微分方程模型.pdf

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1、1 一、物体在液面上的浮沉振动问题一、物体在液面上的浮沉振动问题 问题：问题：一个边长为一个边长为3米的立方体浮于水面上，米的立方体浮于水面上，已知立方体上下振动的周期为已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉秒，试求物体沉浮振动的规律和质量。浮振动的规律和质量。问题的分析：设水的密度为问题的分析：设水的密度为1000kg ，当，当物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中的那部分同体积的水的重量。的那部分同体积的水的重量。3m 设物体的质量为设物体的质量为m，物体在

2、，物体在t时刻相对于静止时刻相对于静止位置的位移为位置的位移为x，即，即xx(t),由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：由阿基米德原理知，引起振动的浮力为：x331000g9000gx(N)第三章第三章 微分方程模型微分方程模型 1 微分方程的简单应用微分方程的简单应用 2 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 )41(900022gxdtxdm其中其中g9.8m 。2s方程方程(1-4)就是物体沉浮振动的数学模型。就是物体沉浮振动的数学模型。易得方程易得方程(1-4)的通解为的通解为 tmgctmgcx9000sin9000cos21于是周期为于是周期为 290002mgT 解得解得 )(893

3、790002kggm 3 三、液体的浓度稀释问题三、液体的浓度稀释问题 问题：有两只桶内各装问题：有两只桶内各装100加仑的盐水，其浓度为加仑的盐水，其浓度为0.5磅盐加仑。现用管子将净水以磅盐加仑。现用管子将净水以2加仑分钟的速加仑分钟的速度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管度输送到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子以子以2加仑分钟的速度被输送到第二只桶内，再将加仑分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用管子以混合液搅拌均匀，然后用管子以1加仑分钟的速度加仑分钟的速度输出，问在输出，问在t时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？解：

4、解：、设设)(11tyy)(22tyy 分别表示分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量，时刻第一只和第二只桶内盐的数量，单位为磅，单位为磅，4 第一只桶在第一只桶在t到到t 内盐的改变量为内盐的改变量为 tttyttytty2100)(20)()(11150)0(50)(111ytydtdy50150tey故故第二只桶在第二只桶在t到到t 内盐的改变量内盐的改变量 t流出流出流入流入)()(22tyttytttytty1)12(100)(2100)(215 50)0(100)()(5012212yttytydtdy代入得：代入得：将将50150tey50)0(100)(22502yttyed

5、tdyt 解一阶线性微分方程得解一阶线性微分方程得 5022)150(5012500)(tettyy所以所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为 502)100150(5010012500100tetttty（磅盐加仑）（磅盐加仑）6 2 铅球掷远的数学模型铅球掷远的数学模型 问题、设铅球初始速度为问题、设铅球初始速度为V,出手高度为出手高度为h，出，出手角度为手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与（与地面的夹角），建立投掷距离与V、h、的关系式，并在的关系式，并在V、h一定的条件下求最一定的条件下求最佳出手角度和最远距离。佳出手角度和最远距离。模型模型1

6、抛射模型抛射模型 在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度用力阶段的力学过程，只考虑铅球脱手时的初速度和投掷角度对铅球的影响。和投掷角度对铅球的影响。假设：假设：1、铅球被看成一个质点。、铅球被看成一个质点。2、铅球运动过程中的空气阻力不计。、铅球运动过程中的空气阻力不计。7 3、投掷角和初速度是相互独立的。、投掷角和初速度是相互独立的。4、设铅球的质量为、设铅球的质量为m，建立坐标系如图建立坐标系如图 在在t时刻，铅球的位置在时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学点，则由力学定律知，铅球运动的两个微分方程

7、是：定律知，铅球运动的两个微分方程是：),(yxM sin)0(cos)0()0(0)0(0vyvxhyxmgymxm 8 解之得解之得 hvtgtyvtx sin21cos2所以铅球的运动轨迹为所以铅球的运动轨迹为 )12(tancos2222hxxvgy 令令y=0，铅球落地的距离为，铅球落地的距离为 )22(cos)2sin(sincos212222 vghgvgvx 它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球投掷模型。投掷模型。9 由（由（2-1），关系式（），关系式（2-

8、2）可表示为）可表示为 )tan(cos2222 xhvgx，由由0 ddx得最佳出手角度为得最佳出手角度为 )(2arcsin2*ghvv 投掷的最远距离投掷的最远距离 ghvgvx22*设设h=1.5米，米，v=10米米/秒秒，则，则 o4.41*米米4.11*x10 模型模型2铅球投掷模型铅球投掷模型 下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。关于铅球的投掷过程我们假设：关于铅球的投掷过程我们假设：1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度一个水平的初速度 。0v 2、在用力阶段，运动员从开

9、始用力推铅球到、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间铅球出手有一段时间 。0t 3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手是不变的，力的方向与铅球的出手角度角度 相同。相同。用这三个假设代替模型用这三个假设代替模型1中的假设中的假设3来进一步组来进一步组建铅球的投掷模型。建铅球的投掷模型。11 模型模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况，很好地描述了铅球出手以后的运动状况，因此模型因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过主要在于建立描述铅球出手速度的形成过程以得到出

10、手速度与出手角度之间的依赖关系。程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。若记若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假设设3我们有我们有 cos)(Ftxm)32(sin)(mgFtym 式中式中m为铅球的质量，为铅球的质量，F是对铅球的推力，是对铅球的推力，为力的为力的方向既铅球的出手角度。方向既铅球的出手角度。根据假设根据假设2，令，令t=0时运动员开始用力推球，时运动员开始用力推球，时铅球出手，在区间时铅球出手，在区间 上积分（上积分（2-3）可得）可得

11、0tt)t,0(012 100cos)(CtmFtx 2000sin)(CgttmFty 其中其中 分别是分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。时铅球的水平与垂直的初速度。21,CC由假设由假设1，有，有 0,201CvC于是我们得到于是我们得到 000cos)(vtmFtx 000sin)(gttmFty 由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度 2002002020)sin()cos()()(gttmFvtmFtytxv 13)42(cos2)sin2(00020222 vtmFvtgmFgmF式中式中 是推铅球时力的作用时间。是推铅球时力的作

12、用时间。0t将将(2-4)与与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。合并就得到了铅球掷远的数学模型。14)22(cos)2sin(sincos212222 vghgvgvx)42(cos2)sin2(00020222 vtmFvtgmFgmFv 分析出手速度模型分析出手速度模型(2-4)，不难看出，不难看出v随着随着F和和 的增加而增大，显然的增加而增大，显然v随着随着 的增加而增大。这与的增加而增大。这与我们的常识也是一致的。由于我们的常识也是一致的。由于 ，由，由(2-4)式式还可以看出还可以看出v将随着将随着 的增加而减少。因此，当的增加而减少。因此，当推力推力F和作用时间和作用时间

13、 不变时，运动员要提高铅球不变时，运动员要提高铅球的出手角度的出手角度 ，就必须以降低出手速度为代价，就必须以降低出手速度为代价，所以对于铅球投掷来说，模型所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出所给出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。手角度”不一定是最佳的。0t0v20 0t15 进一步分析铅球投掷模型进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球，我们还可以得到铅球投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出所给出的最佳角度。对模型的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型还可以给出类似于模型1的全的全部分析，这些我们留给读者去完成。部分析，这些我们

14、留给读者去完成。思考题：思考题：1、建立跳高的数学模型。、建立跳高的数学模型。16 3 减肥的数学模型减肥的数学模型 问题：如何建立减肥的数学模型？问题：如何建立减肥的数学模型？问题分析：问题分析：“肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至肥者”从某种意义下说就是脂肪过多以至超过标准，数学建模就要由此入手。超过标准，数学建模就要由此入手。模型假设：模型假设：(1)设某人每天从食物中摄取的热量是设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其焦耳，其中中b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、生活每天每千克体重必须消耗生活每天每千克体重必须消耗焦耳的热量，从

15、事体焦耳的热量，从事体育锻炼每千克体重消耗育锻炼每千克体重消耗焦耳的热量。焦耳的热量。(2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有效，而效，而1千克脂肪含热量是千克脂肪含热量是42000焦耳。焦耳。17(3)设体重设体重W是时间是时间t的连续可微函数，即的连续可微函数，即WW(t)。数学建模：数学建模：每天：体重的变化输入输出每天：体重的变化输入输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。于是每天净吸收量于是每天净吸收量 420

16、00ba每天净输出量每天净输出量 w42000 所以在所以在t到到t t 时间内体重的变化：时间内体重的变化：ttwtbatwttw)(4200042000)()(18 体重变化的数学模型：体重变化的数学模型：)13()0(42000)()(0wwwbadtdw 应用分离变量法，解方程应用分离变量法，解方程(3-1)得得 )23(42000)()(ln1Ctwba利用初始条件得利用初始条件得 0)()(ln1wbaC从而得从而得 )33()(42000)(0tewbabaw 19 对对(3-3)式求导得式求导得 )43(42000)()(42000)(0tewbadtdw 由由(3-1)、(3

17、-3)及及(3-4)可以对减（增）肥分析如下：可以对减（增）肥分析如下：、若、若ab ，即净吸收大于总消耗，即净吸收大于总消耗，0，则体重增加。则体重增加。0)(w dtdw 、若、若ab ，即净吸收小于总消耗，即净吸收小于总消耗，0，则体重减少。则体重减少。0)(w dtdw 、若、若ab ，即净吸收等于总消耗，即净吸收等于总消耗，=0 ，则体重不变。则体重不变。0)(w dtdw、当、当t时，由时，由(3-3)式知式知 batW)(20 这表明只要适当控制这表明只要适当控制a（进食）、（进食）、b（新陈代（新陈代谢）、谢）、（工作、生活）、（工作、生活）、（体育锻炼），要使（体育锻炼），要

18、使体重等于多少是“可能”的体重等于多少是“可能”的.正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯，即要适当控制工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、。对于少。对于少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。的改变也是必要的。21 思考题思考题：某人每天由饮食获取某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中焦耳的热量，其中5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转

19、化为脂肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问，问此人的体重如何随时间变化？此人的体重如何随时间变化？22 4 万有引力定律的发现万有引力定律的发现 历史背景：历史背景：开普勒三定律：开普勒三定律：、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太、各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。、每颗行星运行过程中单位时间内太、每颗行星运行过程中单位时间内太阳阳行星向径扫过的面积是常数。行星向径扫过的面积是常数。、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨、各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的道长半轴的3次方

20、成正比。次方成正比。23 模型假设模型假设 开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假定律的基础，所以需要将它们表述为这个模型的假设条件。设条件。对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标对于任意一颗行星的椭圆运动轨道建立极坐标系系(r,)，以太阳为坐标原点，以太阳为坐标原点r0，以椭圆长半轴，以椭圆长半轴方向为方向为0，用向量，用向量 表示行星位置，如图表示行星位置，如图 r24(1)轨道方程为轨道方程为 )15(cos1 epr其中其中 abp2)1(222eaba、b为椭圆的长、短半轴，为椭圆的长、短半轴，e

21、为离心率。为离心率。(2)单位时间内向径单位时间内向径 扫过的面积是常数，即扫过的面积是常数，即 r)25(212 Ar(3)行星运行周期行星运行周期T满足满足 )35(32 aT 其中其中是绝对常数，与哪一颗行星无关。是绝对常数，与哪一颗行星无关。(4)行星运动时受的作用力等于行星加速度行星运动时受的作用力等于行星加速度 和质量和质量m的乘积，即的乘积，即 r)45(rmf 25 模型建立模型建立 首先引入基向量（如图）首先引入基向量（如图）)55(cossinsincosjiujiur 向径向径 可表示为可表示为 r)65(rurr由由(5-5)式可以算出式可以算出 )75(rruuuu

22、26 所以由所以由(5-6),(5-7)式得到行星运动的速度和加速度为式得到行星运动的速度和加速度为 )85(ururrr)95()2()(2 urrurrrr 根据根据(5-2)式可得式可得 22rA)105(43rrA 于是于是(5-9)式右端第二项式右端第二项 02 rr(5-9)式化为式化为 )115()(2rurrr 对对(5-1)式求导并利用式求导并利用(5-10)式式 的结果得的结果得 )125(sin2 pAer 27)135()(4cos43222prrpApreAr 将将(5-10)和和(5-13)代入代入(5-11)式得式得 )145(422ruprAr 最后把最后把(5

23、-14)和和(5-6)代入代入(5-4)式得式得 0224rprmAf)155(0rrr这里这里 是单位向径，指示向径方向。是单位向径，指示向径方向。0r(5-15)式表明：式表明：(1)行星运动时受的力的方向与它的向径方向行星运动时受的力的方向与它的向径方向相反，即在太阳相反，即在太阳行星连线方向，指向太阳；行星连线方向，指向太阳；28 （2）力的大小与行星质量）力的大小与行星质量m成正比，与太阳成正比，与太阳行星距离行星距离r的平方成反比，为太阳对行星的引力。的平方成反比，为太阳对行星的引力。为了完成万有引力的推导，只需证明为了完成万有引力的推导，只需证明(5-15)式式中的中的 是绝对常

24、数，即它与哪一颗行星无关（是绝对常数，即它与哪一颗行星无关（A和和 不是绝对常数）。不是绝对常数）。pA2p 因为因为A是单位时间内向径扫过的面积，行星运是单位时间内向径扫过的面积，行星运动一个周期动一个周期T向径扫过的面积恰是以向径扫过的面积恰是以a,b为长、短半为长、短半轴的椭圆面积，所以轴的椭圆面积，所以 )165(abTA 由由(5-1),(5-3),(5-16)式容易算出式容易算出 )175(22 pA和和 是绝对常数。是绝对常数。29 将将(5-17)代入代入(5-15)式有式有 )185(4022rrmf (5-18)式表明：式表明：太阳对行星的作用力的大小除了与行星质量太阳对行

25、星的作用力的大小除了与行星质量m成正比，与相互距离的平方成反比以外，余下的因成正比，与相互距离的平方成反比以外，余下的因子子 就只与太阳本身有关了。就只与太阳本身有关了。24 查询太阳质量查询太阳质量M、地球运行轨道（椭圆）的长半、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据可得轴、引力常数等数据可得 KM 24k为万有引力常数，为万有引力常数，M为太阳质量为太阳质量 30 所以所以(5-18)式可写为式可写为 )195(02rrMmkf这就是我们熟知的形式这就是我们熟知的形式 评注：评注：从发现万有引力定律的过程中可以看出，在从发现万有引力定律的过程中可以看出，在正确假设的基础上运用数学演绎

26、方法建模，对自正确假设的基础上运用数学演绎方法建模，对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用，虽然我然科学的发展能够发挥多么巨大的作用，虽然我们大多数人发明不了什么定律，但是学习前辈如们大多数人发明不了什么定律，但是学习前辈如何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题何创造性地运用数学方法对于培养解决实际问题的能力是大有好处的能力是大有好处 31 5 核废料的处理问题核废料的处理问题 背景：背景：问题：将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到问题：将放射性核废料装进密封的圆桶里仍到水深水深91米的海底，这个方案是否可行？米的海底，这个方案是否可行？已知数据及实验结果：已知数据及实验结果：1、桶的重量、

27、桶的重量 W=239.456kg 2、海水的浮力为、海水的浮力为1025.94kg/3、圆桶的体积、圆桶的体积 V=0.208m 4、桶下沉时的阻力与速度成正比，比例系、桶下沉时的阻力与速度成正比，比例系数数 k=0.12 5、当桶以、当桶以12.2米米/秒与海底碰撞时，桶将会秒与海底碰撞时，桶将会破裂。破裂。3m32 问题的解决：问题的解决：取坐标系如图取坐标系如图 设设y(t)表示桶在表示桶在t时刻下沉的深度，时刻下沉的深度，我们要知道在我们要知道在91米深速度是否大于米深速度是否大于12.2米。米。当桶下沉时，有三个力作用在它上面：当桶下沉时，有三个力作用在它上面：桶重力桶重力 W=23

28、9.456kg 浮力浮力 B=1025.94V=213.396kg 桶下沉时阻力桶下沉时阻力 D=kv=0.12v=0.12 dtdy即合力即合力 F=W-B-D=W-B-kv 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 F=ma 得：得：W-B-kv=ma 33 即有即有 )17(0)0()0(0)0(22vyydtydmdtdykBW此微分方程可看作此微分方程可看作 类型类型.),(yxfy 由于由于v=,则则 代入上方程得代入上方程得 dtdydtdvdtyd220)0(vdtdvmkvbW解得解得 )1()(tmkekBWtv34 至此至此,数学问题似乎有了结果数学问题似乎有了结果,得到了速度与时得

29、到了速度与时间的表达式间的表达式.但实际问题远没有解决但实际问题远没有解决.因为圆桶到达因为圆桶到达海底所需的时间海底所需的时间 t并不知道并不知道,因而也就无法算出速因而也就无法算出速度度.这样这样,上述的表达式就没有实际意义。上述的表达式就没有实际意义。有人会说有人会说,虽然无法算出精确值但我们可以估虽然无法算出精确值但我们可以估计当计当t 时，时，v(t)。只要。只要 不超过不超过12.2米米/秒，方案就可行；秒，方案就可行；kBW kBW 但可惜但可惜 =217.2米米/秒，它太大了，问题秒，它太大了，问题仍没有解决。仍没有解决。kBW 而方程而方程(7-1)又可看作又可看作 类型，类

30、型，),(yyfy,dtdyv 令令,22dydvvdtyd方程方程(1)也可化为一个一阶可分离变量的微分方程也可化为一个一阶可分离变量的微分方程 35)27(0)0(0)0(yvkvBWdydvmv解之得解之得 CkvBWkBWvkym)ln(112由初始条件得由初始条件得 )ln(2BWkBWC所以所以 )37()ln(12BWkvBWkBWkvym当当 y=91米时，如何求速度米时，如何求速度v?36 下面用牛顿切线法求出速度下面用牛顿切线法求出速度v的近似值。的近似值。牛顿法介绍：牛顿法介绍：若已知方程若已知方程g(v)=0,求求v的近似值的迭代格式为：的近似值的迭代格式为：)()(1

31、nnnnvgvgvv在这里，在这里，(7-3)式可写成式可写成 0)ln(12BWkvBWkBWkvym)ln()(BWkvBWkBWvymkvg取取)ln(BWkvBWkBWvWyak其中其中 a=9.8m/。2s37,167.217,447.0kBWbWyakd记记于是于是 )1ln()(bvbvdvgvbvbvbbvg111)(迭代格式为迭代格式为 )()(1nnnnvgvgvv)1ln(bvbvdvvbvnnnnn)1ln(bvbdvvbvvvbvnnnnnnn38)47()1ln(bvbdvvbbnnn只要选择一个好的初始值只要选择一个好的初始值 ，就能很快算出结果。，就能很快算出结

32、果。0v求求 的粗略近似值：的粗略近似值：0v从从(7-2)中令中令k=0（即下沉时不记阻力）得（即下沉时不记阻力）得 CyBWmv)(212由初始条件得由初始条件得C=0,smymBWv/93.13222以以 =13.93代入代入(7-4)得得 0v64061.131v39 63728.132v63728.133vsmsmv/2.12/64.13所以所以因此这种处理核废料的方案是不可行的因此这种处理核废料的方案是不可行的.这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处这一模型科学地论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方案是错误的理核废料的方案是错误的,从而改变了美国政府过去的从而改变了美国政府

33、过去的错误的做法错误的做法,现在美国原子能委员会条例明确禁止把低现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里浓度的放射性废物抛到海里,并在一些废弃的煤矿中修并在一些废弃的煤矿中修建置核废料的深井建置核废料的深井.这一模型为全世界其他国家处理核这一模型为全世界其他国家处理核废料提供了经验教训废料提供了经验教训,我国政府决定在甘肃广西等地修我国政府决定在甘肃广西等地修建三个深井放置核废料建三个深井放置核废料,防止放射性污染防止放射性污染.40 8 传染病传播的数学模型传染病传播的数学模型 模型一：最简单的情况模型一：最简单的情况 假设：假设：(1)每个病人在单位时间内传染的人数是常

34、数每个病人在单位时间内传染的人数是常数 ；0k(2)一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡。一人得病后，经久不愈，人在传染期不会死亡。记记 表示表示t时刻病人数，时刻病人数，)(ti表示每个病人单位时间内传染人数，表示每个病人单位时间内传染人数，0k，即最初有即最初有 个传染病人。个传染病人。0)0(ii0i则在则在t到到t t时间内增加的病人数为时间内增加的病人数为 ttiktitti)()()(041 于是得微分方程于是得微分方程 )18()0()()(00iitikdttdi其解为其解为 tkeiti00)(结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。结果表明：传染病的传播是按指数函数增

35、加的。这个结果与传染病传播初期比较吻合。这个结果与传染病传播初期比较吻合。但由但由(8-1)的解可以推出，当的解可以推出，当t+时，时，+，这显然是不符合实际情况的，问题在于，这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设均不合理。两条假设均不合理。)(ti42 模型二：模型二：用用 表示表示t时刻传染病人数和未被时刻传染病人数和未被传染的人数，传染的人数，；)(),(tsti0)0(ii 假设：假设：(1)每个病人单位时间内传染的人数与这时每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即未被传染的人数成正比，即 )(0tksk(2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡；一人得病后经久

36、不愈，人在传染期不会死亡；(3)总人数为总人数为n，即，即 ；ntits)()(由以上假设得微分方程由以上假设得微分方程 )28()0()()()()()(0iintitstitksdttdi43 用分离变量法得其解为用分离变量法得其解为 )38()1(1)(0knteinnti其图形如图其图形如图 模型模型(8-2)可以用来预报传染较快的疾病前可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。期传染病高峰到来的时间。由由(8-3)式可得式可得 44)48()1(1)1(2002knteineinkndtdiknt其图形如图其图形如图 医学上称医学上称 为传染病曲线（它表示传为传染病曲线（它

37、表示传染病人增加率与时间的关系）。染病人增加率与时间的关系）。tdtdi45，令令0)(22dttid得极大值点：得极大值点：)58()1ln(01knint由此可知由此可知 1)当传染病强度当传染病强度k或总人数或总人数n增加时，增加时，都将变小，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。1t 2)如果知道了传染强度如果知道了传染强度k（k由统计数据得出），由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间即可预报传染病高峰到来的时间 ，这对于防治，这对于防治传染病是有益处的。传染病是有益处的。1t46 模型二的缺点是：模型二的缺点是：当当t时，由时，

38、由(8-3)式可知式可知 n，即最，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况。造后人人都要生病，这显然是不符合实际情况。造成的原因是假设成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。中假设了人得病后经久不愈。)(ti 为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得病后有的会死模型再进一步修改，这就要考虑人得病后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前

39、面假设那医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新样人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。的模型。47 模型三：模型三：在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简化。设患过传染杂得多的因素，但仍要把问题简化。设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把居民分成三

40、类：居民分成三类：第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染第一类是有能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用者组成的，用I(t)表示表示t时刻第一类人的人数。时刻第一类人的人数。第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用者的那些人组成的，用S(t)表示表示t时刻第二类人的时刻第二类人的人数。人数。48 第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用离起来的人，用R(t)表示表示t时刻第三类人的人数。时

41、刻第三类人的人数。假设疾病传染服从下列法则：假设疾病传染服从下列法则：(1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平平N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、迁出情况。入、迁出情况。(2)易受传染者人数易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人的变化率正比于第一类人的人数的人数I(t)与第二类人的人数与第二类人的人数S(t)的乘积。的乘积。(3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比。的人数成正比。由此得下关系式由此得下关系式 49)68(ISIdtdIIdtdRSI

42、dtdS 其中其中、为两比例常数，为两比例常数，为传染率，为传染率，为排除率。为排除率。由由(8-6)的三个方程相加得的三个方程相加得 0)()()(tRtItSdtd又又 S(t)I(t)R(t)N（常数）（常数）所以所以 R(t)NS(t)I(t)由此知，只要知道了由此知，只要知道了S(t)和和I(t)，即可求出，即可求出R(t)。50 由由(8-6)中第一、三两式得中第一、三两式得 )78(ISIdtdISIdtdS 由此推出由此推出 )88(11SSIISIdSdI 所以所以 CSSSIln)(当当tt。时。时 I(t。)I。，。，S(t。)S。，。，记记)98(ln)(000SSSS

43、ISI 即有即有51 下面我们讨论积分曲线下面我们讨论积分曲线(8-9)的性质：的性质：由由(8-8)式知式知 SSSSSI0001)(所以当所以当S时，时，I(S)是是S的减函数。的减函数。而而I(0)，I(S。)I。0，由连续函数的零点定理及单调性知，由连续函数的零点定理及单调性知，存在唯一存在唯一 使得使得 ，且，且当当 时，时，I(S)0。0*0,SSS0)(*SI0*SSS52 当当tt。时，方程。时，方程(8-9)的图形如图的图形如图 由此知，当由此知，当t由由t。变化到。变化到时，点时，点(S(t),I(t)沿曲线沿曲线(8-9)移动，并沿移动，并沿S减少方向移动，因为减少方向移

44、动，因为S(t)随时间的增随时间的增加而单调减少。因此如果加而单调减少。因此如果S。小于。小于，则，则I(t)单调减少单调减少到零，到零，S(t)单调减少到单调减少到 。所以，如果为数不多的。所以，如果为数不多的一群传染者一群传染者I。分散在居民。分散在居民S。中，且。中，且 ，则这种疾，则这种疾病会很快被消灭；如果病会很快被消灭；如果S。，则随着，则随着S(t)减少到减少到，I(t)增加，且当增加，且当S时时I(t)达到最大值；当达到最大值；当S(t)时，时，I(t)才开始减少。才开始减少。*S 0S53 由上分析可得如下结论：由上分析可得如下结论：只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值只

45、有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值 时，传染病才会蔓延。时，传染病才会蔓延。用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。则疾病在有限范围内出现却很快被消灭。将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，因此还可修改假设，建立更切合实际的模型。因此还可修改假设，建立更切合实际的模型。（略）（略）