MATLAB在结构谐波分析中的应用.pdf

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1、?工程力学增刊?年?在结构谐波分析中的应用吴春秋?武汉大学土木建筑工程学院,湖 北武汉?本文介绍了通过振型分解方法,利用主 空间中的位移和速度作为状态变量建立运动系统状态方程的方法,并利用?控制工具箱中的函数进行结构谐波分析?文中分析了该方法的优缺点,并给出了在存在相位差动荷载作用下结构谐波响应的计算方法。实例表明,该方法可 以非常方便地建立运动系统的状态方程,并可控制求解规模。谐波分析?叻汀?状态方程?振型分解?相位差要词一?键日“摘刻弓近年来,现代控制论 中的状态空间理论?】被广泛地应用到了如 固体力学、复合材料力学、结构动力学等学科领域。利用状态空间的概念,可以将离散自由度体系的运动方程

2、?组?写成一阶微分方程?组?,适用于多输入、多输出、时变、非线性和随机等各种系统,具有很强的灵活性,因而状态空间理论在结构动力学领域得到了广泛的应用?川。目前,在建立运动系统的状 态方程时,一般是以物理空 间中的速度和位移作为状态变量,由运动方程直接建立如式?所示 的状态方程。?!啡,冲?!?一游、?一简、?卜,比剧?思?求解该状态方程 时涉及到指数矩阵的卷积计算?,并且由于式?中的各方程是祸合的,一般对于 多自由度系统而言计算量相当大。对于线性时不变系统?,本文通过振型分解法,以主 空间中的速度和位移为状态变量,建立了运动系统 的状态方程,并利用?控制工具箱 中的函数进行结构的谐波分析。?系

3、统运动方程在状态空间中的表示结构离散化以后,其运动方程可 以写为?恤声 卜?祠?阂同二衍?式中?阿?、?、区 一质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵?体?节点位移向量?护?动荷载 向量。对于自由度总数为?的多 自由度系统,可利用振型的正交性,将运动方程解祸成?个独立的单 自由度系统的运动方程,每个方程对应于一阶模态。设系统的位移向量体?可表示为振型?。?,的线性叠加,即?伍?卜。?,?卜,?,?卜。?。?。艺?。?户?,?,?这里,我们将?构成的空间称 为物理空间,将?,构成的空间称为星空间。将?式代入?式可得?对上式两边左乘群,?戈,?以?戈,?。?,?夕?得?戈,?群?。戈,?,?,一群?并取?为

4、比例阻尼,则有?对于正则化振型,作者简介?吴春秋?”?,男,武汉人,博十,从事结构工程研究一?程力学增刊?年?万?。?必?杏?山、?杏?山?芬?山?厂?一 一?才一一?月?。璧?衅。?一一口一一?将上述?式代入式?中,有?丘,?必,?口,?,二?夕?由于矩阵?、必、口?除主对角元素非零外,其余元素均为?,所以,式?实际上为?个独立 的方程,每个方程表示自振频率为田,阻尼比为奋的单自由度系统的运功,这样便达到了解祸的 目的。记?一?,?,?,?戈?,则由式?可得?一?奋,山?、?、?少?拭?川?朋之之?、?李?场羌?,?!#?一。厂一?氦气,印?田二?一?!?!#一一、?!#?产?二?乙?旅。?

5、,?产?、记为?式中,戈?月工十?“?为系统矩阵,?为输入矩阵,?!是和时间有关的一个 向最,称为输入,向最?就是该系统的状态变最。需要注意的是,此时的状态分最?,为主空间中的状态,而我们所 关心 的是物理空间中的状态,它们之间的关系可从式?中导出。记 儿卜,二占,凡,二民,分别表示白由度?的位移和速度,则?一艺?之?艺?万?艺?之?公?公?刃?艺?。?公?之?式中,?为输出矩阵。式?和式?就是多自由度运动体系的状态方程。?在谐波分析中的应用求解上面建立的状态方程即可求得系统的动力响应。利用?控制系统工具箱的相关函数求解状态方程,几乎可进行时域和频域内的所有动力分析。本文只讨论利用?进行动力系

6、统 的谐波分析。?定义状态空间模型可通过?中的函数?,?,?,?来定义状态空间模型,其中参数?、?、?分别为上述系统矩阵、输入矩阵和输 出矩 阵,参数?为直接传递矩 阵,在这里应取?。结构离散化后,自由度数目?可 以达到几千甚至几万,但由一于高阶振 型对结构动力响应的影响一般都很小,通常只要计算一部分低阶振型就够了。设所选取振型的阶数为?,则主空间的状态为?个?系统矩阵?为?维?输入矩阵?有?行,列数等于输入向量?的维数,当荷载列向最?的舟个分最可分离出相同的?,工程力学增刊?年含时间?的表达式?时,输入矩阵?为向量,当由荷载列向量?的每个分最分离出来的含时间?的表达式形式多于一个时,输入矩阵

7、?为矩阵,每一个列向量对应?中的一个分量?输出矩阵?有?列,其行数等 于所求物理空间中的状态数,若需要输出所有 自由度上的位移和速度,则为?,若只需输入?个 自山度上的位移,则为?。从式?中可以看出,对应于荷载列向量P(O中零分量 的自由度对建立输入矩阵是无关的。因此,在定义状态空间时,不用计及系统的所有 自由度,而只需考虑非零荷载分量所在 自由度和与输出状态相关 的白由度。没有考虑的自由度对系统的影 响在系统矩阵A中得到了体现。换言之,对于相同的几何模型,根据计算精度、荷载的不同以及对输出的不同要求,所建立的状态空间的大小是不同的,即利用状 态方程进行动力分析可将所分析的问题进行简化。3.2

8、谐波分析谐波分析是研究线性系统周期激振稳态响应的一种常用方法。其基本思路是将周期为T的激振力f(t)按照傅里叶(Fo ur ie r)级数展开,分解为一 系列频 率为i。=2 i刁T的简谐激振力,分 别求解每个简谐激振力的稳态响应,将所得结果相加 即得线性 系统在激振力f(t)作用下的总响应。以下阐述就仅针对简谐激振力进行。控制系统工具箱中的函数bo de(s ys,w)用于计算线性时不变系统的频域响应,因此可借用该函数进行结构的谐波分析。参数sy s为由函数s s定义的状态空间模 型,w为选取 的频率范 围。当结构所承受的动荷载 同相位 时,输入向量u(O只有一个分量,称这样的模型为 单输入

9、系统;当动荷载之间存在相位差时,输入 向量 u(O有多个分量,称这样的模型为多输入系统。对于多输入系统,bo de函数将其视为一系列的单输入 系统分别予以计算。因而对于动荷载之间存在相位差的情况,不能直接用bo de函数计算,需进行处理。设某个 自由度上的荷载幅值为凡,相位角为a,对于频率。,其随时间的变化函数为式,si n了 叮十 a夕。进行二角函数展开,得:凡sin(叮+a)=凡cosasin皿+F Osinacos叮(10)这样就将一个荷 载分解成了两个简谐荷载,其幅值分别为式,c o,a和F Osi na,相位差 为刁2。对舟个荷载均进行这样的分解,便可得到两套相位差为刁2的简谐荷载,

10、而每套荷载内部的所有荷载是 同相位的。以这两套荷药定义的状态空间模型有两个输入,s in“和c os砚。设对应于每个输入的频响幅值和相位分别为A,a、,AZ和aZ,则所求的结构的频 响幅值和相位应该为:!A=了(“:c o:a:一AZsi naZ)十A,si na,+AZco saZ夕A:si na l+AZco saZ茂co sa l一人si n久(11)a=口厂Cl口刀4算例如图l所示一个弹簧一质一最系统,k:二6 N/m,kZ二16 N/m,m:=mZ=Zkg,结构阻尼比为0.02。该系统在质点l和质点2处分别承 受简谐荷载,相位差为刁4,频率变化范围为0.1一1.OHz,要求绘制质点1

11、的幅频 曲线。可以首先计算出该系统的白振频 率为必:二0.2 2 50 8Hz=1.41 4r翻se c,。2=0.5 5!3 3 Hz=3.46 4,振型为卜:l=扣.67052 0.22361r,x:2=-0223610.67082r。根据式(8)和式(9)建立状态方程 为:砚妞.I no sC S广1.1记、e e门l e s e s w e l t e e w e w e e s e s l,J It,、矛6幻下I-J斗口曰八U7n U 八,八U-,J2 7一 一l0一00 5 6 60000一12一0.1 3 8 60.4 4 5 60.5 3 3 0(12)心月月,4 1广le s

12、w ew e e e w e e s e s e s l|L十11了!e e 1 1 1Jx l凡凡凡产1 1.1.1.w el.ll.、气1 1 1通I t l e e w e e s e s e s e s毛n0 1o-20 0广l e s e s e s!打l w e e e e s e s e s e s L一一!llw e、.r r|少戈,丸凡戈了!IJle s.l、.飞夕:=坦.67082一0.早236!j 嘴Lx。J(13)_L程力学增刊200 3年5 81、一匆一几 认弓弓一一平1 1 1_ _ _一中丫下下二二扭,口王口尸-一,息】i一,l一M八刀了贬计算结果_胡s丫s计算结

13、某I t|I|l|、|、|1、|、;I!1 I J l l;l资I I J,z/劝1 5 0佃田另片一花住、_ _一 z、口30 4D S0 60 7口80 9翔率洲:、图1弹簧一质量系统图2质点1的幅频曲线在Ma t l a b中分别利用函数55和 b o d e建立状态空间模型、求解,并根据(11)得到质点l的幅频 曲线如 图(2)所示。图(2)中还给 出了该模型利用商用软件A N SY S的计算结果,两条曲线完全重合,验证了计算结果的正确性。5小结(1)本文介绍 了通过振型分解建立运动 系统状态方程的方法,并利用M A I.L AB实现了结构的谐波分析,并给出 了动荷 载存在相位差时的处

14、理办法:(2)以主空间中的速度和位移作为状态变最,可以非常方便地建立运动系统的状态方程,并可控制求解规模。状态方程 中的每个方程均是解藕的,求解方便。MATALB提供了求解状态方程强有力的工具:(3)由于振型分解法仅限于线性时不变系统,所 以该方法存在一定的局限性。参考文献1 1 1(美)LK,蒂笑西,BE博纳著,胡跃训,刘颖译.状态空间分析学论IMI.北 京:高等教育出版社,198 5.汇 2 李t l:清,李秋胜.程结构时 变可靠度理论及其应用汇Ml.北京:科学出版 社,200 1.3l沈小璞 等.基j几状 态空间理论 的结构动力 响应解 法 C l.程力学(增刊),19%.t4Mieha elR.Hateh.V ibr a tionSi mulationUsingMa tlabandAnsyslM.London.Chapman&Hal UCr c,2001.协常 春释.现代控制理论 基础M.北京:机械1.业出版社,19%.