实验五牛顿迭代法幻灯片.ppt
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1、实验五 牛顿迭代法第1页,共14页,编辑于2022年,星期五【实验准备】【实验准备】1.牛顿迭代法原理牛顿迭代法原理 设已知方程 的近似根 ,则在 附近 可用一阶泰勒多项式 近似代替。因此,方程 可近似表示为 。用 近似表示 根差异不大。设 ,由于 满足 ,解得 重复这以过程,得到迭代格式 这就是著名得牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为第2页,共14页,编辑于2022年,星期五牛顿迭代法2.牛顿迭代法的几何解析牛顿迭代法的几何解析 在 处做曲线的切线,切线方程为令 可得切线与 轴的交点坐标 ,这就是牛顿迭代法的迭代公式。因此,牛顿法又称“切线法”。第3页,共14页,编辑于2022年,星期五3.
2、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性 计算可得 ,设 是 的单根,有 ,则故在 附近,有 。根据不动点原理知牛顿迭代法收敛。4.牛顿迭代法的收敛速度牛顿迭代法的收敛速度定理(牛顿法收敛定理)设 在区间 上有二 阶连续导数,且满足 ,在 上不变号,在a,b上不等于0,令第4页,共14页,编辑于2022年,星期五有 ,则对任意 ,牛顿迭代格式收敛于在 中的唯一实根 ,且 ,牛顿迭代法为二阶收敛。对不动点方程 ,它导出的迭代过程有可能发散,也可能收敛得非常缓慢。这时,我们有没有办法改进不动点方程,让迭代过程收敛得快一些呢?迭代过程的加速迭代过程的加速第5页,共14页,编辑于2022年,星期五(1)一
3、个简单办法)一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程,它们的加权平均也是不动点方程,而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值,可以使发散的迭代过程变得收敛,使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。(2)加速的原因)加速的原因 在下面的实验中我们可以看到,在不动点 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小,收敛性越好。因此,选择 使得 。计算得到理想的 值为 ,相应可计算出 (1)一个简单办法)一个简单办法 注意到 和 都是不动点方程,它们的加权平均也是不动点方程,而且 和 有完全相同的不动点。适当选取 的值,可以使发散的迭代过程变得收敛,使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。(2)加
4、速的原因)加速的原因 在下面的实验中我们可以看到,在不动点 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程的收敛性。的绝对值越小,收敛性越好。因此,选择 使得 。计算得到理想的 值为 ,相应可计算出 第6页,共14页,编辑于2022年,星期五(3)的选取的选取 由于理想的 值为 ,当 变化不大时,可以取 近似计算 。(4)回到牛顿迭代法的讨论)回到牛顿迭代法的讨论 为求解方程 ,可以使用不动点方程 ,相应的迭代函数为 对 进行加速所以,牛顿迭代法是对基本迭代格式进行加速的结果。5.5.迭代的迭代的MATLABMATLAB命令命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。第7页,共1
5、4页,编辑于2022年,星期五练习练习 1 用牛顿迭代法求方程 在 附近的近似根,误差不超过10-3。牛顿迭代法的迭代函数为:相应的matlab代码为:(运行)clear;x=0.5;for i=1:3 x=x-(x3+x2+x-1)/(3*x2+2x+1)end可算得迭代数列的前三项0.5455,0.5437,0.5437。经三次迭代就大大超了精度第8页,共14页,编辑于2022年,星期五练习练习2 用牛顿迭代法求方程 的近似正实根,由此建立一种求平方根的计算方法。由计算可知,迭代格式为 ,在实验12的练习4中已经进行了讨论。练习练习3 用牛顿迭代法求方程 的正根。牛顿迭代法的迭代函数为如果
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