几种pushover分析方法对比研究 -魏巍.pdf

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1、收稿日期:2001-11-20;修回日期:2002-05-26基金项目:地震科学联合基金资助项目(101056)作者简介:魏巍(1973-),女,博士生,现从事结构抗震研究.文章编号:1000-1301(2002)04-0066-08几种 push-over 分析方法对比研究魏 巍,冯启民(青岛海洋大学,山东 青岛 266071)摘要:Push-over 方法是一种静力非线性计算方法,是近年来在国内外得到广泛研究应用的用于评价结构抗震能力的新方法。采用这种方法计算结构的弹塑性地震反应将会逐渐为广大的工程设计人员所接受,但目前对于这种用静力的方法去预测结构的动力反应,其可靠性如何一直是许多学者所

2、关注的,而且对于现有的这几种方法的优劣也没有给出综合的评价。本文在国内外有关理论和方法的基础上,对几种 push-over 分析方法进行了简要评述,并通过分析计算对其中有代表性的能力谱方法、位移影响系数法和适应谱 push-over 方法进行了详细的对比研究。指出了其中存在的问题,试图寻找并推荐一种比较好的方法。如果能够实现这一目标,对于 push-over 方法的发展将会有一定的推动作用。关键词:静力弹塑性(push-over)分析方法;能力谱方法;位移影响系数法;适应谱 push-over 方法中图分类号:P315.96文献标识码:AResearch on comparison of se

3、veral push-over analysis methodsWEI Wei,FENG Qi-min(Ocean University of Qingdao,Qingdao 266071,China)Abstract:Push-over analysis as a combination of nonlinear static analysis and earthquake response spectrum is be-coming a popular tool for seismic performance evaluation of existing and having been d

4、esigned structures.In thispaper,as the international representative push-over analysis methods,capacity spectrum method,displacementcoefficient method and adaptive spectra-based push-over procedure are introduced and compared.Key words:nonlinear static analysis;capacity spectrum method;displacement

5、coefficient method;adaptivespectra-based pus-hover procedure1能力谱方法所谓“能力谱”方法(Capacity Spectrum Method),实质上就是通过地震需求曲线和结构能力曲线的叠加来评估结构在给定地震作用下的反应特性。在能力谱方法中,为了能将地震需求曲线和结构能力曲线叠加在同一坐标系中,还需要做一些简化工作。因为地震需求曲线是由弹性反应谱转化而来的,它是针对单自由度线性体系而言的,因此结构的能力曲线也应该是对应于单自由度线性体系的。这就需要将多自由度体系等效成单自由度体系,并将非线性体系等效成线性体系。下面分别介绍一下等效单

6、自由度体系和等效线性体系。1.1等效单自由度体系将结构转化为与其等效的单自由度体系的公式并不唯一,但等效原则大致相同。即均通过多自由度体第 22卷 第 4期2002 年 8 月地 震 工 程 与 工 程 振 动EARTHQUAKE ENGINEERING AND ENGINEERING VIBRATIONVol.22,No.4Aug.,2002系的动力方程进行等效。多层结构通常可以理想化为在各楼面具有集中质量的多自由度体系,它在地震地面运动下的动力微分方程为:M X(t)+C X(t)+Q=-M 1 Xg(t)(1)式中:M 质量矩阵;C 阻尼矩阵;Q 层间恢复力向量,Q=K(x)X(t),K

7、(x)刚度矩阵;X(t)、X(t)、X(t)分别为楼面的相对侧向位移向量、速度向量、加速度向量;Xg(t)地震地面运动加速度。令:X(t)=Xt(t)(2)上式即是将结构侧向位移向量用顶层位移与一形状向量的乘积来表示。其中:Xt(t)为多自由度体系的顶层位移;为一形状向量,且假定在整个反应过程中 是保持不变的。形状向量 应能代表罕遇地震作用下预期的结构非弹性反应的某个挠度剖面,对于不同类型的结构可采用不同的 。对于较低的钢筋混凝土框架结构,为简化起见,可取结构的第一振型作为形状向量 。本文算例计算中采用如下方法确定形状向量 :对结构施加呈倒三角形分布的侧向荷载,逐步增加荷载值,重复非线性静力分

8、析,可以得到每一加载步骤所对应的结构位移反应。取相应于顶层位移角 z=XNH=1100时的位移剖面 XZ,其中 XN为 N 层结构在某一加载步所对应的顶层位移,H 为结构的总高度,将 XZ 规一化后定义为形状向量 。将式(2)代入式(1),得到:M Xt(t)+C Xt(t)+Q=-M 1 Xg(t)(3)定义等效单自由度体系的参考位移为 Xr(t),表示为:Xr(t)=T M T M 1Xt(t)(4)由式(4)转化得:Xt(t)=T M 1 T M Xr(t),并代入式(3),同时方程两边前乘 T:T M T M 1 T M Xr(t)+T C T M 1 T M Xr(t)+T Q=-T

9、 M 1 Xg(t)(5)将式(5)进一步写为:MrXr(t)+CrXr(t)+Qr=-MrXg(t)(6)其中,Mr、Cr、Qr分别为等效单自由度体系的等效质量、等效阻尼和等效恢复力。式(6)是用等效单自由度体系的参考位移 Xr(t)来表达的等效单自由度体系的运动方程。由于 Qr是非线性的,所以这一运动方程仍然是非线性的。Qr和位移Xr的关系曲线可以通过多自由度体系的基底剪力 Vb和顶层位移Xt关系曲线转化得到。如图 1 所示,对于二折线型的恢复力曲线,假定单自由度体系和多自由度体系的强度硬化比 相同,那么只需确定屈服位移 Xry和屈服剪力Qry,就可以确定恢复力曲线。Xry=T M T M

10、 1Xty(7)Qry=T Qy(8)其中,Qy 为结构屈服时楼层荷载向量,且 1T Qy=Vy。Vy为多自由度体系的屈服基底剪力。1.2等效线性体系本文算例计算中将采用下面的方法来确定多层非线性结构的等效参数 Keq和 eq。674 期魏巍等:几种 push-over 分析方法对比研究考虑具有双线型力-变形关系(图 2 所示)的非弹性单自由度体系。其弹性阶段的刚度为 K,屈服后刚度为 K。屈服强度和屈服位移分别用 fy和uy表示。若非线性体系的极限位移为 um,则该体系的延性系数为 =um/uy。对于双线型体系,其等效线性体系的等效刚度取割线刚度 Ksec,等效周期为:Teq=12mKsec

11、=12mfy/uy1+-=Tn1+-(9)式中,n为双线型体系在线弹性阶段(u uy)的自振周期。确定等效粘滞阻尼最普遍的方法是利用非弹性体系的滞回耗能与等效线性体系的耗能相等的原则。基于这一概念,将等效粘滞阻尼表示为:eq=14EDES(10)其中,非线性体系的耗能由图 3 的滞回圈面积 ED表示:ED=2 2uy(-1)(1-)fy=4fy uy(-1)(1-)(11)而等效线性体系的应变能用图 3 的阴影面积 ES表示:ES=12Ksecu2m=12fy uy (1+-)(12)将式(11)、(12)代入式(10)中得到:eq=2(-1)(1-)(1+-)(13)采用如下修正形式计算等效

12、线性体系的整体粘滞阻尼:eq=+eq(14)其中,为双线型体系在线弹性阶段的粘滞阻尼比,一般取 =0.05。要求 eq0.45。阻尼修正系数 取决于体系的滞回特性,表现为三种型式:A 型表示滞回特性稳定,有较丰满的滞回圈;而 C 型代表相对捏缩或有退化的滞回圈;B 型表示滞回特性介于 A 型和C 型之间。这三种型式的阻尼修正系数 与等效粘滞阻尼eq的关系曲线由图 4 给出。对于双线型体系,可采用 A 型。1.3能力谱方法的计算步骤(1)建立结构的计算模型,确定各单元的恢复力曲线。(2)选择某一分布模式的侧向荷载,对结构进行静力弹塑性分析,得到结构的能力曲线。(3)参照上面的方法将结构等效为一单

13、自由度体系,得到等效单自由度体系的能力曲线,进而确定等效单自由度体系的等效线性参数 Keq和 eq。(4)将等效单自由度体系的能力曲线转换成拟加速度-位移关系曲线形式,如图 5 所示。(5)作出弹性地震需求曲线(即对应阻尼比 =0.05)。对弹性地震需求曲线按照等效粘滞阻尼 eq进行折减。(6)将转换后的能力曲线和折减后的地震需求曲线叠加在同一坐标系中,两者的交叉点定义为功能反应点,即为目标位移的估计值。结构的等效线性参数反映了结构的延性特性。而结构的延性与结构的位移反应相关。可见等效线性参数取决于结构的位移反应。因此,用能力谱方法确定结构的目标位移是一个逐步迭代的过程。即需要随着结构位移的变

14、化不断修正结构的等效线性参数 Keq和 eq,进而修正地震需求曲线,重复进行,直至结果收敛。能力谱方法确定结构的目标位移的示意图如图 6 所示。68地震 工程与工程振动22卷不难看出,这种方法用于判断结构在给定地震作用下的弹塑性反应,其结果如何取决于功能反应点的位置。根据功能反应点处于能力曲线何段,可定性地宏观评估该结构在给定地震作用下的反应特性和破坏情况。而且,还可根据功能反应点在能力曲线上的位置坐标推得其对应的基底剪力、顶点相对位移与瞬时自振频率等反应值。2位移影响系数法位移系数法是利用 push-over 分析和修正的等位移近似法来确定结构的最大位移。FEMA-273(1997)推荐采用

15、位移影响系数法来确定结构顶层的非线性最大期望位移,最大期望位移即定义为目标位移。多自由度体系 MDOF 的顶层位移可以由它的屈服位移乘以延性系数 得到。即:Xt,max=Xt,y(15)假定多自由度体系 MDOF 和其等效单自由度体系 SDOF 的延性特性相同,即等效单自由度体系的延性系数也为 。可以利用强度折减系数与延性系数的关系来计算单自由度体系的延性系数。强度折减系数R定义为弹性强度需求Fe,eq与屈服强度需求Fy,eq之比。即:R=Fe,eqFy,eq(16)其中,Fe,eq是在给定地面运动下为避免系统屈服所要求的侧向屈服强度,Fe,eq=Sa(Teq);Fy,eq是当系统承受给定地面

16、运动时为保持位移延性系数 小于或等于预定的目标延性系数要求的侧向屈服强度,Fy,eq=Qry/Mr。式中,Sa为弹性反应谱值,Teq,Qry和 Mr的含义同前。下面给出一种强度折减系数 R与 、T 的关系表达式:R=(-1)TT0+1,T T0R=,T T0T0=0.650.3 TgTg(17)式中,Tg为地面运动的特征周期。T 为结构的自振周期。为简化起见,可定义 T0=Tg。这样,在延性系数较低的情况下,对于短周期结构(T0Tg)的强度折减系数计算会相对保守些。位移系数法的计算步骤如下:(1)建立结构的计算模型,确定各单元的恢复力曲线。(2)选择某一分布模式的侧向荷载,对结构进行静力弹塑性

17、分析,得到结构的顶层位移-基底剪力关系曲线并转化成二折线形式,确定顶层屈服位移 Xt,y。(3)将结构等效为一单自由度体系,计算等效单自由度体系的延性系数 。(4)利用式(15)计算多层结构的顶层位移。在结构实际设计过程中为了方便设计人员应用,将位移系数法确定目标位移通过如下几个系数来表示:t=C0C1C2C3SaT242g(18)式中,C0 等效单自由度体系与建筑物顶点位移的比例因子;C1 最大非线性位移期望值与线性位移的比例因子;694 期魏巍等:几种 push-over 分析方法对比研究C2 滞回环形状对最大位移反应的影响系数;C3 P-效应对位移反应的影响系数;3适应谱 push-ov

18、er方法 前面介绍的两种方法,为了能利用反应谱,必须将多自由度体系等效成单自由度体系;而目前的规范中的反应谱都是线弹性的,所以又必须将非线性体系等效成线性体系。这两部分等效关系必然会带来一定的误差。因而能力谱方法和位移系数法只适用于中低层结构,对于高阶振型影响不能忽略的结构则不适用。适应谱 pushover 方法(adaptive spectra-based pushover procedure)则克服了以上的不足。这一方法与传统的push-over 分析方法相比,最主要的区别在于以下两个方面:(1)直接利用反应谱来定义加载特性;(2)施加的侧向荷载始终随着结构的动力特性变化而改变。也就是说,

19、整个的加载模式虽然是静力加载,但同样能体现出结构反应的动力特性。更能体现出结构和地震频谱特性的耦连效应。下面详细介绍一下这一方法的基本步骤:(1)建立结构的力学模型;(2)确定结构各层的力-位移关系;(3)计算输入地震动的弹性反应谱 Sa;(4)计算初始弹性阶段结构的周期与振型,并按下式确定第 j 振型的振型参与系数 j:j=1gNi=1Wi ij(19)式中,Wi为第i 层的重量;ij为第j 振型相应于i 质点的值,并归一化使其满足 W 2=1。(5)计算各层的侧向荷载:Fij=j ijWiSa(j)(20)式中,Fij 相应于第 j 振型(1j n)在第 i 层的侧向荷载;Sa(j)相应于

20、第 j 振型的最大绝对加速度;j、Wi和 ij的含义同上。(6)将上式得到的侧向荷载作用于结构上,计算振型基底剪力 Vj:Vj=Ni=1Fij(21)(7)考虑多个振型的影响,将上一步得到的振型基底剪力用平方和开平方的方法确定基底剪力 V:V=Nj=1V2j(22)(8)将第 6 步得到的基底剪力 Vj分成若干个增量逐步施加到结构上:Vj=SnVj(23)Sn定义为增量系数,Sn=VBNsV。其中,VB为基底剪力的估计值;Ns为加载步数。(9)用上一步求得的相应于各振型的荷载增量 Vj对结构进行静力“推覆”分析。(10)计算对应于每一振型荷载增量的层位移、层间位移、层间剪力等量,并将各振型所得

21、到的值平方和开平方,得到这一步的层位移、层间位移、层间剪力增量值,并加到前一步的结果中。(11)在每一个循环结束时,比较计算得到的层间剪力与相应的层间剪力屈服值。如有某一层或某几层已达屈服,则重新调整刚度矩阵后回到第 4步计算新的特征值和特征向量后,继续下面步骤。(12)重复以上步骤,直到达到规定的最大位移值或最大基底剪力。很显然,适应谱 push-over 方法中每一步施加的荷载增量都是基于结构瞬时的动力特性。只要有某一层或某几层达到屈服,就需要修正刚度,重复以上的反应谱分析。即使对于强度或刚度分布不均匀的结构,这样的加载模式 s也可以合理地反映出结构在各瞬间的反应特性。而且这一方法考虑了多

22、振型的组合,因而给出的惯性力的分布形式是可信的,该方法不需要进行一系列的等效过程,所得到的是多自由度体系的能力曲线,但所用到的荷载特征是基于弹性反应谱的。70地震 工程与工程振动22卷4应用实例计算 仅仅从以上所述的概念上很难判断各方法的准确性,本文选择了算例来对这几种方法进行数值比较。选择一幢六层钢筋混凝土框架结构作为算例。结构底层层高为 4m,二至六层层高均为 3.6m;采用层剪切模型结构的模型参数列在下表中。表 1层 数一二三四五六质量(105kg)10.49.39.39.39.37.0初刚度(108N/m)6.36.56.55.25.25.0屈服剪力(106N)8.37.37.44.9

23、4.43.9屈服位移(mm)13.211.311.59.48.57.9阻尼比0.050.050.050.050.050.05屈服后刚度与初始刚度比0.050.050.050.050.050.05 选择三条与建筑抗震设计规范 GBJ11-89 中设计反应谱拟合较好的地震动记录:天津波(东西向),墨西哥波和 El Centro 波(东西向)。在计算时,考虑结构承受烈度为 8 度和 9 度的地震地面运动,将地震动记录峰值调至相应的 0.2g 和 0.4g。能力曲线是 push-over 方法得到的重要分析结果。本文算例分别用倒三角形分布模式、基于底部剪力法的分布模式以及孙景江提出的加载模式 9 对算

24、例结构进行“推覆”分析,得到结构顶层位移 Xt和基底剪力 Vb的关系曲线(能力曲线)。并与用三条地震记录进行多自由度弹塑性时程分析得到的曲线相比较。时程分析方法计算能力曲线时,采用的是逐步提高地震动峰值,计算每一个峰值地震动作用下结构的最大顶层位移和最大基底剪力来作为能力曲线上的一个点。图 7(a)给出了用三种荷载模式得到的结构能力曲线与时程分析结果的对比情况。图 7(b)、(c)、(d)给出了用孙景江提出的加载模式、适应谱 pushover 方法以及时程分析方法分别计算得到的结构能力曲线的对比情况。可以看出,采用三种侧向荷载计算得到的结构能力曲线与多自由度弹塑性时程分析结果相比存在着一定的误

25、差。其中基于底部剪力法的分布模式对结构的抗侧向变形能力估计偏高,而孙景江提出的加载模式则比较保守地估计了结构的能力。显然,不同的荷载分布模式将得到不同的结构能力曲线。因此,选择合理的荷载分布模式将是静力弹塑性分析过程中最关键的一步。在这一方面,适应谱 pushover 分析方法得到的结构能力曲线与多自由度弹塑性时程分析结果就比较吻合。表 2结构在地震作用下的顶层位移值(cm)及相对误差地震动方法弹塑性时程法能力谱方法位移系数法相对误差能力谱方法位移系数法天津波0.2g17.813.514.124%21%0.4g45.125.728.943%36%墨西哥波0.2g7.65.67.826%2.6%

26、0.4g12.316.315.632%27%El Centro 波0.2g9.48.38.612%8.5%0.4g18.915.317.219%9.0%平均值0.2g11.69.110.221%12%0.4g25.419.120.631%24%714 期魏巍等:几种 push-over 分析方法对比研究表 2 给出了用弹塑性时程分析方法、能力谱方法和位移系数法计算得到的结构顶层位移。图 8 给出了72地震 工程与工程振动22卷用弹塑性时程分析方法、能力谱方法和适应谱 pushover 方法计算得到的结构最大层位移、最大层间位移角及最大层间剪力的分布情况。5结论通过对三种方法进行计算分析比较,可

27、以得到一些有益的结论:(1)能力谱方法和位移系数法在计算结构顶层目标位移时,误差多在 10%以上。将多自由度体系等效为单自由度体系以及将非线性结构用一系列线性体系来代替,这两部分等效关系必然使这一简化方法在精度上有所欠缺。为了满足工程设计需要的精度,仍需经过进一步的修正。(2)由结构最大层间位移角的计算结果可以知道,能力谱方法和适应谱 pushover 方法得到的最大层间位移角出现的位置与多自由度弹塑性时程分析的结果相吻合,说明利用简化方法能够较正确地识别结构的薄弱层。(3)进一步分析比较结构最大层间位移角的分布情况可以知道:能力谱方法无法判断出结构潜在的薄弱层。这是能力谱方法(也包括位移系数

28、法)最大的缺陷。相比较而言,适应谱 pushover 方法考虑了结构前几阶振型的影响,而且在加载每一步采用的都是结构瞬时周期,瞬时振型,因而能更合理地抓住结构反应的重要属性,诸如层间位移角等。其对结构位移反应的计算结果更接近于多自由度弹塑性时程分析结果。参考文献:1 X.Qi and J.P.Mochle.Displacement Design Approach for Reinforced Concrete Structures Subjected to Earthquake R.UCB/EERC-91/02,Jan.1991.2 Balram Gupta,M.EERI,and Sashi

29、K.Kunnath.Adaptive Spectra-Based Pushover Procedure for Seismic Evaluation of Structures J.Earth-quake Spectra,2000,16(2).3 李,叶燎原.Push-over 分析法及其与非线性动力分析法的对比 J.世界地震工程,1999,15(2).4 张令心,李小东,江近仁.高层建筑非线性变形的简化计算方法 J.结构工程师(增刊),1997.5 杨溥,李英民,王亚勇,赖明.结构静力弹塑性分析(push-over)方法的改进 J.建筑结构学报,2000,21(1).6 钱稼茹,罗文斌.静力

30、弹塑性分析 基于性能/位移抗震设计的分析工具 J.建筑结构,2000,30(6).7 叶燎原,潘文.结构静力弹塑性分析(push-over)的原理和计算实例 J.建筑结构学报,2000,21(1).8 Anil K.Chopra,Rakesh K.Goel,Capacity-Demand-Diagram M ethods for Estimating Seismic Deformation of Inelastic Structures:SDF Sys-tems R.Report No.PEER-1999/02,Pacific Earthquake Engineering Research Center,University of California,Berkeley,1999.9 Sun Jingjiang,Tetsuro Ono and Zhao Yan-Gang,Equivalent Lateral Load Distribution in Pushover Analysis.10 魏巍.几种 push-over 分析方法对比研究 D.中国地震局工程力学研究所硕士学位论文,2001.734 期魏巍等:几种 push-over 分析方法对比研究