教育专题：231变量之间的相关关系&232两个变量的线性相关.ppt

《教育专题：231变量之间的相关关系&232两个变量的线性相关.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教育专题：231变量之间的相关关系&232两个变量的线性相关.ppt（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关1.1.理解两个变量的相关关系的概念理解两个变量的相关关系的概念.(重点）重点）2.2.会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系会作散点图，并利用散点图判断线性相关关系.（难点）（难点）3.3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程.4.4.通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题通过实例加强回归直线方程含义的理解，能够对实际问题进行分析和预测进行分析和预测.城城门门失失火火殃殃及及池池鱼鱼创设情境创设情境 导入新课导入新课 世界遗产世界遗产广

2、西巴马长寿村广西巴马长寿村 我国广西省有一个长寿村我国广西省有一个长寿村,名列世界五名列世界五大长寿地区大长寿地区,村里有个不成文的规矩村里有个不成文的规矩,“不不到八十不祝寿到八十不祝寿”。20032003年年1111月月,国际自然国际自然医学会授予巴马医学会授予巴马“世界长寿之乡世界长寿之乡”证书。证书。同学们，知道长寿村长寿的秘密吗？同学们，知道长寿村长寿的秘密吗？遗传基因、遗传基因、自然环境、自然环境、水、水、饮食饮食 世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其他事物世界是一个普遍联系的整体，任何事物都与其他事物相联系相联系.我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变我们曾经研究过两

3、个变量之间的函数关系：一个自变量对应着惟一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系量对应着惟一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系.生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？请同生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？请同学们举例说明学们举例说明.问题问题1、对于两个变量之间的关系，我们对于两个变量之间的关系，我们之前学过，之前学过，函数关系是一种确定性关系。函数关系是一种确定性关系。那么那么下列变量与变量之间哪些是确定性的函数关系，下列变量与变量之间哪些是确定性的函数关系，哪些是不确定相关关系？哪些是不确定相关关系？正方形边长与面积之间的关系正方形边长与面积之间的关系圆的半径与圆的

4、周长之间的关系圆的半径与圆的周长之间的关系年龄与人体的脂肪含量之间的关系年龄与人体的脂肪含量之间的关系数学成绩与物理成绩之间的关系数学成绩与物理成绩之间的关系.相关关系相关关系初步探索，直观感知初步探索，直观感知探究一探究一:两个变量间的相关关系两个变量间的相关关系 请同学们试举几个现实生活中相关请同学们试举几个现实生活中相关关系的例子。关系的例子。数学学习与物理学习数学学习与物理学习商业销售收入与广告之间商业销售收入与广告之间粮食产量与施肥量之间粮食产量与施肥量之间人体脂肪含量与年龄之间人体脂肪含量与年龄之间生活中相关成语：生活中相关成语：“名师出高徒名师出高徒”，“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”“

5、强将手下无弱兵强将手下无弱兵”“虎父无犬子虎父无犬子”当自变量一定时当自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系两个变量之间的关系称为相关关系.例例：（：（1 1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系）商品销售收入与广告支出经费之间的关系;（2 2）粮食产量与施肥量之间的关系）粮食产量与施肥量之间的关系;（3 3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系）人体内脂肪含量与年龄之间的关系.变量之间的相关关系变量之间的相关关系相关关系是一相关关系是一种非确定关系种非确定关系不同点：不同点：1.1.函数关系是一种确定的关系函数关系是一种确定的关系,

6、是两个非随机变量是两个非随机变量之间的关系之间的关系;而相关关系是一种非确定关系而相关关系是一种非确定关系,是非随机变量是非随机变量与随机变量之间的关系与随机变量之间的关系.相关关系与函数关系的异同点：相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系相同点：均是指两个变量的关系2.2.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响机因素的影响.3.3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.类别类别区别区别联系联系函数函数关系关系1、函数关系中两个变、函数关系中两个变量是一种确定

7、性关系；量是一种确定性关系；2、函数关系是一种因、函数关系是一种因果关系。果关系。1、对线性相关关系、对线性相关关系求回归直线后，可求回归直线后，可以通过确定的函数以通过确定的函数关系对两个变量间关系对两个变量间的取值进行估计；的取值进行估计；相关相关关系关系1、相关关系是一种非、相关关系是一种非确定性关系；确定性关系；2、相关关系不一定是、相关关系不一定是因果关系，也可能是伴因果关系，也可能是伴随关系。随关系。2、函数关系是理想、函数关系是理想的关系模型，而相的关系模型，而相关关系是更为一般关关系是更为一般的情况的情况 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得在一次对人体脂肪含量

8、和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数数.以以x x轴表示年龄，轴表示年龄，y y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？出样本数据对应的图形吗？年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.

9、629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6初步探索，直观感知初步探索，直观感知探究二：散点图探究二：散点图在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为变量的一组数据图形，称为散点图散点图.思考：思考：上图叫做上图叫做散点图散点图，你能描述一下散点图的，你能描述一下散点图的含义吗？含义吗？这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.如果两个变量呈负相

10、关，从整体上看这两个变量的变化如果两个变量呈负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？趋势如何？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域散布在从左上角到右下角的区域.例例1 1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关个变量是正相关还是负相关.房屋面积房屋面积（平方米）（平方米）61617070115115110110808

11、0135135105105销售价格销售价格（万元）（万元）12.212.2 15.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222/平方米售价/万元正相关正相关解：解：在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系.答案：答案：散点图散点图3).3).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本

12、点都落在某一直线附近直线附近，变量之间就有变量之间就有线性相关关系线性相关关系 .1).1).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线上函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有间具有函数关系函数关系2).2).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近,变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系。说明说明散点图散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系用来判断两个变量是否具有相关关系.C2、判断下列图形中具有线性相关关系的、判断下列图形中具有线性相关关系的两个变量是两个变量是 年龄和人体

13、脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？布有什么特点？回归直线回归直线这些点大致分布在一条直线附近这些点大致分布在一条直线附近.年龄与脂肪含量之间的散点图年龄与脂肪含量之间的散点图气温与热饮杯数之间的散点图气温与热饮杯数之间的散点图 问题问题4 (1)两个散点图的有什么共同之处？两个散点图的有什么共同之处？探究三：线性相关、正相关、负相关探究三：线性相关、正相关、负相关(2)两个散点图的点的分布有什么不同两个散点图的点的分布有什么不同?初步探索，直观感知初步探索，直观感知年龄与脂肪含量之间的散点图年龄与脂肪含量之间的散点图气温与热饮杯数之

14、间的散点图气温与热饮杯数之间的散点图探究三：线性相关、正相关、负相关探究三：线性相关、正相关、负相关散落在直线的附近散落在直线的附近线性相关线性相关有相同的变化趋势有相同的变化趋势正相关正相关有相反的变化趋势有相反的变化趋势负相关负相关 左面的散点图中，点散布在从左下角左面的散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为关关系，我们将它称为正相关。正相关。右面的散点图中，点散布在从左上角右面的散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为关关系，我们将

15、它称为负相关。负相关。请同学们试举几个现实生活中变量之请同学们试举几个现实生活中变量之间成负相关实例。间成负相关实例。我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附近我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这这条直线叫做条直线叫做回归直线，回归直线，该直线所对应的方程叫做回归方程该直线所对应的方程叫做回归方程.那么，我们该怎样求出这个回归方程呢？那么，我们该怎样求出这个回归方程呢？请同学们

16、展开讨论，能得出哪些具体的方案？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？回归直线回归直线 整体上最接近整体上最接近 方案一：方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案方案2 2在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基在图中选两点作直线，使直线两侧的点的

17、个数基本相同本相同.202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540方案方案3 3如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距而得到回归斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距而得到回归方程方程.如图如图:上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的我们回到回归直线的定义定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看

18、，各点与直线的偏差最小”。如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直线附近，大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直线，这条直线就叫做就叫做回归直线回归直线。对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1)，(x(x2 2，y y2 2)，(x xn n，y yn n)，如何求回归方程？，如何求回归方程？最小二乘法最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做方法叫做最小二乘法

19、最小二乘法.当自变量当自变量x取取xi（i=1,2,n）时可以得到回归直）时可以得到回归直线上的点的纵坐标为：线上的点的纵坐标为：它与样本数据它与样本数据yi的偏差是：的偏差是：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本的一组数据：的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，且所求回归直线方程是：且所求回归直线方程是：，其中，其中 是是待定系数待定系数.(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)(x1，y1)(x2，y2)(xn，yn)运算不方便运算不方便避免相互抵消避免相互抵消各点与直线各点与直线的整体偏差的整体偏差这种通过求：这种通

20、过求：的最小值而得到回归直线的方法，即求样本数据的点到的最小值而得到回归直线的方法，即求样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法最小二乘法.小结小结1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，列表计算平均数第一步，列表计算平均数 ,第二步，求和第二步，求和,第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？图中样本点的中心如何确定？例例2 2 有

21、一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：与当天气温的对比表：（1 1）画出散点图；）画出散点图；（2 2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3 3）求回归方程；）求回归方程；（4 4）如果某天的气温是）如果某天的气温是2 2，预测这天卖出的热饮杯数，预测这天卖出的热饮杯数./130130128128132132150150156156热饮杯数热饮杯数12127

22、74 40 0-5 5摄氏温度摄氏温度13013012812813213215015015615612127 74 40 0-5 554547676939389891041041161163636313127272323191915155454767693938989104104116116363631312727232319191515解解:（1 1）散点图如下：散点图如下：/（2 2）从散点图看到，各点散布在从左上角到右下角的）从散点图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数

23、越少气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数近，因此利用公式求出回归方程的系数.得回归方程得回归方程.=-2.352x+147.767 =-2.352x+147.767（4 4）当）当x=2x=2时，时，=143.063.=143.063.因此，某天的气温为因此，某天的气温为2 2 时，这天大约可以卖出时，这天大约可以卖出143143杯热饮杯热饮.1.1.下列说法中正确的是下列说法中正确的是()()(A)(A)任何两个变量都具有相关关系任何两个变量都具有相关关系(B

24、)(B)球的体积和球的半径具有相关关系球的体积和球的半径具有相关关系(C)(C)农作物的产量和施肥量之间是一种确定关系农作物的产量和施肥量之间是一种确定关系(D)(D)某商品的产量和该商品的价格之间是一种非确定关系某商品的产量和该商品的价格之间是一种非确定关系解：解：选选D.AD.A的说法是错误的；球的体积和球的半径具有的说法是错误的；球的体积和球的半径具有函数关系，故函数关系，故B B错误错误;C;C中农作物的产量和施肥量之间是中农作物的产量和施肥量之间是一种相关关系，故一种相关关系，故C C错误错误;D;D是正确的是正确的.2.2.已知回归直线的斜率的估计值是已知回归直线的斜率的估计值是1

25、.23,1.23,样本点的中心样本点的中心为为(4,5)(4,5)，则回归直线的方程是，则回归直线的方程是()()(A)=1.23x+4 (B)=1.23x+5(A)=1.23x+4 (B)=1.23x+5(C)=1.23x+0.08 (D)=0.08x+1.23(C)=1.23x+0.08 (D)=0.08x+1.23解：解：当当x=4x=4时时,y=1.23,y=1.234+0.08=5,4+0.08=5,故选故选C.C.C C3.3.已知已知x,yx,y的取值如下表所示：的取值如下表所示：如果如果y y与与x x线性相关，且线性回归方程为线性相关，且线性回归方程为 ,则则 =()=()(

26、A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)解：解：又又 ,B B【思路点拨思路点拨】本题可先利用公式求出回归直线方程，再求本题可先利用公式求出回归直线方程，再求广告费用为广告费用为6 6万元时的销售额万元时的销售额.5 5为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响，为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了在高一年级学生中随机抽取了1010名学生，他们的入学成绩与名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：期末考试成绩如下表：(1)(1)若变量之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程；若变量之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程；(2)(2)若某学

27、生的入学成绩为若某学生的入学成绩为8080分，试估计他的期末成绩分，试估计他的期末成绩学生编号学生编号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010入学成绩入学成绩x x63636767454588888181 7171 5252999958587676期末成绩期末成绩y y65657878525282829292 8989 73739898565675751.1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作如下判断：点图入手，对于散点图，可以作如下判断：（1 1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，

28、变量之）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间就是函数关系；间就是函数关系；（2 2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，变）如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，变量之间就有相关关系；量之间就有相关关系；（3 3）如果所有的样本点都落在某一直线的附近，变量之）如果所有的样本点都落在某一直线的附近，变量之间就有线性相关关系；间就有线性相关关系；（4 4）如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这）如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的独立的.2.2.对于任意一组样本数

29、据，利用上述公式都可以求得对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回回归方程归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的回归直线，那么所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归直线方程关系的前提下再求回归直线方程.3.3.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第一步，计算平均数 ，;第二步，求和第二步，求和 ，;第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程.追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.