数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--4章.pdf
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1、第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜,试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为 8.9g/。)3cm解解 球体积334rV=,每只球镀铜所需要铜的质量为 12.142=rrVmg。用定义证明,函数yx=23在它的整个定义域中,除了x=0这一点之外都是可微的。证证 当时,0 x=32xy=是x的低阶无穷小,所以yx=23在不可微。当时,0 x=0 x 3223333333322333()()(2(),3()yxxxxxxxxxxxx3)xxoxxxxxxxx=+=+=+所以y
2、x=23在是可微的。0 x 57课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 4.2 导数的意义和性质 习 题 4.2 导数的意义和性质 1 设存在,求下列各式的值:fx()0 lim()(xf xxf x)x000;lim()()xxf xf xxx000;lim()()hf xhf xhh+000。解解(1)()()()(lim)()(lim0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx=+=。)()()(lim)()(lim0000000000 xfxxxfxxxfxxxfxfxxxx=+=。hhxfhxfh)()(lim000+)(2)()(lim)()(lim000
3、0000 xfhxfhxfhxfhxfhh=+=。2 用定义求抛物线yxx=+2321的导函数;求该抛物线上过点(,)1 2处的切线方程;求该抛物线上过点(,)2 1处的法线方程;问该抛物线上是否有(,,过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行?)a b解解(1)因为xxxxxxxxxxy+=+=234)132(1)(3)(222,所以 34lim)(0+=xxyxfx。(2)由于1)1(=f,切线方程为1(1)(2)3yxx=+=。(3)由于5)2(=f,法线方程为17(2)155xyx+=+=。(4)抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴,即斜率为无穷大,由(1)可 58课后答案网 w w
4、w.k h d a w.c o m知不存在x,使得,所以这样的点不存在。=)(xf(,)a b3设为上的可导函数,且在)(xf),(+0=x的某个邻域上成立)(8)sin1(3)sin1(xxxfxf+=+,其中)(x是当时比 高阶的无穷小。求曲线0 xx)(xfy=在处的切线方程。)1(,1(f解解 记)sin1(3)sin1()(xfxfxF+=,可得0)1(2)(lim0=fxFx,即。由0)1(=f00()8()limlim8xxF xxxxx+=与 000()(1 sin)(1)sin(1 sin)(1)sinlimlim3lim4(1)sinsinxxxF xfxfxfxfxfxx
5、xxx+=,得到。于是曲线在处的切线方程为。2)1(=f)(xfy=)1(,1(f)1(2=xy4 证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反射光必定经过它的另一个焦点。(见图 4.2.5)证证 设椭圆方程为 012222=+babyax,焦点坐标为 22),0,(bacc=。假设为椭圆上任意一点,当时结论显然成立。现设),(00yx00=y00y,则过此点的切线斜率为0202tanyaxb=,与焦点),(00yx)0,(c连线的斜率为cxy+=001tan,此连线与切线夹角的正切为tantan1tantan11+=k。利用和222bac=1220220=+byax代入计算,得到
6、 59课后答案网 w w w.k h d a w.c o m2002222222222000000222222000000000200()1yb xxca ya yb xcx ba bcx bbkyb xabx ya cyc x ya cycyxc a y+=+=。),(00yx与另一焦点连线的斜率为)0,(ccxy=002tan,此连线与切线夹角的正切为 2002222222222000000222222200200000200tantan1tantan()1b xya yxccx ba yb xcx ba bbkyb xabx ya cyc x ya cycyxc a y=+00=。由于两
7、个夹角的正切相等,所以两个夹角相等,命题得证。5证明:双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为。xya=222a证证 假设为双曲线上任意一点,则,过这一点的切线斜率为),(00yx200ayx=002020 xyxayx=,切线方程为)(0000 xxxyyy=,易得切线与两坐标轴的交点为和。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为)2,0(0y)0,2(0 x2000022)2)(2(21ayxxyS=。6 求函数在不可导点处的左导数和右导数。y=|sin|x;yx=1cos;yx=e|;yx=+|ln()|1.解解(1)对,当y=()|sin|f xx=0=x时,60课后答
8、案网 w w w.k h d a w.c o m1sinlim|0sin|sin|lim)0(00=+xxxxfxx,00|sin|sin0|sin(0)limlim1xxxxfxx =,所以是不可导点。又由于函数y是周期为0=x的函数,所有不可导点为)(Zkkx=,且1)(=kf,1)(=+kf。(2)y=()1cosf xx=22sin2 sin22xx=,由(1)可知不可导点为)(2Zkkx=,且经计算得到 2(2)2fk=,2(2)2fk+=。(3)不可导点只有|()exyf x=0=x,且 11lim)0(0=+xefxx,11lim)0(0=xefxx。(4)()yf x=)1ln
9、(+x不可导点只有0=x,且 00|ln(1)|ln1ln(1)(0)limlim1xxxxfxx+=,00|ln(1)|ln1ln(1)(0)limlim1xxxxfxx +=。7讨论下列函数在x=0处的可导性:=+;0,0,0)0(,sin|11xxaxyxa yxxaxbx=+200,;yxxaxxx=e,;002 yxxax=e,.2000,解解(1)10001|sin1limlimlim|sgn()sin0aaxxxxyxxxxxx+=,所以函数在可导。0=x(2)如果函数在可导,则必须在0=x0=x连续,由可得。当时,bff=+)0()0(0=b0=b00lim)0(20=+xxf
10、x,axxafx=0lim)0(0,61课后答案网 w w w.k h d a w.c o m故当时函数在可导,其他情况下函数在0=ba0=x0=x不可导。(3)由于10lim)0(0=+xxefxx,)0(00lim)0(20+=fxxafx,故函数在不可导。0=x(4)当时函数在0a 0=x不连续,所以不可导;当时,0a 2000limlim0axxxyexx =,所以当0fx=0的小邻域中有,故,所以|(在0)(xf)(|)(|xfxf=)|f xx=0处也可导。当时,由于 0)0(=f|()|(0)|()(0)sgn00f xff xfxxx=,分别在x=0处计算左、右极限,得到|(在
11、)|f xx=0处的左导数为,右导数为|,所以|(在|(0)f|(0)|f)|f xx=0处也可导的充分必要条件是。(0)0f=9设在,上连续,f x()a bf af b()()=0,且0)()(+bfaf,证明在(,至少存在一个零点。f x()a b证证 由题设知)(af+和同号,不妨设两者都为正数。由于)(bf()()()()limlim0 xaxaf xf af xfaxaxa+=,可知存在11()xaxbxf()()()()limlim0 xbxbf xf bf xfbxbxb =,可知存在212()xxxb,。由连续函数的零点存在定理,函数在之间有零点。0)(2a),(yx两条切线
12、当且仅当在该抛物线的下方,即。同理当),(yxcbxaxy+2020)(|),(21+=ycbxaxayxS。过只可以作该抛物线一条切线当且仅当在该抛物线上,),(yx),(yx所以 0|),(22=+=ycbxaxyxS。由此得到 0)(|),()(2213=1,ux=()也是可微函数,利用一阶微分的形式不变性求下列复合函数的微分:f u g u h u()()();f u g uh u()()();h ug u()();)(log)(uguh;)()(tanarcuhuf;122fuhu()()+.解解(1)()()()d f u g u h u()()()()()()()()()fu g
13、 u h uf u g u h uf u g u h u du=+()()()()()()()()()()fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dx=+。课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 82(2)()()()f u g udh u2()()()()()()()()()fu g uf u g u h uf u g u h uduh u+=2()()()()()()()()()()()fu g u h uf u g u h uf u g u h ux dxh u+=。(3)()()g ud h u()ln()()ln()()ln()g uh u
14、g uh uedueg uh udu=()()()()()ln()()()g uh uh ug ug uh ux dxh u=+。(4)()log()h udg u2ln()ln()ln()ln()ln()ln()ln()g ug uh ug uh udduh uh u=2()()ln()()()ln()()()()ln()h u g uh uh u g ug ux dxh u g uh u=。(5)()arctan()f udh u222()()()()()()()()()()1()f uh ufu h uf u h udux dxfuh uf uh u=+。(6)221()()dfuh u
15、+2233222222()()()()()()()2()()()()fuh uf u fuh u h udux dxfuh ufuh u+=+。课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 习 题 4.5 高阶导数和高阶微分 求下列函数的高阶导数:yxxx=+3221,求y;yxx=4ln,求y;yxx=+21,求;y yxx=ln2,求y;y=sin3x,求、yy;yxx=3cos,求、;yyyxx=23e,求;y yxx=earcsin2y,求;yxx=32cos,求;y()80 yxx=+()s212h,求.y()99解解(1),46,1432
16、+=+=xyxxy6 =y。(2),。33ln4xxxy+=222227ln1234ln12xxxxxxxy+=+=(3)2232121432 112(1)xxxxxxyxx+=+,3122225323(46)(1)(43)(1)3822(1)4(1)xxxxxxxyxx+8+=+。(4)3321ln21ln2xxxxxxy=,44315ln6)ln21(32xxxxxxy=。(5),3223cos3)3(cosxxxxy=3432323sin9cos6)3)(sin(3cos6xxxxxxxxxy=+=,33233436cos6 sin(3)36sin9cos(3)yxxxxxxxx=2x3
17、 33654sin(276)cosxxx=x。(6)xxxxxxxxxysin21cos3)21)(sin(cos325232=+=,83课后答案网 w w w.k h d a w.c o m3522215116 cos3(sin)sin(cos)4222yxxxxxxxxxx=+322111(6)cossin44xxxx=x,13222133111(6)cos(6)(sin)sincos248422xxyxxxxxxxxx=+312215157(6)cos()sin888xxxx=+x。(7),xxxexxxexxey32323)32()3(2+=+=xxxexxxexxexy32323)2
18、129()3()32()62(+=+=,xxxexxxexxexy32323)185427()3()2129()1218(+=+=。(8)222)11arcsin2()(arcsinarcsin)(22xxxexxxxexexy+=+=,;)1()34(arcsin)12(2)1()2()21(12arcsin2)11arcsin2)(2()11arcsin2()11arcsin2()(222222322223222222xxxxxexxxxxexxxxxexxxxexxxexxxxy+=+=+=(9)(80)3(80)12(79)2(78)3(77)808080cos23cos26 cos2
19、6cos2yxxCxxCxxCx=+80379278772cos280 23sin23160 26 cos282160 26sin2xxxxxx=+x 80222(4740)cos2(12061620)sin2x xxx=+xx。(10)(99)2(99)1(98)2(97)9999(21)sh4 sh4shyxxCxxC=+2(21)ch 99 4 sh4851 4ch xxxx=+x 2(219405)ch396 shxxx=+x。求下列函数的 阶导数:n()ny 84课后答案网 w w w.k h d a w.c o myx=sin2;yxx=2 ln;yxx=e;yxx=+1562;y
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