试验设计与数据处理8-方差分析2014.pdf

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1、2014/4/151试验设计与数据处理(8)试验设计与数据处理(8)东南大学材料学院东南大学材料学院东南大学材料学院东南大学材料学院庞超明Email: 办公电话：52090638 手机：13815885884庞超明Email: 办公电话：52090638 手机：138158858842014/4/151内容回顾内容回顾内容回顾内容回顾?正交设计的基本方法正交设计的基本方法?交互作用交互作用?混合水平混合水平?直接利用混合水平表直接利用混合水平表?直接利用混合水平表直接利用混合水平表?拟水平法拟水平法?均匀设计法均匀设计法?方差分析方差分析?基本原理：变差，变差平方和基本原理：变差，变差平方和?

2、单因素的方差分析单因素的方差分析2014/4/152?交互作用的试验设计：按交互作用表设计交互作用的试验设计：按交互作用表设计?作图大致判断作图大致判断?可通过计算确定趋势可通过计算确定趋势?水平不相同的正交设计水平不相同的正交设计3?水平不相同的正交设计水平不相同的正交设计?直接利用混合水平正交表法：L直接利用混合水平正交表法：L8 8(42(424 4)?拟水平法：对一个拟水平法：对一个或多个或多个因素虚拟水平，虚拟水平后仅因素虚拟水平，虚拟水平后仅部分均衡搭配部分均衡搭配均匀试验设计的特点均匀试验设计的特点均匀试验设计的特点均匀试验设计的特点?着眼点：充分均衡分散。不考虑整齐可比性着眼点

3、：充分均衡分散。不考虑整齐可比性?特点：工作量少，试验条件的初选，误差增大特点：工作量少，试验条件的初选，误差增大?均匀设计表：规格化表格U均匀设计表：规格化表格Un n(t(tq q)，各列的地位不平等，不能随便安排，)，各列的地位不平等，不能随便安排，使用表确定使用表确定列号。列号。4?封闭圈，平滑封闭圈，平滑?每个因素的每个水平只做一次试验，试验次数与水平数相等，等量增加每个因素的每个水平只做一次试验，试验次数与水平数相等，等量增加?交互作用：C交互作用：Cm2，m2，二元回归，一次与二次各m项，交互效应C二元回归，一次与二次各m项，交互效应Cm2m2项，至少（2mC项，至少（2mCm2

4、m2）A1A2AiAb1X11X21Xi1Xb12X12X22X2iXb2jX1jX2jXijXbjM M M M M M M M M M所有数据的总和所有数据的总和Q每一因素下，重复实aX1a aX2a aXiaXba k()2aQ2R2014/4/155=ajjx11=ajjx12=ajijx1=ajbjx1=biajijx11211)(=ajjx212)(=ajjx21)(=ajijx21)(=ajbjx=biajijx121)(=ajjx121=ajjx122=ajijx12=ajbjx12=biajijx112R每一因素下各重复实验数据平方和，或各因素下平方和相加。R每一因素下各重复

5、实验数据平方和，或各因素下平方和相加。Q每因素下，重复实验次数所得数据平方和的除以a?设水平A设水平Ai i下平均值为下平均值为?总平均值为总平均值为?总变差平方和总变差平方和=injijiixnx11=ainjijixnx111=aiinn122PR)(1)(211112211=biajijbiajijbiajijxabxxxS221111kabxabPajijbi=6=+=ainjiiijainjijiixxxxxxS121211)()()(21111211)()()(2)(=+=ainjiiaiinjijaiinjijxxxxxxxxiii00)()()()()(11111=aiaiii

6、njijiiaiinjijxxxxxxxxxxii211211)()(=+=ainjiaiinjijxxxxSii2014/4/152=+=biiaijijiajijbiiajijexxxxxxS1212211)2()(bababaaaa1122014/4/157QRxaxxaaxxaxbiajijbiajijbiajijajajijijaijij=+=+=121112121112)(1)1(2方差计算方法方差计算方法方差计算方法方差计算方法?由此推出?分别求SSSfff=+=PRSSSQRSPQSeATeA=)(1)(1()(1总变差试验误差条件变差abfabfbfTeA8?分别求SA、Se

7、、ST；fA、fe、fT?求方差?因素显著性F检验：?F接近1表示条件变差与试验误差相近的影响。eeeAAAfSVSfSVS=,eAVSVSF=F F判据判据F F判据判据?F F(f(f1 1，f，f2 2):):?显著性水平,=0.01显著性水平,=0.01?单因素f单因素f1 1=f=fA A(条件变差)，f(条件变差)，f2 2=f=fe e(试验误差)(试验误差)?显著性影响显著性影响,有限次有限次,难有难有100%100%把握，显著性水平把握，显著性水平9?显著性影响显著性影响,有限次有限次,难有难有100%100%把握，显著性水平把握，显著性水平?比较F和临界值F比较F和临界值F

8、(f(fA A，f，fe e)，判断显著性)，判断显著性 FF FF0.010.01所选因素影响特别显著,记为“*所选因素影响特别显著,记为“*”F F0.010.01FFFF0.050.05影响显著,记为“*”F影响显著,记为“*”F0.050.05FFFF0.100.10有一定影响,记为“*有一定影响,记为“*”如F0.10看不出影响”如F0.10看不出影响本节课主要内容本节课主要内容本节课主要内容本节课主要内容?正交设计中的方差分析正交设计中的方差分析?无交互作用无交互作用?无重复试验交互作用无重复试验交互作用?有重复实验有重复实验?有重复实验有重复实验?其他正交设计:混合水平其他正交设

9、计:混合水平/虚拟水平虚拟水平?正交设计在其他方面的应用正交设计在其他方面的应用?多个样本均值比较简介多个样本均值比较简介2014/4/1510正交设计正交设计中的方差分析中的方差分析正交设计正交设计中的方差分析中的方差分析?设两因素A和B，A有a个水平，B有b个水平，在每一组合水平(A设两因素A和B，A有a个水平，B有b个水平，在每一组合水平(Ai i,B,Bj j)下，做一次试验(即无重复)，得到试验指标x)下，做一次试验(即无重复)，得到试验指标xijij的观察值，其中i=1，2，的观察值，其中i=1，2，a，j=1，2,，a，j=1，2,，b，各x，b，各xijij相互独立相互独立11

10、总变差的平方和总变差的平方和总变差的平方和总变差的平方和=+=aibjjijiijaibjijTxxxxxxxxxxS121.211)()()()(211.112.211.)()()(=+=aibjjaibjiaibjjiijxxxxxxxxbaabSSxxaxxbxxxxS+=+=S)()()(2221221.)(xxbSaiiA=21.)(xxaSbjjB=21.1)(=+=aijiijbjExxxxS?S SA A和S和SB B分别表示因素A、B同一条件下样本均值与样本单个值之间的差异，即因素A和因素B的效应平方和。如果含空列，则Se也还包含空列误差。分别表示因素A、B同一条件下样本均值

11、与样本单个值之间的差异，即因素A和因素B的效应平方和。如果含空列，则Se也还包含空列误差。BAejjiiijjiijSSxxaxxbxxxxS+=+=S)()()(1.1.11.2014/4/153?S ST T的自由度f的自由度fT T为(ab1),为(ab1),?S SA A自由度f自由度fA A为(a-1)为(a-1)?S SB B自由度f自由度fB B为(b-1)，为(b-1)，?S SE E自由度f自由度fE E为(ab-1)-(a-1)-(b-1)(a-1)(b-1)。为(ab-1)-(a-1)-(b-1)(a-1)(b-1)。13?方差 VS方差 VSA A=S=SA A/(a-

12、1)，VS/(a-1)，VSB B=S=SB B/(b-1)，VS/(b-1)，VSe e=S=Se e/(a-1)(b-1)/(a-1)(b-1)?求出F值F求出F值FA AVSVSA A/VS/VSe e，F，FB BVSVSB B/VS/VSe e，F，FABABVSVSABAB/VS/VSe e，?临界值F临界值F(f(fA A，f，fe e)，F)，F(f(fB B，f，fe e)，比较F)，比较FA A和F和F(f(fA A，f，fe e)，F)，FB B和F和F(f(fB B，f，fe e)。)。双因素无交互作用的方差分析表双因素无交互作用的方差分析表双因素无交互作用的方差分析表

13、双因素无交互作用的方差分析表1=aSVSAAeBBVSVSF=方差来源 平方和 自由度方差F临界值因素ASAa-1F（f1，f2）14eAAVSVSF=1=bSVSBB)1)(1(=baSVSee因素BSBb-1试验误差ESe(a-1)(b-1)总和STab-1L L L L9 9 9 9(3(3(3(34 4 4 4)的方差分析表的方差分析表)的方差分析表的方差分析表试验号因素A因素B因素C试验指标 计算1111X1X122122X2X223133X3X324212X4X425223X5X526231X6X6215=niix1=niix127313X7X728321X8X929332X9X9

14、2K1X1X2X3X1X4X7X1X6X8K2X4X5X6X2X5X8X2X4X9K3X7X8X9X3X6X9X1X2X3SAQAPfAa1fb1211=niixnP=912iixR)(1232221BBBbBKKKnQ+=)(1232221CCCcCKKKnQ+=)(1232221AAAaAKKKnQ+=16SBQBPfBb-1SCQCPFCc1SeSTSASBSCRQAQBQC+2PFeababc2STRPfTab1?前述煤渣砖的生产为例。前述煤渣砖的生产为例。?为了减少计算工作量，将所有的抗折强度数据2.0后再乘以10，试验结果如表4-8 为了减少计算工作量，将所有的抗折强度数据2.0后

15、再乘以10，试验结果如表4-8 17试验号 因素试验号 因素A因素因素B因素因素C抗折强度/抗折强度/MPa同减同减2.011 91 913301.69-3.121 92 1023601.91-0.931 93 1234001.67-3.342 101 923601.98-0.252 102 1034002.373.72014/4/151862 103 1213301.90-1.073 111 934002.535.383 112 1013302.040.493 113 1223602.313.1K1-7.32.0-3.74.0K22.53.22.0K38.8-1.25.7=niix12014

16、/4/1547.4530.137)(1232221=+=AAAaAKKKnQ2.5368.15)(1232221=+=BBBbBKKKnQ9.1941221=niixnP9.7312=niixR197.16318.50)(1232221=+=ccccCKKKnQ得：得：SAQAP45.71.943.8fAa1312SBQBP5.21.93.3fBb1312SCQCP16.71.914.8fCc1312STRP73.91.972.0fTab1918SeSeSTSASBSC72.043.83.314.810.1feababc22?f fe e=2，到0.25,F=2，到0.25,F0.250.25

17、（2，2）3.0，仅成型水份F4.43.0（2，2）3.0，仅成型水份F4.43.0?结论结论?各因素影响不大，因素选择不够合各因素影响不大，因素选择不够合理理。各因素影响不大，因素选择不够合。各因素影响不大，因素选择不够合。?只需选择显著因素（成型水份11），不显著因素原则上可任选。只需选择显著因素（成型水份11），不显著因素原则上可任选。?与直观一致,能看出试验误差较大，试验次数不够。与直观一致,能看出试验误差较大，试验次数不够。2014/4/1520无重复试验交互作用无重复试验交互作用的方差分析的方差分析无重复试验交互作用无重复试验交互作用的方差分析的方差分析?交互作用正交表实质：交互作

18、用占据因素列交互作用正交表实质：交互作用占据因素列?如占两列，则交互作用的变差平方和等于这两列的变差平方和，即S如占两列，则交互作用的变差平方和等于这两列的变差平方和，即SA A B BSS（A A B B）1 1SS（A A B B）2 2，总的S，总的ST TSS21A A B B（A A B B）1 1（A A B B）2 2T T因因SS交交SSE E。?其两因素交互作用列的自由度等于两因素自由度的乘积，即f其两因素交互作用列的自由度等于两因素自由度的乘积，即fABABffA AffB B。例例例例?指标越大越好。因素四个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D；指标越大越好。因

19、素四个：反应温度A，反应时间B，原料配比C，真空度D；?每个因素都是两个水平：A每个因素都是两个水平：A1 1：60，A：60，A2 2：80，B：80，B1 1：2.5h，B：2.5h，B2 2：3.5h，C：3.5h，C1 1：1.1:1，C：1.1:1，C2 2：1.2:1，D：1.2:1，D1 1：并考虑并考虑的交互作用的交互作用2266500Pa，D66500Pa，D2 2：79800Pa，：79800Pa，并考虑并考虑A、BA、B的交互作用的交互作用。?选用正交表L选用正交表L8 8（2（27 7）安排试验。）安排试验。?结果分别为（单位）86，95，91，94，91，92，83，

20、88。进行方差分析。结果分别为（单位）86，95，91，94，91，92，83，88。进行方差分析。正交表和试验结果正交表和试验结果正交表和试验结果正交表和试验结果因素试验号1A2B3AB4C567DYk(%)yk211111111867396211122229590253122112291828141222211948836521212129182816212212192926123621221219292617221122183688982212112887744K1366364352351357359355720 64916K2354356368369363361365K12133956

21、 132496 123904 123201 127449 128881 126025K22125316 126736 135424 136161 131769 130321 133225S1883240.54.50.512.5?S ST T64916720649167202 2/8116/8116?SeSSeST TSS因因SS交交5。或Se=S5。或Se=S5 5+S+S6 6=5=5?正交设计中各因素的正交设计中各因素的对于两水平的对于两水平的正正交设计交设计n na a=4=4，n2nn2na a，+=nKKx24对于两水平的交设计对于两水平的交设计a a，a a，S可简化为：S可简化为

22、：?自由度：f自由度：fT T817，f817，fA AffB BffC CffD D211211?f fABAB1*1=1，f1*1=1，fE EffT T（f（fA AffB BffC CffD DffABAB）=7-5=2）=7-5=2=niniiiaxnKnS121211=+=iiKKx121()2212212221)(8181)(41KKKKKKS=+=2014/4/155方差来源平方和 自由度均方F临界值显著性A181187.2F方差来源平方和 自由度均方F临界值显著性A181187.2F0.050.05(1,2)=18.51F(1,2)=18.51F0.100.10(1,2)=8

23、.53B8183.2AB3213212.8*(1,2)=8.53B8183.2AB3213212.8*C40.5140.516.2*C40.5140.516.2*方差分析表方差分析表方差分析表方差分析表25D12.5112.55.0试验误差SD12.5112.55.0试验误差SE E5.022.5总和11675.022.5总和1167?影响顺序为C，AB，影响顺序为C，AB，A，B，A，B，D。最佳组合C2A1B1D2D。最佳组合C2A1B1D2?AB交互作用，2水平较好，（AB）AB交互作用，2水平较好，（AB）2 2的情况下有B1，A的情况下有B1，A2 2和B和B2 2，A1两种情形，但

24、A影响比B大，先选A为A，A1两种情形，但A影响比B大，先选A为A1 1，则B为B，则B为B2 2，故最后的最有方案为C，故最后的最有方案为C2 2A A1 1B B2 2D D2 2有重复试验的交互作用的方差分析有重复试验的交互作用的方差分析有重复试验的交互作用的方差分析有重复试验的交互作用的方差分析?每试验号重复多次，与无重复基本相同，但要注意几点：每试验号重复多次，与无重复基本相同，但要注意几点：1.1.计算K计算K1 1,K,K2 2用各试验重复n次数据之和；用各试验重复n次数据之和；262.2.计算S的“水平重复数”为“水平重复数与重复试验次数之积；计算S的“水平重复数”为“水平重复

25、数与重复试验次数之积；3.3.误差S误差Se e：空列误差S：空列误差Se1e1和重复试验误差S和重复试验误差Se2e2。其他正交设计中的方差分析其他正交设计中的方差分析其他正交设计中的方差分析其他正交设计中的方差分析?混合型正交设计和拟水平正交设计中的方差分析：注意各列水平数不同，相应自由度也不相等。混合型正交设计和拟水平正交设计中的方差分析：注意各列水平数不同，相应自由度也不相等。?对混合型正交表L对混合型正交表L8 8(42(424 4)，)，()22127?SQP，SQP，?两水平因素，自由度f2-11两水平因素，自由度f2-11?四水平因素自由度f4-13。四水平因素自由度f4-13

26、。()2281xkkx)(812221KKS=28124232221)(81)(21=+=iixKKKKS?研究不同水胶比下，石粉掺量和细度对流动度和力学性能的影响。研究不同水胶比下，石粉掺量和细度对流动度和力学性能的影响。?因素：掺量(10%，18%，26%，34%)，水灰比(0.35，0.29因素：掺量(10%，18%，26%，34%)，水灰比(0.35，0.29)，细细度度(350/350/，610/610/)28)，度度(，)?正交表L正交表L8 8(42(424 4)?试验指标为胶砂流动度、抗折强度和抗压强度，越大越好。试验指标为胶砂流动度、抗折强度和抗压强度，越大越好。试验的因素水

27、平表试验的因素水平表试验的因素水平表试验的因素水平表因素A掺量(%)因素A掺量(%)因素B水胶比因素B水胶比因素C细度(/g)因素C细度(/g)水平水平29水平水平1 110100.350.35610610水平2水平218180.290.29350350水平3水平32626水平4水平43434试验方案及其结果表试验方案及其结果表试验方案及其结果表试验方案及其结果表组号组号胶砂流动度()胶砂流动度()7d抗折强度(MPa)7d抗折强度(MPa)7d抗压强度(MPa)7d抗压强度(MPa)1 11501509.49.463.163.12 212112110.410.464.864.83 31501

28、508.78.748.748.7304 41141149.39.355.555.55 51671677.97.937.937.96 61381389.59.557.057.07 71941947.47.433.933.98 81501508.88.851.351.32014/4/156石粉掺量石粉掺量(%)水胶比石粉细度水胶比石粉细度(/g)流动度强度流动度强度流动度强度流动度强度流动度强度流动度强度K1271127.9661183.6588220.1K2274104.2533228.6606192.1K330594.9K434485.24k1135.564.0165.245.9147.055

29、.0k2137.052.1133.257.2151.548.0k3152.547.4k4172.042.6极差极差36.521.432.011.34.57.0较优方案较优方案A4A1B1B2C2C12014/4/1531正交设计的抗压强度方差分析表正交设计的抗压强度方差分析表正交设计的抗压强度方差分析表正交设计的抗压强度方差分析表方差来源平方和自由度方差方差来源平方和自由度方差F流动度强度流动度强度流动度强度因素流动度强度流动度强度流动度强度因素A1734.5 501.943578.2167.31 19.80*46.35*因素因素B2048.0 253.1212048.0 253.12 70.

30、14*70.12*32因素因素C40.598.00140.598.001.3927.15*试验误差试验误差E58.57.22229.23.61总和总和3881.5 860.287虚拟水平的正交设计虚拟水平的正交设计虚拟水平的正交设计虚拟水平的正交设计?正交表L正交表L9 9(3(34 4)，)，?因 素 C 第 2 水 平 虚 拟 一 个 水 平，则 此 虚 拟 水因 素 C 第 2 水 平 虚 拟 一 个 水 平，则 此 虚 拟 水平平自由度为自由度为f f2 2-1 11 12812221KK33平平，自由度为自由度为f f2 2 1 11 1，?其他水平，自由度f3-12。其他水平，自由

31、度f3-12。281916231)iix(KKS=+=281232221)(91)(31=+=iixKKKS应用应用-消费者投诉问题消费者投诉问题应用应用-消费者投诉问题消费者投诉问题观测值行业零售业旅游业航空业家电制造业观测值行业零售业旅游业航空业家电制造业1576831442663949513492921654404534772014/4/153444045347753456405865351744行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业观察个数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业观察个数7655行业平均行业平均49483559总平均总平均47.93432881752951101P=？21

32、750714748655918055R56869Q?2014/4/153521750714748655918055R56869Q=?SA8.470.06832.05 616.05 1456.63SE7009244346502708差异源差异源SSdfMSFF crit组间1456.63 485.543.40793.1278组内270819 142.53总计4164.622组间1456.63 485.543.40793.1278组内270819 142.53总计4164.622应用应用2 2-医学问题医学问题应用应用2 2-医学问题医学问题?不同剂量雌激素对大白鼠子宫重量的影响，取4窝不同种系的

33、大白鼠（b=4）,每窝3只，随机分配到3个组不同剂量雌激素对大白鼠子宫重量的影响，取4窝不同种系的大白鼠（b=4）,每窝3只，随机分配到3个组大白鼠雌激素剂量合计种类大白鼠雌激素剂量合计种类0.20.40.82014/4/1536A106116145367B4268115225C70111133314D426387192ni(b)44412均数均数6589.512091.5和和2603584801098平方和平方和1966434370595081135422014/4/157数理统计学数理统计学数理统计学数理统计学1.建立假设、确定检验水准建立假设、确定检验水准?H0：1=2=3雌激素对大白子

34、宫重量无影响雌激素对大白子宫重量无影响?H1：1、2、3不相等或 不全相等不相等或 不全相等?=0 01?=0.012.计算检验统计量计算检验统计量F2014/4/153713075100467113542=PRST111121=Nf10046743109812211=ajijbixabP方差分析60741004674480358260)(22221.=+=+=PQxxbSAaiiA剂量剂量)(2 xbkijb2131=kf67.645710046731923142253672222=+=+=BS31,)(1121=bfPkxxkSBjijjB种类种类33.54367.645760741307

35、5=eS1+=kbNffffBATe方差分析表方差分析表-双因素随机区组设计双因素随机区组设计变异来源变异来源SS MSFP剂量剂量6074.0023037.0033.540.01大白鼠种类大白鼠种类6457.6732152.5623.770.01误差误差543.33690.55误差误差总计总计13075.0011?F F0.010.01（fa，fe）=（fa，fe）=F F0.010.01（2，6）=10.92，因（2，6）=10.92，因P P 0.01，拒绝0.01，拒绝H H0 0，三个剂量组有影响。，三个剂量组有影响。?F F0.010.01（3，6）=9.78，（3，6）=9.78，P P0.01，拒绝DunnettSNKTukeyScheff