第14章结构动力学精选文档.ppt

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1、第14章结构动力学本讲稿第一页，共四十二页本章基本要求：掌握动力自由度的判别方法。掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力、动位移的计算。掌握阻尼对振动的影响。了解自振频率的近似计算方法。1.结构动力计算的特点结构动力计算的特点(1)荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。(2)建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。2.动荷载分类动荷载分类(1)周期荷载周期荷载(2)冲击荷载冲击荷载(3)快速移动荷载快速移动荷载本讲稿第二页，共四十二页(4)随机荷载随机荷载3结构动力计

2、算的内容结构动力计算的内容(1)确定结构的动力特性即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。(2)计算结构的动力反应即结构在动荷载作用下产生的动内力、动位移等。1.结构振动的自由度结构振动的自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度。(1)单自由度结构单自由度结构：具有1个自由度的结构。2.连续质量的简化连续质量的简化(1)集中质量法集中质量法(2)多自由度结构多自由度结构：自由度大于1的结构。本讲稿第三页，共四十二页(2)广义坐标法广义坐标法 3.振动自由度的确定振动自由度的确定基本假定：（1）不考虑集中质量的转动；（2）受弯直杆任两点之间的距离保持不变

3、。对于具有集中质量的体系，可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度。自由度数目即等于所加入链杆的数目（如图14-2）。图14-2本讲稿第四页，共四十二页振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关。如图14-3所示的体系。图14-3自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动，而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。图14-4本讲稿第五页，共四十二页1不考虑阻尼时的自由振动不考虑阻尼时的自由振动(1)刚度法列动力平衡方程刚度法列动力平衡方程各单自由度的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图14-5a所示。图14-5本讲

4、稿第六页，共四十二页设质点位移y和质点受到的力都以向下为正。取质点为研究对象(图14-5b)作用在质点上的弹性力()和假想地加在质点上的惯性力()互相平衡，建立平衡方程得运动方程为：（a）令：（14-1）有（14-2）这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。本讲稿第七页，共四十二页(2)柔度法列位移方程柔度法列位移方程取体系为研究对象，在质点上假想地加上惯性力看作是一静力荷载，质点位移为惯性力产生的静位移，列出运动方程为：即（3）运动微分方程的解）运动微分方程的解设初位移，初速度为，则求解以上方程可得任一时刻质点位移为：(14-3)其中y0为初始位移，为初始速度，为自振频率。本讲稿第八页，共

5、四十二页结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、b）。图14-6本讲稿第九页，共四十二页若令，振幅和相位角（14-4）(14-5)则有（14-6）（14-7）本讲稿第十页，共四十二页（4）自振频率的计算）自振频率的计算自振周期：T=2/。(14-8)其中：柔度系数表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点沿振动方向所产生的位移。刚度系数表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点沿振动方向所产生的位移。本讲稿第十一页，共四十二页 计算自振频

6、率计算自振频率时可根据体系的具体情况，视时可根据体系的具体情况，视d11、k11、DST三者中哪一三者中哪一个最便于计算来选用。个最便于计算来选用。(1)自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关，与初自振频率（自振周期）只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅始条件及外界的干扰力无关。初始条件及干扰力只影响振幅a和相位角和相位角f 。(2)自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振率与刚度的平方根成正比，刚度

7、越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或度着手。频率，只有从改变结构的质量或度着手。例例14-1 图图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且，且EI都相等，在中都相等，在中点有集中质量点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。解：由式（解：由式（14-8）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移计算方法，）可知，先要计算重力位移，由前面学过的位移计算方法，可分别求得在自重可分别求得在自重F=mg作用下的静力位移为作用下的静力位移为本讲稿第十二页，共四十二页图14-7，代入式

8、（14-8）即可求得三种情况的自振频率分别为，本讲稿第十三页，共四十二页距此可得说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。2 2考虑阻尼时的自由振动考虑阻尼时的自由振动粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为：FR=。其它形式的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析，质点上受到的力如图14-8所示。结构自由振动时的动力平衡方程为即，图14-8令，则有本讲稿第十四页，共四十二页（14-9）令（14-10）为有阻尼自振频率。（1）在小阻尼在小阻尼（）的情况下，微分方程的解为（14-11）（14-12）其中（14-13）（14-14）本讲稿第十五页，共四十二页令，称为阻尼比阻尼比。通常当1为大阻尼为大阻

9、尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少遇到。（3）当）当=1时的阻尼称为临界阻尼时的阻尼称为临界阻尼；相应的值称为表示，则临界阻尼系数，用，阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数之比。本讲稿第十七页，共四十二页1414-4 4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当干扰力直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，动力平衡方程为图14-10即（14-18）齐次方程的通解为简谐荷载的一般式可表示为（a）（14-19）本讲稿第十八页，共四十二页微分方程（14-18）为：（14-20）设式（14-20）有一个特解（b）代入式（14-20）可求出C1、C2，

10、再由初始条件确定出B1、B2后，可得（14-21）振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率一致，称为伴生自由振动。随时间的本讲稿第十九页，共四十二页推移而很快衰减掉，最后只剩下按干扰力频率称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。而振动的第三部分，图14-11 1.不考虑阻尼的纯受迫振动不考虑阻尼的纯受迫振动无阻尼体系平稳阶段的动位移本讲稿第二十页，共四十二页最大的动力位移（即振幅）为即式中代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移，而（14-22）（14-23）（14-24

11、）（14-25）本讲稿第二十一页，共四十二页为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。2.考虑阻尼的纯受迫振动考虑阻尼的纯受迫振动取式（14-21）的第三项，整理后有其中振幅相位差振幅A可写为（14-29）（14-28）（14-27）（14-26）本讲稿第二十二页，共四十二页动力系数（14-30）例例14-2重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），E=210GPa，发电机转动时其并知梁的惯性矩离心力的垂直分量为Fsinqt，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。图14-14本讲稿第二

12、十三页，共四十二页 解：解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为故自振频率为干扰力的频率为动力系数为本讲稿第二十四页，共四十二页梁中点的最大弯矩为梁中点的最大挠度为1414-5 5多自由度结构的自由振动多自由度结构的自由振动1刚度法刚度法列质点的动力平衡方程，以质点为例，有（a）由叠加原理可得（b）本讲稿第二十五页，共四十二页图14-19本讲稿第二十六页，共四十二页将式（b）代入（a）有（c）对每个质点可建立n个方程（14-31）写成矩阵形式为（14-32）或简写为本讲稿第二十七页，共四十二页（14-33）即为多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。2柔度法柔度法任一质点mi处的位移为图1

13、4-20本讲稿第二十八页，共四十二页可建立n个上述类似的位移方程写成矩阵形式为或简写为（14-36）（14-35）（14-34）(d)本讲稿第二十九页，共四十二页 3按柔度法求解按柔度法求解振幅方程为（14-37）频率方程（14-38）求解上述方程得出n个自振频率，。各阶主振型为（14-39）4两个自由度的结构两个自由度的结构两个自由度体系的振幅方程本讲稿第三十页，共四十二页（g）令，则频率方程为（h）频率计算公式(14-40)两个自振频率为（14-41）本讲稿第三十一页，共四十二页第一主振型第二主振型 例例14-3试求图14-21a所示等截面简支梁的自振频率并确定其主振型。（14-43）（1

14、4-42）解：解：结构有两个自由度，由图乘（图14-21b、c）可得，代入式（14-40）且,有本讲稿第三十二页，共四十二页图14-21本讲稿第三十三页，共四十二页，于是有第一振型为第二振型为本讲稿第三十四页，共四十二页5.主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交。即：(14-44)(14-45)14-6 14-6 多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动1位移幅值计算位移幅值计算(1)柔度法柔度法建立的振动微分方程为（14-46）稳态振动时的振幅方程本讲稿第三十五页，共四十二页

15、(14-47)，为位移幅值向量；式中：P=1P2PnPT，为荷载幅值引起的静力位移列向量。求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值，为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。时，当，由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为(14-48)本讲稿第三十六页，共四十二页(2)刚度法刚度法建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上）(14-49)稳态振动时的振幅方程为(14-50)式中，F=F1F2FnT，为荷载幅值向量。2惯性力幅值

16、计算惯性力幅值计算惯性力为惯性力幅值。惯性力始终与位移同向。(1)求得位移后，由求惯性力幅值。(2)如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯性力幅值。本讲稿第三十七页，共四十二页(14-51)两个自由度体系惯性力幅值计算公式(14-52)求得惯性力幅值Ii如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。3.动内力幅值计算动内力幅值计算位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。4.对称性的利用对称性的利用振动体系的对称性是指：结构对称

17、、质量分布对称，强迫振动时荷载对称或反对称。本讲稿第三十八页，共四十二页多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。14-7 计算频率的近似法1.能量法能量法结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程中的任一时刻，其动能T和应变能之和应等于常数，即常数。在最大振幅处，动能为0，应变能达到最大；在

18、静力平衡位置，动能达到最大，应变能为0，则有，=常数，亦即，。以梁为例，假设振动方程为本讲稿第三十九页，共四十二页则其速度为动能为(14-53)应变能为（14-54）由得(14-55)本讲稿第四十页，共四十二页如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质量，上式应为(14-56)假设一个位移幅值函数y(x)代入上式求频率。通常可取结构在某个静荷载（如自重）作用下的弹性曲线作为y(x)的近似表达式。此时应变能可用外力功来代替，即则(14-57)本讲稿第四十一页，共四十二页2.集中质量法集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。等效原则是：使集中后的重力与原来的重力互为静力等效，即两者的合力相等。作法：将杆件分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。本讲稿第四十二页，共四十二页