随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍.pdf

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1、文章编号:1 0 0 9-1 1 3 0(2 0 0 7)0 4-0 0 3 5-0 4随机微分方程 2 种数值方法的稳定性分析邱 妍,朱永忠(河海大学 理学院,江苏 南京2 1 0 0 9 8)摘要:给出了求解随机微分方程的2种数值方法:有限差分法和向后Mi l s t e i n法,基于随机微分方程的试验方程分析讨论了2种数值方法的均方稳定性和A!稳定性,得到了相应的稳定性条件和稳定域.最后应用Ma t L a b进行模拟演示,模拟演示结果表明,有限差分法和向后Mi l s t e i n法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程,并且验证了均方稳定理论的正确性.关键词:随机微分方程;均方

2、稳定;A!稳定;向后Mi l s t e i n法;有限差分法中图分类号:O 2 4 1.8文献标识码:A收稿日期:2 0 0 7-0 6-1 9作者简介:邱妍(1 9 8 4-),女,江苏扬州人,硕士研究生,应用数学专业.随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型,其理论研究和实际应用均取得了丰富而又成熟的成果.但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似,其解析解不易求出,因此,构造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要.近2 0年来,随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展,而且在自然科学以及工程领域得到了广泛的应用,

3、但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度.本文中作者在M i l s t e i n法的基础上建立有限差分格式,讨论了向后M i l s t e i n法1和有限差分法的均方稳定性和A!稳定性.1求解随机微分方程的2种数值方法考虑如下标量自治初值问题:d X(t)=f(X(t)d t+g(X(t)d W(t)X(0)=X0t 0,T(1)式中:参数t表示时间;指标集T是一个有限或无限区间,通常取为实轴或实轴上的一个区间;f(X)和g(X)是区间0,T 上的连续可测函数,分别称为偏移系数和扩散系数;W(t)为标准Wi e n e r过程,其增量W(t)=W(t+h)-W(

4、t),t+h 0,T,若步长h充分小,则 W(t)的均值和方差分别为EW(t#)=0,EW(t)$2=h为讨论2种数值方法的均方稳定性和A!稳定性,给出式(1)的2类试验方程,即d X(t)=!X(t)d t+X(t)d W(t)(2)d X(t)=!X(t)d t+#d W(t)(3)式中:!,#是常系数.对于求解随机微分方程的数值方法,1 9 7 4年,M i l s t e i n给出了以下差分格式2:Xn+1=Xn+f(Xn)h+g(Xn)Wn+12gg(Xn)(Wn)2-hn=0,1,(4)并证明了该方法在均方意义下的收敛阶为O(h).本文在此基础上给出了2种数值方法:第1种为向后M

5、 i l s t e i n法,即将式(4)中偏移系数变为隐式;第2种为有限差分法,即将式(4)中的微分用有限差分代替.有限差分法是十分有用的,因为在通常情况下用式(4)求解随机微分方程(1)时需要对其中的g(Xn)求导,若g(Xn)的值是由试验得出的具体数据,则无法进行求导计算,而采用有限差分法将微分转化为差分,避免第2 1卷第4期2 0 0 7年1 2月V o 1.2 1N o.4D e c.2 0 0 7河海大学常州分校学报J O U R N A LO FH O H A IU N I V E R S I T YC H A N G Z H O U河海大学常州分校学报2 0 0 7年1 2月

6、了求导运算,因此只需将试验数据代入该方法即可计算.式(1)的2种数值方法如下:a.向后M i l s t e i n法,其表达式为Xn+1=Xn+f(Xn+1)h+g(Xn)!Wn+12g g(Xn)(!Wn)2-h,n=0,1,(5)b.有限差分法,其表达式为Xn+1=Xn+f(Xn)h+g(Xn)!Wn+14!hg(Xn)g(Xn+!h)-g(Xn-!h)(!Wn)2-hn=0,1,;!=1,2,(6)2均方稳定性根据式(2)的理论解X(t)=e x p(-122)t+!W(t),得如下命题:命题13-4X(t)均方稳定,即l i mt E(X(t)2)=0的充要条件是r()+122 0,

7、式中,r()为的实部.当参数和满足命题1时,关心的问题是h取何值时,数值方法是稳定的,即模拟意义上的均方稳定.为此将数值方法应用于式(2),得递归式Xn+1=Xn+y(,h,!Wn)Xn.命题23-4数值方法均方稳定的充要条件是均方稳定函数R(p,q)=Ey(,h,!Wn)21,且其稳定域S=(p,q)R(p,q)#1.2.1向后Mi l s t e i n法的均方稳定性将数值方法式(5)应用于式(2)得如下差分方程:Xn+1=Xn+h Xn+1+!WnXn+122Xn(!Wn)2-h)(7)整理得Xn+1=1+!Wn+122(!Wn)2-h$(1-h)-1Xn令!Wn=h%Hn,Hn服从标准

8、正态分布,即Hn N(0,1),以p=h,q=h%代入上式得Xn+1=1+q Hn+12q2(Hn2-1)(1-p)-1Xn等式两端同时平方后取期望得E(Xn+12)=E1+q Hn+12q2(Hn2-1)(1-p)-1&$E(Xn2)根据递归式和命题2可知稳定函数R(p,q)=E1+q Hn+12q2(Hn2-1)(1-p)-1&$=(1+q2+12q4)(1-p)-2故向后M i l s t e i n法均方稳定的充要条件是(1+q2+12q4)(1-p)-21,即(1+q2)2-2(1-p)2+1 0;相应的均方稳定域S=(p,q)(1+q2+12q4)(1-p)-2&$1.2.2有限差

9、分法的均方稳定性将数值方法式(6)应用于式(2)可得如下差分格式:Xn+1=Xn+h Xn+Xn!Wn+122Xn(!Wn)2-h(8)整理后得Xn+1=1+h+!Wn+122(!Wn)2-h Xn采样同样的方法可得有限差分法的均方稳定函数R(p,q)=E1+p+q Hn+12q2(H2n-1)(=(1+p)2+q2+q422223 6第2 1卷第4期邱 妍,等随机微分方程2种数值方法的稳定性分析因此有限差分法均方稳定的充要条件是(1+p)2+q2+q42 1,相应的均方稳定域为S=(p+q)(1+p)2+q2+q42!13 A!稳定性将数值方法应用于式(3)可得如下递归式:Xn+1=G(!h

10、)Xn+Ynn=0,1,(9)式中,Yn为不依赖于Xn的随机变量.数值方法的绝对稳定域D=!h|r(!)0,且|G(!h)|1.定义15若数值方法的绝对稳定域包含整个左半平面,即r(!)0#|G(!h)|1,则称数值方法是A!稳定的.3.1向后Mi l s t e i n法的A!稳定性将数值方法式(5)应用到式(3)得:(1-!h)Xn+1=Xn+#Wn.根据式(9)有G(!h)=(1-!h)-1,其中!=+i#,由定义1可得|G(!h)|=|(1-!h)-1|1又r(!)=0,因此M i l s t e i n法的绝对稳定域是以-1+i 0为圆心,以1为半径的圆的外部区域,且是A!稳定的.3

11、.2有限差分法的A!稳定性将数值方法式(6)应用到式(3)得:Xn+1=(1+!h)Xn+#Wn.根据式(9)有G=(!h)=(1+!h),由定义1可得|G(!h)|=|(1+!h)|1#(1+h)2+(#h)2 1因此有限差分法的绝对稳定域是以1+i 0为圆心,以1为半径的圆的内部区域,但不是A!稳定的.4仿真实例在试验方程式(2)中取!=-2,$=1,得:d X(t)=-2 X d t+X d W(t)X(0)=1 t 0,1!(1 0)在初始条件下式(1 0)的精确解为X(t)=e x p-52t+W(t!).因为r(!)+12$2=-2+12=-321,不满足均方稳定的充要条件;而当h

12、=1/2时,p=!h=-1,q=h$=12$,(1+p)2+q2+q4/2=12+18=581,满足均方稳定的充要条件,同样当h=1/4时也满足均方稳定的充要条件.参考文献:1B u r r a g eP M.R u n g e!k u t t am e t h o d sf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sD.A u s t r a l i a:T h eU n i v e r s i t yo fQ u e e n s l a n d,D e p a r t m e n t o f M a t h

13、e m a t i c s,1 9 9 8.2M i l s t e i nGN.A p p r o x i m a t ei n t e g r a t i o no f s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.T h e o r yP r o bA p p l,1 9 7 4,1 9:5 5 7-5 6 2.3B u r r a g eK,B u r r a g eP,M i t s u i T.N u m e r i c a l s o l u t i o n so f s t o c h a s t i

14、 cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si m p l e m e n t a t i o na n ds t a b i l i t yi s s u e sJ.J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s,2 0 0 0,1 2 5:1 7 1-1 8 2.4C a r l e t t iM.N u m e r i c a ls o l u t i o no fs t o c h a s t i cd i f f e r e

15、 n t i a lp r o b l e m si nt h eb i o s c i e n c e sJ.J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a la n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2 0 0 6,1 8 5:4 2 2-4 4 0.5S a i t oY,M i t s u iT.S t a b i l i t ya n a l y s i so fn u m e r i c a ls c h e m e sf o rs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a

16、le q u a t i o n sJ.S I A M JN u m e rA n a l,1 9 9 6,3 3:2 2 5 4-2 2 6 7.6H i g h a m DJ.A na l g o r i t h m i ci n t r o d u c t i o nt on u m e r i c a ls i m u l a t i o n o fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sJ.S I A M R e v i e w,2 0 0 1,4 3:5 2 5-5 4 6.7K l e o d e nP

17、E,P l a t e nE,S c h u r zH.N u m e r i c a l s o l u t i o no f s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sM.B e r l i n:S p r i n gV e r l a g,1 9 9 2.S t a b i l i t yA n a l y s i so fT w oN u me r i c a l S c h e me sf o rS t o c h a s t i cD i f f e r e n t i a l E q u a t i o

18、 n sQ I U Y a n,Z H U Y o n g!z h o n g(C o l l a g eo f S c i e n c e s,H o h a i U n i v.,N a n j i n g2 1 0 0 9 8,C h i n a)A b s t r a c t:A b a c k w a r d M i l s t e i n s c h e m e a n d a f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e a r e p r o v i d e d f o rs t o c h a s t i cd i f f e r e

19、 n t i a l e q u a t i o n s.T h es t a b i l i t yo f t h et w on u m e r i c a l s c h e m e s:t h em e a n!s q u a r es t a b i l i t y,A!s t a b i l i t y,i ss t u d i e d o n t h e b a s i so ft h e t w o t y p e so ft e s te q u a t i o n so fs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a

20、t i o n s.T h ec o r r e s p o n d i n gc o n d i t i o n sf o rs t a b i l i t ya n ds t a b i l i t yr e g i o n sa r eo b t a i n e d.A tl a s t,s i m u l a t i o n su s i n gt h et w on u m e r i c a ls c h e m e sa r eo p e r a t e di nM a t L a b,w h i c hi l l u s t r a t et h a tab a c k w a

21、 r dM i l s t e i ns c h e m ea n daf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eb o t hc o n v e r g e n c ew i t hs t r o n go r d e r1a n dt e s t i f yt h et h e o r yo f m e a n!s q u a r es t a b i l i t y.K e yw o r d s:s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s;m e a n!s q u a r es t a b i l i t y;A!s t a b i l i t y;ab a c k w a r dM i l s t e i ns c h e m e;af i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e图3有限差分法的均方稳定性F i g.3 Me a n!s q u a r es t a b i l i t yo faf i n i t ed i f f e r e n c e me t h o d河海大学常州分校学报2 0 0 7年1 2月3 8