2005年浙江大学数学分析试题及解答.pdf

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1、浙江大学 2005 年数学分析解答 一（10 分）计算定积分20sinxexdx 解：20sinxexdx=()011 cos22xex dx ()01xe dxe=由分部积分法0cos2xexdx=()1e+20sin2xexdx=()1e04cos2xexdx 所以0cos2xexdx=()115e，所以20sinxexdx=()215e 解毕 二（10 分）设()f x在0,1上R i e m a n n可积，且103()2f x dx=，计算 11lim4ln1()nniifnn=+解：因为()f x在0,1上R i e m a n n可积，所以0,()Mf xM，所以1()0ifnn

2、 因为0ln(1)lim1xxx+=，所以114ln1()niifnn=+与114()niifnn=等价且极限值相等 由Riemann积分的定义：11lim4ln1()nniifnn=+=410()2 3f x dx=解毕 三（15 分）设,a b c为实数，且1,0bc 试确定,a b c的值，使得30sinlimln(1)xxbaxxctdtt=+解：若0b，显然30sinlim0ln(1)xxbaxxtdtt=+，这与0c 矛盾，所以0b=计算300sinlimln(1)xxaxxtdtt+，利用洛必达法则：33000sincoslimlimln(1)ln(1)xxxaxxaxtxdtt

3、x=+，易有30ln(1)lim0 xxx+=，若1a，33000sincoslimlimln(1)ln(1)xxxaxxaxtxdttx=+，矛盾，所以1a=.计算301 coslimln(1)xxxx+，继续利用洛必达法则：33001 coscoslimlimln(1)ln(1)xxxxxxxxx=+240033 21 cossin2sincoslimlim3631(1)xxxxxxxxxxxxx+=+33 224303 43cossin1lim(6 12)(1)6(63)(1)2(1)xxxxcxxxxxxx=+解毕 四（15 分）设()f x在,a b上连续，且对每一个,xa b，存在

4、,ya b，使得1()()2f yf x，证明：在存在,a b 使得()0f =证明:反证法,由于()f x在,a b上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()mf xM 对于任选的一点1x,存在2,x使得211()()2f xf x,存在3,x使得321211()()()22f xf xf x 所以1111,()()0,()22nnnnMxa bf xf xn 即lim()0nnf x=,但对所有的 x,0()mf xM，存在120,Gx xG当时21()xxf x dx时，1()()nnnf x dxf x+=+均成立.（2）()1sup();0,Mfxx=+也是有限数，并且满足不等

5、式1022MM M.证明:(1)考虑()f tt+在 t 处Talyor展开:()f tt+=2()()()2ff tft tt+,t0,整理一下有:(2)()()()2ftf tffttt=,所以()(2)()()2f tftffttt+所以 022()2MtftMt+证毕(2)因为022()2MtftMt+对任何0,(0,)tx+均成立.取022MtM=,所以 02()2ftM M,所以 ()1sup();0,Mfxx=+也是有限数，并且满足不等式1022MM M.证毕 七 （10 分）()f x在任何有限区间上R i e m a n n可积，且()f x dx+收敛，证明：lim()si

6、n()0nf xnx dx+=证明:因为()f x dx+收敛,所以0,0,G使得()()2GGf x dxf x dx+当nN时()sin()2GGf xnx dx当nN时,()sin()f xnx dx+()sin()()()GGGGf xnx dxf x dxf x dx+）,且0()0Lf x dx=。利用f的Fourier级数展开证明：2222004()()LLfxdxf x dxL，等号成立当且仅当存在常数11,aa，使得2211()ttiiLLf ta ea e=+（2）设是2R上具有1C光滑边界的连通区域，设()A 是的面积，则2()Adivrdxdyr vds=其中向量场12

7、(,)(,)(,)r x yr x y ir x y j=+，12(,),(,)r x yx r x yy=，,i jrr 是 x 轴和 y 轴的单位向量.，v是边界的单位外法向量，ds是边界的弧长微分.（3）设同上，()l 是的边界的长度，利用（1），（2）证明：2()4()lA等号成立当且仅当是圆盘.证明：（1）因为f是1R上1C，所以,ff均是连续函数，所以满足Passeval等式，又注意到0()0Lf x dx=所以()222012()Lnnnf xdxabL=+这里,nna b均为f的Fourier系数，由Fourier级数理论可得：f的Fourier系数为22,nnnanbLL，由

8、Passeval等式：()22222220124()Lnnnfxdxn an bLL=+，显然2222004()()LLfxdxf x dxL 如若等号成立，说明,0,2nna bn=，由f的Fourier级的复数形式：存在常数11,aa，使得2211()ttiiLLf ta ea e=+证毕 （2）证明：divr=122rrxy+=，所以2divrdxdydxdy=2()A 将第一类曲线积分向第二类曲线积分转化：r vdsxdyydx=2Greendxdy由公式=2()A 证毕(3)将坐标(,)x y看作是弧长s的函数(),()x sy s，因为有：222()()()dxdyds+=所以：2

9、21dxdydsds+=，令()lL=，(),()x sy s是周期为L的1C函数 由格林公式和（2）的结果。可以得到下面的结论：0()()()LAx s y s ds=考虑：044()()()LAx s y s dsLL=042()()2LLx sy sdsLL=22001 42()()22LLLxs dsy s dsLL+*由（1）的结论：222200()()4LLLxs dsx s ds 代入*，有4()AL2222001 42()()242LLLLx s dsy s dsLL+220()()()Lx sy sdsLl=+=即：44()()()()AAlLl=，即2()4()lA 证毕