GARCH模型与应用简介.pdf

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1、 GARCH 模型与应用简介模型与应用简介 (2006,5)0.前言前言.2 1.GARCH 模型模型.7 2.模型的参数估计模型的参数估计16 3.模型检验模型检验27 4.模型的应用模型的应用32 5.实例实例.42 6.某些新进展某些新进展.46 参考文献参考文献.50 10.前言前言(随机序列的条件均值与条件方差简介随机序列的条件均值与条件方差简介)考察严平稳随机序列考察严平稳随机序列yt,且 E|且 E|yt|.记其均值|.记其均值 Eyt=,协方差函数协方差函数k=E(yt-)(yt+k-).其条件期望其条件期望(或条件均值或条件均值):E(yt yt-1,yt-2,)(yt-1,

2、yt-2,),(0.1)依条件期望的性质有依条件期望的性质有 E(yt-1,yt-2,)=EE(yt yt-1,yt-2,)=Eyt=.(0.2)记误差记误差(或残差或残差):et yt-(yt-1,yt-2,).(0.3)由由(0.1)(0.2)式必有式必有:Eet=Eyt-E(yt-1,yt-2,)=Eyt-Eyt=0,(0-均值性均值性)(0.4)及及 Eet2=Eyt-(yt-1,yt-2,)2 =E(yt-)-(yt-1,yt-2,)-2 (中心化中心化)=E(yt-)2+E(yt-1,yt-2,)-2-2E(yt-)(yt-1,yt-2,)-=0+Var(yt-1,yt-2,)-2

3、EE(yt-)(yt-1,yt-2,)-yt-1,yt-2,(根据根据 Ex=EEx yt-1,yt-2,)=0+Var(yt-1,yt-2,)-2E(yt-1,yt-2,)-E(yt-)yt-1,yt-2,2(再用再用 Ex(yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2,=(yt-1,yt-2,)Ex yt-1,yt-2,;并取并取 x=(yt-),(yt-1,yt-2,)=(yt-1,yt-2,)-;由由(0.1)(0.2)可得可得)=0+Var(yt-1,yt-2,)-2E(yt-1,yt-2,)-2 =0-Var(yt-1,yt-2,).(0.5)即有即有:0=Var(yt)=Var(yt

4、-1,yt-2,)+Var(et).(0.6)此式表明此式表明,yt的方差的方差(=0)可表示为可表示为:回归函数的方差回归函数的方差(Var(yt-1,yt-2,),与残差的方差与残差的方差(Var(et)之和之和.下边讨论下边讨论et的条件均值的条件均值与条件方差与条件方差.为了符号简便为了符号简便,以下记以下记 Ft-1=yt-1,yt-2,.首先考虑首先考虑et的条件均值的条件均值:E(et Ft-1)=Eyt-(yt-1,yt-2,)Ft-1=E(yt Ft-1)-E(yt-1,yt-2,)Ft-1=(yt-1,yt-2,)-(yt-1,yt-2,)=0.(0.7)再看条件方差再看条

5、件方差:Var(et Ft-1)=Eet-E(et Ft-1)2 Ft-1 =Eet2 Ft-1 (用用(0.7)式式)S2(yt-1,yt-2,).(0.8)3此处此处S2(yt-1,yt-2,)为条件方差函数为条件方差函数.注意注意,et的条件均值是零的条件均值是零,条件方差是非负的函数条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,),它不一定是常数它不一定是常数!依依(0.3)式式,平稳随机序列平稳随机序列yt总有如下表达式总有如下表达式:yt=(yt-1,yt-2,)+et,(0.9)其中其中(yt-1,yt-2,)被称为自回归函数被称为自回归函数,不一定是线性的不一定是线性的.et可

6、称为新息序列可称为新息序列,与线性模型的新息序列不同与线性模型的新息序列不同,除非除非yt是正态序列是正态序列.顺便指出顺便指出,满足满足(0.4)式的式的et为鞅差序列为鞅差序列,因为对它的求和是离散的鞅序列因为对它的求和是离散的鞅序列.由于由于yt是严平稳随机序列是严平稳随机序列,且E|且E|yt|,上述推演是严格的,从而|0.(1.2)换句话说换句话说,考虑如下的考虑如下的(0.9)模型模型 yt=et,(1.3)它的标准化的模型它的标准化的模型(0.12)为为 yt=S(yt-1,yt-2,)t.(1.4)请注意请注意,这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型这一模型几乎含盖了所有的条件

7、异方差模型.我们不可能泛泛地讨论它我们不可能泛泛地讨论它.再请回看对鞅差序列再请回看对鞅差序列et的限制的历程的限制的历程,以下我们要讲的恰好是以下我们要讲的恰好是:“et=S(yt-1,yt-2,)t，但，但 t为为 i.i.d.N(0,2)序列序列,而且而且 S(yt-1,yt-2,)为有限参模型为有限参模型,(1982-).再新的内容再新的内容,我们也将提到我们也将提到.至此至此,大家完全明白我们将要讨论什么样的序列大家完全明白我们将要讨论什么样的序列.为说明该序列的某些特征为说明该序列的某些特征,先看一看序列先看一看序列et的自协方差函数序列的自协方差函数序列:e(k)=Eet+ket

8、=EE(et+ket et+k-1,et+k-2,)=EetE(et+k et+k-1,et+k-2,)=Eet 0=0,k 1.可见可见,平稳鞅差序列也是白噪声平稳鞅差序列也是白噪声.根据自协方差序列做平稳序列的建模和谱分析时根据自协方差序列做平稳序列的建模和谱分析时,除了判断除了判断(yt-1,yt-2,)=0 外外,几乎无话可说几乎无话可说.换句话说换句话说,相关性分析和谱分析不能对相关性分析和谱分析不能对(1.4)式的式的 8序列作出更深刻的分析序列作出更深刻的分析.为了进一步获得它的深入的结构特征为了进一步获得它的深入的结构特征,必须引入新的概念和新的方法必须引入新的概念和新的方法.

9、1.2.ARCH(p)模型模型.(ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)在金融界在金融界,大量的数据序列呈现不可预报性大量的数据序列呈现不可预报性,相当于前相当于前 面的面的(0.9)或或(0.12)式中的式中的(yt-1,yt-2,)=0,于是有兴趣研究于是有兴趣研究(1.4)模型模型.Engle(1982)首先提出并使用了如下的有限参数模型首先提出并使用了如下的有限参数模型:yt=S(yt-1,yt-2,)t ht1/2 t,(1.5)ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,(1.6)00,i 0,i=1,2,p.

10、其中其中 t为为 i.i.d.的序列的序列,t N(0,1),且且t与与yt-1,yt-2,独立独立,为了简化记号为了简化记号,记记 ht=S2(yt-1,yt-2,).此模型被称为自回归条件异方差模型此模型被称为自回归条件异方差模型,简记简记ARCH(p),其中其中p表示模型的阶数表示模型的阶数.很明显很明显,此模型只是普遍适用的此模型只是普遍适用的(1.4)式模型的子类式模型的子类,因为因为,在在 ARCH 模型中对模型模型中对模型(1.4)添加了很多的人为限制添加了很多的人为限制.为了增进对为了增进对 ARCH 模型的了解模型的了解,我们将作几点明我们将作几点明,以代替严格的推理论述以代

11、替严格的推理论述.其一其一,限定限定 t为为 i.i.d.序列序列!这是很强的限制这是很强的限制,这是由于现有理论的基楚所限这是由于现有理论的基楚所限.其二其二,限定条件方差有限定条件方差有(1.6)式的简单形式式的简单形式,即即 9ht=S2(yt-1,yt-2,)=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是为了统计分析方便是为了统计分析方便.其三其三,限定限定t服从正态分布服从正态分布,是为了求极大似然估计方便是为了求极大似然估计方便.限制限制 t N(0,1),而不用而不用 t N(0,2),是因为是因为 t满足标准化的模型满足标准化的模型(0.11)式式.其四其四,限制限制 00

12、,i 0,i=1,2,p,是为了保证条件方差函数是为了保证条件方差函数 ht=S2(yt-1,yt-2,)0.限制限制 00,而不是而不是0 0,这是为了保证模型这是为了保证模型(1.5)(1.6)有平稳解有平稳解,否则否则,当当0=0 时它没有平稳解时它没有平稳解!这可从以下简单例子看出这可从以下简单例子看出.考查如下考查如下 ARCH(1)模型模型:ht=1 yt-12,将它代入将它代入(1.5)式得式得 yt=ht1/2 t=(1 yt-12)1/2 t,将它两边平方得将它两边平方得 yt2=1yt-12 t2,将它两边取对数得将它两边取对数得 log(yt2)=log(1)+log(y

13、t-12)+log(t2),(1.7)记记 xt=log(yt2),c=log(1),t=log(t2)(仍为仍为 i.i.d.序列序列),上式为上式为 xt=c+xt-1+t,这不是熟知的一元这不是熟知的一元 AR(1)模型吗模型吗?而且不满足平稳性条件而且不满足平稳性条件!所以所以,没有平稳解没有平稳解.从而模型从而模型(1.5)也没有平稳解也没有平稳解.其五其五,为使为使 ARCH 模型有平稳解模型有平稳解,对系数对系数i(i=1,2,p)10还要加限制还要加限制.较早的限制较早的限制(也是较强也是较强)是是 1+2+p0,i 0,i=1,2,p.易见易见,(1.5)式与式与(1.5)式

14、是等价的式是等价的.其七其七,ARCH 模型有不同的变形形式模型有不同的变形形式.仿仿(1.7)式的做法式的做法,即将即将(1.5)式两边平方式两边平方,再将再将(1.6)式代入其中可得式代入其中可得 yt2=ht t2=(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)t2 =(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)(1+t2-1)=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+(t2-1)(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+ht(t2-1)=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+wt,(1.9)对序列对序列yt2而言

15、而言,此式很像线性此式很像线性 AR(p)模型模型,其中其中 wt=ht(t2-1)是一个平稳的鞅差序列是一个平稳的鞅差序列,因为因为 Ewt|yt-1,yt-2,=11=Eht(t2-1)|yt-1,yt-2,=Eht t2|yt-1,yt-2,-Eht|yt-1,yt-2,=htE t2|yt-1,yt-2,-Eht|yt-1,yt-2,(依依(1.6)=ht-ht=0.(1.10)用用(1.9)式和线性式和线性 AR(p)模型的求解方法模型的求解方法,可得可得yt2的平稳解的平稳解.但是但是,从原理上说从原理上说,得到了得到了yt2的解的解,还不能说就得到了原序列还不能说就得到了原序列y

16、t的解的解.好在当我们只关心好在当我们只关心 yt的条件方差时的条件方差时,有了有了yt2的解也足够用了的解也足够用了.(1.9)式的变形方式是严格的式的变形方式是严格的,可放心地使用它可放心地使用它.所谓使用它所谓使用它,就是将原数据平方后得到就是将原数据平方后得到 y12,y22,yT2,对它们建立对它们建立 AR(p)模型模型,便得到参数便得到参数0,1,p的一种估计的一种估计.如果对如果对 yt2=ht t2两边取对数可得两边取对数可得 log(yt2)=log(ht)+log(t2)=log(0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2)+log(t2)记记 x(t)=log(yt2

17、),c=Elog(t2),t=log(t2)-c,于是上式可写成于是上式可写成 x(t)=c+log(0+1ex(t-1)+2ex(t-2)+p ex(t-p)+t.于是又得到于是又得到ARCH模型的另一种变形模型的另一种变形.此式是关于序列此式是关于序列x(t)的非线性自回归模型的非线性自回归模型,注意注意,上式中的序列上式中的序列 t是是 i.i.d.的的.此外此外,ARCH 模型还有别的表示方法模型还有别的表示方法,不再一一介绍了不再一一介绍了.其八其八,根据数据根据数据 y1,y2,yT,要作自回归条件异方差模型的统计分析要作自回归条件异方差模型的统计分析,包含两项内容包含两项内容,首

18、先是用假设检验方法首先是用假设检验方法,判别这些数据是否有条件异方差条件性判别这些数据是否有条件异方差条件性,即即,S(yt-1,yt-2,)=常常 12数数?如果是否定回答如果是否定回答,第二项内容就是对第二项内容就是对 ARCH 模型未知参数的估计模型未知参数的估计.在第在第 2 节中节中,我们将介绍参数的估计方法我们将介绍参数的估计方法,在第在第 3 节中节中,介绍检验方法介绍检验方法.1.3.GARCH(Generalized ARCH)模型模型:在在 Engle(1982)提出提出 ARCH 模型后模型后,受到应用者的关注受到应用者的关注,特别是金融界特别是金融界.稍后几年稍后几年,

19、也被时间序列分析理论研究所重视也被时间序列分析理论研究所重视.从前面对新息序列从前面对新息序列et限制条件的放宽过程可见限制条件的放宽过程可见,提出提出ARCH 模型模型,无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓性的意义无疑是对时间序列分析理论和应用研究有开拓性的意义.在对在对 ARCH 模型的理论研究和应用中模型的理论研究和应用中,人们自然会发问人们自然会发问:在在(1.6)式中式中,yt的条件方差的条件方差 S2(yt-1,yt-2,)ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,只依赖于只依赖于 p 个历史值个历史值,能否考虑依赖全部历史值的情况能否考虑依赖全部历史值的情况?Bol

20、lerslev(1986)给出了回答给出了回答,他提出了如下的更广的模型他提出了如下的更广的模型,即即 GARCH 模型模型:yt=S(yt-1,yt-2,)t ht1/2 t,(1.11)ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q,(1.12)00,i 0,i=1,2,p;j 0,j=1,2,q.(1.13)其中其中 t为为 i.i.d.的的 N(0,1)分布分布,且且t与与 yt-1,yt-2,独立独立.对此对此 GARCH 模型作如下说明模型作如下说明:其一其一,利用利用(1.12)式反复迭代可得知式反复迭代可得知,ht=S2(yt-1,yt-2,)13确

21、实依赖序列的全部历史值确实依赖序列的全部历史值,但是但是,ht仅依赖有限个参数仅依赖有限个参数.其二其二,在在 1997 年诺贝尔经济学奖年诺贝尔经济学奖,被两位研究期权定价理论的被两位研究期权定价理论的 Black-Scholes 方程的学者获得方程的学者获得.从理论上人们发现从理论上人们发现,Black-Scholes 方程的解是连续时间变化的随机过程方程的解是连续时间变化的随机过程,对它进行等间隔离散化采样对它进行等间隔离散化采样,所得到的序列所得到的序列,恰好满足恰好满足 GARCH 模型模型.于是于是,GARCH 模型更被认可模型更被认可,而且而且,金融界特别偏爱金融界特别偏爱GAR

22、CH 模型模型.其三其三,如前所述如前所述,(1.13)式的条件式的条件 00,仍不能放宽为仍不能放宽为 0 0.而且而且,(1.13)式中的条件式中的条件 i 0,i=1,2,p,还应附加一个限制还应附加一个限制:1+2+p0,否则如果全部否则如果全部 i=0(i=1,2,p)将导致将导致(1.12)式的式的ht为常数为常数(仍用迭代法可证明仍用迭代法可证明).这一点未在文献中指出这一点未在文献中指出,一个潜在原因是一个潜在原因是:应用者默认应用者默认 p 1,且且p0.其四其四,与对与对 ARCH 模型的说明中的其五很类似模型的说明中的其五很类似,为使为使GARCH 模 型 有 平 稳 解

23、模 型 有 平 稳 解,对 系 数 对 系 数 i(i=1,2,p)和 和 j 0,j=1,2,q.还要加限制还要加限制.较早的限制较早的限制(也是较强也是较强)是是 1+p+1+q p 时时k=0;当当 kq 时时k=0,wt=ht(t2 1).如前所述如前所述wt是平稳鞅差序列是平稳鞅差序列,所以所以,以上表达式说明以上表达式说明,ht是由是由wt驱动的平稳驱动的平稳ARMA序列序列.以上模型不仅表达了以上模型不仅表达了 GARCH 模型的结构特性模型的结构特性,而且而且,依此可借助于平稳依此可借助于平稳 ARMA 序列建模方法序列建模方法,得到得到 GARCH 模型参数的一种简单的估计方

24、法模型参数的一种简单的估计方法.关于关于 GARCH 模型的参数估计模型的参数估计 和检验方法和检验方法,分别在第分别在第 2 节和第节和第 3 节中介绍节中介绍.2.GARCH 模型的参数估计模型的参数估计 2.1.概述概述 在实际应用中在实际应用中,人们拥有序列观测值人们拥有序列观测值 y1,y2,yn,如果要为它们建立如果要为它们建立 GARCH 模型模型,将面对着下列问题将面对着下列问题:为什么要建立为什么要建立 GARCH 模型模型?用多少阶数的模型用多少阶数的模型?怎样获得模型的怎样获得模型的 15参数值参数值?回答了这些问题回答了这些问题,就解决了为就解决了为 GARCH 模型建

25、模的问题模型建模的问题.前两个问题将在下一节中讨论前两个问题将在下一节中讨论,这一节只讨论模型的参数估计问题这一节只讨论模型的参数估计问题,换言之换言之,讨论在模型阶数已知时讨论在模型阶数已知时,如何根据观测值如何根据观测值y1,y2,yn,估计出估计出GARCH(或者或者ARCH)模型的参数模型的参数.在统计学中有多种方法可以用来解决这一问题在统计学中有多种方法可以用来解决这一问题,这里只介绍两种估计方法这里只介绍两种估计方法.一种是比较简单的方法一种是比较简单的方法,另一种是熟知的极大似然估计方法另一种是熟知的极大似然估计方法.前一种估计可能不如后者精细前一种估计可能不如后者精细,但是它可

26、作为用迭代法求取后者时的初始值但是它可作为用迭代法求取后者时的初始值.另外另外,对对 ARCH 和和GARCH 模型而言模型而言,它们的参数估计方法的难易程度有明显差异它们的参数估计方法的难易程度有明显差异,所以所以,我们将分别予以介绍我们将分别予以介绍.2.2.ARCH 模型的参数估计模型的参数估计 2.2.1.最小二乘法估计最小二乘法估计 最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基于最小二乘原理。我们先指出在此可以使用此原理的依据，最小二乘法是非常熟悉的方法，此方法是基于最小二乘原理。我们先指出在此可以使用此原理的依据，为此不妨以为此不妨以 ARCH（1）模型为例说明之。）模型为例说明之。依依

27、(1.9)式知，式知，满足满足 ARCH(1)模型的序列模型的序列 yt必满足以下模型必满足以下模型 yt 2=0+1yt-12+wt,(2.1)其中其中wt是鞅差序列，而且是鞅差序列，而且 wt=ht(t2-1),于是有于是有 E wt|yt-12=E ht(t2-1)|yt-12 =ht E(t2-1)|yt-12 =ht E t2|yt-12-ht =ht E t2-ht 16 =ht-ht=0.(a.s.)(2.2)利用此式可得知，利用此式可得知，Eyt 2-a0-a1yt-122=E 0+1yt-12+wt-a0-a1yt-122 =E(0-a0)+(1-a1)yt-12+wt 2=

28、E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Ewt 2 +2 E(0-a0)+(1-a1)yt-12wt=E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Ewt 2 +2EE(0-a0)+(1-a1)yt-12wt|yt-12=E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Ewt 2 +2EE(0-a0)+(1-a1)yt-12Ewt|yt-12=E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Ewt 2 (by(2.2)=E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Eht(t2-1)2=E(0-a0)+(1-a1)yt-122+Eht2E(t2-1)2 Eht2E(t2-1)2=c.(依平稳性依平稳性)易见，上

29、式中的易见，上式中的=号成立，当且仅当号成立，当且仅当(0-a0)=(1-a1)=0.此事实表明，此事实表明，minE(yt2-a0-a1yt-12)2:a0,a1=Eyt2-0-1yt-122.(2.3)此式表明，用所有可能的系数拟合此式表明，用所有可能的系数拟合(2.1)模型时，只有以其真系数拟合，才使拟合参差的方差最小！模型时，只有以其真系数拟合，才使拟合参差的方差最小！在实际应用时，我们没有在实际应用时，我们没有(2.1)式中的确切的概率分布，但是，我们有序列式中的确切的概率分布，但是，我们有序列 yt 2的观测数据的观测数据 y1,y2,yn,根据统计学的基楚性原理根据统计学的基楚性

30、原理-大数定律，大数定律，(2.3)式的最小化特征，用样本平式的最小化特征，用样本平 17均代替之，均代替之，随着样本个数的增加将近似成立。换言之，求解以下最小化问题之解，随着样本个数的增加将近似成立。换言之，求解以下最小化问题之解，即即 min(n-1)-1 t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2:a0,a1=(n-1)-1 t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2,显然显然,此问题等价于如下的最小化问题此问题等价于如下的最小化问题 min t=2n(yt2-a0-a1yt-12)2:a0,a1=t=2n(yt2-a0*-a1*yt-12)2.(2.4)以其解以其解(a0*,a1*

31、)作为真参数作为真参数(0,1)的估计，称它们为最小二乘估计。这就是使用最小二乘原理的依据。的估计，称它们为最小二乘估计。这就是使用最小二乘原理的依据。以上论述不难推广到一般的以上论述不难推广到一般的 ARCH(p)模型，除了符号的繁琐外，并无本质差异。这里只强调一点：对模型，除了符号的繁琐外，并无本质差异。这里只强调一点：对 ARCH(1)使用最小二乘原理时，残差项使用最小二乘原理时，残差项 wt与与 yt-1相互独立且相互独立且 Ewt=0 是常见的条件，至少也要满足条件是常见的条件，至少也要满足条件 E wt|yt-12=0(a.s.)。这一点对一般情况也适用。这一点对一般情况也适用。现

32、在介绍现在介绍 ARCH(p)模型参数最小二乘估计方法。首先重新写出模型参数最小二乘估计方法。首先重新写出(1.9)式式 yt2=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+wt,t=p+1,p+2,n.(2.5)在此特别强调足标在此特别强调足标 t 的取值范围，只是为了模型中的的取值范围，只是为了模型中的 yt-p都落在我们的数据序列中。依前所述，未知参数都落在我们的数据序列中。依前所述，未知参数 =(0，1，2,p)的最小二乘估计的最小二乘估计*，就是如下的最小值问题的解，即，就是如下的最小值问题的解，即 18min t=2n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-

33、p2)2:a0,a1,ap=t=2n(yt 2-a0*-a1*yt-12-ap*yt-p2)2,(2.6)取最小二乘估计取最小二乘估计*=(a0*,a1*,ap*)。欲给出欲给出(a0*,a1*,ap*)的表达方式，既可用分析方法，又可用代数方法。现在使用后一方法的表达方式，既可用分析方法，又可用代数方法。现在使用后一方法,为此将为此将(2.5)式改写成式改写成 Y=X+W，(2.7)其中其中 Y=(yp+12,yp+22,yn2),W=(wp+12,wp+22,wn2),X=.+2212221212111pnnppyyyyyy?当以当以 a=(a0,a1,a2,ap)为自由参数向量时为自由参

34、数向量时,于是有于是有 t=p+1n(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)2=|Y-Xa|2=(Y-Xa)(Y-Xa)=Y Y-Y Xa-a X Y+a X Xa =(X Xa-X Y)(X X)-1(X Xa-X Y)+Y Y(X Y)(X X)-1(X Y)Y Y(X Y)(X X)-1(X Y),其中用到了以下的矩阵性质其中用到了以下的矩阵性质 (X X-X Y)(X X)-1(X X-X Y)0.由前一式可知由前一式可知,(2.6)式的最小值解必满足式的最小值解必满足 X X-X Y=0.现在求解现在求解 X X-X Y=0,即即 X X=X Y,其解为其

35、解为 a*=(X X)-1X Y.(2.8)19注意注意,上式右边的矩阵上式右边的矩阵 X 和向量和向量 Y,都是由已知数据量组成的都是由已知数据量组成的,计算计算(X X)-1和和(X X)-1X Y,有许多软件可供使用有许多软件可供使用.当然当然,也可以自行编程序计算之也可以自行编程序计算之.自回归模型自回归模型(1.9)的系数的最小二乘估计的系数的最小二乘估计,被被(2.8)式明显的表达出式明显的表达出,而且便于计算而且便于计算.这一优越性是自回归模型所特有的这一优越性是自回归模型所特有的,因此因此,自回归模型在时间序列分析中问世最早自回归模型在时间序列分析中问世最早.类似地类似地,En

36、gel(1982)最先引入的条件异方差模型最先引入的条件异方差模型,又是自回归型的条件异方差模型又是自回归型的条件异方差模型-ARCH 模型模型,也是基于这一便于使用的优点也是基于这一便于使用的优点.稍后几年才由稍后几年才由 Bollerslev(1986)提出更一般的提出更一般的 GARCH 模型模型.在时间序列分析中在时间序列分析中,自回归模型系数的最小二乘估计自回归模型系数的最小二乘估计,有很多优良性质有很多优良性质,这已经被研究得很完美了这已经被研究得很完美了.但是但是,将它用于将它用于 ARCH 模型系数估计模型系数估计,这些优良性质不一定具有了这些优良性质不一定具有了.在此在此,我

37、们仅指它的优缺点我们仅指它的优缺点.其优点是其优点是:易理解易理解,易计算易计算;缺点是缺点是:欠精细欠精细,缺少某些优良性质缺少某些优良性质.欠精细是相对极大似然估计而言的欠精细是相对极大似然估计而言的,详见后文详见后文.缺少某些优良性质缺少某些优良性质,是指在使用最小二乘估计方法时是指在使用最小二乘估计方法时,还需要条件还需要条件 E(yt2)20,a1 0,ap 0;(yt 2-a0-a1yt-12-a2yt-22-ap yt-p2)0=t=2n(yt 2-a0+-a1+yt-12-ap+yt-p2)2,(2.9)取估计取估计*=(a0+,a1+,ap+)。这里叙述此方法的目的有三点可言

38、。这里叙述此方法的目的有三点可言,其一其一,这是最有效的保证估计的分量都是非负的这是最有效的保证估计的分量都是非负的;其二其二,有多种方法可获得有多种方法可获得 ARCH 模型系数的估计模型系数的估计;其三其三,除了最小二乘估计除了最小二乘估计,都不易计算都不易计算,比如比如(2.9)式的求解问题式的求解问题,就是典型的优化求解问题就是典型的优化求解问题,其计算的复杂性可想而知其计算的复杂性可想而知.2.2.2.极大似然估计极大似然估计 对于序列对于序列 y1,y2,yn,如果它们的联合分布的形式已知如果它们的联合分布的形式已知,其中只有有限个参数未知其中只有有限个参数未知,那么那么,寻求合适

39、的参数值寻求合适的参数值,使得其分布在这些观测值使得其分布在这些观测值 y1,y2,yn处达到最大值处达到最大值,称其为极大概率估计方法称其为极大概率估计方法.其合理性是不言而喻的其合理性是不言而喻的.相对其它方法相对其它方法,可算是精细些可算是精细些.当然当然,其前提是联合分布的形式已知的其前提是联合分布的形式已知的.进而言之进而言之,如果已知联合分布密度函数时如果已知联合分布密度函数时,使用上述的极大概率估计方法使用上述的极大概率估计方法,应改为寻求合适的参数值应改为寻求合适的参数值,使得其分布密度函数在这些观测值使得其分布密度函数在这些观测值 y1,y2,yn处达到最大值处达到最大值,称

40、其为极大概率密度估计方法称其为极大概率密度估计方法.此情况有更广的应用背景此情况有更广的应用背景,ARCH 模型数估计就属于此情况模型数估计就属于此情况.再进一步再进一步,如果已知联合分布密度函数呈现指数形式如果已知联合分布密度函数呈现指数形式,改为寻求合适的参数值改为寻求合适的参数值,使得其分布密度函数的对数函数使得其分布密度函数的对数函数(此函数被称为似然函数此函数被称为似然函数),在这些观测值在这些观测值 y1,y2,yn处达到极大值处达到极大值,称其为极大似然估计方法称其为极大似然估计方法.用极大化似然函用极大化似然函 21数代替分布密度函数数代替分布密度函数,只是讨论和应用时有方便之

41、处只是讨论和应用时有方便之处,并无本质区别并无本质区别.极大化似然方法是统计学中熟知的极大化似然方法是统计学中熟知的,重要的方法重要的方法.依上所述依上所述,使用极大似然估计方法使用极大似然估计方法,有两个关键步骤有两个关键步骤:一是一是,找出找出 y1,y2,yn的联合分布密度函数的联合分布密度函数,它仅依赖有限个未知参数它仅依赖有限个未知参数,由此易得其似然函数由此易得其似然函数;二是二是,寻找使似然函数达到极大值的参数寻找使似然函数达到极大值的参数,即参数的极大似然估计即参数的极大似然估计.一般说来一般说来,第一步仅是细心的推理第一步仅是细心的推理,第二步是精心的计算第二步是精心的计算,

42、而且常常要使用近似的迭代算法而且常常要使用近似的迭代算法.以下介绍以下介绍 ARCH 模型参数的极大似然估计模型参数的极大似然估计,就要对此两步作具体叙述就要对此两步作具体叙述.第一步第一步:根据根据 ARCH 模型的假定模型的假定,再使用条件概率密度的公式可得知再使用条件概率密度的公式可得知,y1,y2,yn的联合分布密度函数的联合分布密度函数 f(y1,y2,yn)=f(Y),Y=(y1,y2,yn),有以下表达式有以下表达式 f(Y)=f(y1,y2,yn)=f(yn|y1,y2,yn-1)f(y1,y2,yn-1)(依条件密度公式依条件密度公式)=(2 hn)-1/2exp-yn2/2

43、hn f(y1,y2,yn-1)(依依(1.5)式和式和t N(0,1),且且n与与yn-1,yn-2,独立独立)=(0+1yn-12+pyn-p2)-1/2 exp-yn2/2(0+1yn-12+pyn-p2)f(y1,y2,yn-1)(依依(1.6)式式)=t=p+1n(0+1yt-12+pyt-p2)-1/2exp-yt2/2(0+1yt-12+pyt-p2)f(y1,y2,yp)(2)-(n-p)/2.(依反复递推依反复递推)(2.10)22记其对数函数为记其对数函数为 L()=log f(y1,y2,yn)=-(1/2)t=p+1nlog(0+1yt-12+pyt-p2)+yt2/(

44、0+1yt-12+pyt-p2)+logf(y1,y2,yp)+log(2)-(n-p)/2.(2.11)忽略上式中的常数项和常数因子忽略上式中的常数项和常数因子-(1/2),再记再记 l()=t=p+1n lt()-log f(y1,y2,yp),(2.12)其中其中 lt()=log(0+1yt-12+pyt-p2)+yt2/(0+1yt-12+pyt-p2).显然显然,l()与与 L()只相差常数加项只相差常数加项,所以所以,求解求解 L()的最大值解的最大值解,等价于求解等价于求解 I()的最小值解的最小值解.以后我们总是考虑后者以后我们总是考虑后者.在上述诸式中在上述诸式中,f(y1

45、,y2,yp)是是 y1,y2,yp的联合分布密度函数的联合分布密度函数,为了使用极大似然估计方法为了使用极大似然估计方法,也应当将它表达成依赖于也应当将它表达成依赖于y1,y2,yp和和0,1,p的明确形式的明确形式.这不是一件容易的事情这不是一件容易的事情!仅以仅以 p=1 为例为例,即可说明其难点所在即可说明其难点所在.此时只须求出此时只须求出 y0和和 y1所满足的共同的分布密度数所满足的共同的分布密度数,并使得它们满足关系式并使得它们满足关系式 y1=(0+1y02)1/2 1,t N(0,1),且且t与与 y0独立独立.此问题看似简单此问题看似简单,但是很难解答但是很难解答.举此例

46、的目的举此例的目的,还在于提请注意还在于提请注意,当当t N(0,1)时时,由它驱动生成的平稳由它驱动生成的平稳 AR 序列也是正态分布的序列也是正态分布的,但是但是,由它驱动生成的平稳由它驱动生成的平稳 ARCH 序列不是正态分布的序列不是正态分布的.因为因为,在在 AR 模型中模型中,t以加项形式出现以加项形式出现,在在ARCH 模型中模型中,t以乘积因子形式出现以乘积因子形式出现(见见(1.5)式式).然而然而,在在(2.10)式中式中,人们容易误以为人们容易误以为 f(y1,y2,yn)是正态分布的连乘是正态分布的连乘 23积形式积形式,所以它是多元正态密度所以它是多元正态密度.其实其

47、实,因子因子 f(y1,y2,yp)不是正态的密度函数不是正态的密度函数(这一点容易被忽视这一点容易被忽视),所以所以 f(y1,y2,yn)也不是正态的也不是正态的.第二步第二步:寻求极大似然估计寻求极大似然估计,就是寻求使就是寻求使(2.11)式中式中L()取最大值的取最大值的,等价于寻求使等价于寻求使(2.12)式中式中 l()取最小值的取最小值的.很明显很明显,此极大似然估计没有如同此极大似然估计没有如同(2.8)式的显示表达式式的显示表达式,于是只能寻找近似的数值解法于是只能寻找近似的数值解法.由于由于 l()有很好的解性质有很好的解性质,求求(2.12)式中式中 l()的最小值的最

48、小值,可求可求 l()/=0 的解的解.即使如此即使如此,也还很难求解也还很难求解.进一步还要使用其它近似手段进一步还要使用其它近似手段,即将未知项即将未知项 log f(y1,y2,yp)从从(2.12)式中忽略掉式中忽略掉,寻求寻求 t=p+1n lt()/=0 (2.13)的解的解,其中其中 lt()/=log(0+1yt-12+pyt-p2)/+yt2/(0+1yt-12+pyt-p2)/.(2.14)请注意请注意,lt()/是向量是向量,所以所以(2.13)式是式是(p+1)元代数方程组元代数方程组,利用利用(2.14)式很容易求得式很容易求得lt()/的表达式的表达式,而且而且 l

49、t()/有很简单的形式有很简单的形式,但是但是,它是非线性的它是非线性的,所以所以(2.13)式是式是(p+1)元非线性代数方程组元非线性代数方程组.求求(2.13)式的数值解法式的数值解法,是计算数学中的简单问题是计算数学中的简单问题,即可使用已有的软件即可使用已有的软件,亦可自行编程计算亦可自行编程计算,这里从略这里从略.2.3.GARCH 模型的参数估计模型的参数估计 242.3.1.极大似然估计极大似然估计 在这一小节在这一小节,先介绍极大似然估计先介绍极大似然估计,因为这与前面联系紧密因为这与前面联系紧密.如前所述如前所述,GARCH 模型的参数估计模型的参数估计,要比要比 ARCH

50、 模型复杂模型复杂.其复杂性表现在其复杂性表现在:GARCH 模型的参数估计不仅没有显示的表达式模型的参数估计不仅没有显示的表达式,而且而且,其似然函数也没有显示的表达式其似然函数也没有显示的表达式,只有迭代计算公式只有迭代计算公式.这一特点这一特点,对求解极大似然估计的算法对求解极大似然估计的算法,不带来实质困难不带来实质困难,但是在叙述它时但是在叙述它时,会繁琐些会繁琐些.现在叙述现在叙述 GARCH 模型似然函数模型似然函数.仿照仿照(2.10)式可得式可得 f(Y)=f(y1,y2,yn)=f(yn|yn-1,.,yn-p;hn,hn-q+1)f(yn-1,.,yn-p;hn,hn-q