第14章动能定理精选文档.ppt

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1、第14章动能定理本讲稿第一页，共一百五十五页14.1 力的功力的功14.2 动能动能14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用14.4 功率和功率方程功率和功率方程14.5 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 14.6 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 第第14章章 动能定理动能定理本讲稿第二页，共一百五十五页 在动量定理和动量矩定理这两章中,描述了机械运动以机械运动的形式在质点系之间进行传递所遵循的规律。物质运动形式的多样化，使得机械运动除保持以机械运动的形式传递外，还可以转变为其他形式的运动（如热、电、光等）。例如，在桩基础的建筑施工过程中，打桩时

2、由于两物体相互碰撞，机械运动传递的同时，伴随发声发热的现象。又如，在水力发电过程中，水流推动水轮机的叶片做功而传递机械能，同时，叶轮与发电机转子的转动又将一部分机械能转化为电运动，产生了机械运动的转化。第第14章章 动能定理动能定理本讲稿第三页，共一百五十五页 前两章中所讨论的动量和动量矩都不能度量发生转化的那一部分机械运动量，需采用另外的物理量去度量机械运动转化的量。机械运动转化的形式多种多样，既可以转化为热、光、声、电，还可转化为做功的形式。在理论力学中，只研究力的功和能量及其相互间的转化关系，为此，本章讨论动能以及动能的改变与作用力的功之间的关系，即动能定理。下面首先讨论力的功。第第14

3、章章 动能定理动能定理本讲稿第四页，共一百五十五页14.1 力的功力的功 1 1力的功力的功 （1 1）常力在质点直线路程中的功常力在质点直线路程中的功 设有大小和方向都不变的常力作用于沿直线平动的物体上，直线平动的物体可视为质点M。另设质点M发生位移s，如图14.1所示。图 14.1本讲稿第五页，共一百五十五页 为了度量力在质点M的位移s上对质点作用的累积效应，于是定义力与位移力与位移s的点积为力在该质点的位移的点积为力在该质点的位移s上所做的功上所做的功，并用符号表示。即 (14.1)式中为与s正向之间的夹角，当 时，力做正功；当时，力做负功；当时，力和位移方向垂直，力在此位移上不做功。1

4、4.1 力的功力的功本讲稿第六页，共一百五十五页功的量纲为：功的国际单位是焦耳，以J表示：14.1 力的功力的功本讲稿第七页，共一百五十五页 （2）变力在质点任意曲变力在质点任意曲线路程中的功线路程中的功 设有大小和方向可都以改变的任意变力作用于沿曲线轨迹运动的质点 M上，如图14.2所示。图 14.214.1 力的功力的功本讲稿第八页，共一百五十五页 元功元功 设质点M在某瞬时有无限小位移dr，相应弧坐标改变量为ds，则变力 在此无限小位移dr上所做的功称为元功元功，以 表示为（14.2）式（14.2）称为矢量形式的元功表达式，即矢量形式的元功表达式，即变力在无限小位移dr上所作元功等于上所

5、作元功等于与 dr的点积的点积。14.1 力的功力的功本讲稿第九页，共一百五十五页在自然法坐标系下，(14.3)式中为与正向之间的夹角，为力在方向的投影。式(14.3)为自然轴形式的元功表达式。自然轴形式的元功表达式。14.1 力的功力的功本讲稿第十页，共一百五十五页 若取固定的直角坐标系Oxyz作为质点运动的参考坐标系，i、j、k分别为x、y、z轴的轴向单位矢量，如图14.2所示。则有代入式(14.3)中得：(14.4)14.1 力的功力的功本讲稿第十一页，共一百五十五页 式中 分别为力在坐标轴x,y,z上的投影。式(14.4)为直角坐标形式的元功表达式，又称为元功的解析表达式直角坐标形式的

6、元功表达式，又称为元功的解析表达式。（注意：元功采用变分符号 表示，而不用全微分符号 表示，这是因为在一般情况下，元功不能表示成为某一位置坐标函数的全微分。）14.1 力的功力的功本讲稿第十二页，共一百五十五页 变力在质点全路程上所做的功变力在质点全路程上所做的功 当质点从 位置运动到 时（图14.2），力 所做的功W等于在这段路程中所有元功之和，即(14.5a)14.1 力的功力的功本讲稿第十三页，共一百五十五页或：(14.5b)式(14.5b)称为功的解析表达式。式(14.5)是沿轨迹的曲线积分，一般情况下，积分的值与质点运动的路径有关。14.1 力的功力的功本讲稿第十四页，共一百五十五页

7、 （3）合力的功）合力的功 力 为同时作用在质点M上的n个力，其合力 在质点无限小位移dr上的元功为(14.6a)合力在质点有限路程上的总功为(14.6b)14.1 力的功力的功本讲稿第十五页，共一百五十五页 式(14.6)表明：质点上所受质点上所受n个力的合力在质点无限小位移个力的合力在质点无限小位移上所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点任一段上所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点任一段有限路程中所做的功，等于各分力在同一段路程中所做的功的有限路程中所做的功，等于各分力在同一段路程中所做的功的代数和代数和。14.1 力的功力的功本讲稿第十六页，共一百五十五页 2.几种常见

8、力的功几种常见力的功 （1）重力的功重力的功 位于重力场内质量为的质点沿任意曲线轨迹运动，所受重力mg可视为常力。建立直角坐标系Oxyz如图14.3所示。重力mg在各坐标轴上的投影为图 14.314.1 力的功力的功本讲稿第十七页，共一百五十五页 将各投影代入元功的表达式(14.4)中得重力在质点的微小位移上的元功为(14.7a)式中C为积分常数。当质点沿轨迹由点运动到点时，重力在质点的有限路程上所做的功为(14.7b)14.1 力的功力的功本讲稿第十八页，共一百五十五页 式(14.7)表明：重力在质点的任何微小位移上所做的元重力在质点的任何微小位移上所做的元功为某一函数的全微分功为某一函数的

9、全微分；重力在质点的有限路程上所做的功与重力在质点的有限路程上所做的功与质点所沿的路径无关，只决定于质点运动的始末两位置的高度差质点所沿的路径无关，只决定于质点运动的始末两位置的高度差（）。14.1 力的功力的功本讲稿第十九页，共一百五十五页 对于质点系，总重力mg在质点系的某一运动过程中所做的功为组成质点系的各个质点的重力mgi在对应过程中所做功的代数和，即 (14.8)14.1 力的功力的功本讲稿第二十页，共一百五十五页 式中 及 分别为质点及质点系的质心C的始末位置的坐标。式(14.8)表明：质点系重力所做的功仅取决于质质点系重力所做的功仅取决于质点系质心运动的始末两位置的高度差点系质心

10、运动的始末两位置的高度差，与质点系的质心运动的轨与质点系的质心运动的轨迹无关，且与组成质点系的各个质点运动所沿的路径无关，当迹无关，且与组成质点系的各个质点运动所沿的路径无关，当 时，重力做正功；当 时，重力做负功。14.1 力的功力的功本讲稿第二十一页，共一百五十五页 （2）弹性力的功）弹性力的功 设一质点M，系于一自然长度为l，一端固定于固定点O的弹簧的另一端，沿任意曲线轨迹运动，如图14.4所示。图 14.414.1 力的功力的功本讲稿第二十二页，共一百五十五页 当质点运动时，弹簧产生变形（伸长或缩短），对质点作用有弹性力F。在任一瞬时，弹簧的位置矢量为r，长度为r，若弹簧处于弹性状态，

11、根据胡克定律，弹簧作用于质点上的弹性力的大小与它的变形量 成正比，即14.1 力的功力的功本讲稿第二十三页，共一百五十五页 式中总有一个负号，这是因为当弹簧受拉(rl)时，弹性力F与质点径向单位矢量 的方向相反；反之，当弹簧受压（rl）时，弹性力F与的方向相同。k为弹簧的刚度系数，它表示弹簧发生单位变形时所需的力的大小。其国际单位为Nm-1。14.1 力的功力的功本讲稿第二十四页，共一百五十五页当质点运动时，弹性力F在质点的微小位移在质点的微小位移dr上所作的元功为上所作的元功为 (14.9a)其中C为积分常数。14.1 力的功力的功本讲稿第二十五页，共一百五十五页 当质点沿轨迹由 位置运动到

12、 时，弹性力所做的功为 式中 ，分别表示质点M在运动的始末位置和时弹簧的变形量。式(14.9)表明：弹性力的元功是某一函数弹性力的元功是某一函数的全微分，弹性力的功与质点运动所经过的路径无关，只与的全微分，弹性力的功与质点运动所经过的路径无关，只与质点运动的始末位置处弹簧的变形量有关质点运动的始末位置处弹簧的变形量有关。当 时，弹性力做正功；当 时，弹性力做负功。(14.9b)14.1 力的功力的功本讲稿第二十六页，共一百五十五页 （3）力对轴之矩的功及力偶的功）力对轴之矩的功及力偶的功 设一力F 作用在绕固定轴z转动的刚体上的任一点 M，M点到转轴 z 的距离为r。将力F 沿自然轴方向分解，

13、则 如图14.5所示。图 14.514.1 力的功力的功本讲稿第二十七页，共一百五十五页当刚体转过微小转角d时，M点运动一微小弧长。采用自然轴形式的元功表达式，有注意到是力F 对于转轴对于转轴 z 的矩。令则 (14.10a)14.1 力的功力的功本讲稿第二十八页，共一百五十五页 即作用在转动刚体上的力所作元功等于该力对于转轴作用在转动刚体上的力所作元功等于该力对于转轴z的的力矩力矩 与刚体微小转角与刚体微小转角 的乘积的乘积。14.1 力的功力的功本讲稿第二十九页，共一百五十五页 如果一力系作用于刚体上，可由合力之矩定理得到该力系对转轴z的主矩，当刚体转过一微小转角 时，力系所作的元功仍为

14、。当刚体由转到经过一有限转角时，力（力系）对于所做的功为转轴z的力矩(14.10b)14.1 力的功力的功本讲稿第三十页，共一百五十五页在刚体的转动过程中，若保持为常量，则(14.10c)当与转向相同时，做正功：反之做负功。如果作用在定轴转动刚体上的是一个力偶矩矢为M的的力偶，该力偶对转轴的矩为力偶，该力偶对转轴的矩为过程中所做的功仍可用式(14.10)计算，即：，则力偶在刚体的转动14.1 力的功力的功本讲稿第三十一页，共一百五十五页 （4）摩擦力的功摩擦力的功 摩擦力一般阻碍物体的运动，摩擦力的方向总是与两物体接触区的相对滑动趋势方向或相对滑动方向相反，所以，一般来说，摩擦力做负功；但当摩

15、擦力对物体起着主动力的作用时，即摩擦力方向与作用点运动方向相同时，摩擦力做正功。摩擦力的功的大小由式(14.2)及(14.5)计算。14.1 力的功力的功本讲稿第三十二页，共一百五十五页 需要说明的是，如果平面运动刚体在固定轨道上作无滑动的滚动，由于刚体与固定轨道接触点为刚体的速度瞬心，速度为零，速度瞬心点也为摩擦力作用点，在该点上，作用有静滑动摩擦力，阻止该点相对于固定轨道滑动，因而，在速度瞬心点相对位移和相对速度都为零。故 可见，刚体沿固定轨道作纯滚动时，其接触点处的刚体沿固定轨道作纯滚动时，其接触点处的 摩擦力不做功。摩擦力不做功。14.1 力的功力的功本讲稿第三十三页，共一百五十五页

16、（5）内力的功）内力的功 所研究的质点系内各个质点之间的相互作用力是内力，内力总是成对出现的，但是由于质点系内部各个质点之间的距离不一定保持不变，所以两质点间的内力的功之和一般不等于零。证明如下：14.1 力的功力的功本讲稿第三十四页，共一百五十五页 设由质点系组成的物体内任意两质点A、B，其相互作用的内力为F及 ，有 。任选一固定点O，A、B两点相对于固定点O的位置矢径分别为 和 ，A点相对于B点的位置矢径为 ，如图14.6 所示。图 14.614.1 力的功力的功本讲稿第三十五页，共一百五十五页则有。当质点A及B各发生位移和时，内力F及及的元功之和为14.1 力的功力的功本讲稿第三十六页，

17、共一百五十五页 式中 表示矢量 的改变，包括大小和方向的改变。由上式可知，当A、B两点的距离改变时，内力F及 的元功之和不为零。证毕。如果讨论的质点系为刚体，由于刚体内任意两点 A、B间的距离保持不变，即，故刚体内各质点间刚体内各质点间相互作用的内力的功之和恒等于零。相互作用的内力的功之和恒等于零。14.1 力的功力的功本讲稿第三十七页，共一百五十五页 （6）理想约束的约束力的功为零理想约束的约束力的功为零 以上讨论了几种常见力的功。对于非自由质点系，运动还受到约束的限制，但很多类型约束的约束力在非自由质点系的任何微小位移上都不做功。例如，由于柔索不可伸长，因此有FT dr，则有：14.1 力

18、的功力的功本讲稿第三十八页，共一百五十五页 又如刚性杆、光滑接触面、光滑铰链和光滑轴承等构成的约束，其约束力在质点系的任何微小位移上所作元功之和都为0。关于理想约束的详细内容请参见本教材16.3节。14.1 力的功力的功本讲稿第三十九页，共一百五十五页14.2 动动 能能 1.质点的动能质点的动能 设一质量为m质点沿任意曲线运动，在某一位置M（或瞬时）的速度大小为 ，如图14.2所示。则 称为质点质点在该位置在该位置M（或该瞬时）的动能（或该瞬时）的动能，用T表示,即本讲稿第四十页，共一百五十五页动能的量纲为。动能是恒正的标量，其值大于或等于零。可见，动能与功的量纲相同，因而动能的单位也与功的

19、单位相同。注：动能和动量都是表征物体机械运动强弱的物理量，动能和动量都是表征物体机械运动强弱的物理量，是质点机械运动的两种度量。动能与质点的速度的平方成是质点机械运动的两种度量。动能与质点的速度的平方成正比，是一个标量；动量与质点的速度的一次方成正比，正比，是一个标量；动量与质点的速度的一次方成正比，是一个矢量。是一个矢量。14.2 动动 能能本讲稿第四十一页，共一百五十五页 2.质点系的动能质点系的动能 设质点系由n个质点组成，其中任一质点 质量为 ，某瞬时在某位置时的速度大小为 ，动能为 ，将质点系中所有各个质点的动能叠加，则得质点系的动能为(14.12)即：某瞬时（或某位置）质点系的动能

20、等于各质点的动能之某瞬时（或某位置）质点系的动能等于各质点的动能之和。和。14.2 动动 能能本讲稿第四十二页，共一百五十五页 当质点系作任意运动时，可根据合成运动的概念，将质点系的运动分解为随质心 C 的平动和相对于质心 C的运动。设质点系质心 C 的速度为 ，质点系内任一质点 相对于质心 C 的速度为 ，根据速度合成定理，的绝对速度为14.2 动动 能能本讲稿第四十三页，共一百五十五页于是质点系的动能为14.2 动动 能能本讲稿第四十四页，共一百五十五页由于为整个质点系的质量，又因为质心恒等于零，即于是有相对于其本身的速度(14.13)14.2 动动 能能本讲稿第四十五页，共一百五十五页

21、式(14.13)中右边第一项是质点系随同质心C平动的动能，第二项是质点系相对于质心C作相对运动运动的动能。即质点系质点系的动能等于质点系随质心的动能等于质点系随质心C平动的动能与质点系相对于质心平动的动能与质点系相对于质心C运动的动能之和运动的动能之和，这称为柯尼希定理柯尼希定理。应当注意，只有当动坐标系以质心C为原点并随质心C平动时此定理才成立。14.2 动动 能能本讲稿第四十六页，共一百五十五页 3.刚体的动能刚体的动能 刚体作不同的运动时，刚体上各个质点的速度分布情况不同，因而动能也不同。下面分别介绍刚体作平动、定轴转动和平面运动时的动能。14.2 动动 能能本讲稿第四十七页，共一百五十

22、五页（1）平动刚体的动能）平动刚体的动能 同一瞬时平动刚体上各点的速度相同，用质心的速度 表示，即 ，因此，平动刚体的动能为是整个刚体的质量。即平动刚体的动能，平动刚体的动能，(14.14)式中等于刚体的总质量与刚体平动速度的平方乘积的一半。等于刚体的总质量与刚体平动速度的平方乘积的一半。14.2 动动 能能本讲稿第四十八页，共一百五十五页 （2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能 设刚体在某瞬时绕固定轴z转动的角速度为，在转动刚体上与转动轴相距为 处的一质量为 的质点（图14.7），速度大小为 。该质点的动能为 叠加各个质点的动能得刚体绕固定轴转动的动能为图 14.714.2 动动 能能

23、本讲稿第四十九页，共一百五十五页14.2 动动 能能 式中 是刚体对于转动轴z的转动惯量。即定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转动轴定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转动轴z的转动惯的转动惯量与刚体转动角速度的平方乘积的一半量与刚体转动角速度的平方乘积的一半。本讲稿第五十页，共一百五十五页 （3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能 设zC为通过质心C且垂直于刚体运动平面的质心轴，刚体的平面运动可以分解为随质心C的平动和绕质心轴zC的转动。因此，根据柯尼希定理并结合式(14.14)和(14.15)，可得刚体作平面运动时的动能(14.16)14.2 动动 能能本讲稿第五十一页，共一百五十五页 式(

24、14.16)中右端第一项是平面运动刚体随质心C平动的动能，第二项是绕通过质心C且垂直于运动平面的质心轴zC转动的动能，是刚体对质心轴zC的转动惯量，是刚体的角速度。14.2 动动 能能本讲稿第五十二页，共一百五十五页 还可以利用速度瞬心的概念，求出平面运动刚体绕速度瞬心轴作瞬时转动的动能。若平面图形所在平面上 点为该平面图形在某瞬时的速度瞬心，为图形在该瞬时的角速度，则刚体质心C的速度大小为质心C到过速度瞬心 且垂直于图平面的轴的距离与该瞬时的角速度的乘积，即 ：。于是式(14.16)可改写为(14.17)14.2 动动 能能本讲稿第五十三页，共一百五十五页 由转动惯量的平行轴定理可知，式中

25、为刚体对于过速度瞬心且垂直于图形平面的轴的转动惯量。即作作平面运动刚体的动能，等于刚体随质心平动的动能与绕质心转动平面运动刚体的动能，等于刚体随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和；或等于刚体对于速度瞬心轴的转动惯量与刚体角速的动能之和；或等于刚体对于速度瞬心轴的转动惯量与刚体角速度的乘积的一半，即刚体绕速度瞬心轴作瞬时转动的动能度的乘积的一半，即刚体绕速度瞬心轴作瞬时转动的动能。14.2 动动 能能本讲稿第五十四页，共一百五十五页 在讨论了力的功、质点和质点系动能计算的基础上，下面研究质点系动能的变化与作用于质点系上的力（包括全部外力和内力）所做的功之间的关系，即动能定理。动能定理有微分形式

26、和积分形式两种表达方式。14.3 动能定理的形式及应用本讲稿第五十五页，共一百五十五页 1.微分形式的动能定理微分形式的动能定理 设质点系中任一质量为 的质点 ，某瞬时速度为 ,弧坐标微小改变量为 ，作用于该质点的所有力的合力为 ，在其运动轨迹的切线上投影为 ，由自然坐标形式的质点运动微分方程（10.5）式知，将该式变形为：14.3 动能定理的形式及应用本讲稿第五十六页，共一百五十五页式中，因此有再由有(14.18a)式中和。上式表明：质点系动能的微小改变量，等于作用于质点系质点系动能的微小改变量，等于作用于质点系上所有力的元功的代数和。这称为微分形式的质点系动能定理。上所有力的元功的代数和。

27、这称为微分形式的质点系动能定理。为作用于质点系上所有力的元功之14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第五十七页，共一百五十五页 2.积分形式的动能定理积分形式的动能定理 当质点系由位置1运动到位置2时，并以 和 分别表示质点系在这两个位置时的动能，将式(14.18a)两边对相应的上、下限求积分，得(14.19a)14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第五十八页，共一百五十五页 式(14.19a)表明：在某一运动过程中，质点系动能的改变量，在某一运动过程中，质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一过程中所做的功的代数和。等于作用于质点系上的所有力在

28、同一过程中所做的功的代数和。这称为积分形式的质点系动能定理积分形式的质点系动能定理。注：注：质点是质点系的一种特殊情况，故质点系动能定理也适用于质点。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第五十九页，共一百五十五页 3.理想约束下的刚体的动能定理理想约束下的刚体的动能定理 对于刚体，由于内力不做功，故式(14.18a)和(14.19a)可改写为(14.18b)和和 (14.19b)即刚体动能的微小改变量，等于作用于刚体上所有外力的刚体动能的微小改变量，等于作用于刚体上所有外力的元功的代数和；在某一运动过程中，刚体动能的改变量，等元功的代数和；在某一运动过程中，刚体动能的改变量

29、，等于作用于刚体上的所有外力在同一过程中所做功的代数和。于作用于刚体上的所有外力在同一过程中所做功的代数和。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十页，共一百五十五页 对于受有理想约束的刚体，若作用于刚体的力按主动力和约束力分类，则有式中，分别为作用于刚体上的主动力和约束力的元功之和，由于是理想约束，有14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十一页，共一百五十五页因此，理想约束下刚体的动能定理可以表示为：微分形式 (14.18c)积分形式 (14.19c)即，在理想约束情况下，刚体动能的改变量只与主动力有关，而与约束力无关。下面举例说明动能定理的应用。

30、14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十二页，共一百五十五页 例例14.1 一条质量为，长度为 的链条，放在光滑水平桌面上，有长为 的一段悬挂下垂，如图14.8所示。设链条开始时处于静止，在自重作用下运动。若链条可视为均质，且在离开桌面之前，均与桌面保持接触。当末端滑离桌面时，求链条的速度。图 14.814.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十三页，共一百五十五页 解解：以链条为研究对象，本题是质点系动力学问题。设任一瞬时，链条下垂部分长度为x，如图14.8所示，该质点系所受的外力有：重力、桌面反力。由于在位移过程中，链条各环之间相对距离不变，故内力不

31、做功，并且桌面反力不做功，置于桌面部分的链条的重力也不做功，所以只有下垂部分链条的重力才做功。由于链条在下滑过程中，链条的悬挂下垂部分的重力随链条的下滑而变化，质心位置也变化，所以采用微分形式的动能定理求解。若设链条产生一微小位移dx,则下垂部分重力为 ，元功为14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十四页，共一百五十五页 如运动时链条不发生碰撞，则链条上各点处速度大小均相等，设该瞬时速度的大小为v，有：两边分别积分，且有t=0时，v=0，x=b，并设链条最后一环离开桌面时，即x=l时，链条的速度为v，即，即 14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十五

32、页，共一百五十五页求解得本题还可以采用积分形式的动能定理求解。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十六页，共一百五十五页 初瞬时质心C的x坐标为 链条速度为零。链条速度的大小为v。则有链条末端离开桌面瞬时，质心C的x坐标为在图14.8所示坐标下14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十七页，共一百五十五页由动能定理的积分形式有解得 14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十八页，共一百五十五页 例例132 如图14.9所示，皮带运输机构，设皮带质量可忽略不计，皮带与水平面成倾角，被提升的重物A的质量为 轮B和轮C的半径均为r，质量

33、均为 ，如在机构的主动轮B上作用一矩为常量M 的转动力矩，使机构启动，试求启动时重物A随皮带倾斜上升的加速度。轮B和轮C均可视为均质圆盘，且轮与皮带间，皮带与重物间均无相对滑动。图 14.914.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第六十九页，共一百五十五页 解：解：取整个系统讨论。因轮与皮带间，皮带与重物间均无相对滑动，所以系统内力均不做功。系统受到的外力有：重物A的重力 g，轮B的重力 g，轮C 的重力 g，转动力矩M，如图14.9所示。B、C 两轮均受到理想约束，约束力 均不做功，因此可用主动力的功的形式的动能定理。设主动轮B产生一转角，则重物A的位移 为 ，故在此运动过程

34、中主动力系的功为：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十页，共一百五十五页又由运动学知识可得：并考虑到初始时系统静止，0，则：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十一页，共一百五十五页由动能定理得：上式各项对时间的 t 求导数，并注意可得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十二页，共一百五十五页所以 于是，重物A随此带倾斜向上的加速度为该题还可采用微分形式的动能定理，可求得相同的结果。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十三页，共一百五十五页 例例14.3 放置于水平面的行星齿轮机构，如图14.1

35、0所示。已知行星轮节圆半径为r，质量为 ，可视为均质圆盘。均质曲柄 受不变力矩M的作用而绕固定铅直轴O转动，并带动行星齿轮 在太阳轮上作纯滚动。曲柄 质量为 ，固定齿轮节圆半径为R。设曲柄由静止开始运动，试求曲柄转动角时的角速度及角加速度。图 14.1014.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十四页，共一百五十五页 解解：取整个系统讨论。由于是刚体系统，内力功之和为零。作用在系统上的外力有：重力及约束力（均未画出），还有不变力矩 M。而重力平行于转轴不做功，约束力不做功，只有力矩 M 做功，当曲柄转过角时，其功的值为：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿

36、第七十五页，共一百五十五页 初始时，系统静止，所以 。而在运动中，曲柄 作定轴转动，角速度为；行星齿轮中心 的速度为 ，角速度为 ，则由运动学知识可得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十六页，共一百五十五页于是，系统在此位置时的动能为14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十七页，共一百五十五页由动能定理得：（a）解得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十八页，共一百五十五页将式（a）两边对时间t 求导数，并注意从而得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第七十九页，共一百五十五页 例例14.4 一系

37、统由一不可伸长的绳跨过定滑轮A和动滑轮B，一端与重物M连接，另一端固定。动滑轮B的轮心与一弹簧相连接，弹簧另一端与地面相连。如图14.11a所示。当重物M离地面h时，系统处于平衡，弹簧的静伸长量为 。现给重物M以向下的初速度 ，使重物M恰能到达地面处，问 应为多少？已知物体M和滑轮A、B的重量均为G，且滑轮可看作均质圆盘，滑轮A和B的半径均为R，弹簧的刚度系数为k，绳重不计，绳与轮之间无相对滑动。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十页，共一百五十五页图 14.1114.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十一页，共一百五十五页 解：解：取整个系统讨论

38、。该系统为一刚体系统，可以应用动能定理求解。对系统进行运动分析可知，重物M做平动，定滑轮A做定轴转动，动滑轮B作平面运动，设重物M以初速度 向下运动，A轮转动的角速度为 ，B轮轮心的速度大小为 ，角速度为 ，如图14.11b所示。系统初瞬时的动能为14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十二页，共一百五十五页 当重物M刚好运动到地面时，速度为零，此时系统的动能 。作用在系统上的外力有：重物M的重力G和滑轮A、B的重量均为G，绳子的拉力和弹簧力。重物M从高为h处运动到地面后，动滑轮的轮心向上运动了h/2，相应地，连接动滑轮B的弹簧伸长量为 ，其中，是弹簧的静伸长量。由于绳不可

39、伸长，绳子的拉力不做功，定滑轮A受到理想约束，约束力也不做功。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十三页，共一百五十五页系统的重力和弹簧力所做的功为由积分形式的动能定理：，有14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十四页，共一百五十五页如图14.11c所示，系统平衡时有：，可得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十五页，共一百五十五页 例例14.5 如图14.12所示，一绳绕过轮D和轮C与一放置在水平面的物块B相连，绳的另一端固定于O点，在轮D中心悬挂一重物A。若重物A和B的质量为 ，轮C和轮D的半径均为r，质量均为 ，且均

40、可视为均质圆盘。初瞬时系统静止，重物B与水平面间的动摩擦因数为f，求物A下降S时的速度。图 14.1214.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十六页，共一百五十五页 解：解：取整个系统讨论。由于是刚体系统且绳不可伸长，故内力功之和为零。作用于系统的外力有：物A的重力 ，轮C的重力 ，轮D的重力 ，O处绳的拉力FT，C轮反力 （理想约束，反力不做功），B块反力 及摩擦力 。当A块下降S时，由运动学知，B块移动的距离为2S。同时，做功的力只有重物A、轮D的重力及B的摩擦力，其功之和 14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十七页，共一百五十五页 初始时系统静

41、止，有 0。在运动过程中，重物A、B作平动，轮C作定轴转动，轮D作平面运动。设重物A下降S时的速度为 ，则由运动学知：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十八页，共一百五十五页于是系统在此位置时的动能为：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第八十九页，共一百五十五页由动能定理可以得到：解得：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十页，共一百五十五页 例例14.6 如图14.13所示一置于水平面内的椭圆规尺机构。曲柄 OC 和规尺 AB 为均质细杆，其质量分别为 和2 ，且 。滑块 A和B 的质量均为 。在曲柄上OC作用常力偶M，

42、不计摩擦，试求曲柄OC转动的角加速度。图 14.1314.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十一页，共一百五十五页 解解：以机构为研究对象，其中滑块A、B作直线平动，OC杆作定轴转动，AB杆作平面运动。系统所受的重力、约束力及内力均不做功，只有力偶 M 做功。故，所有力所作的元功之和为：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十二页，共一百五十五页 设曲柄转过任意角时，角速度为，由运动学知，AB杆作平面运动，速度瞬心为 ，其角速度为 ，而滑块 A、B 的速度大小分别为 ，14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十三页，共一百五十五页任

43、意瞬时，系统动能为：14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十四页，共一百五十五页对上式微分，得由微分形式的质点系动能定理，有14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十五页，共一百五十五页考虑到运动学关系，于是求得 可见，角加速度 为一常量，即曲柄作匀加速转动。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十六页，共一百五十五页 通过上述各例的分析知，应用动能定理求解动力学问题的步骤为：（1）根据题意选择合适的研究对象，一般可以考虑系统整体为研究对象，根据题目条件，选择采用微分形式或者是积分形式的动能定理。（2）分析作用于质点系或质点的力，

44、计算各力在微元位移上的元功或者在选定的一段有限路程的运动过程中所做的功，并求它们的代数和。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十七页，共一百五十五页 （3）分析质点系或质点的运动，求出任意瞬时系统的动能，再求出动能的微分；或者计算质点系或质点在选定过程的起点和终点的动能。（4）应用微分或积分形式的动能定理建立方程，求解未知量。14.3 动能定理的形式及应用动能定理的形式及应用本讲稿第九十八页，共一百五十五页14.4 功率和功率方程功率和功率方程 1.功率功率 在实际问题中，不同的机械作相同的功，所需要的时间不一样。为了表明做功的快慢，引入功率的概念。力在单位时间内力在单

45、位时间内所做的功，称为功率所做的功，称为功率。用N表示：(14.20)本讲稿第九十九页，共一百五十五页 由(14.20)可知，功率不仅与力有关，也与力作用点的速度有关，功率等于力与其作用点速度的点积，或等于力在其作用功率等于力与其作用点速度的点积，或等于力在其作用点速度方向的投影与速度大小的乘积。点速度方向的投影与速度大小的乘积。由此可见，当功率一定时，与v成反比。例如，功率一定的汽车上坡需要较大的牵引力时，就使用低速档，减小速度，以获得较大的牵引力。14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百页，共一百五十五页 作用于转动刚体上的力矩(或力偶矩)的功率为 即作用于转动刚体上的力矩作用于

46、转动刚体上的力矩(或力偶矩或力偶矩)的功率等于对转轴的力的功率等于对转轴的力矩矩(或力偶矩或力偶矩)与角速度的乘积与角速度的乘积。(14.21)功率的量纲为 功率的单位为 (瓦特)()或 (千瓦)。14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零一页，共一百五十五页 2.功率方程功率方程 式式(14.22)称为功率方程，即质点系的动能对时间的称为功率方程，即质点系的动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。得 取微分形式的质点系动能定理，两端除以 (14.22)14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零二页，共

47、一百五十五页 功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。例如车床接上电源后，电场对电机转子作用的力做正功，使转子转动，电场力的功率称为输入功率输入功率，即作用于机器的主动力的功率。由于带轮传动、齿轮传动以及轴承与轴之间都有摩擦，摩擦力做负功，使一部分机械能转化为热能；另外，传动系统中的零件也会相互碰撞，也要损失一部分功率。这些功率都取负值，称为损耗功率损耗功率或无用功率无用功率。14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零三页，共一百五十五页 车床切削工件时，切削阻力对夹持在车床主轴上的工件做负功，这是车床加工零件必须付出的功率，称输出功率输出功率或有有用功率用功率。每部机

48、器的功率都可分为上述三部分，因此式(14.22)可改写成(14.23)14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零四页，共一百五十五页 即系统动能对时间的变化率等于输入功率与输出功率和损系统动能对时间的变化率等于输入功率与输出功率和损耗功率的差耗功率的差。当机器启动时，有 需 才能保证它加速运动；在正常工作时，有 ，需 ；在制动时，有 ，需 ，才能保证它减速运动，进而停止工作。14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零五页，共一百五十五页 在工程实际中，把有效功率有效功率(包括克服有用阻力的功率和使系统动能改变的功率，即 )与输入功率的比值与输入功率的比值称为机器的机械效率称

49、为机器的机械效率，用表示，即。用来表征机器对输入功率的有效利用程度，它(14.24)机械效率是评定机器质量好坏的指标之一。显然，14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零六页，共一百五十五页 例例14.714.7 已知车床的电动机功率为 。由于传动零件之间的摩擦，损耗功率占输入功率的30。如工件的直径 ，转速 ，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为 ，问允许切削力的最大值为多少？解解：由题意知，车床的输入功率为，损耗功率为。当工件匀速转动时，输出功率为14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零七页，共一百五十五页 设切削力为F，切削速度为v，则有即当时，允许的最大切

50、削力的大小为当时，允许的最大切削力的大小为14.4 功率和功率方程功率和功率方程本讲稿第一百零八页，共一百五十五页14.5 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 1.1.势力场势力场 一般，作用于质点上的力的功与质点所经过的路径有关，当质点沿不同的路径运动时，其上作用的力的功也就不相同。但是对于重力和弹性力，它们在质点的有限路径上所做的功都仅仅与运动的始末两位置有关，而与运动时所沿路径无关。本讲稿第一百零九页，共一百五十五页 如果存在某一部分空间，当质点进入该部分空间时，就受到一个大小和方向都完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场力场。当质点在某力场中运动时，如果作用