教育专题：学案2任意角的三角函数与诱导公式.ppt

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1、学案学案学案学案2 2 任意角的三角函数与诱导公式任意角的三角函数与诱导公式任意角的三角函数与诱导公式任意角的三角函数与诱导公式 任意角的三任意角的三角函数与诱角函数与诱导公式导公式(1)理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正弦、余弦、正切）的定义正切）的定义.(2)能利用单位圆中的三角函数线推导能利用单位圆中的三角函数线推导出出 ,的正弦、余弦、正切的的正弦、余弦、正切的诱导公式诱导公式.(3)理解同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系式式:sin2x+cos2x=1,=tanx.主要作为工具对三角函数进行恒等变换，考查恒主要作为工具对三角函数进行恒等变换，考查恒等变

2、形能力等变形能力.题型主要是三角函数的求值，以及三角函题型主要是三角函数的求值，以及三角函数式的化简数式的化简,为研究函数作基础，是本编的重点内容为研究函数作基础，是本编的重点内容.1.1.任意角的三角函数任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设是一个任意角是一个任意角,角角的终边上任意一点的终边上任意一点P(x,y),它它与原点的距离为与原点的距离为r(r0),那么角那么角的正弦、余弦、正切分的正弦、余弦、正切分别是：别是：sin=,cos=,tan=,它们都是以角为它们都是以角为 ，以比值为，以比值为 的函数的函数.自变量自变量 函数值函数值 (2)三角函数在

3、各象限内的符号口诀是三角函数在各象限内的符号口诀是:.2.设角设角的顶点在坐标原点的顶点在坐标原点,始边与始边与x轴正半轴重合轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点终边与单位圆相交于点P,过过P作作PM垂直垂直x轴于轴于M,作作PN垂垂直直y轴于点轴于点N,则点则点M,N分别是点分别是点P在在x轴轴,y轴上的轴上的 .由三角函数的定义知由三角函数的定义知,点点P的坐标为的坐标为 ,即即 ,其中其中cos=,sin=,单位圆与单位圆与x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A,单位圆在单位圆在A点的切线与点的切线与的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T(T),则则tan=.我们把轴上向

4、量我们把轴上向量OM,ON,AT(或或AT)分别叫做分别叫做的的 、.二正弦、三正切、四余弦二正弦、三正切、四余弦一全正、一全正、正射影正射影 （cos,sin)P(cos,sin)OM ON AT 余弦线余弦线 正弦线正弦线正切线正切线3.3.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系平方关系:.(2)商数关系商数关系:.(3)倒数关系倒数关系:tancot=1(,kZ).sin2+cos2=1(R)(k+,kZ)-tan 4.六组诱导公式六组诱导公式组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+(kZkZ)+-+正弦正弦余弦余弦正切正切口诀口诀函数名不变函数名不变符号

5、看象限符号看象限函数名改变函数名改变符号看象限符号看象限sin-sin-sin sin cos cos cos -cos cos -cos sin-sin sin tan tan -tan 考点考点考点考点1 1 三角函数的定义三角函数的定义三角函数的定义三角函数的定义 设设为第四象限角，其终边上的一个点是为第四象限角，其终边上的一个点是P(x,-)，且，且cos=x，求，求sin和和tan.【分析分析】若能求出问题中的未知数若能求出问题中的未知数x，则由定义，则由定义sin和和tan可求，解题技巧即是设法建立关于可求，解题技巧即是设法建立关于x的一个的一个方程方程.【解析解析解析解析】是第四

6、象限的角，是第四象限的角，x0,又又P点到坐标原点点到坐标原点O的距离的距离r ,由由cos ，得，得 .x=,r=2 .sin ,tan .【评析评析评析评析】容易出错的地方是得到容易出错的地方是得到x2=3后，不考虑后，不考虑P点点 所在所在的象限，的象限，x的取值分正负两种情况去讨论的取值分正负两种情况去讨论.一般地，在解此一般地，在解此类问题时，可以优先注意角类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终结果作一所在的象限，对最终结果作一个合理的预测个合理的预测.【解析解析解析解析】考点考点考点考点2 2 同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系同角三角函数间的关系 已

7、知已知 x0,sinx+cosx=.(1)求求sinx-cosx的值；的值；(2)求求 的值的值.【分析分析分析分析】(1)由由sinx+cosx=及及sin2x+cos2x=1可可求出求出sinx,cosx的值的值,从而求出从而求出 sinx-cosx 的值的值;另外另外 ,由由 x0,可求出可求出sinx0,从而判定从而判定sinx-cosx的的符号符号,只需求只需求(sinx-cosx)2即可即可.【解析解析解析解析】(1)解法一解法一:联立方程联立方程:sinx+cosx=,sin2x+cos2x=1,由由得得sinx=-cosx,将其代入将其代入,整理得整理得25cos2x-5cos

8、x-12=0.sinx=-cosx=,(2)由由(1)可求出可求出tanx,而而想法使分子、分母都出现想法使分子、分母都出现tanx即可即可.x0,sinx-cosx=-.解法二解法二:sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+=.又又 x0,sinx0,sinx-cosx0.由由可知，可知，sinx-cosx=-.(2)由已知条件及由已知条件及(1)可知可知 sinx+cosx=sinx=-sinx-cosx=-,cosx=,tanx

9、=-.解得解得又又【评析评析评析评析】(1)方程思想在解决同角三角函数间的关系中起方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用着重要的作用,一定要注意其应用一定要注意其应用.(2)注意注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者间的相三者间的相互转化互转化,若令若令sinx+cosx=t,则则sinxcosx=.已知已知为第三象限的角为第三象限的角,cos2=-,则则tan =.【解析解析解析解析】考点考点考点考点3 3 诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式 化简化简:【分析分析分析分析】(1)直接利用诱导公式直接利用诱导公式.(2)对对k是偶数还是奇数分类讨论是偶数还是

10、奇数分类讨论.【解析解析】(1)原式原式=(2)当当k为偶数时为偶数时,记记k=2n(nZ),原式原式=当当k为奇数时，记为奇数时，记k=2n+1(nZ),原式原式=综上，原式综上，原式=-1.【评析评析评析评析】(1)应用诱导公式，重点是应用诱导公式，重点是“函数名称函数名称”与与“正负号正负号”的正确判断的正确判断.求任意角的三角函数值的问题求任意角的三角函数值的问题,都都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体具体步骤为步骤为“负角化正角负角化正角”“正角化锐角正角化锐角”求值求值.(2)使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的使用诱导公

11、式要注意三角函数值在各个象限的符号符号,如果出现如果出现k的形式时的形式时,需要对需要对k的值进行分类讨的值进行分类讨论论,以确定三角函数值的符号以确定三角函数值的符号.【解析解析】考点考点考点考点4 4 诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用诱导公式在三角形中的应用 【分析分析分析分析】本题首先利用诱导公式把所给两个等式本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简化简,然后利用然后利用sin2+cos2=1,求出求出cosA的值的值,再利再利用用A+B+C=进行求解进行求解.在在ABC中，若中，若sin(2-A)=-sin(-B),cosA=-cos(-B),求求

12、ABC的三内角的三内角.sinA=sinB,cosA=2cosB.2+2得得2cos2A=1,即即cosA=.(1)当当cosA=时时,cosB=,又又A,B是三角形内角是三角形内角,A=,B=,C=-(A+B)=.【解析解析】由已知得由已知得(2)当当cosA=-时，时，cosB=-.又又A,B是三角形内角是三角形内角,A=,B=,不不合题意合题意.综上知综上知,A=,B=,C=.【评析评析评析评析】诱导公式在解三角形时应用广泛诱导公式在解三角形时应用广泛,注意其注意其正确应用正确应用,特别是诱导公式的口诀要记熟会用特别是诱导公式的口诀要记熟会用.在在ABC中中,角角A,B,C的对边分别为的

13、对边分别为a,b,c,其中其中c边最长边最长,并且并且sin2A+sin2B=1.(1)求证求证:ABC为直角三角形为直角三角形;(2)当当c=1时时,求求ABC面积的最大值面积的最大值.【解析解析】(1)证明证明:c边为最长边边为最长边,A,B均为锐角均为锐角.由由sin2A+sin2B=1得得sin2A=cos2B.sinA,cosB均为正数均为正数,sinA=cosB.sinA=sin(-B).又又A,-B(0,),A=-B,A+B=,即即C=.ABC为直角三角形为直角三角形.(2)ABC的面积的面积S=ab=2ab (a2+b2).由于由于a2+b2=c2=1,S .当且仅当当且仅当a

14、=b=时，上式取等号时，上式取等号.ABC面积的最大值为面积的最大值为 .1.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号符号.2.注意注意“1”的灵活代换，如的灵活代换，如1=sin2+cos2.3.应用诱导公式，重点是应用诱导公式，重点是“函数名称函数名称”与与“正负号正负号”的的正确判断，一般常用正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”的口的口诀诀.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的

15、基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（简时，常用方法有：（简时，常用方法有：（简时，常用方法有：（1 1 1 1）弦切互化法主要利用）弦切互化法主要利用）弦切互化法主要利用）弦切互化法主要利用公式公式公式公式tanxtanxtanxtanx=化成正弦、余弦函数化成正弦、余弦函数化成正弦、余弦函数化成正弦、余弦函数;(2);(2);(2);(2)和积转和积转和积转和积转换法：换法：换法：换法：如利用如利用如利用如利用(sincos)(sincos)2 2=12sincos=12sincos的的的的关系进行变形、转化；（关系进行变形、转化；（关系进行变形、转化；（关系进行变形、转化；（3 3）巧用）巧用）巧用）巧用“1”1”的变换：的变换：的变换：的变换：1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=cos=cos2 2(1+tan(1+tan2 2)=sin2)=sin2（1+1+）=tan =.=tan =.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化整式化整式化整式化.