3_4_ppt_[兼容模式].pdf

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1、11 1122121 122221 122 3.4 3.4.1 00 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax+=+=+=LLML 线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组 ()()12121212(3.4.1)(1),.000(2)00AXOAAAkAA k=+=+=矩阵形式如果是齐次线性方程组的解，则也是它的解 设，即有如果 是齐次线性方程组的解，则也是它的解 设，即有对于齐次线性方程组解的线性组合还是解.()()121212123.4.1,(1),(2)(3.4.1),(3.4.1)3.4.1 3.4.1()ssssR Arn =LLLL定义

2、如果齐次线性方程组的有限个解满足 线性无关 的任意一个接都可由线性表示，则称是的一个基础解系.定理 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩()()1112121 3.4.1-3.4.1()100010 00100000rnrnrrrnn rR Arncccccc+=LLLLMMMMMLLLLM 则有基础解系，且基础解系中解向量的个数为.证：已知齐次线性方程组的系数矩阵的秩 因此系数矩阵经过初等行变换可化为简化阶梯形 00000MMMMLL11111211221111111112200 (3.4.2)0,rrnnrrnnrrrrnnrnnrrnnrrcyc yycyc yycyc yyyyxxcyc

3、yycyy+=+=+=LLLLLLLL对应的解方程组为 可能是交换顺序后的变量 ()()()112111 (3.4.3)(3.4.3)(,),1,0,0,0,1,0,0,0,1(3.4.3)rnnrrrrnnrnyc ycyc ynryynr+LLLLLLL 有个自由未知量依次取值得到的个解111211112121212,.100010001(3.4.3).rrnrrrrrnn rn rn rncccccckkk+=MMMLMMMLLM下证，是的一个基础解系显然，线性无关 设 11112211211222221122 (3.4.3)rrrrnnrrrrnnrrrrrrrnnrckckc kkc

4、kckc kkckckc kk+=LLLL 是 的任意一个解，则有 111112211122112211112 100rrrrnnrrrrrrrrnnrrrrnnrrrrrkckckc kkckckc kkkkkkkccckk+=+LMMMMLMOMM 12111 12212001001 (3.4.3).rnrrrnnrrnnnccckkkk+=+MMLMMLL 于是，是的一个基础解系12345124523412345123420332004322012342100021303201010 01110001201432200000()34,xxxxxxxxxxxxxxxxxAR A+=+=+=

5、+=uuuuuuuuuuuur例 求以下方程组的一个基础解系解：行变换有无穷多解445512153210,010210 ,201001 ,(,xx xxccc=+1212，基础解系的个数为是自由未知量，令为得基础解系 方程组的全部解为 2c 为任意实数）()4.()().,.0,()0,()0;()0,()0,()0,0.0()TTTTTTTTAm nR A AR AAm nXnXAXAAXA A XXA A XXA A XAXAXAXAXA A X=例 设 为矩阵，证明证 设 为 矩阵 为 维列向量若 满足 则有 即若 满足则即从而推知 综上可知方程组 与 0,()().TR A AR A=

6、同解因此12123.0 ()().(,),0,(,)(0,0,0)0 (1,2,)0 kkiAm nBnkABr Ar BnBB BBABAB ABABABikBAX=+=LLLL例 设 是矩阵，是矩阵，若 证明 证 将 按列分块为由 得 即有 即 的每一列都是的解，于是有 12 ()(,)-()kr Br B BBn r A=L 11 11221121 1222221 1223.4.2 (3.4.4)0(3.4.1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xbAXbb+=+=+=LLML 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 矩阵形式 将 换为，得齐次线

7、性方程组，0(3.4.4).AX=即 称上述齐次线性方程组为非齐次线性方程组的导出组()()1212121.(3.4.4)(3.4.4)0,.2.(3.4.4)0.3.4.2 AAAbbAxbAbb+=+=+=+=Q性质 如果 是方程组的一个解，是导出组的一个解，则是方程组的解.证 所以是方程的解性质 如果,都是方程组的解，则为导出组的解 定理 设非齐次线性方()01 111001 1(3.4.4)(),(3.4.4)=n rn rn rn rn rn rR AR Arncccccck=+=+LLLL程组满足 并设为其一个解（称特解），为导出组的全部解，为导出组的基础解系，为任意常数则的全部解

8、可表示为 (3.4.5)0001 11 10121212 0 ,;,;n rn rn rn rnnnAXbAXccccAxbbb =+=+=LLLLL证 设 是非齐次线性方程组的任意一解可知是齐次线性方程组的解所以可表示成 从而可得线性方程组有解向量 能由向量组线性表示 向量组与向量组等价()()1212,.nnABb =LL 矩阵与矩阵 的秩相等1234123412341240,31,231 2.111101101 1 2 1113100121 2,11231 200000()()2,AR AR Bxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+=+例 解线性方程组解对增广矩阵实施初等变换 可见故方

9、程组有解 并有 34241301 2,21 2.10,21 20 .1 20 xxxxxx=+=取则即得方程组的一个解 12434123412,21011,01021110 ,0201xxxxxxxxx=+=在对应的齐次线性方程组中 取及则及即得对应的齐次线性方程组的基础解系 于是所求通解12121234111 2100 ,(,).021 2010Rxxkkk kxx =+为 ()1231223311 3,1.,101 2,1,0311.3,()1,03 12.AmR AAxbAxbAmR AAx =+=+=+=Q例设 是矩阵 且 如果非齐次 线性方程组 的三个解向量满足 求的通解解是矩阵的基础解系中含有个线性无关的解向量令 22331,abc+=+=+=则 123121011 ()3 2,()1 2,221 25 201()3 2,23 21 12acbabcbca=+=+=+=1312123121,320.111 133 2,221 2,.AxAxbxxccxc c =+为的基础解系中的解向量故的通解为 其中为任意实数