学模型的变形造型新方法水.pdf

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1、第 4 1 卷第 9期 2 0 0 5 年9 月 机械工程学报 V o 1 4 1 N o 9 CHI N ESE J OURNAL OF M ECHANI CAL E NGI NEERI NG S e p 2 0 0 5 基于材料 力学模型的变形造型新方法水 王志国 周来水 王小平(南京航空航天大学机电学院南京2 1 0 0 1 6)摘要：运用材料力学 中杆件变形 的思想，提 出了一种新 的变形方法。首先定义局部坐标系，接着 以局部坐标系 的 z轴 作为杆 件的中心轴定义一根横截面 为圆形的弹性 杆，将未变形物体整体 或局部 地嵌入到弹性 杆件 中。最后 在 弹性杆件上施加位移边 界条件(如

2、 固支或铰支 约束)和外部载荷(如轴 向载荷，径 向载荷，弯 曲力偶和扭转力偶等)，物体作为杆件 的一部分在外部载荷 作用下而发生变形。运用该方法 实现 了伸 缩，弯 曲，扭转和削尖等变形操作。作为一种与物体描述无关的方法，该方法可以应用于机械零件的造型设计，如螺纹，钻头和弹簧等。实例证明，在 C A D C AM 领域 中，该方法有潜在 的应用前景。关键词：自由变形材料力学几何造 型映射 中图分类号：T H1 2 2 T P 3 9 1 0 前言 在产品的几何形状设计和计算机动画领域，变 形是一种非常实用的造型技术。如果物体的形状比 较简单，可以通过直接拖拉顶点或控制顶点的方法，对物体的初始

3、形状进行调整。然而对于形状 比较复 杂的物体，这种方法显得几乎不可行，而 自由变形 技术的发展则很好地适应了这种需要。近 2 O年来，作为一种新兴的造型技术，变形越来越受到研究者 的关 注。实际上，变形的本质是空间 R 的 自身映射。A H Ba r r 1 1 于 1 9 8 4年首先提 出了一种整体和局部 的变形方法，他以矩阵的形式给出了一系列几何变 换，从而实现 了实体模型的拉伸、弯曲、扭转、削 尖 以及它们 的组合变形。但是，他的方法缺少直观 的交互控制。A Wa t t 2 1 改进 了 A H B a r r 的方法，引入 了因子曲线(F a c t o r c u r v e)的

4、概念，从而增加了 变形的控制手段。1 9 8 6年 T W S e d e r b e r g等L j 提 出 了经典 自由变形方法(F F D)，该方法 的思想为：将物 体嵌入到一个三维的张量积 B e z i e r 体中，物体的顶 点或控制顶点可 以对 Be z i e r 体反求出参数。通过改 变 B e z i e r 体的控制顶点，进而由参数按新控制顶点 计算出物体上各点变形后 的位置。后来的研究者延 续了 T W S e d e r b e r g的工作，将三维张量积空间扩 展为 B s p l i n e 体和 NU RB S体L 4 】。但是，当定义张 高等学校优秀青年教师教

5、学科研奖励计划资助项 目。2 0 0 4 1 1 1 3收到 初稿，2 0 0 5 0 3 2 8收到修改稿 量积体的控制顶点很多时，调整这些顶点就显得非 常麻烦。因此，W M Hs u 6 1 和胡事民 分别提出了 F F D 的直接操作方法，从而简化 了 F F D 的变形操 作。冯结青 在 1 9 9 6年提 出了一种新的 F F D方法。他将物体映射到两张参数曲面上，一张定义为形状 曲面，另一张定义为高度曲面，改变它们可 以控制 物体变形的形状与厚度，另一种经典的 自由变形方 法是轴变形法 9 (A x Df)，该方法 以最近点规则将物 体附在参数 曲线上，因此参数曲线的改变会传递到

6、物体上。该变形方法的 自由度是一维，但 是在计算 最近点时会带来二义性的问题。K C h a n g等L l U l 基于广义 d e C a s t e lj a u算法，提 出了另一类巧妙 的轴 变形方法，即从 B e z i e r曲线控制多边形 出发，用广 义 d e C a s t e lj a u算法迭代运算，将物体黏 附在 B e z i e r 曲线上，该方法计算量小，并且操作简单。还有一 类方法称之为基于约束的 自由变形。P B o r r e l和 B e c h ma n n【1 1 首先提 出了基于点约束的变 形控 制方 法，通过定义点，偏移量和影响半径来控制物体的 变

7、形。金小刚L J 在 2 0 0 0年提 出了基于广义球的一 般约束变形方法，将约束从点扩展至线、面和体约 束。总之，这类变形方法需要定义一系列约束，影 响半径及势函数。势函数的取值在约束处取 1，而 在影响半径处逐渐 降至为 0。由于引入了势函数和 影响半径，这类方法在局部变形时是相当有效的。运用材料力学 中杆元件的变形思想，提出了一 种新的变形方法。通过定义局部坐标系和弹性圆杆，将未变形物体整体或局部地嵌入到杆件中。进而在 杆件上施加位移边界条件和外部载荷，物体作为杆 件的一部分，在各种位移边界条件和外力的作用下 维普资讯 http:/ 1 5 6 机械工程学报 第 4 1 卷第 9期 而

8、产生不同的变形。1 杆件受力变形简介 1 1 材料 力学基本变形方程 首先，先简单地介绍材料力学中杆件变形的基 本概念。假设杆件的长度为 L，半径为 尺，断面的 面积为，材料的弹性模量为 E，切变模量为 G，泊松 比为，杆件断面的极惯性矩和轴惯性矩分别 为 和，这里它们均为常量。图 1 4为杆件受力 时的变形示意图。其中实线表示未变形的杆件，点 划线表示杆的轴线，而虚线则表示变形后的杆件。当杆件受轴向拉压时，杆件的变形示意图如图 1 所示。图 1 杆件轴 向受拉(受压)的变形不意图 对于受轴 向拉压的杆件，变形方程如下()：f (1)P-A 式 中 杆件在坐标 X 处的轴 向长度改变量)杆件的

9、轴力 实际上，当杆件受拉(压)时，不仅轴 向的长度 会改变，径 向(半径)的大小也会发生变化。这里不 考虑其径向的变化。当杆件受到轴对称 的径向分布压力f 拉力)时，杆件的受力示意图如 图 2所示。其 中)是轴对称 的径向分布压力，为一面力。图 2 杆件受轴对称 径向压 力(拉 力)示意图 实际上，当)随 X轴变化时(非常量)，杆件 就产生了径向的切应力，此时若要分析杆件的应力 会非常麻烦。为了简化起见，忽略它的切应力。因 此，杆件的变形方程为，1 1 A R(x，)=I(1 一 l)F(x)d r=(1 一 l 1)r F(x)(2)式中 轴对称的径向分布压力 r 杆件内 任意点的 径向半

10、径，r-、y +z A R ，)该点径 向半径的改变量 可见，此时杆件将产生径 向膨胀或收缩。类似 地，同样也不考虑杆件在受到径向分布载荷时，轴 向长度的变化。当杆件受扭转 力偶 作用 时，它 的变形如 图 3 所示。图 3 杆件在 受扭转时 的变形示 意图 假设杆件 内任意 一点在受力扭转 时所产生 的 转角为 0，这时杆件的变形方程 为)=(3)式中r(x)杆件的转矩 O(x)杆件内任意点的转角改变量 杆件受力弯 曲时，杆件变形示意图如图 4所示。l 1 图 4 杆 件受弯时的变 形示 意图 令 表示杆件内任意一点挠度(纵向改变量)，此时的杆件 的弯曲变形方程为(加f f f(4)2 Li

11、 j 式中朋)杆件 的弯矩()杆件 内任意一点的挠度 1 2 材料 力学模 型 需要指 出的是，上一节只给 出了杆件 的基本变 形方程。在位移边界条件一定，求解变形方程时，需要结合外部载荷来确定积分常数。也就是说，杆 件在不 同的位移边 界条件和 不 同的外部载荷作用 下，它的变形方程类型是不一样的。一旦位移边界 条件和外部载荷的类型确定，该变形方程就是 以外 力及其作用位置为变量的函数。对于常见的 1 O余种材料力学的杆件受力模型，在程序 中建立 了杆件变形方程类 型的查找表。用户 只需选择位移边界条件和外部载荷的类型，从而确 定相应的变形方程。并通过改变载荷的作用位置及 大小，来调整物体的

12、变形。对于所提及 的材料力学 模型，读者可参阅相关的材料力学书籍。维普资讯 http:/ 2 0 0 5年 9月 王志 国等：基于材料力学模型的变形造型新方法 1 5 7 2 材料力学模型在变形中的应用 2 1 局部 坐标 系 在变形之前，先要建立局部坐标系，并以局部 坐标系的 X 轴作为杆件 的中心轴定义一根圆杆，从 而将未变形物体整体或局部地嵌入到杆件中，图 5是 局部坐标系的示意 图。作者选择了将物体嵌入到圆 杆中，而放弃 了截面为矩形的方形杆。主要是因为 方形杆受力扭转时会产生力学 中的翘 曲现象，在计 算转角时极为不方便。图 5 局部坐标系示意 图 假 设局部 坐标 系 Ox y z

13、 的原 点 0 在坐 标系 O x y z下的坐标为 0 ，D ，而它的二 三 个坐标轴 单 位 方 向矢 量 在 坐 标 系 O x y z下 分 别 为 e =x t，Y l，z l 、e 2=X 2，Y 2，z 2 和 e 3=x 3，Y 3，z 3 。那么对 于 任意一点，它 在局部坐标系 Ox y z 下 的坐标=X 1，Y l，z l ，与在坐标系 O x y z下的坐标 P：，Y，z 可用下式相互转换 e l=(P一 0)一 (5)2 2 物体在各种外部载荷下的变形计算 一旦定义 了局部坐 标系并将物体 嵌入到杆件 以后，物体就可 以视为杆件的一部分。因为所有 的 变形计算都是在

14、局部坐标系下进行，所 以先要将物 体 所有 顶 点或 控制 顶 点 的坐 标(O x y z下 的 坐标、用式(5)转化为局部坐标系 o x y z 下的坐标。而且，只有局部坐标位于杆件之 内的点，才需要进行变形 计算。从前面的介绍可 以得知：当对杆件施加轴向的 拉压外力时，物体将随着杆件在外力作用下沿轴 向 一同 拉 伸 或 收 缩。此 时 对 于 物 体 上 任 意 一 点=，Y l，z l ，局部坐标只有 X 分量会改变。如果 用齐次坐标来表示，该点变形后的新坐标 为 因此=+=el=A L(x I)0 0 0 (1)0 =e,t a 式中 轴向伸缩变形矩阵 类 似地，当杆件 受到径 向

15、轴对称 的分布载荷 时，物体将随着杆件产生径 向膨胀或收缩。此时，点 的局部坐标只有 y 分量和 z 分量将发生变化。这里先将圆杆视为圆柱坐标系，求出点 在圆柱坐 标系中的转角坐标分量。因为点 只沿径向膨胀 或收缩，而转角坐标不变。因此，该点变形后的新 位 置 为、v=广 ，：c。AR(x，：sinOl 0=P。：l 0 l：P。l(l，)cos，)=鼻 0 c o s(O(x O、一1 一s i n(O(x 1)s i n(O(x 1)c o s(O(X 1)一1 0 =e,t t (8)式中 扭转变形矩阵 同理，当杆件受力弯 曲时，点 P1 只有 Y 分量 发生变化，变形后点 P 的改变量

16、为=(9)障 矢 ，J 变 标 乃 坐 一 一 式 维普资讯 http:/ 机械工程学报 第 4 1 卷第 9期 式中凰弯曲变形矩阵 0 0 2 3 物体在多种载荷下的组合变形 上一节讨论 了杆件 中的物体在各种载荷 下 的 变形计算。但是，当对杆件施加多种载荷时，又当 如何计算物体的变形，根据材料力学中的原理，当 位移边界条件一定时，杆件的变形只是各种载荷所 产生变形的简单叠加，与载荷施加的顺序无关。因 此，杆件 中的物体在多种载荷作用下，所产生的最 终变形为 =P,(Xa+Kt+Kb)=(1 0)式中 总变形矩阵 在进行 完变形计算后，还 需将物体所有变 形 后 的新顶 点用式(5)从局部

17、 坐标 转换 为 O x y z下 的 坐标。因为物体模型的显示是在 O x y z坐标 系下完 成 的。2 4 物体弯曲和扭转变形的修正 从前面所讨论 的变形方程可知：杆件在受力时 如果产生 了弯 曲变形，杆件中的物体只有 Y 坐标分 量发生了变化。这是因为材料力学所讨论的变形都 处于弹性小变形状态，在讨论杆件受弯时将其视为 一根轴线，因此不考虑其他坐标分量 的改变。但是 在计算机图形学的应用中不能将杆件视为一根轴，而且必须对物体的弯 曲变形作必要的修正。修正 的 示意图如图 6所示。：I I P 图 6 弯 曲修正示意 图 图 6中水平直线表示杆件中心轴，竖直线表示 通过 点的杆件横断面，

18、表示变形后的杆件 中心 轴与横断面法矢之 间的夹角。变形前，横断面是与 中心轴垂直 的。由于弯 曲变形时杆件只是 Y 坐标发 生 改 变，因 而 变 形 后 夹 角 ：a r c ta n f】。如 果 希望变形后 的横 断面仍然与中心轴保持垂直，则弯 曲后的点 还要随着横断面旋转 角度。计算时可 先将 点 绕 经过 点 P 与 z 轴 平行 的轴旋转 角 度，然后再进行弯曲计算，其中点P 的局部坐标为 X 1,0，0 。如用矩 阵来描述，则 变形修正后的点为、v=C OS S l n l s i n l COS l 1 一X 1 c o s tX 1 s i n 1 1 1 V(X 1)1

19、因此有=，K 为修正后的弯 曲变形矩阵。C O S l 一1 一S l n m(x 1)S l n C OS l 一1 0 (1)0 其中m(x 1)=X 1 一 l C O S 1，()=v(x 1)一 X 1 s i n 1。类似地，在进行扭转变形计算时，也需要作相 应的修正。修正的示意图见图 7。其中水平直线表示 杆件的中心轴，椭圆形表示杆件的横断面。图 7 扭转修 正示 意图 在修正之前，先要定义一条基准线。变形前，它为一条与局部坐标系 轴平行的直线。若用圆柱 坐标系表示，该直线的参数方程 为：Y =r h C O S ，z =r b s i n 。式中r b 和 表示基准线的半径和转

20、角 分量，它们均为常量。当在杆件上施加扭转力偶时，基准线也随着杆件 产生扭转变形，变形后的基准线 方程为：Y =r b c o s(+()，z =r b s in(O b+()，()：f 。特 别 地，当 扭 矩 (x)为 一 常 量 时，p 变形后 的基准线就为一条标准的螺旋线。因此，基 准线上在局部坐标 X =X l 处，曲线的切矢为：t=f G L 1，一 rb s in(+()，rb c。s(+()。同 样，杆件在扭转变形时也只是 y 坐标和 z 坐标分量、J 0 0 维普资讯 http:/ 2 0 0 5年 9月 王志 国等：基于材料力学模型 的变形造型新方法 1 5 9 将发生变化

21、。因而，杆件 内任意横断面的法矢，l =1，0，0 均为常量。横断面法矢，l 与基准线切矢 t 的 夹 c c o s J(。令 矢 量b=X t，如果希望变形后的杆件横断面以切矢 t 作为平面的新法矢，则变形后的点 还要随着横 断面绕过 点 P =，0，0 与矢 量 b平行 的轴，旋转 角度。特别地，当基准线为杆件的中心轴 即=0 时，则不起任何的修正作用。2 5变形实例 这一节给 出了材料力学模型 在几何造型 中的 变形实例。为了统一起见，所有示例均是 由圆柱体 变形而来。图 8演示了弯 曲变形，对应的力学模型 为两端铰支的简支梁，并在杆的中间施加 了向上的 集 中力。其 中，图 8 a是

22、没有进行弯 曲修正的变形效 果，而图 8 b是修正后的效果。图 8 弯 曲变 形 图 9演示了弯 曲加削尖的组合变形效果。对应 的力学模型仍为简支梁，并在杆件上施加了弯 曲力 偶和径 向轴对称的分布载荷。弯 曲力偶位于杆件的 中间，杆件的一端处分布载荷为 0，而另一端分布 载荷为一 1 0 0(“一”表示杆件受径向压力)，杆件两端 杆之间的分布载荷呈线性变化。图 9 b和 图 9 c分别 为改变弯 曲力偶的大小与位置后的变形 图例。(C)图 9 弯 曲加 削尖 组合变形 与大多数变形工具一样，只需将物体的一部分 嵌入到杆件中并施加位移边界条件和外载，即可产 生局部变形的效果。运用整体和局部变形

23、手段，图 l 0演示 了如何将 一根 圆柱体变形为 电话听筒的例 子。图 l O a演示了圆柱体经过拉压变形后被压扁 的 效果，它的变形比较简单，具体变形过程这里就不 举例了。图 1 0 b和 图 l O c中的听筒及听筒上 的凹陷 部分是通过局部变形产生的。对应 的力学模型为一 端固支的悬臂梁，另一端施加轴 向拉(压)力。图 l O d 是弯曲变形后的效果，力学模型与图 8 是一样的。图 1 O 电话 听筒的造 型 毫无疑 问，改变外部载荷大小与位置肯定可以 调整物体的变形，见图 9。但需要指出的是，在进行 扭转变形时，改变物体在杆件中的嵌入位置也可以 产生特别 的效果。如 图 l l a所

24、示，若将圆柱体嵌入 到弹性杆的底部，杆件的一端施加 固支约束，另一 端同时施加扭转力偶和轴向压力，则可 以产生弹簧 的造型。图 l l b是没有进行扭转修正的变形效果，而图 l l c是修正后的图形。基准线定义为圆柱体 自 身 的轴 线。(a)(b)(c)图 l 1 弹簧的造型 最后，运用所介绍的方法，给出如何将一根圆 柱体变形为机械手摇钻的实例(图 l 2)。该实例几乎涵 盖 了讨论的所有变形技巧。图 1 2 机械手摇钻 的造型 维普资讯 http:/ l 6 0 机械工程学报 第 4 1 卷第 9期 3 结论 从材料力学模型的角度出发，提出了一种 自由变 形的新方法。与其他方法相 比，该方

25、法 的优点如下。(1)与物体的描述无关。无论未变形物体 由参 数曲面拼接而成，还是由多边形网格构成，该方法 都适 用。(2、控制简单。用户只需选取相应的位移边界 条件和外部载荷类型，并通过改变载荷的大小与作 用位置即可达到调整变形的 目的。(3)无 需反求参数。大多数 的变形方法在变形 映射时都需要反求参数，这是一个反复迭代的计算 过程。而该方法避免了这些运算，只需进行一次局 部坐标变换即可，因而减少了计算量。(4)比较 自然。因为该方法是基于材料力学模 型的，和纯几何变形方法相比，与现实中的变形情 况比较接近。参考文献 1 Ba r r A H Gl ob a l a nd l oc a l

26、 de for ma t i o n of s ol i d p r i mi t i ve s S i g g r a p h 8 4ACM Co mp u t e rGr a p h i c s，1 9 8 4，1 8(3)：2 1 3 4 2 W a t t A Ad va n c e d a ni ma t i on a n d r e nd e r i n g t e c h ni q ue Add i s o n We s l e y P u b l i s h i n g Co mp a n y,1 9 9 2 3 S e d e r b e r g T P a r r y S

27、R F r e e f o r m d e f o rm a t i o n o f s o l i d g e o me t r i c mo d e l s Co mp u t e r Gr a p h i c s，1 9 8 6，2 0(4)：1 5 1 l 60 4 Grie s s ma i r J，Pu r ga t hof e r W Def orm a t i on of s o l i d wi t h t r i va r i a t e B s pl i ne I n：Pr o ce e di ng of Eur o g r a ph i c s 89，No r t h

28、Hol l a nd1 98 9：l 3 7 1 4 8 5 La m o us i n H J，W a g ge n s p a ck W N NURBS ba s e d f r e e form d e f o rm a t i o n I EE E Co mp u t e r Gr a p h i c s a n d Ap p l i c a t i o n，1 9 9 4，l 4(9)：5 9 6 5 6 Hs u W M，Hu g h e s J F，Ka u f ma n H Di r e c t ma n i p u l a t i o n o f f r e e f o rm

29、 d e f o rm a t i o n Co mp u t e r Gr a p h i c s，1 9 9 2，2 6(2)：l 77 l 8 4 7 Hu S M，Zha ng H，Ta i C L，e t a 1 Di r ec t m a ni pul a t i on of FFD：e ffi c i e n t e x pl i c i t s ol ut i o ns a nd d e c omp os a bl e mul t i pl e p o i n t c o n s tr a i n t s T h e V i s u a l C o mp u t e r，2 0

30、 0 1，1 7(6)：3 7 0 37 9 8 F e n g J Q，Ma L Z，P e n g Q S A n e w fr e e f o rm d e f o rm a t i o n t h r o ugh t he c o nt r o l o f pa r a me t r i c s u r f a c e s Comp ut e r&G r a p h i c s，1 9 9 6，2 0(4)：5 3 1 5 3 9 9 La z a r u s F Co q u i l l a r t S，J a n c 6 n e R Ax i a l d e form a t i

31、o n s：a n i n t u i t i ve d ef or ma t i on t e c hn i q ue Comp ut e r Ai de d De s i g n，1 9 9 4，2 6(8)：6 0 7 61 3 1 0 C h a n g Y K R o c k wo o d A P A g e n e r a l i z e d d e c a s t e l j a u a pp r oa c h t o 3D fre e from de f orm a t i onSi g g r a ph 97 ACM Co mp u t e r Gr a p h i c s，

32、1 9 9 7，3 0(3)：1 8 7 1 9 6 1 1 Bo r r e l P，Ra p p o p o r t AS i mp l e c o n s t r a i n e d d e f o rm a t i o n s fo r ge o m e t r i c mod el i ng a nd i n t e r a c t i ve de s i gn ACM T r a n s a c t i o n s o n Gr a p h i c s，1 9 9 4，1 3(2)：1 3 7 1 5 5 1 2 J i n X G，L i Y F，P e n g Q S Ge n

33、 e r a l c o n s tr a i n e d d e f o r ma t i o n b a s e d o n g e n e r a l i z e d me t a b a l l s Co mp u t e r&Gr a p h i c s 2 0 0 0 2 4(2)：2 1 9 2 3 1 NEW M oDELI NG M ETHoD THRoUGH DEFoRM ATI oN BASED oN M ECHANI CS oF M ATERI ALS Wa n g Zhi gu o Zh o u Lai s hu i Wan gXi ao pi n g(C o l l

34、 e g e o f Me c h a n i c a l a n d E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g，Na n j i n g U n i v e r s i ty o f A e r o n a u t i c s a n d A s t r o n a u t i c s，N a n j i n g2 1 0 0 1 6、Abs t r a c t：Ba s e d o n t h e l de a o fba r de f o rm a t i o n l n me c h a ni c s of ma t e r i a l s，a

35、 n e w de f o rm a t i on me t ho d i s pr e s e n t e dFi r s t l y,a l oc a l c oo r di na t e i s s pe c i fie dSu bs e que n t l y d e fin e d i s a n e l as t i c b a r wi t h c i r cl e s h a pe d c r os s s e c t i on，whi c h t a ke s x-a xi s of l o c al c o or di n a t e a s t he c e ntra l

36、 a x i s Th e p r i mi t i ve i s e mbe dd e d i n t he b a r gl o ba l l y o r l o c al l yFi n al l y,a fte r i mpo s i ng d i s pl a c eme n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s(s u c h a s fi x e d o r h i n g e d c o n s t r a i n t)a n d e x t e r n a l l o a d s(s u c h a s a x i a l l o a d

37、 s，r a d i a l l o a d s，b e n d i n g c o u p l e a n d t o r s i o n c o u p l e，e t a 1)o n e l a s t i c b a r,t h e p rimi t i v e wi l l b e d e f orm e d a s a pa r t o f t he b ar Us i ng t hi s a pp r oa c h，s tre t c h，b e nd i n g，t wi s t an d t a pi n g c a n be a c c ompl i s he d The

38、pr o pos e d me t h o d i s i n d e p e n d e n t o f t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o b j e c t，a n d c a n be a pp l i e d t o t he mo de l i n g of me c ha n i c ha r d wa r e s uc h a s s c r e w t h r e a d，a i g ui l l e a n d s pr i n gEx a mpl e s s h ow t ha t t he p r e s e nt

39、 e d me t h od i s pot e nt i a l us ef ul i n t he fie l d of CAD CAM Ke y wo r d s：F r e e form d e f o rm a t i o n M e c h a n i c s o f ma t e r i a l s Ge o me t r i c mo d e l i n g M a p p i n g 作者简介：王志国，男。1 9 7 7年出生，搏士研究生。主要研究方向为计 算机辅助几何设计和计算机图形学。E ma i l：wz g j j j 2 6 3 n e t 维普资讯 http:/