关于暂态响应分析中三要素法的推广应用研究.pdf

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1、三明师专学报 2000(3)SANMING SHIZHU AN XU EBAO关于暂态响应分析中三要素法的推广应用研究魏 茂 金(三明师范高等专科学校物理系)摘要本文根据线性电路叠加原理,推导了正弦电源激励下一阶电路的全响应表达式,并举例说明求正弦电源激励下一阶电路全响应的三要素法。在此基础上推导并说明了任意周期性电源激励下一阶电路的全响应表达式及三要素法。关键词一阶电路;激励;三要素法;全响应1问题的提出暂态过程的分析是电路理论的重要内容之一,电路的暂态过程反映了电路的基本性质和整个动态过程。分析电路暂态响应的方法有数学分析和实验分析两类。在数学分析中常常通过对含有电容元件和电感元件的电路利

2、用 KVL 定律列出微分方程求解,这种方法计算过程比较麻烦。对于一阶线性电路,实际上更多地采用了另一种简便的方法三要素法,即先确定电路换路后的初始值 f(0+)、稳态值 f()、时间常数?这三个要素,将它们代入阶跃电压作用下的一阶线性电路的全响应表达式f(t)=f()+f(0+)-f()e-t/?(1)求出电路中电压和电流的全响应,不必求解微分方程,简化了计算过程。然而,若一阶电路中含有时变电源激励如正弦电源,在套用上述全响应表达式时,将会得出错误的结论。下面笔者通过具体的实例分析说明这一点。图 1如图1 所示电路原已达到稳态,e=Emsin(?t+),在t=0 时刻开关 K 由 1 掷向 2

3、位置,求 t0 时的响应i(t)。初始值 i(0+):i(0-)=E1R1+R根据换路定则i(0+)=i(0-)=E1R1+R稳态值 i():由于换路达到稳态后电路已处于正弦交流稳态,可用相量法分析。I=UZ=E R+jXL=E?Z?!=E?Z?(-!)式中,?Z?=R2+X2L,!=acrtgXLR,则i=Em?Z?sin(?t+-!)此式就是电路换路后的稳态分量,相当于 i(),它是时变函数。时间常数:?=L/R将 i(0+)、i()、?这三要素代入全响应表达式:i(t)=i()+i(0+)-i()e-t/?=Em?Z?sin(?t+-!)+E1R1+R-Em?Z?sin(?t+-!)e-

4、t/?显然,此式与用微分方程求解的结果 1。i(t)=Em?Z?sin(?t+-!)+E1R1+R-Em?Z?sin(-!)e-t/?不同,将它们进行比较后发现,暂态解中的系数是错误的。说明了直流电源激励下的三要素法中公式(1)不能直接套用到正弦电源激励下一阶电路中进行响应分析。2正弦电源激励下一阶电路的三要素法在正弦电源激励下一阶电路的响应中,稳态分量是时变函数,令为 fs(t),可得电路零输入响应为:f(0+)e-t/?电路零状态响应为:fs(t)+Ke-t/?根据线性电路的叠加原理,电路的全响应等于电路的零输入响应和零状态响应之和。即电路的全响应为:f(t)=f(0+)e-t/?+fs(

5、t)+Ke-t/?式中?为时间常数,系数 K 可由初始条件确定。t=0+时,f(0+)=f(0+)+fs(0+)+KK=-fs(0+)因此,f(t)=fs(t)+f(0+)-fs(0+)e-t/?(2)式中 fs(t)表示换路后电路的稳态分量,fs(0+)表示稳态分量的初始值,只要将f(0+)、fs(t)、fs(0+)及?求出,应用(2)式即可得到正弦电源激励下的全响应,这正是三要素法。上例中,i(0+)=E1R1+R,is(t)=Em?Z?sin(?t+-!),is(0+)=Em?Z?sin(-!)利用(2)式,i(t)=is(t)+i(0+)-is(0+)e-t/?=Em?Z?sin(?t

6、+-!)+E1R1+R-Em?Z?sin(-!)e-t/?显然,此结论与经典法解微分方程的结果完全一致。因此,正弦电源激励下的全响应表达式应由(1)式推广为(2)式,其中稳态分量 fs(t)可用相量法分析。下面笔者将通过正弦电源激励下一阶 RC 电路的全响应分析例子进一步说明。图 2如图 2,一阶RC 电路,e=Emsin(?t+),当 t=0 时开关K 由 1 位置掷向 2,求 t0 时 uc(t)解法一、三要素法初始值的确定:uc(0+)=uc(0-)=E1稳态分量的确定:用相量法分析。U=E 式中E 为正弦电动势的有效值。126三明师专学报2000年Ucs=UR-jXc(-jXc)=E?

7、Z?-!Xc-90=EXc?Z?(+!-90)式中,?Z?=R2+X2C=R2+(1/?C)2,!=arctgXcR所以,ucs(t)=EmXc?Z?sin(?t+!-90)=-EmXc?Z?cos(?t+!)ucs(0+)=EmXc?Z?sin(+!-90)=-EmXc?Z?cos(+!)时间常数:?=RC,R 为换路后电容两端除源等效电阻。利用(2)式,uc(t)=ucs(t)+uc(0+)-ucs(0+)e-t/?=-EmXc?Z?cos(?t+!)+E1+EmXc?Z?cos(+!)e-t/?解法二,经典法解微分方程。利用KVL 定律,iR+uc=e,RCducdt+uc=educdt

8、+1RCuc=Emsin(?t+)RC此方程的余函数为:uh=Ke-t/RC令方程的特解为:up=Asin?t+Bcos?t将特解 up代入微分方程后并令方程两边含 t 的正弦项和余弦项的系数相等,得ARC-?B=EmRCcos?A+BRC=EmRCsin 解这两方程得A=EmXc(Xccos+Rsin)X2c+R2B=EmXc(Xcsin-Rcos)X2c+R2令?Z?=R2+X2c,!=arctgXcR则A=EmXc?Z?sin(!+)B=-EmXc?Z?cos(!+)up=-EmXc?Z?cos(?t+!)因此,微分方程的全解为:127第 3 期魏茂金:关于暂态响应分析中三要素法的推广应

9、用研究uc(t)=uh+up=Ke-t/RC-EmXc?Z?cos(?t+!+)利用初始条件,uc(0+)=E1uc(0+)=K-EmXc?Z?cos(!+)K=E1+EmXc?Z?cos(!+)uc(t)=E1+EmXc?Z?cos(!+)e-t/RC-EmXc?Z?cos(?t+!+)很显然,三要素法利用(2)式所得出的结论与微分方程求出的结论完全一致,但三要素法计算过程简单多了,而且物理含义更清晰。应用公式(2)时,fs(t)可以用相量法求出,因为换路达到稳态后电路已处于正弦稳态。求出fs(t)后,只需在 fs(t)中取t=0 时的值就得到 fs(0+)。在直流电源激励时,fs(t)=f

10、(),因此,(1)式可当作是(2)式的一种特例。3任意周期性电源激励下一阶电路的三要素法由于任意周期为 T 的非正弦周期量 g(t)可以展开为傅氏级数:g(t)=a0+k=1Aksin(k?t+k)因此,任意非正弦周期电压或电流可以看成是直流分量和各次正弦谐波分量的线性叠加。在求任意非正弦周期电源激励下一阶电路的全响应时,首先把非正弦周期电压或电流按傅氏级数展开,分别求出直流分量和各次正弦谐波分量的稳态分量fis(t)。可得零状态响应为:fis(t)-fis(0+)e-t/?零状态总响应为:i fis(t)-fis(0+)e-t/?根据线性电路的叠加原理,电路的全响应等于零输入响应f(0+)e

11、-t/?与零状态响应之和。所以,电路的全响应为:f(t)=f(0+)e-t/?+i fis(t)-fis(0+)e-t/?=ifis(t)+f(0+)-ifis(0+)e-t/?=fs(t)+f(0+)-fs(0+)e-t/?(3)式中,fs(t)=ifis(t),fs(0+)=ifis(0+)经比较(3)式与(2)式完全相同。因此,将三素法全响应公式(1)改为(2)式后,可以用来分析任意周期性电源激励下一阶电路的全响应,使三要素法得到了推广应用。由(3)式的推导过程可见,在分析任意周期性电源激励的全响应时,傅氏级数展开只是为了确定响应中的稳态分量,对于初始值,由于换路后瞬间电容可当作恒压源处理,电感可当作恒流源处理,电路是纯电阻性质。故 f(0+)可根据换路定则和 KVL 定律直接得出。参考文献 1 郭木林等编,电工学(第二版),高等教育出版社,1987 年,P33P35 2 席志红编,电工技术(第一版)哈尔滨工程大学出版社,1997 年 12 月,P68P69 3 裴留庆编,电路理论基础(第一版)北京师范大学出版社,1983年 3 月,P116P119128三明师专学报2000年