北京师范大学 数学模型与数学建模1 (10).pdf
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1、第六章 医学与遗传的数学模型 6.1 糖尿病的诊断 一.背景和问题 1.糖尿病(Diabetes):胰岛素相对或绝对不足引起的以糖代谢紊乱,血糖增高为主的慢性疾病。10.症状:早期无症状;晚期多尿、多食、多饮,消瘦、无力等临床表现,化验结果血糖、尿糖指标增高。20.危害:易并发感染心脏病、肾病、视网膜病变,引起心肌梗死、中风、肾功能衰竭、白内障失明等后果。30.血糖调节系统 血糖(Blood Glucose):血液中的葡萄糖,为体内所有组织和器官的能源。安静、空腹时正常含量 70 100 mg/100ml。持续血糖过高或过低为病态。血糖在其自我调节的过程中,受到各种激素(Hormones)及其
2、代谢物质的影响和控制。其中有 胰岛素(Insulin):由胰脏的 细胞分泌的一种蛋白质激素。血糖(BG)增高时刺激分泌胰岛素促进组织对葡萄糖的吸收,并将多余的糖变成糖原(Glycogen)存储于肝脏中。高血糖素(Glucagon):由胰脏的细胞分泌的一种蛋白质激素。血糖降低时刺激其分泌,抑制肌体对糖的吸收,并增加糖原转化为 G 的速度。肾上腺素(Epinephrin)肾上腺髓质分泌的激素。属于应急机制的一部分。当 BG 极低时,加快糖原转化成葡萄糖的速度,抑制分泌胰岛素和细胞吸收葡萄糖,以便很快增加血液中葡萄糖的浓度。其它:糖皮质素、甲状腺素、生长激素等。40.致病机理:人体自身不能提供足够的
3、胰岛素以消耗体内多余的糖分,致使血糖增高而无法控制。50.诊断(1960 年前制定的诊断)方法:葡萄糖耐量检查GTT(Glucose Tolerance Test):空腹测血糖G0;服用G=75 克葡萄糖,并于 0.5、1、2、3 小时测血糖,描出血糖曲线。比较血糖曲线与标准的偏差 正常人的血糖曲线 糖尿病人的血糖曲线 比较 从复杂的检查结果难以区别正常人与糖尿病患者 2.问题:如何通过血糖曲线的分析给出一个可靠的解释 GTT 检验结果的标准。1965 年左右,美国明尼苏达大学的 Ackerman 和 Gatewood 博士 建立了如下的模型,用以描述 GTT 过程中的血糖调节系统,再从这个模
4、型中选择一个参数来区别正常人与糖尿病患者。二.建模 1.假设:10.只考虑血糖浓度G和以胰岛素为代表的激素H的相互作用。20.没有外界摄入时,人体内有一个平衡状态G0、H0。30.只考虑血糖和激素浓度在平衡状态G0、H0附近的小偏差。2.简化的血糖调节系统 3.简化调节机制 内分泌 血糖降低激素增加 血糖增高 肝脏贮存 组织吸收 内分泌 血糖升高激素减少 血糖降低 肝脏释放 组织拒绝 4.模型:设G(t),H(t)分别表示t时刻血糖与激素的浓度。则有dG/dt=F1(G,H)dH/dt=F2(G,H)其中,F1(G,H),F2(G,H)分别表示血糖浓度的变化和激素浓度的变化率对G、H的依赖关系
5、。存在G0,H0,使得 F1(G0,H0)=0 和 F2(G0,H0)=0。称 G0,H0 为平衡态,5.线性近似 令g(t)=G(t)-G0,h(t)=H(t)-H0.则 dg/dt=dG/dt=F1(G0+g,H0+h)dh/dt=dH/dt=F2(G0+g,H0+h)当 g(t),h(t)充分小时,将 F1,F2 在(G0,H0)附近展开并略去高阶无穷小,得到在平衡态(G0,H0)附近的局部线性化方程组 dg/dt=-m1g-m2h dh/dt=m3 g-m4 h 其中 m1=-F1/G|(G0,H0)0,m2=-F1/H|(G0,H0)0,m3=F2/G|(G0,H0)0,m4=-F2
6、/H|(G0,H0)0 设在 t=0 时刻,人体内的G,H达到平衡值G0,H0,经外部注射,输入大剂量J的葡萄糖,则 g(0)=J,h(0)=0.消去方程组中的变量 h(t),可以得到 d2g/dt2+2adg/dt+02=0,g(0)=J 其中 2a=m1+m4 0,02=m1 m4+m2 m3 0 三.求近似解.由于血糖曲线应该成阻尼振荡形式,因此设 a2 -02 4)的BG观测值时可以使用非线性最小二乘法的出这四个参数的估计值。eqns:=8.06=4.5+A*exp(-a*0.5)*cos(w*0.5-b),6.7=4.5+A*exp(-a)*cos(w-b),3.91=4.5+A*e
7、xp(-a*2)*cos(w*2-b),4.47=4.5+A*exp(-a*3)*cos(w*3-b);eqns:=8.06=4.5+A exp(-.5 a)cos(-.5 w+b),6.7=4.5+A exp(-a)cos(-w+b),3.91=4.5+A exp(-2 a)cos(-2 w+b),4.47=4.5+A exp(-3 a)cos(-3 w+b)vars:=A,a,w,b;vars:=a,b,A,w solve(eqns,vars);w=-2.811151237,a=.6293589754-6.283185307 I,b=-.6078588509,A=-6.983046177,
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