概率论与数理统计第1章.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计教教 师师:高高 璟璟e-mail:数学专业教研室数学专业教研室（第四学科楼（第四学科楼222室）室）引引 言言概率论与数理统计是研究什么的 经典的数学理论如微积分学、微分方程等都经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。是研究确定性现象的有力的数学工具。对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。性（如拋掷硬币）。随着社会生

2、产与科学技术的发展，研究随机随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。概率论与数理统计概率论与数理统计研究和揭示随研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科机现象统计规律性的一门学科 应用范围广泛。例如：应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、产品的

3、可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。保险、金融等各领域。经经典数学与概率典数学与概率论论与数理与数理统计统计是相是相辅辅相成，互相渗透的。相成，互相渗透的。第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率n随机事件随机事件n随机事件的概率随机事件的概率n古典概型与几何概型古典概型与几何概型n条件概率条件概率n事件的独立性事件的独立性 1.1 随机事件随机事件 n确定性的确定性的在一定条件下必然在一定条件下必然发发生的生的现现象象n随机性的随机性的在一定条件下，具有多种可能在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果的结果，但事先又不能预知确切的结果1)1)

4、拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。其结果。3)3)投掷一个骰子，其结果有投掷一个骰子，其结果有6 6种，即可能出现种，即可能出现1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6点，但点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)4)股市的变化。股市的变化。一、随机现象一、随机现象 由于随机由于随机现现

5、象的象的结结果事先不能果事先不能预预知知,初初看似乎毫无看似乎毫无规规律律.然而人然而人们发现们发现同一随机同一随机现现象大量重复出象大量重复出现时现时,其每种可能的其每种可能的结结果出果出现现的的频频率具有率具有稳稳定性定性,从而表明随机从而表明随机现现象也有象也有其固有的其固有的规规律性律性.人人们们把随机把随机现现象在大量重象在大量重复出复出现时现时所表所表现现出的量的出的量的规规律性称律性称为为随机随机现现象的象的统计规统计规律性律性.二、随机试验二、随机试验历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者实验者

6、 n rn rn/n De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005 试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果自身所具有的特征。自身所具有的特征。为了对随机现象

7、的统计规律性进行研究为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随就需要对随机现象进行重复观察机现象进行重复观察,我们把对随机现象的观察称为我们把对随机现象的观察称为随随机试验机试验,并简称为并简称为试验试验，记为，记为E E.例如例如,观察某射手对固观察某射手对固定目标进行射击定目标进行射击;抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次,观察出现正面的次观察出现正面的次数数;记录某市记录某市120120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验为随机试验.随机试验具有下列特点随机试验具有下列特点:1.可重复性可重复性:试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进

8、行;2.可观察性可观察性:试验结果可观察试验结果可观察,所有可能的结果是明确的所有可能的结果是明确的;3.不确定性不确定性:每次试验出现的结果事先不能准确预知每次试验出现的结果事先不能准确预知.E1：拋掷一枚质地均匀的硬币拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出观察正面和反面出现的情况；现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。命。E5:从装有三个白球（记号为从装有三个白球（记号

9、为1,2,3）与两个黑球（记）与两个黑球（记号为号为4,5）的袋中任取两球，）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色；观察两球的颜色；(2)观察两球的号码观察两球的号码随机试验的例子随机试验三、样本空间三、样本空间 1、样本空间样本空间：由随机试验的所有可能的结果由随机试验的所有可能的结果组成的一个集合组成的一个集合称为试验称为试验E的样本空间，记为的样本空间，记为S或或；2、样本点样本点：试验的每一个可能的结果试验的每一个可能的结果（或样或样本空间的元素）称为一个样本点，记为本空间的元素）称为一个样本点，记为e。试给出试给出E1E5的样本空间的样本空间E1:若记若记1=正面，正面，2=反面，则

10、样本空间为反面，则样本空间为S=1,2 E2:S=1,2,3,4,5,6E3:S=0,1,2,3,E4:E5:(1)若记若记00表示为两个白球，表示为两个白球，11表示为两个黑球表示为两个黑球 01表示为一白一黑，则表示为一白一黑，则 S=00,11,01(2)若观察取出的两球的号码，则样本点为若观察取出的两球的号码，则样本点为ij（取出第（取出第i号和第号和第 j号球，号球，于是，样本空间有于是，样本空间有10个样本点，则个样本点，则注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要观察的内容来确定的。观察的内容来确定的。四、随机事件

11、四、随机事件在概率论中在概率论中,把具有某一可观察特征的随机试验的结把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件。事件可分为以下三类：果称为事件。事件可分为以下三类：1.1.随机事件：随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件，简在试验中可能发生也可能不发生的事件，简称事件。通常用大写字母称事件。通常用大写字母A A、B B、C C表示。表示。2.必然事件：必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。用字母在每次试验中都必然发生的事件。用字母S（或（或）表示。）表示。3.不可能事件：不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集符号符号表示。表示

12、。例如：在抛掷一枚例如：在抛掷一枚骰子的试验中，骰子的试验中，“点数为奇数点数为奇数”就是一个就是一个事件，在试验中可能发生也可能不发生。同样事件，在试验中可能发生也可能不发生。同样，“点数为奇数点数为奇数”与与“点数为点数为8”也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，今后将它们看作是特殊的随机事件。今后将它们看作是特殊的随机事件

13、。五、事件的集合表示五、事件的集合表示 按定义按定义,样本空间样本空间S是随机是随机试验试验的所有可能的所有可能结结果果(样样本点本点)的全体的全体,故故样样本空本空间间就是所有就是所有样样本点构成的集合本点构成的集合,每一个每一个样样本点是本点是该该集合的元素集合的元素.一个事件是由具有一个事件是由具有该该事件所要求的事件所要求的特征的那些可能特征的那些可能结结果所构成的果所构成的,所以一个事件所以一个事件对应对应于于S中具中具有相应特征的样本点有相应特征的样本点(元素元素)构成的集合构成的集合,它是它是S的一个子集的一个子集.于是于是,任何一个事件都可以用任何一个事件都可以用S的某一子集来

14、表示的某一子集来表示,常用字母常用字母A、B等表示。等表示。称称事件事件A A发生，发生，即指属于该事件的某一个样本点在随机即指属于该事件的某一个样本点在随机试验中出现。试验中出现。特殊地，当一个事件仅包含特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事的一个样本点时，称该事件为件为基本事件基本事件(或简单事件或简单事件)。含有两个或两个以上样本点的含有两个或两个以上样本点的事件为事件为复合事件复合事件。例例1.1.1 1 袋中装有袋中装有2 2只白球和只白球和1 1只黑球。从袋中依次任意只黑球。从袋中依次任意地摸出地摸出2 2只球。设球是编号的：白球为只球。设球是编号的：白球为1 1号、号、

15、2 2号，黑号，黑球为球为3 3号号。(i,j,j)表示第一次摸得表示第一次摸得i号球，第二次摸得号球，第二次摸得j号号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件而且可得到下列随机事件A=A=第一次摸得黑球第一次摸得黑球=(3,1),(3,2)=(3,1),(3,2)；B=B=第一次摸得白球第一次摸得白球=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,

16、3)；C=C=两次都摸得白球两次都摸得白球=(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)；D=D=第一次摸得白球，第二次摸得黑球第一次摸得白球，第二次摸得黑球=(1,3),(2,3)=(1,3),(2,3)；G=G=没有摸到黑球没有摸到黑球=(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)。返回事件可以用文字表示，事件也可以表示为样事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，间有一定的关系，事件

17、之间的关系是由他们事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。集合之间的关系来描述。六、事件的关系与运算六、事件的关系与运算设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S,A,B,Ak(k=1,2,)为事件为事件1.1.事件的包含事件的包含“A A发生必导致发生必导致B B发生发生”，即，即A A中的样本点一定属中的样本点一定属于于B B，记为，记为A A B B，称事件称事件B B包含事件包含事件A,A,也称事件也称事件A A包含于事包含于事件件B B。2.A2.A与与B B两个事件两个事件相等相等：A AB B A A

18、B B且且B B A A。例例1.1.1 13.3.和事件和事件和事件和事件(p4)：“事件事件事件事件A与与与与B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”，记作，记作，记作，记作A B2n个事件个事件A1,A2,An至至少有一个发生，记作少有一个发生，记作2”可列个事件可列个事件A1,A2,An 至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作4.积事件积事件:A与与B同时发生，记作同时发生，记作 ABAB3n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作3”可列个事件可列个事件A1,A2,An,同时发生，记作同时发生，记作5.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的

19、差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不发生，不发生，它是由属于它是由属于A而不属于而不属于B的样本点所构成的事件。的样本点所构成的事件。思考：何时思考：何时A-B=?何时何时A-B=A？例1.1 中 B=CD C=BC D=B-C6.互互斥的事件斥的事件：AB=,指事件指事件A与与B不能同时发生。又不能同时发生。又称称A与与B互不相容互不相容。基本事件是基本事件是两两互不相容的两两互不相容的例1.1中：AB=AC=例1.17.互逆的互逆的事件事件 ABS,且且AB A与与B对立：对立：事件事件A与与B既不能同既不能同时发生，又不能同时时发生，又不能同时不发生。即在每次试不发生。即在每次试验

20、中，验中，A与与B有且仅有且仅有一个发生。有一个发生。对立事件必为互不相容事件；对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件互不相容事件未必为对立事件。注注:事件的运算满足如下基本关系事件的运算满足如下基本关系:8.完备事件组完备事件组设设 是有限或可数个事件是有限或可数个事件,若其满足若其满足:称称 是一个完备事件组是一个完备事件组.七、事件的运算七、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶对偶(De Morgan)律：律：例例1.1.

21、2 2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的的运算关系表示下列事件：运算关系表示下列事件：或或例1.3解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞销”。试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。n课堂练习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。解解：(1)1)如如果

22、果不不考考虑虑整整套套牌牌的的花花色色，样样本本空空间间包包含含可可由由牌牌点点A，二二点点，十十点点，J，Q，K组组成，即可表示为成，即可表示为=1,2,=1,2,13,13。(2)(2)如如果果考考虑虑整整套套牌牌的的花花色色，样样本本空空间间分分别别包包含含黑黑、红红、方方、草草的的A，一一直直到到K。如如果果用用1,2,3,41,2,3,4分分别别表表示示黑黑、红红、方方、草草，则则黑黑桃桃J可可写成写成(1,11)(1,11)，样本空间有，样本空间有5252个样本点：个样本点：1.2 随机事件的概率随机事件的概率一、频率及其性质一、频率及其性质定定义义1.1.若若在在相相同同条条件件

23、下下进进行行n n次次试试验验,其其中中事事件件A A发发 生的次数为生的次数为r rn n(A A)次次,则称则称为事件为事件A A发生的发生的频率频率.频率具有如下的性质频率具有如下的性质(1)对任一事件对任一事件A，0 fn(A)1；(2)对必然事件对必然事件S，fn(S)1；而而 fn()=0(1)(3)可加性：若可加性：若事件事件A1,A2,An两两互不相容，两两互不相容，则则二、概率二、概率从直观上来看，事件从直观上来看，事件A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性P(A)应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上

24、的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？1、概率的统计定义、概率的统计定义定义定义2.设随机事件设随机事件A在在n次重复试验中发生的次数次重复试验中发生的次数为为rn(A)，若事件若事件A发生的发生的频率频率fn(A)=rn(A)/n随着随着试验次数试验次数n的增大而稳定地在某个常数的增大而稳定地在某个常数p(00p1)1)附近摆动，则称数附近摆动，则称数p为为事件事件A的概率的概率，记为，记为P(A).由定义，显然有由定义，显然有0

25、0 P(A)1,1,P(S)=1，P()=0。2、概率的公理化定义、概率的公理化定义定定义义3 3 设设E E是是随随机机试试验验，S S是是它它的的样样本本空空间间，对对于于E E的的每每一一个个事事件件A，赋赋予予一一个个实实数数P(A)与与之之对对应应，如如果集合函数果集合函数P()具有如下性质：具有如下性质：非负性非负性：对任意一个事件：对任意一个事件A，均有均有P(A)0 ；完备性完备性：P(S)=1；可可列列可可加加性性：若若A1，A2，An，是是两两两两互互不不相容的事件，即相容的事件，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有有则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率。三、概

26、率的性质三、概率的性质不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P()=0；有有有有限限限限可可可可加加加加性性性性，即即若若事事件件A1，A2，An两两两两互互不不相相容容，则则有有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)设设A，B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特特 别别 地地，若若 A B，则则 AB=B，有有 P(A-B)=P(A)-P(B)，且且P(A)P(B)，此性质称为此性质称为单调不减性单调不减性单调不减性单调不减性。互补性互补性互补性互补性 对任一事件对任一事件A，有有加法公式加法公式加法公式加法公式 对任意两个事件对任意两个

27、事件A，B，有有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广可推广:可分性可分性可分性可分性 对任意两事件对任意两事件A，B，有有 例例1.1.4 4 某某人人外外出出旅旅游游两两天天，据据天天气气预预报报，第第一一天天降降水水概概率为率为0.6，第二天为，第二天为0.3，两天都降水的概率为，两天都降水的概率为0.1，试求：，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨第一天下雨而第二天不下雨”的概率的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨第一天不下雨而第二天下雨”的概率的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨至少有一天下雨”的概率的概率P(D)，(4)“两天都不下雨两天都不下雨”的概率的

28、概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨至少有一天不下雨”的概率的概率P(F)。解解 设设Ai表示事件表示事件“第第i天下雨天下雨”，i=1=1，2 2，由题意由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1(1)且可得（2）（3）=0.6+0.3-0.1=0.8（4）（5）1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型设随机设随机实验实验E E满足下列条件满足下列条件1.1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即Se1,e 2 ,e n;2.2.等可能性：每个等可能性：每个基本事件基本事件的发生是等可能的，即的发生是等可能的，即

29、P(e1)=P(e2)=P(en)。则称此试验则称此试验E E为古典概型，也称为古典概型，也称等可能等可能概型。概型。一、古典概型一、古典概型设设事事件件A中中所所含含样样本本点点个个数数为为k，记记样样本本空空间间S中中样样本本点总数为点总数为n，则有则有古典概型中的概率古典概型中的概率：由概率的公理化定义知由概率的公理化定义知称此概率为称此概率为古典概率古典概率.例例1 1 在盒子里有在盒子里有1010个相同的球，分别标上号码个相同的球，分别标上号码1 1，2 2，10 10。从中任取一球，求此球的号码为偶数。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。的概率。解 设m表示所取的球的号码为m(

30、m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5个样本点，故 加法公式加法公式设完成一件事有m种方式，第i种方式有 种方法，则完成该件事的方法总数为二、计算古典概型的方法二、计算古典概型的方法排列与组合排列与组合乘法公式乘法公式设完成一件事有m个步骤，其中第i步有 种方法,必须通过m个步骤的每一步骤才能完成该事件，则完成该事件的方法总数为有重复（放回）排列有重复（放回）排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有n

31、k种排列方式.无重复（放回）排列无重复（放回）排列 从含有从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k次，每次取一次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)=n!/(n-k)!种排列方式种排列方式.当当k=n n时，称其为全排列，全排列的种数为时，称其为全排列，全排列的种数为Pnn=n!nn-1-1 n-2-2n-k+1+1组组 合合 从n个不同元素中任取k个 的不同组合总数为 称为组合系数称为组合系数.n古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同

32、的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。1、抽球问题抽球问题 例2 设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从个红球，现从盒盒中任中任抽抽2个个球，求取到一红球一白球的概率。球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球答:取到一红一白的概率为3/5。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是 在实际中，有许多问题的结构形式与抽球在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，抽取若干

33、个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求求“被抽出的若干个事物满足一定要求被抽出的若干个事物满足一定要求”的概的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题分球入盒问题解(1)设A：每盒恰有一球，B：空一盒例3 将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有

34、一球的概率是多少？（2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？一般地，把一般地，把n个个球随机地分配到球随机地分配到N个盒子中个盒子中去去(n N)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：某班级有某班级有n 个人个人(n 365)，问至少有两个人的生日在同一天问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？的概率有多大？分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车

35、中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。3.分组问题分组问题例例4 4.3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：组，求：（1 1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解 设A：每组有一名运动员；B：3名运动员集中在一组一般地，将一般地，将n个

36、不同元素分为个不同元素分为m组组(nm),各组元素数目分别为各组元素数目分别为ni，则分法则分法的总数为：的总数为：4.4.随机取数问题随机取数问题例例5.5.从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个,(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率。整除的概率。解解 设设A为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取取到的数能被到的数能被8 8整除整除”

37、N(AB)=200/24=8N(A)=200/6=33N(B)=200/8=25(1)P(A)=33/200,(2)P(B)=1/8,(3)P(AB)=1/25问：取到的数既不能被问：取到的数既不能被6 6整除又不能被整除又不能被8 8整除的概率整除的概率N(S)=200,三、几何概型三、几何概型 古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型.这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型等的等可能随机试验的概率模型几何概型几何概型.(1)(1)设样

38、设样本空本空间间S是平面上某个区域是平面上某个区域,它的面它的面积记为积记为 ;(2)(2)向区域向区域S上随机投上随机投掷掷一点一点,这这里里“随机投随机投掷掷一点一点”的含的含义义是指是指该该点落入点落入 S内任何部分区域内任何部分区域A的可能性只与区域的可能性只与区域A的面的面积积 成成比例比例,而与区域而与区域A的位置和形状无关的位置和形状无关.向区域向区域 S上随机投上随机投掷掷一点一点,该该点落在区域点落在区域 A的事件仍的事件仍记为记为A,则则A概率概率为为 ,其中其中 为为常数常数,而而 ,于是于是,得得 ,从而事件从而事件A的概率的概率为为 几何概率几何概率 注注:若若样样本

39、空本空间间S为为一一线线段或一空段或一空间间立体立体,则则向向S“投点投点”的相的相应应概概率仍可用上式确定率仍可用上式确定,但但 应应理解理解为长为长度或体度或体积积.例例6 6 某人午觉醒来某人午觉醒来,发觉表停了发觉表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电想听电台报时台报时,设电台每正点是报时一次设电台每正点是报时一次,求他求他(她她)等待时间等待时间短于短于1010分钟的概率分钟的概率.解解 以分钟为单位以分钟为单位,记上一次报时时刻为记上一次报时时刻为0,0,则下则下一次报时一次报时时刻为时刻为6060,于是于是,这个人打开收音机的时间必在这个人打开收音机的时间必在(0,60)(0,

40、60)内内,记记“等待时间短于等待时间短于1010分钟分钟”为事件为事件A,则有则有 S=(0,60),A=(50,60)S于是于是例例7 (会面问题会面问题)甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在7点到点到8点之间在某地会面点之间在某地会面,先先到者等候另一人到者等候另一人20分钟分钟,过时就离开过时就离开.如果每个人可在指定的一小如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达时内任意时刻到达,试计算两人能够会面的概率试计算两人能够会面的概率.解解 记记7点为计算时刻的点为计算时刻的0时时,以分钟为单位以分钟为单位,x,y 分别记甲、乙到达指分别记甲、乙到达指定地点的时刻定地点的时刻,则样本空间为则样本

41、空间为以以A表示事件表示事件“两人能够会面两人能够会面”,则显然有则显然有由题意由题意,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题,于是于是练习练习:设有设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/1/N落在落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：概率：A=某指定的一个盒子中没有球某指定的一个盒子中没有球B=某指定的某指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球C=恰有恰有n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有

42、某指定的一个盒子中恰有m个球个球(mn)解解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此 事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn 在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到

43、其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如图一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如图1.4 条件概率条件概率甲厂乙厂合计合格品 4756441119次品255681合计5007001200问问(1)从这批产品中任取从这批产品中任取一件，则这件产品为次一件，则这件产品为次品的概率为多少？品的概率为多少？(2)假设被告知取出的产假设被告知取出的产品是甲厂生产的，那么品是甲厂生产的，那么这件产品为次品的概率这件产品为次品的概率又是多大呢？又是多大呢？记记“取出的产品是甲厂生产的取出的产品是甲厂生产

44、的”这一事件这一事件为为A，“取出的产品为次品取出的产品为次品”这一事件为这一事件为B在事件在事件A发生的条件下，求事件发生的条件下，求事件B发生的概率，发生的概率，这就是条件概率，记作这就是条件概率，记作P(B|A)一、条件概率的概念一、条件概率的概念本例中，事实上，容易验证，对一般的古典概型，若事件事实上，容易验证，对一般的古典概型，若事件A、B是古典概是古典概型的样本空间型的样本空间S中的两个事件，其中中的两个事件，其中A含有含有nA个样本点，事件个样本点，事件AB含有含有nAB个样本点，则个样本点，则二、条件概率的定义二、条件概率的定义定义定义 设设A、B是是S中的两个事件中的两个事件

45、，P(A)0，则则 称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.称为无称为无条件概率。一般地条件概率。一般地,.(1)“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？何时何时P(B|A)=)=P(B)?)?何时何时P(B|A)P(B)?)?何时何时P(B|A)0,则则 非非 负负 性性：对对 任任 意意 一一 个个 事事 件件 B，均均 有有0P(B|A)1；规范性：规范性：P(S|A)=1；可可列列可可加加性性：若若A1，A2，An，两两两两互互不相容，则有不相容，则有条件概率也满足概率的基本性质条件概率也满足概率的基本性质n条件概率的一般计算方法：条件概率

46、的一般计算方法：(1)(1)根据根据A发生以后的情况发生以后的情况,在在 “缩减的样本空间缩减的样本空间”A中直接计算中直接计算B发生的概率，就得到发生的概率，就得到 P(B|A)(2)(2)在样本空间在样本空间S S中，先求中，先求P(A)，P(AB)，再按定再按定义计算义计算P(B|A)注注:1.:1.用维恩图表达用维恩图表达(1)(1)式式.若事件若事件A已发生已发生,则为则为使使B也发生也发生,试验结果必须是既在试验结果必须是既在A中又在中又在B中的样中的样本点本点,即此点必属于即此点必属于AB.因已知因已知A已发生已发生,故故A成为成为计算条件概率计算条件概率P(B|A)的的新的样本

47、空间新的样本空间.例例1 1 一盒中混有一盒中混有100100只新、旧乒乓球，各有红、只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。概率。红白新4030旧2010设设A-从盒中随机取到一只红球。从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。从盒中随机取到一只新球。缩减的样本空间缩减的样本空间B B中所含样本点个数中所含样本点个数A A发生后的缩减样本空间所含样本点发生后的缩减样本空间所含样本点的总数的总数例例2 2 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白

48、球，2 2个红球，现从袋中个红球，现从袋中不放回地不放回地连取两个。已知第一次取到红球，求第二次也取到红连取两个。已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。球的概率。解 设设A表示表示“第一次取到红球第一次取到红球”,B表示表示“第二次取到红第二次取到红球球”方法一：缩减样本空间方法一：缩减样本空间A A中的样本点数中的样本点数方法二：在方法二：在5 5个球中不放回连取两球的取法有个球中不放回连取两球的取法有 种，种，由定义得由定义得例例3 3 设某人从一副扑克中设某人从一副扑克中(52(52张张)任取任取1313张，设张，设A为为“至至少有一张红桃少有一张红桃”，B为为“恰有恰有2 2张

49、红桃张红桃”，C为为“恰有恰有5 5张方块张方块”，求条件概率，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解 设设A、B、C为随机事件为随机事件，P(A)0，则有则有乘法公式乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A)当当P(AB)0时，上时，上式还可推广到三个事件的情形式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，一般地，n n个随机事件个随机事件A1,A2,An，且且 P(A1A2An-1)0,有下列公式：有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)三、概率的乘法公式三、概率的乘法公式 又又AB=BA,及及

50、A,B的对称性可得到的对称性可得到:P(AB)P(B)P(A|B)P(B)0利用它们可计算两个事件同时发生的概率利用它们可计算两个事件同时发生的概率.例例4 4 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的不放回抽签的方式确定。假设被抽的1010个试题中有个试题中有4 4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概