13 平面分析-等参单元.pdf

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1、课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元1平面问题有限元分析平面问题有限元分析等参单元等参单元曹国华曹国华等参单元刚度等参单元刚度（4节点节点）等参单元等效节点力等参单元等效节点力（4节点节点）矩形单元矩形单元（8节点节点）等参单元等参单元（8节点节点）高斯积分法高斯积分法课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华坐标变换函数与位移函数采用相同的形状函数坐标变换函数与位移函数采用相同的形状函数4411,iiiiiiuNu vNv 4411,iiiiiixNx yNy 对比对比2014/6/1

2、02平面问题有限元分析-等参单元12341(1)(1)41(1)(1)4()1(1)(1)41(1)(1)4NNNN等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华eiB（i=1，2，4）等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）根据形函数，几何矩阵为2014/6/103平面问题有限元分析-等参单元12341(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)4NNNN00iiiiNxNyNNyx课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元4已有已有)

3、,(),(yyxx若若),(yxzz 求求z对对(,)偏导数偏导数yzyxzxzyzyxzxz应力等分析需要整体坐标下的形函数应力等分析需要整体坐标下的形函数，怎样求解怎样求解？等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元5NNNxxxNNNyyy 等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）,xy,xy求不出来求不出来课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华在上式中，是、的函数，因此必须用坐标变换式来转换导数关系，根据复合函数的求导法则，有iNiiNN

4、（i=1，2，4）等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）iixyNxNxyyiiNxNyJ2014/6/106平面问题有限元分析-等参单元12341(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)41(1)(1)4NNNN4141,iiiiiixNxyNy iNxiNy课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华式中的J称为雅可比雅可比（Jacobi）矩阵矩阵xyxyJ=1iiiiNNxNNyJiiiiiiNxyNNxxNNxyNyyJ等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/107平面问题有限元分析-等参单元1J求出求出关键关键iNxiNy课课件件仅仅

5、供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华雅可比（Jacobi）矩阵的逆矩阵为11yyxxJJ等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）44114411,iiiiiiiiiiiiNNxyNNxy J8181,iiiiiixNxyNy 2014/6/108平面问题有限元分析-等参单元yyxx可求可求xyxyJ=课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华将单元应变代入平面问题的物理方程式，就得到平面4节点等参单元的应力列阵，为eeiiSDB（i=1，2，4）等参元刚度矩阵仍可用下式表示dd ddeeTeeTeeTeVtx ytAKB DBB DBB DB

6、等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/109平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华面积微元的变换面积微元的变换计算单元刚度矩阵时，需将对整体坐标的积分变成对局部坐标（自然坐标）的积分，其面积微元也由直角坐标中的矩阵dxdy变成自然坐标中的曲边四边形以下求直角坐标中的曲边面积元dA，用局部坐标中的面积微元表示的表达式。dddd0 xyo1111dAdjid由图(a)得dddA图(a)等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/1010平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请

7、勿勿它它用用曹曹国国华华由图(b)，在oxy坐标系内任一微矢量dr xyordi xdjj ydi图(b)由于x,y是的函数，所以,ddd,dddyyyxxxjyyixxr)dd()dd(d故等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/1011平面问题有限元分析-等参单元ddxiyj课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）dddA2014/6/1012平面问题有限元分析-等参单元dddxiyjdddxiyjdr xyordi xdjj ydi图(b)ddxiyj(dd)(dd)xxyyij(dd)(dd)xxy

8、yij课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华由于是沿坐标变化的，所以它只是的函数，与无关。可得：dd同理d得dddddddddyxyxyxyxA等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）dddA2014/6/1013平面问题有限元分析-等参单元ddxyijddxyij课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华yxyxJ雅可比行列式 JacobidddJA 因为曲边面积元dA:则等参元刚度矩阵为1111eeTetd d KB DB J等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/1014平面问题有限元分析-等参单元deeTet

9、AKB DB课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华1111eeTetd d KB DB J由以上分析可知，在划分单元时，只需确定单元节点的整体坐标值，而不必画出等参元的具体形状，因为在计算中实际使用的只有单元四个节点在整体坐标系下的位移值。等参元变换的条件为，因此在有限元网格划分时，要特别注意这一点。0J由此式可计算出单元的刚度矩阵，此处的积分一般得不到显式形式显式形式，因此要采用数值积分数值积分法（如Gauss积分法），该积该积分对任何形状的四边形单元具有相同的积分表达式和相同的积分对任何形状的四边形单元具有相同的积分表达式和相同的积分限分限。上式积分运算是在

10、母单元母单元（自然坐标）内进行的，但节点力与节点位移的方向均沿整体坐标x，y方向。所以ke是整是整体坐标内的刚度矩阵体坐标内的刚度矩阵。等参单元刚度等参单元刚度（4 4节点节点）2014/6/1015平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华单元内某点受到集中载荷P=PxPyT，移置到单元节点上的等效节点力为：等参单元等效节点力等参单元等效节点力（4 4节点节点）00014332211YXYXYXYXPPNNNNNNNNPNFePyx4321432100000T TT T（1）集中力引起的单元节点载荷集中力引起的单元节点载荷yppiixp

11、piipNYpNX),(),(其分量形式：)8,2,1(i2014/6/1016平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华（2）体积力引起的单元节点载荷体积力引起的单元节点载荷dePAFN Pt AT T单元的单位体积力为P=X YT，移置到单元节点上的等效节点力为：2014/6/1017平面问题有限元分析-等参单元d dAN Pt J T T1111000TXJ td dY 12341234N0N0N0NNN0N0N12,11()nniji jijww N P JtT T高斯积分课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用

12、曹曹国国华华（3）表面力引起的单元节点载荷表面力引起的单元节点载荷dePsFtN P ST T0 xyo1111dAdjidddS2014/6/1018平面问题有限元分析-等参单元1ddxyij221()()dxy单元的某边界上承受力为P=X YT，移置到单元节点上的等效节点力为(设=1的面上受有表面力，沿=1边的切向取微分矢量d)：课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华（3）表面力引起的单元节点载荷表面力引起的单元节点载荷12211d()()dePsFtN P SxyN PT TT T单元的某边界上承受力为P=X YT，移置到单元节点上的等效节点力为(设=1的

13、面上受有表面力，沿=1边的切向取微分矢量d)：0 xyo1111dAdjid2014/6/1019平面问题有限元分析-等参单元2211()()nijixywN PtT T高斯积分课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华（3）表面力引起的单元节点载荷表面力引起的单元节点载荷XPY单元的某边界上承受力为P=X YT，移置到单元节点上的等效节点力为：1()dePsFtN P ST T2014/6/1020平面问题有限元分析-等参单元ddddxySSddddyxSS课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华（3）表面力引起的单元节点载荷表面力引

14、起的单元节点载荷单元的某边界上承受力为P=X YT，移置到单元节点上的等效节点力为：1()ddddddddddddddePsssFtN P SxySStNSyxSSxytNyxT TT TT T111dxytNxyT T2014/6/1021平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华作业作业：采用采用MATHCAD求解求解2014/6/1022平面问题有限元分析-等参单元如图所示，该模型中有两个四边形单元，弹性模量为1GPa，厚度为0.01m，泊松比0，序号N，求节点4、5、6的应力。EtF每人发到每人发到每个人提交的文件名为每个人提交的

15、文件名为：MATHCAD-(3-B)-序号序号.xmcd比如比如：MATHCAD-(3-B)-12.xmcd邮件主题邮件主题：MATHCAD-(3-B)-序号序号邮件发件人邮件发件人：姓名姓名-班级班级-学号学号比如比如：李忠武李忠武-机自机自01-03110936王磊王磊-越崎越崎01-09114463邮件内容要求邮件内容要求：姓名姓名：李忠武李忠武-机自机自01-03110936作业名称作业名称：MATHCAD-(3-B)-12其它内容其它内容：你自己可以发挥你自己可以发挥课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元2

16、3内部变量定义内部变量定义：变量后面加你的序号变量后面加你的序号，比如比如K12，E12等等，其中其中12为你在这个班的序号为你在这个班的序号其中其中4、5、6节点应力定义为变量定义为变量ZS12，其中其中12为下标为下标(你的序号你的序号)，定义的元素为定义的元素为ZS12,1ZS12,2ZS12,3整体节点应力向量定义为变量整体节点应力向量定义为变量 ZTS课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华八个节点分别为正方形的四个角点和四个边中点，母单元（边长为2的正方形）采用直角坐标系,。由于母单元为16个自由度，因此单元的位移模式为2222123456782222

17、12345678uaaaaaaaavbbbbbbbb 72684135o八节点矩形单元八节点矩形单元对称轴常数项线性项二次项三次项四次项五次项22322343223454322345Cxyxxyyxx yxyyxx yx yxyyxx yx yx yxyy2014/6/1024平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华8811,iiiiiiuNu vNv 式中：123425262728(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)/2(1)(1)/2(1)(1)/2(1)(1)/2NN

18、NNNNNN 72684135o八节点矩形单元八节点矩形单元式中的16个常数用8个节点的位移（，）表示后，则上式为iuiv2014/6/1025平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华8811,iiiiiiuNu vNv 123425262728(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)(1)/4(1)(1)/2(1)(1)/2(1)(1)/2(1)(1)/2NNNNNNNN 式中的16个常数用8个节点的位移（，）表示后，则上式为iuiv八节点矩形单元八节点矩形单元)8,6()1)(1(21)7,5(

19、)1)(1(21)4,3,2,1()1)(1)(1(4122iNiNiNiiiiiiiii2014/6/1026平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华等参单元等参单元-任意直边四边形单元任意直边四边形单元（8 8节点节点）62518473yxo3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o7856采用坐标变换可使母单元的八个节点坐标与等参元的八个节点坐标建立一一对应的关系，整体坐标和局部坐标的变换式为8811,iiiiiixNx yNy 2014/6/1027平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习

20、用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华等参单元等参单元-任意直边四边形单元任意直边四边形单元（8 8节点节点）62518473yxo3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)o78568811,iiiiiixNx yNy )8,6()1)(1(21)7,5()1)(1(21)4,3,2,1()1)(1)(1(4122iNiNiNiiiiiiiii2014/6/1028平面问题有限元分析-等参单元课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华等参单元等参单元-任意直边四边形单元任意直边四边形单元（8 8节点节点）62518473yxo3(1,1)2(1,-1)1

21、(-1,-1)4(-1,1)o7856可知，母单元上任意直边，例如23边，有1，则有关的形函数N2、N3和N6均是的二次函数，其余的形函数均为零。这样变换就成为二次非线性变换，它可将母单元的直边23映射成子单元的曲边23。2014/6/1029平面问题有限元分析-等参单元)8,6()1)(1(21)7,5()1)(1(21)4,3,2,1()1)(1)(1(4122iNiNiNiiiiiiiii课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华局部坐标仅适用于单个单元局部坐标仅适用于单个单元，整体坐标适用于整个整体坐标适用于整个结构的各个单元结构的各个单元在推导有限元公式时

22、在推导有限元公式时，一切过程都首先在局部坐标一切过程都首先在局部坐标下进行下进行，然后再进行坐标变换然后再进行坐标变换课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华等参数单元的刚度矩阵和等效节点载荷的计算公式等参数单元的刚度矩阵和等效节点载荷的计算公式都需做积分运算都需做积分运算df11)(1111),(ddfdddf 111111),(高斯积分法高斯积分法课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华被积函数被积函数f一般很复杂一般很复杂，往往不能得出它的显式往往不能得出它的显式，在有限元计算中常采用在有限元计算中常采用数值积分数值积分。在单元

23、内选出某些在单元内选出某些积分点积分点(210)，算出被积函数算出被积函数f在这些在这些积分点的值积分点的值，然后用然后用加权系数加权系数乘上这些积分值乘上这些积分值，再求出再求出总和总和作为近作为近似的积分值似的积分值高斯积分法高斯积分法用同样数目的积分点具有较高精度用同样数目的积分点具有较高精度一维高斯积分公式一维高斯积分公式df11)()(1iniifW式中式中,n为积分的为积分的点数点数，i为积分点为积分点i的局部坐标的局部坐标，Wi为加权系数为加权系数，f(i)为被积函数在积分点处的函数值为被积函数在积分点处的函数值高斯积分法高斯积分法课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿

24、勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元33111()2Ifdfdf11)()(1iniifW()ff1f11课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元34()ff111()f2()f12230123()fcccc1201()2()3cIfdcdf11)(21()iiiW f2201()2()3iiicW fc课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元35()ff111()f2()f12230123()fcccc2201

25、()2()3iiicW fc121 122221 122331 12220230WWWWWWWW23232101 12 13 1201 222320()()2()3cW ccccW ccccc1212110.577353WW 课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华 1111),(ddf),(11jijniimjfWWdddf 111111),(),(111kjikjniimjqkfWWW积分点数的选取与被积函数积分点数的选取与被积函数f()有关有关，当当f()是是m次次多项式时多项式时，取取21mn当当f()不是多项式时不是多项式时，需要通过一些试算来判断选取需

26、要通过一些试算来判断选取适当的适当的n值值。积分点数积分点数n(210)不能取得过大不能取得过大，否则将否则将随着积分点的增多计算量急剧增加随着积分点的增多计算量急剧增加高斯积分法高斯积分法课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华高斯求积公式的积分点坐标与高斯求积公式的积分点坐标与加权系数加权系数表表niWi20.57735 130 0.77460 8/9 5/9 4高斯积分法高斯积分法MATHCAD举例举例课课件件仅仅供供复复习习或或学学习习用用，请请勿勿它它用用曹曹国国华华2014/6/10平面问题有限元分析-等参单元38上机练习题最终提交形式上机练习题最终提

27、交形式1）个人将文件压缩发送邮件到个人将文件压缩发送邮件到：邮件名称邮件名称：ANSYSANSYS上机练习上机练习(姓名姓名-序号序号)2）文件名文件名：ANSYS-序号序号-班级班级-(1-行数行数)-姓名姓名.txtANSYS-序号序号-班级班级-(2-行数行数)-姓名姓名.txtANSYS-序号序号-班级班级-(3-行数行数)-姓名姓名.txtANSYS-序号序号-班级班级-(4-行数行数)-姓名姓名.txt3）提交一个纸质打印版本提交一个纸质打印版本(双面打印双面打印24页页)与与电子版本电子版本，具体内容具体内容：封面封面（各班自己做各班自己做，每个班一样每个班一样）第一题第一题：题目题目、应力云图应力云图第二题第二题：题目题目、应力云图应力云图、节点位移节点位移第三题第三题：题目题目、应力云图应力云图第四题第四题：题目题目、节点节点177的位移时间历程的位移时间历程对该课程的意见与感受对该课程的意见与感受（不少于不少于300字字）电子版电子版：ANSYS-序号序号-班级班级-(电子版电子版)-姓名姓名.doc