中科大史济怀数学分析课件 141-1412.pdf

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1、 250第 14 章 多变量函数的微分学 第 14 章 多变量函数的微分学 14.1 方向导数和偏导数14.1 方向导数和偏导数 方向和方向余弦方向和方向余弦 称n中的单位向量u为一个方向；若12,n 分别是u与坐标向量12,ne ee 的夹角,则12(cos,cos,cos)nu,故 方向又称为方向余弦.定义 14.1定义 14.1 设f是非空开集nD 上的函数,aD,u是n中的一 个方向.若0()()limtf atuf at存在且有限,则将该极限记成()fau或 fau,称为f在a处沿方向u的方向导数.显然,方向导数()fau与方 向u有关.特别的,()()()ffaauu .定义 14

2、.定义 14.1 通常将()kfae记成()kfax或kfax或()kD f a(1,2,)kn,称为f在a处关于kx的(1 阶)偏导数；若非空开集nD 上的函数f 在任意xD处都存在()kfxx,则kfx也是D上的函数,称为f关于kx的(1 阶)偏导函数.命题 命题 ()kfax恰好是以kx为自变量的函数111()(,)kkkknf aaxaag x 在ka处的导数()kg a.证:证:00()()()()()()limlimkkkkkttffaaxef atef ag atg att()kg a.方 向 导 数 的 物 理 意 义 方 向 导 数 的 物 理 意 义 若(,)t x y z

3、是 区 域3D 上 的 温 度 函数,aD,u是3中的一个方向,则()tau恰是温度沿方向u的“变化 率”.偏导数的几何意义偏导数的几何意义 设3中的曲面(,)zf x y与平面0yy相交成曲 线1,与平面0 xx相交成曲线2,那么00(1,0,(,)fxxy便是1在 2510000(,(,)xyf xy处 的 一 个 切 向 量；00(0,1,(,)fyxy便 是2在0000(,(,)xyf xy处的一个切向量.练习题 14.1(练习题 14.1(110P)2,3,4,5(3),6(1,5,8,12).25214.2 多变量函数的微分 14.2 多变量函数的微分 定义 14.2(重要的概念)

4、定义 14.2(重要的概念)设f是开集nD上的函数,aD.若存 在常向量12(,)nn 使得 1()()()(0)nkkkf ahf aho hh,则称f在a处可微分,并称以n为定义域、以12(,)ndxdx dxdx为自变量的线性函数1nkkkdx为f在a处的微分,记作1()nkkkdf adx；若f在D中的每个点处都可微分,则称f是D上的可微函数,此时1()()nkkkdf xx dx是Dn上以(,)x dx为自变量的2n元函数.定理 14.1定理 14.1 若多变量函数f在a处可微,则它必在a处连续.证:证:1()()()()(0)nkkkkf xf axao xaxa.命题1命题1 若

5、n元函数f在a处可微,则所有的1阶偏导数()(1)kfaknx 都存在,此时1()()knkkfaxdf adx；反之,结论可能不正确(见例 1).证:证:1()()()(0)nkkkf ahf aho hh,00()()()()limlimkkkkttkto teff atef aaett,故 ()kkfax.例 1例 1 设22,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0),xyx yxyf x yx y 则(0,0)(0,0)0ffxy,显然f在(0,0)处不可微(因为f在(0,0)处不连续).证:证:(略).微分的几何意义 微分的几何意义 设(,)zf x y是3中的曲面.记0000(

6、,(,)Ox yf x y,将直角坐标系Oxyz平移得到新坐标系()()()O dx dy dz.那么,在新坐标 253系()()()O dx dy dz下,“曲面(,)zf x y”的图像在0000(,(,)Oxyf xy 处的切平面方程恰为0000(,)(,)ffdzxy dxxy dyxy.证:证:切平面的法向量之一是 00(1,0,(,)fxxy123000000,(0,1,(,)det1,0,(,)0,1,(,)ffyxfyeeexyxyxy 0000(,),(,),1)ffxyxyxy,故切平面的方程为 0000(,)(,)0ffxy dxxy dydzxy.多变量函数的Jacob

7、i矩阵和梯度多变量函数的Jacobi矩阵和梯度 若n元函数f在a处的1阶偏导数()(1)kfaknx都存在,则记12(),(),()()(nfffxxxaaaJ f a,称为f在a 处的 Jacobi 矩阵；记1212()()()()()nfffnxxxa ea ea egrad f af a,称为f在a处的梯度,其中被称为 Hamilton 算子.于是,若f在a处 可微,则 ()()(),df aJ f a dxgrad f adx.命题2命题2 若n元函数f在a处可微,则f在a处沿n中任意方向u的方 向导数都存在,并且()(),fagrad f auu；反之,结论可能不成立(见例 2).证

8、:证:当0t时,有()()(),()f atuf agrad f atuo tu ,故 0()()()lim(),tff atuf aagrad f auut.例 2例 2 设242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0),x yx yf x yxyx y 则2122(0,0),0fuuuu；2(0,0)0,0fuu.显然f在(0,0)处不可微(因为f在(0,0)处不连续).证:证:(略).254定理 14.2定理 14.2 n元函数f在a处可微存在函数()kh(1,2,)kn,0lim()khh0,使得1()()()()nkkkf ahf aJ f a hh h.证:证:“”.令2()

9、()(),0;()0,0,f a hf aJf a hkhkhhhh则 1()nkkkh h()()()f ahf aJ f a h,并且 ()()()()()0(0)kko hhhf a hf aJf a hkhhhhhh.“”.11()()()(0)nnkkkkkh hhho hh,这说明f在a处可微.定理 14.3(可微的充分条件)定理 14.3(可微的充分条件)设f是开集nD 上的函数,aD.若()J f x在a的某个邻域上存在,并且在a处连续,则f必在a处可微.证:证:仅证2n 的情形.1122121122122(,)(,)(,)(,)f ah ahf a af ah ahf a a

10、h 12212(,)(,f a ahf a a 11 12211222212(,)(,)ffah ah ha ah hxx,其中 11220()1,0()1hh.令 1()h11 1221211(,)(,)ffah aha axx,2()h1221222(,)(,)ffa aha axx,则有 0lim()khh0(1,2)k.于是 11122212()()()()()()fff ahf aa hh ha hh hxx.根据定理 14.2,f在a处可微.1C函数 函数 设f是开集nD 上的函数.若()J f x在D上处处存在,并 且处处连续,则称f是D上的1C函数；D上1C函数的全体用1()C

11、 D表 255示.于是,1C函数可微函数连续函数；可微函数各方向导数存在的函数；连续函数与各方向导数存在的函数互不包含.微分用于近似计算微分用于近似计算 当xa很小时,()()()()f xf aJ f axa.练习题 14.2(练习题 14.2(115P)2,3,4(1,3),5(2,4).25614.3 映射的微分 14.3 映射的微分 定义 14.4 定义 14.4 设f是从开集nD到m的映射,aD.若存在常数矩 阵m nA使得 ()()()(0)f ahf aAho hh,则称f在a处可微分,并称以n为定义域、以12(,)ndxdx dxdx为自变量的线性映射Adx为f在a处的微分,记

12、作()df aAdx；若f在D中的每个点处都可微分,则称f是从D到m的可微映射,此时()()df xA x dx是从Dn到m的以(,)x dx为自变量的2n元映射.命题命题 n元映射12(,)mffff在a处可微分当且仅当每个分量函数(1,2,)jfjm在a处可微分.证:证:1111111,()()()(0)()(),nmmmmnnaaf ahf aho hhfahfaaah 1()()()(0)njjjkkkfahfaa ho hh (1,2,)jm.多变量映射的 Jacobi 矩阵多变量映射的 Jacobi 矩阵 若n元映射12(,)mffff在a处的所有 1 阶偏导数()(1,1)kjf

13、ajmknx都存在,则记 111122221212(),(),()(),(),()(),(),()()nnmmmnfffxxxfffxxxfffxxxaaaaaaaaaJ f a,称为f在a处的 Jacobi 矩阵.于是,若f在a处可微分,则 ()()df aJ f a dx.定理 14.4(可微的充分条件)定理 14.4(可微的充分条件)设f是从开集nD到m的映射,aD.若()J f x在a的某个邻域上存在,并且在a处连续,则f必 在a处可微.257证:证:因为()jJ fx在a的某个邻域上存在,并且在a处连续,故jf在a处可微(1,2,)jm,从而f在a处可微.练习题 14.3(练习题 1

14、4.3(118P)2,3,4,6,7,8.25814.4 复合求导 14.4 复合求导 引理 引理 对于,m nnAh,一定有AhA h.证:证:记1(,)jjjnaaa,则111111,nmmnnmaaha haahah .故 22222211,mmjjjjAha hahAh.定理 14.5(复合映射求导的链式法则)定理 14.5(复合映射求导的链式法则)设,nmDG是开集,:,:lfDG g G是 映 射.若f在xD处 可 微 分,g在()yf xG处可微分,则复合映射:lg fD在x处可微分,并且 ()()()()J g fxJg f x J f x.证:证:记()()()()kf xh

15、f xJf x hu h,其中()()(0)u ho hh,则 ()()()()g f xhg f xg ykg y ()()Jg y kv k,其中()()(0)v ko kk.于是 ()()()()()()g f xhg f xJg yJf x hu hv k ()()()()()Jg y Jf x hJg y u hv k.()()()()()()Jg y u hv kJg yu hv k ()()()()(),0;()(),0.v kJg yu hJf xhu hkkJg yu hk 由00limlim()()0hhkf xhf x,便知0()()()lim0hJg y u hv kh

16、.故 ()()()()()(0)g f xhg f xJg y J f x ho hh.推论 14.推论 14.5(微分的形式不变性)(微分的形式不变性)()()()dg f xJg f x d f x.推论 14.推论 14.5(复合函数求导的链式法则)(复合函数求导的链式法则)对于复合函数1(,)nxx 111(,),(,)nmng f xxfxx,有 259 1()()(),1,2,mjjkjkfgxf xxknxyx.例 1(例 1(124P,第 10 题),第 10 题)设(,)f x y z是 3 元函数,123,n n n 是3中三个互 相正交的方向.求证:222222123ff

17、ffffnnnxyz.证:证:112233,ff nnf nnf nn 123123fffnnnnnn,两边同时求长度的平方,就得到结论.例 2(例 2(124P,第 8 题),第 8 题)设(,)(,)f x y zF u v w,其中22,xvw ywu,2zuv.求证:fffFFFxyzuvwxyzuvw.证:证:令()(,)tf tx ty tz,显然()(,)tF tu tv tw.于是有(1)(,)(,)(,)fffx y z xx y z yx y z zxyz；又有 (1)(,)(,)(,)FFFu v w uu v w vu v w wuvw.练习题 14.4(练习题 14.

18、4(123P)2,3,5,6,7,9.26014.5 拟微分中值定理 14.5 拟微分中值定理 定理 10.7(多变量函数的微分中值定理)定理 10.7(多变量函数的微分中值定理)若f是凸区域nD 上的可微函数,则,a bD ab,必存在(,)a bD,使得 ()()()()f bf aJfba.证:证:()(1)tft atb是0,1上的单变量可微函数,故(0,1)使 得()(1)(0)()()f bf a.令(1)(,)aba b,则有()()()Jfba.定理 10.8(单变量映射的拟微分中值定理)定理 10.8(单变量映射的拟微分中值定理)若单变量连续映射:,mfa b 在(,)a b

19、上可微,则必存在(,)a b,使得 ()()()()f bf aJ fba.证:证:单变量函数()(),()()tf tf bf a 在,a b上连续,在(,)a b上可微,故存在(,)a b,使得 ()()()()baba,即 2()()(),()()()f bf aJ ff bf aba ()()()()J ff bf aba.注记 10.注记 10.8 单变量映射不成立形如“()()()()f bf aJ fba”微 分中值定理.证:证:()(cos,sin)f ttt在0,2 上连续,在(0,2)上可微.但是,(2)(0)(0,0)ff；()(20)(sin,cos)2(0,0)J f

20、.定理 10.9(多变量映射的拟微分中值定理)定理 10.9(多变量映射的拟微分中值定理)若f是从凸区域nD 到m的可微映射,则,a bD ab,必存在(,)a bD,使得 ()()()f bf aJ fba.证:证:单变量映射()(1)tft atb在0,1上可微,故(0,1)使 得(1)(0)()J(定理 10.8).令(1)(,)aba b,则有 261()()()JJ fba.故()()(1)(0)f bf a()J fba.定理 10.10定理 10.10 设f是从区域(连通开集)nD 到m的可微映射.若0J f 在D上成立,则f在D上是常向量.证:证:(反证法)假定,a bD使得(

21、)()f af b.令:()()Ax Df xf a,:()()Bx Df xf a,则DAB是非空无交并分解.对f应用拟微分中值定理易知A是开集；由f的连续性易知B也是开集.这与D 的连通性相矛盾(定理 13.15).26214.6 隐函数定理 14.6 隐函数定理 隐函数问题 隐函数问题 一、函数方程1(,)0nF xxy 在什么条件下能确保存在一个n元函数1(,)nyf xx是函数方程1(,)0nF xxy的解,即 11(,(,)0nnF xxf xx?二、如何求出J f,即利用(,)FxyJFJ F来表示J f?定理 14.12(隐函数定理)定理 14.12(隐函数定理)若(,)F x

22、 y是1(,)nBa b 上的kC函数(即F的所有k阶偏导函数都连续),(,)0F a b,(,)Fya b0,则存在()()nB a上唯一一个kC函数()yf x,使得(1)(,()0F x f x；(2)()bf a；(3)利用(,()0F x f x所确定的矩阵方程(,()(,()()0FxyJ F x f xx f x J f x,能解出 1()(,()(,()FxyJ f xx f xJ F x f x.证：证：隐函数定理的证明主要利用“导数判别函数的增减性”和“连续函数的介值定理”,很初等但也很罗嗦,这里省略.例 1例 1 设(,)zz x y是由方程()x y zxyze 所确定

23、的函数,求出,zzxy.解:解:在(,)(,)x y z x yxyz x ye 中分别对,x y求偏导数,便得到(,)1(,)(1(,)x y z x yzzx yex yxx ,(,)1(,)(1(,)x y z x yzzx yex yyy .故 (,)10,(,)10zzx yx yxy ,从而(,)xyz x y是常数,即(,)zz x y就是平面xyzc,其中常数c满足1cce.263例 2 例 2 研究由方程sinyyx所确定的隐函数()yy x,其中(0,1)是常数.解:解:()sinf yyy是上严格递增的C函数,值域为,故其反 函数1()fx也是上严格递增的C函数,1111

24、1()()()1cos()fxffxfx.这与隐函数定理的结论()cos()()1y xy x y x相一致.例 3(例 3(135P,第 3 题)解:,第 3 题)解:xy意为由(,)0F x y z 所确定的隐函数(,)xx y z关于y的偏导数,其它类似.由(,),)0F x y zy z,可得0FxFxyy；由(,(,),)0F x y z x z,可得0FyFyzz；由(,(,)0F x y z x y,可得0FFzxzx.乘起来便有FFFx yzFFFxyzyzxxyz .例 4例 4 方程3sinlog0 xyxy能在(0,1)的附近确定唯一的隐函数y()y x满足(0)1y,并

25、且(0)0y.解:解:记3(,)sinlogF x yxyxy,则(0,1)0F,(0,1)1Fy,符合隐函数定理的条件.故在(0,1)的附近确定唯一的隐函数()yy x满足(0)1y,并且1(0)(0,1)(0,1)0FFyyx.练习题 14.6(练习题 14.6(134P)1(2),2(1,3),4,5,6.26414.7 隐映射定理 14.7 隐映射定理 隐映射问题 隐映射问题 一、函数方程组 11111(,)0(,)0(,)0nmmnmF xxyyF x yFxxyy 在什么条件下能确保存在一个n元映射 1111(,)()(,)nmmnf xxyyf xyfxx 是函数方程组(,)0F

26、 x y 的解,即(,()0F x f x?二、如何求出J f,即利用(,)xyJFJ F J F来表示J f?定理 14.13(隐映射定理)定理 14.13(隐映射定理)若(,)F x y是从(,)n mBa b 到m的kC 映射(即每个jF的所有k阶偏导函数都连续,1,jm),(,)0F a b,det(,)yJ F a b0,则存在从()()nB a到m的唯一一个kC映射()yf x,使得(1)(,()0F x f x；(2)()bf a；(3)利用(,()0F x f x所确定的矩阵方程(,()(,()()0 xyJ F x f xJ F x f x J f x,能解出 1()(,()

27、(,()yxJ f xJ F x f xJ F x f x.证：证：不妨设2m.因为11122212(,),(,)det(,)det0(,),(,)FFyyyFFyya ba bJ F a ba ba b,故1222(,)00(,)FyFya ba b.可设22(,)0Fya b.由隐函数定理,存在111(,)nBa b 2651()上唯一一个kC函数21(,)yg x y使得2112(,(,)0,F x y g x yb 1(,)g a b,2221111(,)(,)(,)FFyyga ba ba by.再考虑方程111(,(,)F x y g x y 0.令1111(,)(,(,)G x

28、yF x y g x y,则1(,)G x y是111(,)nBa b上的kC 函数,1111211111(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)FFgGyyyyG a bF a ba ba ba ba b11(,)Fya b 111212222212221211(,),(,)(,)(,)(,)(,)det0(,),(,)FFyyFFFFyyyyFFyya ba ba ba ba ba ba ba b.再 由隐函数定理,存在()nB a1()上唯一一个kC函数11()yf x 使得111111(,()(,(),(,()0,()G x f xF x f xg x f xbf a.令22()yfx

29、 1(,()g x f x,则1122()()yf xyfx是()B a上的kC映射,满足 112212(,(),()0(,(),()0F x f xfxF x f xfx,1122()()bf abfa.例(例(143P,第 5 题)解:,第 5 题)解:将(,)(,)(,)uu x yvv x yww x y代入方程组,并对方程组两边关于,x y求 Jacobi 矩阵,便得 2,0,02,1,00,00,2,2,0,0,01,1,10,00,0,uuxyvvxywwxy,2,0,02,1,02,2,0,0,1,1,10,0,uuxyvvxywwxy,1264,0,0,0,uuxyvvxyw

30、wxy.练习题 14.7(练习题 14.7(142P)2,3,4,6.26614.8 逆映射定理 14.8 逆映射定理 同胚映射 同胚映射 设nE是非空点集,:mfE是单射.若f在E上连续,1f在()f E上连续,则称f是从E到()f E上的同胚映射,并称E与()f E同胚.注记注记 若mn,则n中的区域与m中的区域一定不同胚.邻域 邻域 设na.若开集nU含有a,则称U是a的一个邻域.定理 14.14(局部逆映射定理)定理 14.14(局部逆映射定理)设f是从开集nD到n的kC映射,aD.若det()0J f a,则存在a的邻域UD和()bf a的邻域()Vf D,使得(1)|Uf是从U到V

31、上的kC同胚映射(即|Uf和1(|)Uf都是kC映射)；(2)11(|)()(|)()UUJ fyJ fx,()yf xV.证:证:对方程组11()0()0nnf xyfxy 应用隐映射定理即得到结论(细节省略).推论 14.1推论 14.14 设f是从开集nD到n的kC映射.若xD 都有det()0J f x,则()Gf D是n中的开集.定理 14.15(整体逆映射定理)定理 14.15(整体逆映射定理)设f是从开集nD到n的kC单射,并且xD 都有det()0J f x,则(1)f是从D到()f D上的kC同胚映射；(2)11()()J fyJ f x,()()yf xf D.证:证:由局

32、部逆映射定理及其推论.练习题 14.8(练习题 14.8(147P)1,2.26714.9 高阶偏导数14.9 高阶偏导数 高阶偏导数 高阶偏导数 对n元函数f可定义n个 1 阶偏导函数(1)ifinx；2n个 2 阶偏导函数2()(1,)ijijffi jn ijx xxx 和22()iiiffxxx(1)in；类似地,可定义kn个k阶偏导函数.定理 14.16 定理 14.16 设f是开集nD上的函数,aD.若2ijfx x 和2jifxx 都在a的某个邻域上存在,并且在a处连续,则22()()ijjiffaax xxx .证:证:不妨设2n.对充分小的常数12,0h h,令 211212

33、()(,)(,)xf ah xf a x,112212()(,)(,)xf x ahf x a.则 2221122122()()(,)(,)ahaf ah ahf a ah 11212111(,)(,)()()f ah af a aaha.一方面,2222222()()()ahaah h 112221222222(,)(,)ffah aha ahhxx 211 12221 21212(,),0,1fah ah hhx x .另一方面,11111 11()()()ahaah h 11 12211 12111(,)(,)ffah ahah ahxx 211 12221 21221(,),0,1fa

34、h ah hhxx .于是,2211 122211 12221221(,)(,)ffah ahah ahx xxx .令12(,)(0,0)h h,就得到2212121221(,)(,)ffa aa ax xxx .268定理 14.1定理 14.16 若n元函数f的两个k阶偏导函数都在a处连续,仅仅是求导次序不同,则这两个k阶偏导函数在a处相等.注记 14.1注记 14.16 若n元函数f的所有k阶偏导函数都在a处连续,则f 在a处的k阶偏导数的全体便是1212()niiinkxxxfa1(0,i2,niik,1i 2)niik,一共有11nk nC 个.证:证:f在a处的所有k阶偏导数的个

35、数1()knxx所含单项式的个数.下面对自变量的个数n应用数学归纳法.1个自变量时,1kx所含单项式的个数为 1,结论成立；假定1n个自变量时,11()knxx所含单项式的个数为22nk nC；于是,1()knxx所含单项式的个数 110()kik iiknniC xxx所含单项式的个数 220kni niC.因为 1(1)110(1)(1)(1)nknnk nkCxxxx 22220000knijnki ni nijkiCxxCx ,故 21210knni nk niCC .这说明n个自变量时,结论也成立.例 1(例 1(154P,第 6 题)解:,第 6 题)解:(1)220(,)uuf

36、y zxx；(,)0(,)(,)uf y z xuf y z xg y zx.故 (,)(,)(,)u x y zf y z xg y z.(2)210(,)uufy zx yy；26911(,)0(,)(,)ufy z dyufy z dyg z xy.故 (,)(,)(,)u x y zf y zg z x.(3)3110(,)(,)uufy zg z xx y zz ；11(,)(,)0ufy z dzg z x dzz 11(,)(,)(,)ufy z dzg z x dzh x y.故 (,)(,)(,)(,)u x y zf y zg z xh x y.例 2 例 2 设(,),(

37、,),(,),(,)(,),(,)zf x yxu vyu vz u vfu vu v,求22222(,),(,),(,)zzzu vu vu vuu vv.解:解:仅求出22(,)zu vu.zffuxuyu ；2222222zfffuxux yuuxu 22222fffx yuyuuyu 222222222222fffffxux yuuyuxuyu .练习题 14.9(练习题 14.9(153P)1(3,10),2,4,5.27014.10 Taylor 公式14.10 Taylor 公式 本节内容可用于函数估计、极值判断、近似计算等，具有较高的理论价值.引理 14.1(推广的二项式定理)

38、引理 14.1(推广的二项式定理)对于1,(,)nnk和x 1(,)nnxx,有如下的多项式展开 11111!()!nnknnkknkkxxxxx.证:证:对n应用数学归纳法.定理 14.17(带 Lagrange 余项的 Taylor 公式)定理 14.17(带 Lagrange 余项的 Taylor 公式)设nD 是凸区域.若f是D上的1mC函数,则,a xD xa,必(,)a xD,使得 101111()()()()()!(1)!kmmnnjjjjkjjjjf xxaf axafkxmx 10111()()()()!kmmkkmffaxaxaxx.证:证:()(1)tft atx是0,1

39、上的1mC函数,故存在(0,1)使得()(1)011(1)(0)()!(1)!mkmkkm.由 1()(1)()njjjjdftt atx xadtx 1()(1)njjjjxaft atxx,可得 1()()(1)kknjjkjjdtxaft atxdtx.故 ()1(0)()()knkjjjjxaf ax,0,1,km,1(1)1()()()mnmjjjjxafx,(1)ax.带入前式即得到结论.271注记 14.1注记 14.17 1(,)nf xx在1(,)naaa处的 Taylor 展开式的前三 项为 1111111()(,)()2!()()nnnnnnxaxaJ f axaxaHf

40、 axaxaf xf a,其中2()()ijH f afax x 是n阶对称方阵,称为f在a处的Hessian方 阵.定理14.18(带Peano余项的Taylor公式)定理14.18(带Peano余项的Taylor公式)若1(,)nf xx是a的邻域 上的mC函数,则 011()()()()!kmnmjjkjjf xxaf ao xakx 01()()()()!kmmkkfaxao xaxax.证:证:()xatf atxa在0t 处m阶可导,故()01()(0)0()(0)!mkkmkttttk.由 1()()njjjjxadfxatatdtxxaxa 11()njjjjxaxaf atx

41、axxa,可得 11()()kknjjkkjjdxatxaf atdtxxaxa,故 ()11(0)()()knkjjkjjxaf axxa,0,1,km.将txa带入前式即得到结论.Taylor 公式用于近似计算Taylor 公式用于近似计算 当xa很小时,011()()()!kmnjjkjjf xxaf akx.27214.11 极值14.11 极值 定义 14.7 定义 14.7 设n元函数f在a的邻域上有定义.若0,使得()nxBa,成立()()f xf a,则称()f a是f的一个极大值,a是f的一个极大值点；类似地,可以定义f的极小值和极小值点；f的极大值和极小值统称为f的极值,f

42、的极大值点和极小值点统称为f的极值点.定理 14.19(极值点的必要条件)定理 14.19(极值点的必要条件)若a是n元函数f的极值点,并且()J f a存在,则a是f的一个驻点,即()0J f a.证:证:单变量函数111()(,)kkntf aat aa在ka处取得极值,故()()0kkfaax.注记 14.1注记 14.19 驻点可能不是极值点.例如,(,)f x yxy以(0,0)为驻点,但(0,0)并非是f的极值点.例1(例1(135P,第6题)解:,第6题)解:“8”的交点是方程组的一组解,否则与隐函数定理中解的唯一性相矛盾；函数F在“8”的每个“圆盘”中都至少有一个极值点,这两个

43、极值点便是方程组的两组解.故方程组至少有三组解.定理 14.23(极值点的充分条件)定理 14.23(极值点的充分条件)若f是a的邻域上的2C函数,()0J f a,则(1)若()0Hf a(即()Hf a正定),则()f a是f的严格极小值；(2)若()0Hf a(即()Hf a正定),则()f a是f的严格极大值；(3)其它情形时,各种可能性都有.证:证:(1)单位球面1(0)B是紧集1(0)min()0BH f aM.由 21()()2!()()()(0)J f aHf af ahf ahhho hh 273可得 22212()()()(0)o hf ahf aMhhh.故0,使得(0)

44、0hB,成立213()()0f ahf aMh.这说 明()f a是f的严格极小值.(2)证明与(1)类似.(3)()0Hf a 和()0Hf a 以外的情形,易举例说明各种可能都有.例 2(最小二乘法)例 2(最小二乘法)设平面上n个彼此不同的点2(,):1iix yin 不同时位于一条平行于y轴的直线上.求一条直线00ya xb使得误 差2001()niiia xby最小.(在实际问题中,就是求线性函数与测量数 据误差最小)解:解:问题为求 2 元函数21(,)()niiiF a baxby的最小值.令 1(,)2()0niiiiFa baxby xa,1(,)2()0niiiFa bax

45、byb,可得二元一次方程组 211111.nnniiiiiiinniiiixaxbx yxanby 因为n个点2(,):1iix yin 不同时位于一条平行于y轴的直线 上,故向量12(,)nxx xx与1(1,1,1)不平行,从而 22222111(1,)0nniiiixxnxx.这说明上述二元一次方程组有唯一的解00(,),a b它就是函数F的驻点.此外,向量00(,1,)ab与11(,)nniiiixy n和2111(,)nnniiiiiiixx yx都正交.274易算出2110012,2(,)02,2nniiiiniixxHF a bxn,故00(,)F a b是函数F的最小值.下面求

46、出直线00ya xb.易看出,点(,)x y位于直线00ya xb上(,1)x y与00(,1,)ab正交(,1),x y11(,),nniiiixy n 2111(,)nnniiiiiiixx yx共面211111,1det,0nnniiiiiiinniiiixx yxxyxyn.这就是所求直线的方程.练习题 14.11(练习题 14.11(167P)2,4.27514.12 条件极值14.12 条件极值 本节内容可用于解决实际问题和得到一些有用的不等式.条件极值问题 条件极值问题 设nmD 是开集,11(,)nmf xxyy是D上的函数,11(,)nmxxyy是从D到m的映射,(,):(,

47、)0Lx yDx y.“求Lf的极值”这件事称为“函数(,)f x y在条件(,)0 x y下的条 件极值问题”.显然,若()yg x是由(,)0 x y所确定的隐映射并能解出来,则 条件极值问题便化为求(,()f x g x的极值(此路不通).定理 14.25(Lagrange 乘数法)定理 14.25(Lagrange 乘数法)设nmD是开集,(,)f x y是D上的 1C函数,(,)x y是从D到m的1C映射00,(,)(,):(,)0 x yLx yDx y,00det(,)0yJx y,100000(,)(,)yyJ f xyJxy.若00(,)x y是Lf的极 值点,则00(,)x

48、 y是辅助函数0(,)(,)(,)F x yf x yx y 的驻点.注记 14.2注记 14.25(解条件极值问题的实际步骤)(解条件极值问题的实际步骤)求出方程组 (,)(,)0(,)0J f x yJx yx y 的解000(,)x y,其中的00(,)x y便可能是条件极值点(即 Lagrange 乘数法给出了条件极值点的必要条件).证:证:由隐映射定理,存在从0()nBx到m的唯一的1C映射()yg x使得00(,()0,()x g xyg x.故0 x是(,()f x g x的极值点,从而 00000(,)(,)()0 xyJ f xyJ f xyJg x.因为 100000()(

49、,)(,)yxJg xJxyJxy,276代入前式便得到 100000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxJ f xyJ f xyJxyJxy.于是 0000000000(,)(,)0(,)(,)0,xxyyJ f xyJxyJ f xyJxy 此即 0000000(,)(,)(,)0JF xyJ f xyJxy.定理 14.26(条件极值点的充分条件)定理 14.26(条件极值点的充分条件)设nmD是开集,(,)f x y是D上的2C函数,(,)x y是从D到m的2C映射,000(,)x y是方程组 (,)(,)0(,)0J f x yJx yx y 的解,0()(),(,)Ffx y

50、x yx y,那么有如下结论(1)若00()0,HFx y(即00(),HFx y正定),则f在00(),x y处取得严格条件极小值；(2)若00()0,HFx y(即00(),HFx y正定),则f在00(),x y处取得严格条件极大值；(3)其它情形时,各种可能性都有.证:证:记(,)zx y.对于0:()0zDzzhL,若注意到0z是辅助函数0()()()F zf zz 的驻点,便得到 00()()f zhf z00()()F zhF z20()()(0)h HF z ho hh.由此即证明了(1)和(2).通过举例可证明(3).例例 将正数M分解成n个正数之和,使其乘积最大.解:解:问