小波分析在数字图像处理中的应用.pdf

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1、?收稿日期:2006?02?20第 14卷?第 2 期2006年 6月北京石油化工学院学报Journal of Beijing Institute ofPetro?chemical T echnologyVol.14?No.2June 2006小波分析在数字图像处理中的应用王秀君1,2?林小竹2?史立勇3(1?北京化工大学,北京?100029;2?北京石油化工学院,北京?102617;3?中国石油勘探开发研究院,北京?100083)摘要?介绍了基于小波变换的图像分解与重构,小波变换具有时?频局部化的特点,因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定位。经过小波变换的图像具有频谱

2、划分、方向选择、多分辨率分析和天然塔式数据结构特点。基于小波变换这些特性,讨论了 MATLAB 语言环境下图像增强、图像融合、图像平滑和图像压缩的基本方法。通过实验可见,基于小波变换的图像处理具有理想的效果。关键词?小波分析;图象增强;图像融合;图像平滑;图像压缩中图法分类号?T P391?41?小波分析诞生于 20 世纪 80 年代,被认为是调和分析即现代 Fourier 分析发展的一个崭新阶段。众多高新技术以数学为基础,而小波分析被誉为?数学显微镜?,这就决定了它在高科技研究领域重要的地位。目前,它在模式识别、图像处理、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应

3、用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。小波分析在图像处理中具有极好的应用价值。笔者主要分析了基于小波分析的图像增强、融合、平滑和压缩技术,并运用 Matlab 软件进行模拟仿真,对实验结果进行分析。1?基本理论小波是指函数空间 L2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号?(x)1,2C?=?R*|?(x)|2|?|d?,(1)?这里,R*=R-0表示非零实数全体。对于任意的函数或者信号 f(x),其小波变换定义为Wf(a,b)=?Rf(x)?(a,b)(x)dx=1|a|?Rf(x)?x-badx(2)?因此,对任意的函数 f(x),它的小波变换

4、是二元函数。所谓多分辨分析是指设 Vj;j?Z 是 L2(R)上的一列闭子空间的一个函数。如果它们满足如下 5 个条件,即(1)单调性:Vj?Vj+1,?j?Z;(2)唯一性:Ij?ZVj=0;(3)稠密性:Y Vjj?Z=L2(R);(4)伸缩性:f(x)?Vj?f(2x)?Vj+1,?j?Z;(5)Riesz 基存在性:存在?(t)?V0,使得?(2jx-n);n?Z 构成 Vj的 Riesz 基,称?(t)为尺度函数,那么,称 Vj;j?Z,?(x)是 L2(R)上的一个多分辨分析。若定义函数?j,n(x)=2j2?(2jx-n),?j,n?2,则由多分辨分析的定义,容易得到一个重要结果

5、,即函数族?j,n(x)=2j2?(2jx-n);n?Z(3)是空间Vj的标准正交基。关于多分辨分析,在这里以一个三层的分解进行说明,其小波分解树如图 1 所示(A 表示低频分量,D 表示高频分量)。从图 1 可以明显看出,多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频部分不予考虑。分解具有关系:S=A3+D3+D2+D1。另外强调一点,这里只是以一个层分解进行说明,如果要进行进一步分解,则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分,以下再分解,依次类推。在理解多分辨分析时,必须牢牢把握一点,即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各

6、异的带通滤波器。从图 1 可以看出,多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解,使频率的分辨率变得越来越高。SD1A1D2A2D3A3图 1?小波分解树而关于 Mallat 算法是将 L2(R)上的多分辨率分析记为 Vj;j?Z;?(x),尺度方程为?(x)=2?n?Zhn?(2x-n)(4)小波方程为?(x)=2?n?Zgn?(2x-n)(5)?其中,系数关系是 gk=(-1)1-kh1-k,k?Z,对任意的整数 j 和 k,沿用记号?j,n(x)=2j2?(2jx-n),?j,n(x)=2j2?(2jx-k)Vj=?j,n(x);n?ZWj=?j,n(x);n?ZL2(R)=?j?ZWj=?j

7、,n(x);n?Z(6)?对于任意信号 f(x)?L2(R),引入记号:Cj,k=?Rf(x)?j,kdx(7)dj,k=?Rf(x)?j,k(x)dx(8)为 f(x)的尺度系数和小波系数,同时,将 f(x)在闭子空间 Vj和 Wj上的正交投影记为 fj(x)和 gj(x),这样fj(x)=?k?ZCj,k?j,k(x)(9)gj(x)=?k?Zdj,k?j,k(x)(10)?根据空间正交值和分解关系 Vi+1=Vi?Wi,可得fi+1(x)=fi(x)+gi(x)(11)?因此,信号尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成?k?ZCj+1,k?j+1,k(x)=?k?ZCj,k?j

8、,k(x)+?k?Zdj,k?j,k(x)(12)2?MATLAB 与小波分析在图像处理中的实现?数字图像处理的发展开始于 20 世纪 60 年代初期,至今已有 40 多年研究历史,其经典的图像处理方法(算法)有很多。小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或者时间域上的图像信号(数据)变换到小波域上,成为多层次的小波系数,根据小波基的特性,分析小波系数的特点,针对不同需求,结合常规的图像处理方法(算法)或提出更符合小波分析的新方法(算法)来处理小波系数,再对处理后的小波系数进行反变换(逆变换),将得到所需的目标图像。基于小波分析及其变换的图像处理过程如图 2所示。图像输入小波正变换图像处理小

9、波反变换图像输入图 2?小波与图像处理Mallat 提出了求解小波系数的塔形算法思想,对一幅图像完成一次一维小波变换,需要对图像的行和列分别进行一次 Mallat 算法处理,也就是水平和垂直滤波。小波变换将原始图像分成 4 个子带,即 1 个低频子带(LL)与 3 个高频子带(LH,H L,H H)。对低频子带进一步实施小波变换。分解成下一级 4 个子带。图 3 是三级小波变换示意图。LLn表示n 级小波变换的低频子带,LHn表示 n 级小波变换的水平低频垂直高频子带,H Ln表示 n 级小波变换的水平高频垂直低频子带,H Hn表示n 小波变换的对角线高频子带。图 4 是图像的小波三级分解。图

10、像经过 M 级小波变换以后,得到一系列子图像 cM,n,m dj,n,m1 dj,n,m2 dj,n,m3(j=1,2,3,?,M)。cM,n,m 是原图像的一个近似,dj,n,m1 dj,n,m2 dj,n,m3(j=1,2,3,?,M)则是图像在不同方向、不同分辨率下的细15第 2 期王秀君等.小波分析在数字图像处理中的应用节。如果 原图 像有 N2个 像数,则子 图像 cM,n,m 有(2-MN)2个像素,而子图像dj,n,m1 dj,n,m2dj,n,m3(j=1,2,3,?,M)分别有(2-jN)2个像素,因此分解后总的像素数 NT为 NT=(2-jN)2+3?Mj=14-j N2=

11、N2。可见分解后总的像素数不变。因为系列子图像是通过不同方向的高通或低通滤波得到的,从而反映了原有图像中的不同内容。LL3H L3LH3H H3H L2LH2H H2H L2LH1H H1图 3?三级小波变换图 4?图像的三级小波分解2?1?基于小波的图像增强小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向均不相同的分量。在做逆变换之前,可以根据需要对不同位置、不同方向上的某些分量改变其系数的大小,从而使得某些感兴趣的分量被放大而使某些不需要的分量减少。基于小波的图像增强如图 5 所示。图 5?基于小波的图像增强?分解后的图像,其主要信息(即轮廓)由低频部分来表征,而细节部分则由高频部分表征。因此,对

12、分解后的低频系数加权进行增强,而对高频部分加权进行弱化,经过如此处理后,即达到了增强图像的目的。2?2?基于小波的图像融合图像融合时将统一图像的两个或更多个图像之和承载一幅图像之中,以便于满足人们的某种需要。这一技术应用于多频谱图像理解和医学图像处理等领域,使得融合图像更容易为人们所理解。基于小波的图像融合如图 6 所示。将图 6(b)融合到图 6(a)中,得到融合后图像图 6(c)。图 6?基于小波的图像融合?2?3 基于小波的图像平滑利用二维小波分析和图像的中值滤波对一给定的含噪图像进行平滑处理 4。基于小波的图像平滑如图 7 所示。图 7?基于小波的图像平滑?首先对图像加了一个较大的白噪

13、声,然后应用中值滤波对含噪图像进行处理,从图 7 可以看出,经过中值滤波处理后的含噪图像具有较好的平滑效果。2?4?基于小波的图像压缩图像数据往往存在各种信息的冗余,如空间冗余、信息冗余、视觉冗余和结构冗余等,因此,有必要对它进行压缩。小波分析进行图像压缩的基本原理是 5:根据二维小波分解算法,将一幅图像做小波分解,可得到一系列不同分辨率的图像,而表现一幅图像最主要的部分是低频部分,如果去掉图像的高频部分而只保留低频部分,则可以达到图像压缩的目的。基于小波的图像压缩如图 8所示。压缩数据见表格 1。表 1?基于小波图像压缩数据项目SizeByteClassSummarization压缩前图像2

14、56?256 524288dorblearrayGrand total is 65536 ele?ments using 524288 bytes第一次压缩图像135?135 145800dorblearrayGrand total is 18225 ele?ments using 145800 bytes第二次压缩图像75?7545000dorblearrayGrand total is 5625 ele?ments using 45000 bytes?从以上数据可以看出,第一次压缩是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息,此时压缩效果较好,压缩比较小(约为 1/3);第二次16北京石油化工

15、学院学报?2006 年第 14 卷图 8?基于小波的图像压缩?压缩是提取第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分),其压缩比比较大(约为 1/12),压缩效果在视觉上也基本过得去,它不需要经过其他处理即可获得较好的压缩效果。Application of Wavelet Analysis in Image ProcessingWang Xiujun1,2?Lin Xiaozhu2?Shi Liyong3(1?Beij ing University of Chemical T echnology,Beijing 100029;2?Beij ing Institute of Petr

16、o?chemical T echnology,Beij ing 102617;3?Research Institute of Petroleum Exploration and Develop ment,Beijing 100083)Abstract?This paper introduces the image decomposition and reconstruction based on wavelet a?nalysis technique.Because wavelet analysis denotes signal with time?frequency,it can locat

17、e im?age with both time and frequency.Image processed by wavelet has multi?revolution and towercharacteristics.Based on these characteristics,this paper discusses the essential ways of imageintensification,image fusion,image flatness and image compression on the platform of MAT?LAB.An experimental e

18、xample is taken to illustrate its ideal effect.Key words?wavelet analysis;image intensification;image fusion;image flatness;image com?pression3?结论综上所述,小波变换克服了传统方法的不足。由于小波变换具有一种?集中?的能力,可以使一个信号的能量在小波变换域集中于少数系数上,在对小波系数进行处理同时就可以在小波域中对数字图像进行各种处理,最后进行逆离散小波变换恢复处理后的图像。使图像处理达到比较好的效果。实验结果表明:小波变换在图像处理中具有理想的效果和很高的工程价值。参考文献1?程正兴.小波分析算法与应用 M.西安:西安交通大学出版社,1998.2?冉启文.小波变换与分数傅立叶变换理论及应用 M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001.3?郑治真.小波变换及其 Matlab 工具箱的应用 M.北京:地震出版社,2001.4?李建平.小波分析与信号处理?任土论、应用及软件实现 M.重庆:重庆出版社,1997.5?Wim Sweldens.Wavelet,Signal Compressionand Image Processing C.ACM SICCRAPH 94,1994.17第 2 期王秀君等.小波分析在数字图像处理中的应用