水产的养殖与捕捞的数学模型.pdf
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1、第 2 0 卷 第 8 期 工 程 数 学 学 报 v。1 2 0 N。8 。年 月 J OURNAL OF ENGI NE E RI NG MATHEMATI C S D e c 0 0 3 文章编号:1 0 0 5 3 0 8 5(2 0 0 3)0 8 0 0 5 7 0 4 水产的养殖与捕捞的数学模型 简国明,许景飞(1 一 韶关学院数学系,广东 韶关,5 1 2 0 0 5;2 一 赣南师院 数学与计算机系,江西赣州 3 4 1 0 0 0)摘要:对于养殖场中虾的养殖和捕捞问题,建立了各量的基本模型。对三种不同情况,应用微分法和规 划论,分别建立了相应的微分规划模型、积分规划模型和变
2、分法模型。再应用微分法、变分方 法及 Ma p l e 数学软件进行求解,对不同情况得出了相应的数值结果。关键词:虾量;养殖费;养殖策略;捕捞策略;最大利润 分类号:A MS(2 0 0 0)3 4 A 3 0 中图分类号:O 1 7 5 1 文献标识码:A 1 问题的提出 本问题来源于广东省韶关市某水产养殖场的实际问题。人工养殖的水产业(如养殖场中虾的养殖),其产量的增加一般与养殖费(包括饲料、工资、技术费等)成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时,养殖费投入再大 也不会使虾量增加。但若不投入养殖费,养殖场中的虾将会慢慢死去。现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞l-1 J。根据
3、以往经验和市场调查,我们 有如下数据:这种虾的自然死亡率为 ,=0 0 5(1 月);环境容许的最大虾量为 N,N=1 0 (斤);虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞,即每月的捕捞量与此时养殖场虾量 成正比,比例系数为E。这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾,中虾、大虾的频率分别为 0 2、0 5、0 3,而捕捞成本为J9,J9=0 1(元 斤);小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分 别为 5 元,7元和 1 0 元。试解决以下问题:1、若某人长期承包这养殖场,要求养殖场中每月的虾量都相等,且月养殖费与该月虾量 成正比,比例系数为“,a=0 2(元 斤 月)。试制定捕捞策略(确定 E)使虾的月利
4、润最大;2、若某人承包此养殖场 5年,且月养殖费与该月虾量成正 比,比例系数为 a,又取 E=0 0 8(1 月)。试制定养殖策略(确定 a),使5 年的总利润最大。当初始虾量为1 0 斤,确定获 利最大的开始捕捞的月份;3、若某人承包此养殖场5年,每月按强度 E=0 1(1 月)捕捞,试制定养殖策略(确定 收稿日期:2 0 0 3 1 1 1 5 作者简介:简国明(1 9 5 8年生),男,硕士,副教授,研究方向:代数 图论、数学模型 基金项 目:广东省 自然科学基金资助项 目(2 0 0 1 1 7 0 7)维普资讯 http:/ 5 8 工 程 数 学 学 报 第2 0 卷 养殖费),使
5、 5年的总利润最大。2 模型的假设(1)虾群是一个独立的生态群体,且不与其它生物发生竞争;或者虽有竞争,但其影响 限于虾的自然死亡率之内l-2;(2)虾的捕捞采用固定努力量捕捞,每月的捕捞强度系数 E是常量;(3)虾的销售不成问题,即打捞的虾都能卖出,且价格不变。销售成本费用忽略不计;(4)用(t)表示养殖场中第 t 月的虾量(单位:斤),用Y(t)表示第 t 月的月养殖费(单 位:)。在无捕捞和自然死亡的情况下,养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费成正比,其比 例系数是的线性减函数:当达到时,此函数为0;当为 0时,此函数为常数。3 问题的分析及基本模型 该问题是一个动态变化有约束条件的最优
6、化问题。在养殖费与月虾量有关的情况下,对第一问,要求养殖场中每月的虾量都相等,且月养 殖费与该月虾量成正比,在满足此条件下用动态平衡原理得 出一个关于微分方程的约束条 件,制定出捕捞策略,使虾的月利润最大;对第二问,由于采用了固定努力量的捕捞方式,承 包此养殖场5年,且月养殖费与该月虾量成正比,这样就可建立微分约束的积分规划模型。给定了一个初始条件后,可用Ma p l e 数学软件求解;对第三问,同样采用固定努力量捕捞,要 制定养殖策略(确定养殖费),使5年的总利润最大。我们用变分法,把目标函数与约束条件 结合起来,转化为求泛函极值的问题,进而归结为求微分方程组问题,用 Ma p l e 数学
7、软件可 计算出结果。基于假设条件及以上分析,我们可以建立以下基本模型:一,、(1)自然死亡规律:=一 ()(t);“,、(2)捕捞规律:一E()(t);“(3)由假设 4 可设养殖场虾量(t)的增加速度与月养殖费 Y(t)成正比的比例系数函 ,、数为:P(t)=AB x(t),又由题设条件得:P(t)=a(1一 )Y (4)在捕捞和自然死亡的情况下,养殖场虾量随时间变化的数学模型为:=a(卜 )(f)一(it+E)()(5)设虾的价格是一随机变量 ,由题设知:的取值为5、7、1 0。其出现的概率分别为:P(=5)=0 2,P(=7)=0 5,P(=1 0)=0 3,则 的数学期望(平均值)为:
8、E =50 2+7 0 5十1 00 3=7 5 即虾平均每斤的批发价格为 7 5 元。记为 P。4 模型的建立及求解 4 1 关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略每月的虾量相等 =0 一 )一(it+E)=0 维普资讯 http:/ 第 8期 简国明,许景飞:水产的养殖与捕捞的数学模型 5 9 又由题设条件:()=a z()。得:0 a a(1 一 )z一(+E)z=0 l=N。=二。鱼,z 2=0(舍去)。l=N 二 。二,为每月虾量相等的养殖场虾量。每月虾量相等的最大利润捕捞模型为:f r r l a x R(E)=()E ()一 ()1 s t z():,E d 一 将z()=N l_
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