企业综合自动化课程资料第3章 自由度分析.pdf

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1、 1第三章第三章 自由度分析自由度分析 3.1 自由度概念自由度概念 化工流程模拟从本质上讲就是用不同的方法求解不同类型、不同规模的方程组求得有关未知变量的问题。一个基本问题就是确定未知数数目（m）与独立方程数（n）之间的关系。考察由 m 个未知变量和 n 个独立独立方程构成的模型方程组：0)(=XF 式中，),(21mxxxX?=),(21nfffF?=根据方程理论，n 个方程只能对 n 个变量求解，因此，必须有 m-n 个变量在求解方程之前被确定。这个在求解方程之前必须确定其值的变量数（m-n）称作自由度，用符号 d 表示：nmd=显然，自由度实际上就是独立变量数。自由度 d 有三种情况：

2、（1）0=d，即nm=，独立方程数与未知变量数相同，方程有唯一解；（2）0d，即nm，未知变量数比独立方程数多，（设定不足），必须指定多余的)(nm个未知变量的值方程才有唯一解，否则有无穷多解，方程解不确定。（3）0d，即nm，独立方程数比未知变量数多，（设定过度），有多余的方程，不同方程之间会出现矛盾，方程组无解。在过程模拟之前，通过自由度分析正确地确定独立变量数，可以避免由于设定不足和设定过度而引起的方程组无解。看起来确定自由度十分容易，实际上并非如此。例如混合单元如图，我们可能会写出下列物料衡算方程：2),1(,33,22,11,ciFxFxFxiii?=+321FFF=+111,=ci

3、ix 112,=ciix 113,=ciix 式中，jF第j股流的摩尔流量；jix,第j股流组分i的摩尔分率。上述方程共有4+c个，变量数33+c个，可得到自由度12 c。实际上这些方程不是相互独立的。组分平衡方程各式相加可得到总物料平衡。因此独立方程数应该是3+c，正确的自由度为c2。然而当模型方程较多时，逐个罗列模型方程和独立变量是非常麻烦的，同时也不大容易凭直觉确定独立方程数，这样常常会导出错误的自由度。因此需要寻求一些规律，以指导我们正确地进行自由度分析，同时避免罗列方程和变量的麻烦。自由度分析只能告诉我们独立变量数，而不能指出哪些变量是独立变量，独混合单元 1,1,11,cxxF?2

4、,2,12,cxxF?3,3,13,cxxF?混合单元 3立变量的确定往往需要凭借经验，或一定的方法和原则。3.2 流股的自由度流股的自由度 过程系统中单元间借助于管道联结的物料流称为物流或流股。通常我们可以用以下一些变量来描述一个物流：温度（T），压力（P），总流量（F），组分摩尔分率（ix），相分率，相焓，总焓的等等，这些变量之间不是相互独立的，它们之间遵守相平衡和化学平衡关系。那么，究竟需要多少个变量才能使物流的状态唯一地确定下来？即物流的独立变量数是多少，即自由度是多少？Duhem定理：对于一个已知每个组分初始质量的封闭体系，其平衡状态完全取决于两个独立变量，而不论该体系有多少相，多少

5、组分和多少化学反应。若体系的初始组分摩尔数已知，则体系的自由度为2，无论体系是否发生化学反应或相变，自由度均为2，这就是Duhem定理。对于物流，我们可以取其一定量的流体作为封闭体系来考察。由于我们已知物流的组分流量，所以根据Duhem定理，只要确定另外两个独立变量就可以使物流的状态唯一确定下来，这就是说，物流的自由度（即独立变量数）为：组分数c2 实际上，我们总是指定变量 11,cxxFPT?或 cnnnPT,21?各独立组分的分流率 作为物流变量。这些变量足以确定物流的状态，其他任何多余的指定都是没有必要的。3.3 过程单元的自由度过程单元的自由度 化工过程单元自由度分析的基本步骤是：求出

6、该单元所有输入与输出流股独立变量数与设备参数的总和m，及该单元的独立方程数n，则自由度即为（mn）。4独立方程的类型主要有：物料衡算、焓衡算、相平衡、温度与压力平衡及其他有关的独立方程。物性参数的计算，例如求相对焓值及求气液平衡常数的关联式等不作为独立方程。通过一些典型过程单元的自由度分析寻求过程单元自由度分析的规律。1 混合单元混合单元 混合单元的模型方程如下：物料平衡（c个）：),1(,33,22,11,ciFxFxFxiii?=+焓平衡（1个）：332211FHFHFH=+压力平衡（1个）：),min(213PPP=若给定混合器的进料流股变量，其出口流股变量就完全确定了。而每个流股的自由

7、度为2+c，出口流股的2+c个变量可以通过2+c个混合单元模型方程计算得到。混合单元 111,1,11,PTxxFc?混合单元333,3,13,PTxxFc?222,2,12,PTxxFc?5 变量数63+c，方程数2+c，自由度42+=cd。结论结论：混合单元的自由度等于其输入流股自由度之和。如果混合单元有s个输入流股，则自由度scd)2(+=。混合单元模型的独立变量的指定：（1）输入流股的sc)2(+个变量，计算输出流股的2+c个变量。（2）输出流股变量作为独立变量，但是作为独立变量的变量之间应满足：变量之间要相互独立，如对两个入料流的混合单元不能同时选择321,FFF作为独立变量；不可逆

8、显函数的输出变量不能作为独立变量，如压力平衡方程),min(213PPP=为不可逆的，3P不可作为独立变量。2 流股分割单元流股分割单元 流股分割单元用于将一个流股分割成s个状态相同，流量不同的流股，过程无热交换，无反应。用流股的最少变量及它们之间的净关系描述流股分割单元，模型方程如下：sjTTFj,1,?=sjPPFj,1,?=sjFFFjj,1,?=物料衡算 sjcixxFiji,1;1,1,?=组分相同 11=sjj分流比约束 方程数为：1)1(3+=cssn 2+c 2+c2+c 2+c 6分割单元的变量为：FcFFFFxxPTF,1,1,?sjxxPTFjcjjjj,1,1,1?=s

9、jj,1,?=分流系数 变量数：sccsm+=)2()2(自由度为：)1()2(1+=+=scscnmd 给定流股分割单元的输入流股变量和1s个分流系数，该单元状态便可唯一确定下来。流股分割单元的自由度等于进料流股自由度)2(+c与物料分支数之和（分割单元的分支数等于输出流股数s减1）。3 平衡闪蒸单元平衡闪蒸单元 模型方程：?分割单元 FcFFFFxxPTF,1,1,?1,11,1111,cxxPTF?scssssxxPTF,1,1,?s 个流股s)2(+cs 2+c2+c 2+c),(111ss?71,1,2,32,21,1=+=cixFxFxFiii?321FFF+=332211FHFH

10、QFH+=+32PP=32TT=cixKxiii,1,3,2,?=，iK组分的气液平衡常数 方程数：32+=cn 平衡闪蒸单元的变量：QPPPTTTFFF,321321321 1,1,3,2,1,=cixxxiii?变量数：73+=cm 自由度：2)2(4+=+=ccnmd 为输入流股自由度2，一个与物料流无关的能量流，一个物料分支。1,11,1111,cxxPTF?2,12,1222,cxxPTF?3,13,1333,cxxPTF?Q 8 4 反应程度反应单元反应程度反应单元 反应程度反应单元里有r个独立化学反应发生，每个反应的反应程度记作rjj?,1,=，单位kmol/h，该单元有热量Q的

11、移出或移入，且存在压力降P。模型方程为：=+=rjjjiiivxFxF1,1,12,2，ci,1?=jiv,j反应i组分的化学计量数，规定反应物符号为“”，生成物符号为“”。1 2+c)2(2+c2+c 2+cr+2 2+c2+c2+c 1,11,1111,cxxPTF?2,12,1222,cxxPTF?QPr,1?9QHFHFHrjjjR+=1122)(PPP+=12 方程数：2+=cn 变量数：rcm+=2)2(2 自由度：2)2(+=rcd 输入流股自由度)2(+c，独立反应数，与物料流无关的能量流（Q）和压力降（P）个数之和。5 换热单元换热单元 根据以上几个过程单元自由度分析的结论，

12、我们可以不列出模型方程和变量，仅根据图得到自由度分析。模型应当算出输出物流全部变量的数值，也就必然有这么多个关系方程式存在。变量数：1)2(2+=cm 1,11,1111,cxxPTF?2,12,1222,cxxPTF?1 2+c2+c2+c 10方程数：2+=cn 自由度：1)2(+=cd 除输入流股引入的)2(+c个自由度外，另一个自由度是由与物料流无关的能量流（Q）引入的。对逆流或并流换热单元，也可方便地得到自由度：变量数：1)2(4+=cm 方程数：42+=cn 自由度：1)2(2+=cd 单元虽然有两个物流，但由于不存在分支，因此不引入自由度。6 压力变化单元压力变化单元 压力变化单

13、元包括阀门、泵、膨胀机等单元。压力变化单元中除了压力降引1 2+c)2(2+c2+c 2+c2+cQ 11入一个自由度外，与物流无关的能量流也引入一个自由度。阀门的自由度：1)2(+=cd 泵、压缩机的自由度为：2)2(+=cd 7 计算通式计算通式 通过对上述典型过程单元的自由度分析，我们可以归纳出过程单元的自由度计算通式：2 2+c2+c2+c 1 2+c2+c2+c PWP WP 12grescdniiU+=)1()2(1)(式中，)(Ud过程单元的自由度；n输入流股数；s通过衡算区时出现分支的输出流股数；ic第i个输入流股的组分数；e与物料流无关的能量流和压力变化引入的自由度；r反应单

14、元的独立反应数；g几何自由度，对于给定的设备，几何变量是常数，0=g。例例1 试确定具有热量和物料移入以及侧线采出的平衡级的自由度。令入入VLF,三个流股的组分数均为c，利用通式可得到该单元的自由度为：931)13()2(3+=+=ccd V出L入 平衡级 F S L出 V入Q2+c2+c2+c2+c 2+c 2+c F L入 V入S V出 L出 1)2(3+c 13 例例2 试确定具有一个液体进料，一个汽相产品流和两个互不相溶液相产品流的非绝热平衡闪蒸单元的自由度。方法一：利用通式确定该单元的自由度。入料流组分数为c，输出流股数为3，与物料流无关的能量流数为1，所以该单元的自由度为：51)1

15、3()2(+=+=ccd 方法二：列出全部模型方程和变量。该单元模型方程为：（1）压力平衡：1PPV=2PPV=（2）温度平衡 1TTV=2TTV=（3）相平衡 iiixKy=，ci,1?=（4）物料平衡 iiixLVyFz1+=，ai,1?=cFFzzPTF,1?QcVVyyPTV,1?axxPTL,1111?caxxPTL,1222?+14 iiixLVyFz2+=，cai,1?+=（5）焓平衡 2211LHLHVHQFHVF+=+（6）摩尔分数加和 11=ciiz 11=ciiy 11=aiix 11=+=caiix 方程数为：92+=cn 变量为：QLLVFTTTTPPPPFVFV,2

16、12121 iiixyz,，ci,1?=变量数为：133+=cm 自由度为：4+=cd 两个方法得到的结果不一致，究竟哪个结果正确？通过对具体过程的分析，可以发现，尽管闪蒸单元有三个出口，从表面上看引入了两个自由度，而实际上只引入了一个自由度。因为一旦给定Q和闪蒸压力VP，V与)(21LL+的比值也就确定了，而1L与2L的比值相应地也确定了，改变任何参数也不可能使21LL发生变化。由此说明方法二的结论是正确的。这个例子说明，在用通式对复杂系统进行自由度分析时，应结合具体物理过程灵活运用。153.4 过程系统的自由度过程系统的自由度 一个由m个变量，n个独立方程构成的过程系统模型，其自由度由下式

17、给出：nmd=对于过程系统可用构造的方法进行，即在过程单元自由度分析的基础上，考虑过程单元间存在的联结关系，求出过程系统的自由度。任何过程单元的自由度可用下式表示：grescdniiU+=)1()2(1)(1)过程系统的自由度与过程单元自由度的关系可用下式表示：=jLjjUjSkdd)()()(2)上式的含义是过程系统的自由度等于组成该系统的各个过程单元的自由度之和，减去过程单元间各个联结流股的变量数)()(Ljk之和。每增加一个联结流股就相应地增加2+jc个联结方程。联结流股变量数可用流股组分数jc表示：2)(+=jLjck (3)考察下图所示的过程系统，可以把进入各个过程单元的流股分成两类

18、：（1）由环境输入的流股；（2）由上一级过程单元输入的流股（过程单元间的联结流股）。即+=+=+sqjjqjjsjjccc111)2()2()2(4)等号右边第一项表示由环境输入的流股变量和，第二项为单元间的联结流股：+=+=sqjjjLjck1)()2(5)将(1)(5)代入(2)，得到：+=+=sqjjiiiiiiiisjjScgrescd11)()2()1()2(6)16将(4)代入上式，得到：+=iiiiiiiiqiiSgrescd)1()2(1)(7)式中，等号右边第一项为由环境输入到系统的流股自由度之和，至于这些流股输入到哪个单元，对确定系统的自由度是无关紧要的；第二项表示系统中存

19、在的分支总数；第三项为与物料流无关的能量流及压力变化总数；第四项为系统中存在的独立反应数总和；第五项为系统的几何自由度。例例 一个高压反应流程，含有少量组分B的原料气A与循环流（以A为主）混合后进入反应器，在反应器中进行AC反应，并产生压降P，反应器出口流股经换热器冷却、减压阀减压后进入闪蒸器，主要产品C从闪蒸器底部流出，未反应的A（及少量的B和C）从闪蒸器汽相出口排出至分割器，部分排放，大部分循环到压缩机，进行压缩后返回使用。试进行自由度分析。解解 不考虑几何自由度，流程的基本框图，标出了流股变量数。（1）各过程单元的自由度如表所示，从表中得到该系统中各单元自由度之和为：51)(=jUjd

20、由框图可以得到，过程单元之间的联结流股数为7，每个流股的变量数均为5，所以：3575)(=jLjk 过程系统的自由度为：163551)()()(=jLjjUjSkdd q+1s?p 1 1 2 p+1q 17 表 过程单元的自由度 过程单元+iic)2(1is ie ir ig)(Uid 混合器 459 0 0 0 0 9 反应器 5 0 2（PQ,）1 0 8 换热器 538 0 1（Q）0 0 9 阀 5 0 1（P）0 0 6 闪蒸器 5 1 0 0 0 6 分割器 5 1 0 0 0 6 压缩机 5 0 2（PW,）0 0 7 合计 42 2 6 1 0 51 A（B，C）A（B）进料

21、 QQ C（A,B）C,A（B）A（B，C）A（B，C）阀热交换器产品 闪蒸器 压缩机 混合器 反应器 分割器 冷却水 3 3 4 55 5 5 5 55 5 混合器 反应器 换热器 阀 闪蒸器 分割器 压缩机 5 18（2）若由(7)计算该系统的自由度，则由环境输入到系统的流股变量数为437，由表可得分支总数=iis2)1(，6=iie，1=iir，0=iig，代入(7)得到：161627)(=+=Sd 由(7)计算自由度十分方便。自由度表明独立变量的数目，但是并不能确定在具体情况中涉及哪些量，以及按照什么原则在自由度所给定的数目范围内选择这些量，因此，还必须了解如何确定这些量。19 3.5

22、 决策变量的确定 过程系统模型中的变量由两部分组成：（1）决策变量（独立变量）；（2）状态变量（因变量）。对于不同的对象，决策变量又可称为设计变量、操作变量或控制变量。过程系统变量中，决策变量与状态变量是相对而言的。在 m 个系统变量和 n个决策变量的情况下，选择决策变量的方案组合数为：)!(!nmnmCnm=但是，并不是所有nmC组选择都是可行的，其中有相当一部分选择使系统模型无解。因此，决策变量的选择不是任意的。1 经验方法 自由度不仅包括过程量，而且包括几何量：gpddd+=决策变量包括过程量和几何量。几何量可理解为对过程起决定作用的装置结构尺寸，称之为主要尺寸，以区别于对过程无影响（或

23、影响不大）的那些几何量或结构量。如反应器的内径、触媒床高度等均属于几何量；而反应器壳体壁厚则不属于这里定义的几何量。对于过程模拟分析与过程控制问题，几何量通常是确定的，几何自由度为零。对于过程设计，几何自由度往往不为零。所谓过程量，就是指几何变量以外的系统变量。通常，可以选择那些在过程系统自由度分析时所涉及的量作为决策变量（如系统输入流股变量、分割比、系统与环境交换的与物流无关的能量、反应程度、过程单元的主要尺寸、等等）作为决策变量。自由度表示独立变量数，因此，选作决策变量的量必须保持独立性。上述选择原则一般可以保证变量的独立性，然而对于其他选择，当对象系统很大时，则 20 不易保证变量的独立

24、性。此时，若凭经验选取决策变量，要格外小心。从数学意义上讲，一组方程有解的充分必要条件是 Jacobian行列式非零。但是，对于一个大系统，计算 Jacobian行列式是很困难的。针对过程系统的模型方程组，Lee 等人提出了一种选择决策（设计）变量的方法，该法既可保证选择的决策变量相互独立，又可减少过程系统计算的计算量，主要适用于面向方程法解稳态模拟问题。2 简化过程计算的决策变量选择法 对系统模型方程组，用拓扑双层图表示：=0),(0),(0),(165354323211vvvfvvvfvvvf 图中 f 节点代表方程，v 节点代表变量，联结节点间的边表示方程与变量的关系。与节点相联的边数定

25、义为该节点的局部度。例如图中节点1f的局部度为3)(1=f，节点5v 的局部度为2)(5=v。引入输出变量的概念，若已知方程1f中变量1v和2v的值，则可解出3v，因此3v 可看作是1v和2v的函数。根据方程理论，方程组中的每个方程只能解出一个变量，该变量称作方程的输出变量。但是，每个方程只能有一个输出变量。在双层图中，我们用有向边指向的v节点表示 f 方程的输出变量，有向边离开的 vv6 v4 v5 v3 v2 v1 f3 f2 f1 图 1 拓扑双层图 21 节点表示 f 方程的输入变量。（1）决策变量的选择对方程求解的影响 以上述方程组为例，其自由度为 3，即决策变量数为 3。Case

26、1：选变量1v，3v 和5v 作为决策变量：一旦给定决策变量的值，图 1 化简成并行结构，此时方程可分别求解，且求解顺序无关紧要。Case 2：选变量2v，4v和6v 作为决策变量：原双层图变成环形结构，得到的方程组必须联立解或迭代解。Case 3：选变量1v，4v和6v 作为决策变量：原双层图变成串行结构，这种结构的方程组可依次顺序求解。v5 v3 v1 f3 f2 f1 图 3 环形结构 v6 v4 v2 f3 f2 f1 图 2 并行结构 22 Case 4：选变量1v，2v和3v 作为决策变量：方程组无解，1v，2v和3v 不独立。结论：决策变量的选择对过程方程组的求解有直接的影响。选

27、择的好，方程求解十分方便；选择的不好，方程求解困难，甚至无解。通常总是希望通过选择决策变量得到并行或串行结构，避免环形结构。Case 1 和 Case 3 得到的方程求解难易程度相当，但某些方程的求解难易程度与方向有关，如xysin=，此时，可预先指定方程的输出变量。（1）方程有解的必要条件 在 N 个变量构成的 N 维方程组中，若对每个方程可以指定其中一个变量为其输出变量，且该变量不再作为其他方程的输出变量，则该方程组满足 Hall 各异条件。该条件是方程组有解的必要条件，但不是充分条件。Hall 各异条件还可以叙述为：对于 K 维方程组至少含有 K 个状态变量，其v5 v3 v2 f3 f

28、2 f1 图 4 串行结构 v6 v5 v4 f3 f2 f1 图 5 无解 23 中NK,2,1?=。例如图示的双层图描述了一个无解方程组。在2=K时，Hall 条件不满足，21,ff只包含一个变量。（2）决策变量的选择标准 求解方程组的工作量随必须同时求解的方程数而增加，一组最好的决策变量应能使原方程组中最大的必须同时求解的子方程组的维数最小。一组最好的决策变量应尽可能产生非环结构的方程组，这样得到的方程组求解起来困难最少。（3）选择决策变量的 Lee 算法 I Lee 算法 I 是基于以下事实的：非环结构的方程系统的双层图至少包含一个局部度为 1 的 v 节点和一个局部度为 1 的 f

29、节点（如串行结构）。若从双层图（原图）中删去局部度为 1 的 f 节点（或 v 节点）和与其相关的 v 节点（或 f 节点）后，得到的子图仍包含一个以上的局部度为 1 的 f 节点和一个以上的局部度为 1 的 v 节点，则从原图中删去的节点和边构成非环结构的方程组。根据 Hall 各异条件，每个方程都必须有一个输出变量，所以局部度为 1的 f 节点必须以相关的 v 节点为输出变量。同理，局部度为 1 的v 节点应优先选作相关的 f 节点的输出变量。Lee 算法 I 的基本思想是：从局部度为 1 的节点出发，逐步删除可构成非环v3 v2 v1 f3 f2 f1 不满足 Hall 各异条件 24

30、结构的节点和边，最后剩下的 v 节点就是决策变量（由于自由度的存在，v 节点总是多余 f 节点）。算法框图如下：删除局部度为 1 的 f 节点（或 v 节点）和与其相关的 v 节点（或 f 节点）的过程，意味着从原方程组中删去一个方程和一个变量，因此，与被删除节点相关的其他边也应同时删去。此外，存在多个局部度为 1 的 v 节点时，删除的策略有两种：异步删除，即按一定的规律逐个删除局部度为 1 的 v 节点和与其相关的f 节点；同步删除，即同时删去局部度为 1 的全部 v 节点和与其相关的 f 节点。这两种删除策略得到的决策变量均可使方程组的求解结构为非环结构，同步删除往往得到并行结构，异步删

31、除得到串行结构。例 以图 1 为例，利用 Lee 算法 I 选取决策变量（采取异步删除策略，按下标值的顺序进行删除）。解 v6 v4 v5 v3 v1 f3 f2(b)v6 v4 v5 v3 v2 v1 f3 f2 f1(a)25 T TTTTFFFFF开始（fi）=1指定与 fi相联的 v 节点为输出变量，并从图上删去这两个节点（vj）=1（vj）=0（fi）=0剩下 fi否指定 vj为与之相联的 f 节点的输出变量，并从图上删去这两个节点vj为决策变量，并删除之 fi为多余的或矛盾的，删除之 系统为环形结构 系统为非环形结构 结束 26 (a)3,2,1,1)(=ifi。(b)1)(2=v

32、，指定2v为1f的输出变量，并删除2v、1f以及与1f相联的所有边，得到图(b)。(c)1)(3=v，指定3v 为2f的输出变量，并删除3v、2f以及与2f相联的所有边，得到图(c)。(d)1)(5=v，指定5v 为3f 的输出变量，并删除5v、3f 以及与3f 相联的所有边，得到图(d)。(e)1)(jv。(f)0)(1=v，0)(4=v，0)(6=v，所以641,vvv为决策变量，删除。(g)由于未剩余任何f节点，所以得到的系统结构为非环形的。（1）优先选择决策变量 在时间问题中，可能要优先选择某些变量作为决策变量，而不考虑问题的逻辑结构，例如，对产品的浓度提出质量限制时，人们希望设计计算

33、结果满足这些约束，则可以把产品浓度选作决策变量，以便可以直接指定该变量的值。优先选择的决策变量确定之后，可再利用Lee算法得到其他决策变量。如上例中优先选择3v为决策变量，在利用Lee算法I可得到决策变量为631,vvv。v6 v4v1(d)v6 v4v5v1 f3(c)27 v6 v4v5v2 v1 f3f2f1(a)v6 v4v5v1 f3f2(b)v6 v4v5v3v2 v1 f3f2f1(a)28 （1）不可约方程系统的决策变量的选择Lee 算法 II 如果方程组的双层图中所有节点,fvA的局部度)(A均大于等于2，则称之为不可约方程系统。不可约方程系统的双层图具有环形结构。不可约方程

34、系统可以由两种途径得到，一是原方程系统为不可约的，二是在利用Lee算法I确定决策变量的过程中得到的子方程系统为不可约的（即环形结构子图）。由于不可约方程系统的双层图中无1)(=A的节点存在，所以Lee算法I不再适用。此时，无论怎样选择决策变量也不能得到非环结构，只有切断某些状态变量才能得到非环结构。切断变量可通过迭代计算得到收敛，而迭代计算量随切v6 v4v5v3v2 v1 f3f2f1图 6 不可约方程系统的双层图f4v6 v1(d)v6 v5v1 f3(c)29断变量数（即迭代变量数）的增加而增加，所以，我们总希望切断变量数最少。针对不可约方程系统，Lee算法II寻求切断变量，然后利用Le

35、e算法I对切断闭环后得到的非环结构选择决策变量。Lee算法II的基本思想是：力图寻求切断的变量数最少；从局部度最小的 v 节点出发，令 1)(min=jvvkj 然后删除k个 f 节点及其相关的边，总可以得到局部度为1的 v 节点。这意味着打开了闭环，从而可以利用Lee算法I寻求决策变量；由于用Lee算法I找到的决策变量是针对删除了k个f节点后的子方程系统的，因此，决策变量数要比原方程系统的决策变量数多k个。若从中可以确定k个变量作为被删除的 f 节点的输出变量（即切断变量或迭代变量），则其余的决策变量就是原方程系统的决策变量。Lee算法II的逻辑框图：例例 以图6中的不可约系统为对象，选择决

36、策变量。解：(a)对所有的节点 A 有2)(A，所以为不可约系统。(b)1121)(min=jvvkj(c)删除1f及与之相联的边。得到图(a)(d)由于1)()(21=vv，可利用Lee算法I确定决策变量。采用同步删除策略，删除1v、2f、2v、3f 节点，得到图(b)。由于1)()()(654=vvv，删除4v、4f，得到图(c)。3v、5v、6v 为选出的决策变量。而原方程组的自由度为2，这里多出来的一个决策变量应作为切断变量，即被删除的1f节点的输出变量。然而这三个变量均与1f无关，所以选另以 k 个 f 节点的组合2f作为删除对象，并删除，得到图(d)。(e)1)()(31=vv，3

37、0 删去1v、1f、3v、3f，得到图(e)。图中1)()()(654=vvv，删除5v、4f，得到决策变量2v、4v、6v。其中4v可指定为2f的输出变量，所以最小切断变量数为1*=k，2v、6v 为决策变量，4v为切断变量。原方程组的双层图变为图(f)。图中的闭环的解算顺序如图(g)所示。对于对于*k很大的情况，很大的情况，k 个个 f 节点的组合数可能是非常大的。节点的组合数可能是非常大的。决策变量的选择必须建立在相互独立的基础上，值得注意的是，决策变量的选择与过程系统模型的求解方法有关。T TT T FFF F开始1)(min=jvvkj删除k个 f 节点及其相关的边1)(jjv=否用 Lee 算法 I 寻求决策变量 存在环形结构否k个f节点的组合是否耗尽选择 k 个 f 节点的另一组合作为删除对象选出的决策变量中是否有 k 个变量可作为被删除的 k 个 f节点的输出变量 结束k=k+1 31 v6 v4v5v3v2 v1 f3f1(d)f4v6 v5v3(c)v6 v4v5v3(b)f4v6 v4v5v3v2 v1 f3f2(a)f4 32 v4v4v4v5v3v1 f3f2f1(g)f4v6v4v5v3v2 v1 f3f2f1(f)f4v6 v4v5v2(e)f4