6 平面分析-有限元计算.pdf

《6 平面分析-有限元计算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6 平面分析-有限元计算.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 2014/5/19 平面问题有限元分析-计算 1 6 平面问题有限元分析平面问题有限元分析 有限元计算有限元计算 曹国华曹国华 曹国华曹国华 6.0总刚复习总刚复习 6.1 约束条件处理约束条件处理 6.2 计算结果整理计算结果整理 6.3 收敛准则收敛准则 6.4相关软件介绍、复习及作业相关软件介绍、复习及作业 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 4.4.是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵 K3.3.是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布是稀疏

2、矩阵，非零元素呈带状分布 K 用有限元方法分析复杂工程问题时，节点的数目比较多，整体刚度矩阵的阶数通常也是很高的。那么在进行计算时，如果存储整体刚度矩阵的全部元素，将会浪费较大的资源、降低计算效率。如果根据整体刚度矩阵的特点进行编写程序，可以大大节省资源、并提高计算效率。因此有必要了解和掌握整体刚度矩阵的特点，整体刚度矩阵具有以下几个显著的特点：1.1.是对称矩阵是对称矩阵 K2.2.中主对角元素总是正的中主对角元素总是正的 K2014/5/19 2 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华

3、1.是对称矩阵 K 由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的组装过程，可知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性，在计算机编写程序时，只存储整体刚度矩阵上三角或下三角部分即可。2.中主对角元素总是正的 K 例如，刚度矩阵 中的元素 表示节点2在x方向产生单位位移，而其它位移均为零时，在节点2的x方向上必须施加的力；表示节点2在y方向产生单位位移，而其它位移均为零时，在节点2的y方向上必须施加的力。很显然在此情况下力的方向应该与位移方向一致，故应为正号。K33K44K2014/5/19 3 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用

4、，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 3.是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布 K 如果遵守一定的节点编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附近呈带状。整体刚度矩阵中的子矩阵 只有当下标s等于r或者s与r同属于一个单元时才不为零，这就说明，在第r双行中非零子矩阵的块数，应该等于节点r周围直接相邻的节点数目加1。可见，中元素一般都不是填满的，是稀疏矩阵，且非零元素呈带状分布。rsKK 以下图所示的单元网格为例，其整体刚度矩阵中的非零子块（每个子块为2行2列）的分布情况如下图所示，图中阴影部分表示该子块不为零，其它子块部位均为零。2014/5/19 4 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的

5、特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2014/5/19 5 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 10110100000002020000000010614111010012161202100000416100210

6、11012160014000010003121004001200130100000121206121001014111601000000002020000010001101EtK xy1 a 2 3 a 5 6 4 a a 2014/5/19 6 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 显然，带状刚度矩阵的带宽取决于单元网格中相邻节点号码的最大差值D。把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用B表示，如下 B=2(D+1)通常的有限元程序，一般都利用刚度矩阵

7、的对称和稀疏带状的特点，在计算求解中，只存储上半带的元素，即所谓的半带存储。因此，在划分完有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中相邻两节点的号码差尽可能小，以便节省存储空间、提高计算效率。2014/5/19 7 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 对于同样的有限元单元网格，按照图（a）的结点编码，最大的半带宽为 按照图（b）的结点编码，最大的半带宽为B 按照图（c）的结点编码，最大的半带宽为B (a)(b)(c)1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 1 2 9

8、3 10 8 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2014/5/19 8 平面问题有限元分析-总刚-复习-2(106)10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 B=2(104)=14 2(102)18 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 4.是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵 K 无约束的弹性体（或结构物）的整体刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵，即关于位移的解不唯一。这是因为弹性体在外力的作用下处于平衡，外力的分量应该满足三个静力平衡方程。这反映在整体刚度矩阵中就意味着存在三个线性相关的行或列，所以是个奇异阵，不存在逆矩阵。例如

9、：设弹性体在外力的作用下处于平衡，这时相应的解为 ，然后在给予弹性体以刚体位移而相应的节点位移 ，这时，仍是问题的解，因为刚体位移不会破坏平衡。1 2 12注：当排除刚体位移后，整体刚度矩阵是正定矩阵。2014/5/19 9 平面问题有限元分析-总刚-复习 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 前面已经提到总刚矩阵是奇异矩阵，在排除刚体位移后，整体刚度矩阵是正定的，方程才可求得唯一解。排除刚体位移可以通过引入边界约束条件来实现，这里介绍两种比较简单的引入已知位移的方法。1代入法 2乘大数法 2014/5/19 10 6.

10、1约束条件处理约束条件处理 平面问题有限元分析计算 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1代入法 该方法保持方程组仍为2n2n系统，仅对整体刚度矩阵 和整体载荷列阵进行修正。下面以一个只有四个方程的简单例子加以说明，方程如下 1112131411212223241231323334234142434424KKKKuFKKKKvFKKKKuFKKKKvF 假定系统中节点位移 、，则当引入这些节点的已知位移之后，方程就变成 11uc22uc2014/5/19 11 平面问题有限元分析计算 6.1约束条件处理约束条件处理 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用

11、，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1112131411212223241231323334234142434424KKKKuFKKKKvFKKKKuFKKKKvF11221 123 22224122441 143 242442100000001000cuFK cK cKKvcuFK cK cKKv若 ，则 120cc1222412242442410000000010000uKKvFuKKvF 然后，用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显然，其解答仍为原方程的解答。在手算时，可直接将零位移约束所对应的整体刚度矩阵中的行和列直接划去，使得整体刚阵的维数变小，更便于手算。2014/5/19 1

12、2 平面问题有限元分析计算 6.1约束条件处理约束条件处理 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 2乘大数法 将 中与指定的节点位移相对应的主对角元素乘上一个大数，同时将 中的对应元素换成指定的节点位移值、该大数与节点位移相对应的主对角元素三者的乘积。若把此方法用于上面的例子，则方程就变成 KF151511112131411112122232421515231323334233241424344410101010uKKKKc KvKKKKFuKKKKc KvKKKKF该方程组的第一个方程为 151511112 113214 21111010KuK vK uK

13、 vc K解得 ，这种方法就是使 中相应行的修正项远大于非修正项。11uc2014/5/19 13 平面问题有限元分析计算 6.1约束条件处理约束条件处理 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1代入法代入法 2乘大数法乘大数法 在以上的两种方法中，代入法接近人工解法，虽然该方法比较直观，但该方法对刚度矩阵改变较多，程序效率不高。乘大数法对刚度矩阵改变较少，工作量较小，但相乘的“大数大数”若取得过大，求解时会发生“溢出溢出”、若取得太小则会引起较大的误差误差。2014/5/19 14 平面问题有限元分析计算 6.1约束条件处理约束条件处理 课课件件仅仅供供复

14、复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 对于三节点三角形单元，单元内各点的应力值相等，算出的应力一般作为单元形心处的应力。由于单元应力为常数，整个结构的应力场呈阶梯状，在单元之间不连续。而工程上往往更加关心边界和节点上的受力情况，因此，必须对所得到的应力再次进行处理，得到更加合理的应力场，并得到所需点上的应力值。这里介绍两种简单的方法，一种方法称为节点平均法，即把环绕某一节点的各单元的应力加以平均作为该节点的应力值。例如图中节点3的应力为(1)(2)(3)(4)(5)(6)316 1 2 3 4 2014/5/19 15 6.2 计算结果整理计算结果整理 平面问题有限元分析计算

15、 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1 2 3 4 为了使通过这样平均得来的应力比较接近实际情况，要求环绕节点的各单元尺寸不应相差太大。这种做法，对内节点比较好，对边界点则可能很差。因此，边界节点处的应力不宜直接由单元应力平均来获得，而要根据内节点的应力构造插值函数推算出来。例如图中边界点1的应力，可以先用节点平均法求得节点2、3、4处的应力，在构造相应的插值函数推算边界点1的应力，如常用的抛物线插值公式如下 3424231234232432344243xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx6.2计算结果整理计算结果整理 2014/5/19 1

16、6 平面问题有限元分析计算 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 另一种方法称为单元平均法，即把两相邻单元的应力加以平均，用以表示公共边界中点的应力。为了由这样平均所得到的应力具有较好的精度，两相邻单元的面积不应相差太大。如图中单元和边界的中点处的应力为(2,3)(1)(2)12 1 2 3 4 在不同的有限元软件中均具有各自的后处理方法，但无论后期怎样处理，应力场来源于应力的计算，应力的精度主要依赖于单元的尺寸、单元的类型（位移模式）。2014/5/19 17 6.2 计算结果整理计算结果整理 平面问题有限元分析计算 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用

17、用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 对于有限元这种数值计算方法，一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，可知在有限元分析中，一旦确定了单元的形状之后，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，那么就很难获得良好的数值解。为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即 1）位移模式必须包含单元的刚体位移。2）位移模式必须包含单元的常应变。3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。6.3 收敛准则收敛准则 2014/

18、5/19 18 平面问题有限元分析计算 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 1）位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。2）位移模式必须包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。因此，

19、在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。2014/5/19 19 平面问题有限元分析计算 6.3 收敛准则收敛准则 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以保证位移的协调性。在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元，完备单元是收敛的必要条件。满足条件3的单元，叫做

20、协调单元或保续单元。前面讨论过的三节点三角形单元，均能同时满足上述三个条件，因此属于完备的协调单元，完备的协调单元是收敛的充分条件。在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3比较困难，所以实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意。目前，完备而不协调的单元，已获得了很多成功应用。2014/5/19 20 6.3 收敛准则收敛准则 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 在有限元分析中，将实际连续体分成许多单元体的组合后，根据线性或非线性位移的假定，人为地选择一个位移场，通过这些措施所得到的模型比实际连续体的刚性要高。因而，近似模型

21、的刚度是实际连续体刚度的上界。若选择不协调单元，那么这种模型可能由于单元分离、叠加或单元之间形成铰而降低刚性，这种影响就有可能使得不协调元比应用协调元所得的结果要好。不过，应用不协调单元事先不能肯定所得的刚度是真实刚度的上界。换句话说，不协调元不一定象协调单元那样刚硬，可能比较柔软，因此有可能会比协调单元收敛得快。2014/5/19 21 6.3 收敛准则收敛准则 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 经验证明，根据巴斯卡（Pascal）三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，那么就必须同时包含有另一边的对称项。选择多项式

22、位移模式时，还应该要考虑的一个因素是，多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。2014/5/19 22 6.3 收敛准则收敛准则 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 对称轴 常数项 线性项 二次项 三次项 四次项 五次项 22322343223454322345Cxyxxyyxx yxyyxx yx yxyyxx yx yx yxyy2014/5/19 23 6.3 收敛准则收敛准则 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 课课件件仅仅供

23、供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 作业：作业：采用采用MATHCAD求解求解如图所示有限元模型，弹性模量为 ，厚度为 ，为简化计算取 ，E=序号，t=1，q=1求 各个节点位移。t0E2014/5/19 25 6.4 相关软件计算、复习与作业相关软件计算、复习与作业 每人发到每人发到 每个人提交的文件名为：每个人提交的文件名为：MATHCAD-(1-B)-序号序号.xmcd 比如：比如：MATHCAD-(1-B)-12.xmcd 邮件主题：邮件主题：MATHCAD-(1-B)-序号序号 邮件发件人邮件发件人：姓名：姓名-班级班级-学号学号 比如：比如：李忠武李忠武-机

24、自机自01-03110936 王磊王磊-越崎越崎01-09114463 邮件内容要求：邮件内容要求：姓名：姓名：李忠武李忠武-机自机自01-03110936 作业名称：作业名称：MATHCAD-(1-B)-12 其它内容：其它内容：你自己可以发挥你自己可以发挥 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 2014/5/19 26 6.4 相关软件计算、复习与作业相关软件计算、复习与作业 内部变量定义：变量后面加你的序号，比如内部变量定义：变量后面加你的序号，比如K12，E12等，其中等，其中12为你在这个班的序号为你在这个班的序号 其中部分位移定义为变量其中部分位

25、移定义为变量ZS12，其中，其中12为下标为下标(你的序号你的序号)，定义的元素为，定义的元素为 ZS12,1（即（即ZTS5）ZS12,2（即（即ZTS6）ZS12,3（即（即ZTS9）ZS12,4（即（即ZTS10）ZS12,5（即（即ZTS11）ZS12,6（即（即ZTS12）整体位移向量定义为变量整体位移向量定义为变量 ZTS 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 2014/5/19 平面问题有限元分析-ANSYS 27 平面平面问题问题有限元软件应用分析有限元软件应用分析 ANSYS应用应用 曹国华曹国华 6.4 相关软件计算、复习与作业相关软件计算、复习与作业 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用 曹曹国国华华 机械连杆机械连杆有限元软件应用有限元软件应用 6.4 相关软件计算、复习与作业相关软件计算、复习与作业