg x不难知道,若和是正值严格增的,则不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x也是正值严格增的.也是正值严格增的.例例42121N,Rnnnyx 任意在上严格增;任意在上严格增;22+RRnnyx在上严格增,在上严格减.在上严格增,在上严格减.11+Rnnyy y 上为正值严格增,可知在上亦正值上为正值严格增,可知在上亦正值+R在上亦正值严格增.由归纳法,若已证在上亦正值严格增.由归纳法,若已证+Rny在严格增.在严格增.数学分析数学分析数学分析数学分析75河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2912210,0,xxxx 若则于是 若则于是2221212121

41、()(),()(),nnnnxxxx 22212121212,Rnnnnnxxxxy即.这就证明了在即.这就证明了在 21Rny上严格减,而在上严格增.上严格减,而在上严格增.121200,xxxx若或则若或则21212121121200nnnnxxxx 或，或，21Rny 这证明了在上严格增.这证明了在上严格增.数学分析数学分析数学分析数学分析76河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29 R,yx 易证函数在上是增函数 但非严格易证函数在上是增函数 但非严格例例5增.增.xyO 111 1 222 2 343数学分析数学分析数学分析数学分析77河南财经政法大学数学与信息科学系20

42、12-09-29上也是严格在其定义域且有反函数上也是严格在其定义域且有反函数)(,11Dfff .增函数增函数(),yf xxDf 设为严格增函数 则必设为严格增函数 则必定理定理1.211,fff 类似地 严格减函数必有反函数且在其类似地 严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数定义域上也是严格减函数,().xDf xy使使,()fDyf D设在上严格增 则设在上严格增 则 证证只有一个只有一个1212,()(),xxf xyf x 事实上,若使事实上,若使f则与则与数学分析数学分析数学分析数学分析78河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-291.:f的严格增性质相矛盾再

43、证必是严格增的的严格增性质相矛盾再证必是严格增的,),(,2121yyDfyy 1212,yyfxx由于及的严格增性 必有即由于及的严格增性 必有即111122(),(),xfyxfy11112()(),.fyfyf 因此也是严格增函数因此也是严格增函数ny因此的反函因此的反函+Rnnyx 由于在上严格增,由于在上严格增,例例6+,Rrnryxm在上亦为严格增.在上亦为严格增.1/+Rnnzx数在上严格增,故对任意有理数数在上严格增,故对任意有理数数学分析数学分析数学分析数学分析79河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2901,R.a 时 在上严格减时 在上严格减121122,r

44、rQxrrx 使因此使因此1121sup,xrrraa rQ rxaa22sup,.xra rQ rxa1,Rxyaa 证明：当时 在上严格增;当证明：当时 在上严格增;当例例712121.,.axxxxQ设由的稠密性,设由的稠密性,证证01,R.xaa 类似可证当时 在上严格减类似可证当时 在上严格减数学分析数学分析数学分析数学分析80河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29log,xayxya由于是的反函数 因此由于是的反函数 因此logayx+01,R.a 当时 在上严格减当时 在上严格减+log1Rayxa 当时,在上严格增;当时,在上严格增;数学分析数学分析数学分析数学分

45、析81河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29三、奇函数和偶函数.,:,DxDxD 必有即关于原点对称设必有即关于原点对称设定义定义3,()(),xD fxf x 若 若.fD称为上的奇函数称为上的奇函数,()(),xDfxf x 若若.fD称为上的偶函数称为上的偶函数偶函数的充要条件是:偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x yG fxyG f (,)()(,)().x yG fx yG f或或 ()G ff显然,若记为的图象,则显然,若记为的图象,则()f x是奇函数或是奇函数或数学分析数学分析数学分析数学分析82河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-2921,

46、sin,tan,nyx yx yx 例如是奇函数,而例如是奇函数,而2cos,nyx yx 是偶函数.是偶函数.211ln1(ee)2xxyxxy-是奇函数=-的反是奇函数=-的反函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函数.函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函数.数学分析数学分析数学分析数学分析83河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29四、周期函数),()(,xfxfDx 且必有且必有,.ff 则称为周期函数为的一个周期则称为周期函数为的一个周期,f若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f则称此最小正周期为的基本周期,简称周期.则

47、称此最小正周期为的基本周期,简称周期.0,fDxD 设为上定义的函数 若使 设为上定义的函数 若使定义定义4()1.f xxx 例如函数的周期为例如函数的周期为见后图.见后图.数学分析数学分析数学分析数学分析84河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29注注1 周期函数的定义域不一定是周期函数的定义域不一定是R.例如：例如：.sin)(xxf sin2,x的周期为的周期为tan,x的周期为的周期为例例8-3-2-1O1231xy注注2 周期函数不一定有最小周期周期函数不一定有最小周期.例如狄利克雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期例如狄利克雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小

48、周期.数学分析数学分析数学分析数学分析85河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29例例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期.任意正有理数是狄利克雷函数 的周期.()D x证 证 设设+Q,R.rxQ,Q,()1();xxrD xrD x若则若则Q,Q,()0().xxrD xrD x若则若则因此,因此,()rD x是的一个周期.是的一个周期.数学分析数学分析数学分析数学分析86河南财经政法大学数学与信息科学系2012-09-29复习思考题1.f(x)在在a,b上定义，是否一定存在某个区间上定义，是否一定存在某个区间0000,(),aba bf xab使在上 是单调函数使在上 是单调函数?2.构造在构造在0,1上定义的函数上定义的函数f(x),使其在任何使其在任何00,0,1,().abf x上无界上无界3.用肯定语句叙述下列概念:(1)非周期函数；（2）非奇函数；(3)非单调增函数.用肯定语句叙述下列概念:(1)非周期函数；（2）非奇函数；(3)非单调增函数.