苏教版中考复习：《常用的思想方法》课件.ppt

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1、课题 常用的思想方法常用的思想方法知识梳理知识梳理典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈中考命题分析中考命题分析考点链接考点链接知识梳理知识梳理 数学思想方法是数学思想方法是数学基础知识的数学基础知识的重要组成部分重要组成部分，教材没有专门的章节，教材没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的。它是数学的精髓，也是解而展开的。它是数学的精髓，也是解题的指导思想。题的指导思想。在初中数学中，最常用的数在初中数学中，最常用的数学思想方法有：学思想方法有：换元法换元法、配方法配方法、待定系数法待定系数法、分类讨论思想和数分类讨论思想和数形结合思想等形结合思想

2、等。它们是初中数学它们是初中数学中非常重要而且应用十分广泛的中非常重要而且应用十分广泛的解题思想方法。解题思想方法。考点链接考点链接:一、换元法一、换元法 所谓换元法，就是把某个式子看成一个所谓换元法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的到简化。换元的实质实质是是转化。转化。换元法的换元法的关键关键是能发现具有共同结构特是能发现具有共同结构特征的式子，然后用一个字母表示它。征的式子，然后用一个字母表示它。一、换元法一、换元法典型例题例1、已知方程 ，如果 设 ,那么原方程可化为_ （写成关于y的一元二次方程的一般形式）

3、分析分析：方程整理，得 去分母，得直接换元例例2、阅读材料，解答问题、阅读材料，解答问题为了解方程为了解方程 我们可以将我们可以将 视视为一个整体，然后设为一个整体，然后设 ,则原方程可化为则原方程可化为 解得解得 ，当当 时，时，；当；当 时，时，解答问题：（）填空：在由原方程得到方程解答问题：（）填空：在由原方程得到方程的过程中，的过程中，利用利用_法达到了降次的目的，体现了法达到了降次的目的，体现了_的数学思想的数学思想（2）用上述方法解方程：）用上述方法解方程：换元换元转化转化解：解：(2)设设 ,则原方程可化为则原方程可化为 ,解得解得 (舍去舍去)当当 时时,原方程的解为原方程的解

4、为 .倒数换元及时反馈及时反馈1、解方程、解方程若设若设 ，则原方程可化为，则原方程可化为_.写成关于写成关于y的一元二次方程为的一元二次方程为2、已知、已知 求求 的值的值.体现整体转化思想体现整体转化思想解析解析：设：设 ，则原方程可化为，则原方程可化为 ，解方程，得，解方程，得 0(舍去舍去)二、配方法二、配方法 初中数学里的配方，就是把一个二次多初中数学里的配方，就是把一个二次多项式的某些项配成一个或几个完全平方式。项式的某些项配成一个或几个完全平方式。依据依据:步骤步骤:1 1化二次项系数为；化二次项系数为；加上并减去一次项系数一半的平方加上并减去一次项系数一半的平方实质实质:二次项

5、系数化为后根据一次项系数配平方项二次项系数化为后根据一次项系数配平方项应用应用:降次化归：如降次化归：如 平方项的非负性，如：平方项的非负性，如：典型例题例例3 3、已知关于、已知关于x x的方程的方程 求证：无论求证：无论m m取什么实数值，这个方程总有两个不取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根相等的实数根 .证明：证明：无论无论m m取什么实数值，这个方程总有两个不取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根相等的实数根.分析：分析：方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根 b2-4ac0常用配方法来证明代数式的值恒为正（负）常用配方法来证明代数式的值恒为正（负）.例例

6、4 4、已知实数、已知实数x,yx,y 满足条件满足条件 x x2 2+y+y2 2+2x-4y+5=0+2x-4y+5=0，求，求x xy y的值的值.解：解：方程可化为方程可化为x x2 2+2x+1+y+2x+1+y2 2-4y-4y4 40 0配方得（配方得（x+1x+1）2 2+(y+(y2)2)2 2=0 =0 要使等式成立，必须且只需要使等式成立，必须且只需解得解得 x xy y=（-1-1）2 2=1=1分析：方程的左边可以通过适当的分组，配方成两个完分析：方程的左边可以通过适当的分组，配方成两个完全平方式，再通过平方项的非负性全平方式，再通过平方项的非负性 得到两个方程，从而

7、得解得到两个方程，从而得解及时反馈及时反馈1 1、如果、如果 ，则，则 a=a=，b=b=.2 2、已知、已知x x是实数，求代数式是实数，求代数式 的最小值的最小值.2 21 1当当x=2时，代数式有最小值是时，代数式有最小值是1.分析：分析：常用配方法求二次三项式的最值问题常用配方法求二次三项式的最值问题 三、待定系数法三、待定系数法 在给出的或设出的某些式子中常常含在给出的或设出的某些式子中常常含有一些等待确定的（未知的）参数，在解有一些等待确定的（未知的）参数，在解决某些问题时，我们常常可以将这些未知决某些问题时，我们常常可以将这些未知的量当成是已知量去应用公式、建立方程，的量当成是已

8、知量去应用公式、建立方程，从而求出这些量。这种方法就叫待定系数从而求出这些量。这种方法就叫待定系数法。法。待定系数法具体应用时常常分两步：待定系数法具体应用时常常分两步：一是设出含待定系数的式子；二是应用公一是设出含待定系数的式子；二是应用公式或列方程求出待定的系数。式或列方程求出待定的系数。例例5 5、已知、已知 y yy y 1 1y y2 2，y y1 1 与与 x x 成正比例，成正比例，y y2 2 与与 x x 成反比例，并且当成反比例，并且当 x x 1 1 时，时，y y 2 2，当，当 x x-2-2时，时，y y 7 7，求，求 y y 与与 x x 的函数关系式的函数关系

9、式.典型例题解：解：设设 ，由题意得由题意得 ，解得，解得 例例6 6、已知二次函数的图象过、已知二次函数的图象过(3(3，0)0)，(2(2，3)3)两点，并且以两点，并且以x x1 1为对称轴，求这为对称轴，求这个二次函数解析式个二次函数解析式.解法二：设二次函数解析式为解法二：设二次函数解析式为 解法一：设二次函数解析式为解法一：设二次函数解析式为 解得解得 解法三：由对称性知图象与解法三：由对称性知图象与x轴的另一个交点为（轴的另一个交点为（-1，0）设二次函数解析式为设二次函数解析式为 ，经过点（，经过点（2，-3），待定时注意选待定时注意选择适当的形式择适当的形式及时反馈及时反馈

10、已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x x轴交点的横坐标分轴交点的横坐标分别是别是x x1 1=-3=-3，x x2 2=1=1，且与，且与y y轴交点为轴交点为(0(0，-3)-3)，求这，求这个二次函数解析式。个二次函数解析式。分析：图象与分析：图象与x x轴交点为（轴交点为（-3-3，0 0），（），（1 1，0 0），），与与y y轴交点为轴交点为(0(0，3)3)，在在解解答答某某些些数数学学问问题题时时，有有时时会会遇遇到到多多种种情情况况，很很难难从从整整体体上上加加以以解解决决。这这时时需需要要对对各各种种情情况况加加以以分分类类，并并逐逐类类求解，然后综合得解，这就是分类

11、讨论。求解，然后综合得解，这就是分类讨论。分分类类必必须须有有一一定定的的标标准准，标标准准不不同同，分分类类的的结结果果也也就就不不同同。分分类类的的关关键键是是要要做到不遗漏，不重复。做到不遗漏，不重复。四、分类讨论思想四、分类讨论思想 需要分类的原因是需要分类的原因是“不确定不确定”，引起，引起“不确定不确定”的根源常常有以下一些情况的根源常常有以下一些情况:1.1.字母取值的不同导致运算结果不同；字母取值的不同导致运算结果不同；2 2位置关系的不同导致图形结构不同；位置关系的不同导致图形结构不同；3 3对应关系的不同导致讨论结果不同对应关系的不同导致讨论结果不同典型例题 例例7 7、已

12、知三个数、已知三个数1 1，,，请你再请你再添上一个添上一个(只填一个只填一个)数，使它们能构成数，使它们能构成一个比例式，则这个数是一个比例式，则这个数是 _.解解析析:由由于于题题中中没没有有明明确确这这四四个个数数的的顺顺序序，根根据据比比例例的的基基本本性性质质，所所添添的的数数有有三三种种可可能能性性：即即该该数数与与已已知知三三数数中中任任一一个个的的乘乘积积等等于于其其他他两两数数的乘积。设这个数为的乘积。设这个数为x,x,则有则有 不同的对应关系分类不同的对应关系分类 例例8 8、抛物线、抛物线 的对称轴与的对称轴与x x轴交轴交于点于点M M，抛物线与，抛物线与y y轴的交点

13、是轴的交点是C C点，问在对称轴上是点，问在对称轴上是否存在点否存在点P P，使，使CMPCMP为等腰三角形？若存在，请直为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点接写出所有符合条件的点P P的坐标；若不存在，请说的坐标；若不存在，请说明理由明理由解析：抛物线的对称轴为：直线解析：抛物线的对称轴为：直线设存在点设存在点P P，使，使CMPCMP为等腰三角形，有三为等腰三角形，有三种不同的情况：种不同的情况：若若MP=MC，则，则 若若CP=CM，则，则若若PM=PC，则，则N不同的位置关系分类不同的位置关系分类1.1.若函数若函数 与与x x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求a a的值

14、与交点坐标。的值与交点坐标。及时反馈及时反馈分析分析（1 1）当当a=0a=0时时,此函数为一次函数此函数为一次函数y=3x+1,y=3x+1,与与x x轴轴的交点为的交点为（2 2）当当 时时,此函数为二次函数此函数为二次函数当当 =时，与时，与x x轴只有一个交点轴只有一个交点.解得解得a=1a=1或或a=9a=9当当a=1a=1时，时，函数为函数为 ，交点为（交点为（-1-1，0 0）当当a=9a=9时，函数为时，函数为 ，交点为，交点为对字母对字母a a的取值分类的取值分类2.2.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿

15、沿ABAB边从点边从点A A出发向出发向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表秒表示移动的时间（示移动的时间（0 0 x x6 6）那么：当）那么：当t t为何值时，以点为何值时，以点Q Q、A A、P P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似？相似？解析：解析：根据三角形根据三角形相似的对应关系相似的对应关系，可分为两种情，可分为两种情况来讨论况来讨论当当 时，时，QAPABCQAPABC，则，则 ，解得，解得t

16、=1.2.t=1.2.当当t=1.2t=1.2秒时，秒时，QAPABC.QAPABC.当当 时，时，PAQABCPAQABC，则则 ，解得，解得t=3.t=3.当当t=3t=3秒秒时，时，PAQABCPAQABC。2tt6-五、数形结合思想五、数形结合思想 数形结合是把抽象的数学语言与直观的数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索图形结合起来思索,通过通过“以形助数以形助数”或或“以数解形以数解形”使复杂问题简单化，抽象的数学使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。象思维，有助于把握数学

17、问题的本质。解：解：ab=例例9.9.实数实数a a、b b在数轴上的位置如图所示：在数轴上的位置如图所示：化简化简 a ab=_b=_典型例题分析：分析：由数轴上的位置可以得到由数轴上的位置可以得到 且且 ，-2a+b-2a+b（2）与）与x轴交于轴交于(-1,0)和和(3,0)两点两点 例例10.10.如图为二次函数如图为二次函数y=axy=ax2 2bxbxc c的图象，的图象，在下列说法中：在下列说法中：acac0 0；方程方程axax2 2bxbxc=0c=0的根是的根是x x1 1=1,x1,x2 2=3 a=3 ab bc c0 0 当当x x1 1时，时，y y随随x x的增大

18、而增大的增大而增大.正确的说法有正确的说法有_ _.(_.(把正确答案的序号把正确答案的序号都填在横线上都填在横线上)分析：分析：（1）由图象可知，开口向上，由图象可知，开口向上，与与y轴交于负半轴，则轴交于负半轴，则（3）由对称性知对称轴是）由对称性知对称轴是及时反馈及时反馈1 1、一次函数一次函数 与与 的图象如图，则的图象如图，则下列结论下列结论 ；当当 时，时，中，中，正确的个数是（正确的个数是（）A A0 0 B B1 1 C C2 2 D D3 3B B2 2、已知二次函数、已知二次函数 的图象如图的图象如图所示，则关于所示，则关于x x的方程的方程 有有两个不相等的实数根，则两个

19、不相等的实数根，则k k的取值范围为（的取值范围为（）A AB B C C D D无法确定无法确定 分析：如果根据分析：如果根据 的符号的符号来判别解的情况，本题将无从入来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为手，可将原方程变形为 从而理解成是从而理解成是两个函数的交点问题，即两个函数的交点问题，即 由图象可知由图象可知只要只要 就一定与抛物就一定与抛物线有两个不同的交点线有两个不同的交点 C C小结小结 本节课重点讨论了换元法、配方本节课重点讨论了换元法、配方法、待定系数法、分类讨论思想和数法、待定系数法、分类讨论思想和数形结合等最常用、最重要的数学思想形结合等最常用、最重要的数学思想方法，并且学会了利用这些思想方法方法，并且学会了利用这些思想方法来解决问题。来解决问题。