《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第10章.pdf

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1、2 函数项级数 2 函数项级数 I 基本概念 I 基本概念 一 函数列及其一致收敛性 一 函数列及其一致收敛性 1 定义 1 定义 定义 1定义 1 设()xfn是一列定义在同一数集E上的函数，若Ex 0，数列收敛，则称函数列在点收敛，称为()0 xfn()xfn0 x0 x()xfn的收敛点，否则称函数列在点发散若在()xfn0 x()xfnED 上每点都收敛，则称()xfn在上收敛，全体收敛点所成之集称为收敛域，此时在收敛域上的每一点，都有数列D()xfn的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为()xfn的极限函数若记之为，则有 f()()xfxfnn=lim，Dx 函

2、数列极限的N定义：()()xfxfnn=lim，DxDx，0，()0,xN，有 Nn()()N()xf在一致收敛，即 D定义 2定义 2 设()xfn与定义在同一数集上，若()xfD0，()0N，有 Nn Dx()()，0N，有 Nmn,Dx()()，0N，Nn，有()()xfxfnDxsup 命题命题 在上，D)(nffn，若存在数列 na，使得nnaxfxf)()(，且，则?0lim=nna)(xfnDxnxf),()(注注 定理 2 比定理 1 更为适用，其困难在于求上确界先求出()xf（把x看成常数，令求之），然后求的极值和最值 n)()(xfxfn3 收敛与一致收敛的关系 3 收敛与

3、一致收敛的关系（1）?；nffffn（2）在有限区间上，挖去充分小区间后，?ffnnff4 一致收敛函数列的性质 4 一致收敛函数列的性质 定理 3定理 3 设函数列在上一致收敛于，且对每个，则与均存在，且相等，即)(xfn),(),(00bxxa)(xfnnnxxaxf=)(lim0nnalim)(lim0 xfxx)(limlim)(limlim00 xfxfnnxxnxxn=此说明在一致收敛的条件下两种极限可交换顺序 定理 4定理 4（连续性）若函数列在区间I上一致收敛于，且，在I上连续，则在上I也连续)(xfn)(xfn)(xfn)(xf注注 若各项为连续函数的函数列)(xfn在区间I

4、上其极限函数不连续，则此函数列 在区间 I 上不一致收敛如：)(xfn nx在 1,1(上常用此来证明非一致收敛 定理 5定理 5（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则)(xfn,ba=bannnba ndxxfdxxf)(lim)(lim 注注（1）该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；（2）一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件如下例：例例 设函数 nxxnnxnnxxnxfnnnn111,021,22,210,2)(，有0NNn pDx()()M，()Mxun，Ix，?,2,1=nxvn则在()()=1nnnxvxuI一致收敛 3 和函

5、数的分析性质 3 和函数的分析性质 定理 12定理 12 若()xun在处连续（0 x?,2,1=n），且在某领域一致收敛，则在处连续()=1nnxu0 x()()=nkkxuxS10 x定理 13定理 13 若()xun在(内连续（)ba,?,2,1=n），且在()=1nnxu()ba,内闭一致收敛，则在(内连续()()=nkkxuxS1)ba,定理 14定理 14（连续性）若在()=1nnxuba,一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在上也连续，即 ba,()()=1100limlimnnxxnnxxxuxu 即求和与求极限可以交换次序 定理 15定理 15（逐项求积）在定理 14 的条件

6、下，有()()=11nbanbanndxxudxxu 即求和与求积分可交换次序 定理 16定理 16（逐项求导）若函数项级数满足条件：()=1nnxu（1）在()xunba,上有连续的导函数，?,2,1=n；（2），在点收敛；bax,0()=1nnxu0 x（3）在一致收敛，()=1nnxu)ba,则()()=11nnnnxuxu三 幂级数及其收敛域 三 幂级数及其收敛域 形如的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为(=10nnnxxa=1nnnxa1 收敛半径、收敛区间、收敛域 1 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理 17定理 17（阿贝尔引理）对幂级数，若它在点=1nnnxa00 x收敛，则对

7、满足不等式0 xx 的任何x都发散 由此易得幂级数的收敛域是以原点为中心的区间，若以=1nnnxaR2表示区间的长度，称R为收敛半径，称(为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点)RR,R的求法 的求法 2 收敛半径2 收敛半径定理 18定理 18 若=nnnalim，则当（1）+0时，1=R；（2）0=时，+=R；（3）=时，0=R注注 当nnnalim不存在时，可以上极限代之，结论不变 定理 19定理 19 若=+nnnaa1lim，则当（1）+R()RR,内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛；若收敛，则在=1nnnRa=1nnnxaR,0一致收敛 定理 21定理 21 若幂级数的收敛半径，

8、则其和函数在=1nnnxa0R()RR,内连续、可积、可微，且有任意阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则 n注注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性可能发生变化 四、函数的幂级数展开 四、函数的幂级数展开 1 泰勒级数 1 泰勒级数 若在存在任意阶导数，称幂级数 f()0 xU()()()()()()?+nnxxnxfxxxfxf00000!为函数在的泰勒级数()xf0 x注注（1）泰勒级数未必收敛；（2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于()xf如()=0,00,21xxexfx 在点 0=x2 收敛定理 2 收敛定理 定理 22

9、定理 22 设在点具有任意阶导数，那么在f0 xf()0 xU内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：，)(0 xUx()0lim=xRnn这里()xRn是在的泰勒公式余项 f0 x定理 23定理 23 若函数在存在任意阶导数，且f()0 xU0M，有()()Mxfn，?,2,1=n，()0 xUx，则()()()()=000!nnnxxnxfxf 若函数在的泰勒级数收敛于()xf0 x()xf，则称泰勒级数为在的泰勒展开式或幂级数展开式，也称在可展为幂级数或泰勒级数当f0 xf0 x00=x时的泰勒级数又称为马克劳林级数 3 初等函数的幂级数展开式 3 初等函数的幂级数展开式（1）=0!

10、nnxnxe，；Rx（2）()()=1121!121sinnnnnxx，Rx；（3）()()=02!21cosnnnnxx，Rx；（4）()()=+1111lnnnnnxx，1,1(x；（5）()()()=+=+1!1111nnxnnx?，当1时，；当(1,1x)01时，1,1x；（6）=011nnxx，1x；（7）()=+0111nnnxx，1x 五、傅里叶级数 五、傅里叶级数 1 正交性与正交函数系 1 正交性与正交函数系 定义 5定义 5 设，fg在上有定义，且可积 若，则称，在上正交 ba,()()0=badxxgxf()xf()xgba,性质性质 三角函数系在?,sin,cos,si

11、n,cos,1nxnxxx,或2,0上具有正交性，称之为,上的正交函数系 称形如(=+10sincos2nnnnxbnxaa)的函数级数为三角级数 2 傅里叶系数及级数 2 傅里叶系数及级数 设函数是以f2为周期且在,上可积的函数，称 ()?,2,1,0,cos1=nnxdxxfan，()=nxdxxfbnsin1，?,2,1=n，为函数的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅立叶级数，记为 fff()(=+10sincos2nnnnxbnxaaxf)（1）3 傅立叶级数的收敛定理 3 傅立叶级数的收敛定理 定理 24定理 24 若以2为周期的函数在f,上按段光滑，则在每一点,x，

12、f的傅立叶级数（1）收敛于在点fx的左右极限的算术平均值，即()()=+200 xfxf()=+10sincos2nnnnxbnxaa 注注 在区间端点则收敛于()(0021+ff)4 奇偶函数的傅氏级数 4 奇偶函数的傅氏级数 设是以()xf2为周期，且在,上按段光滑的函数，则（1）若为偶函数，则，f0=nb?,2,1=n，()=0cos2nxdxxfan，此时的傅氏级数常称为余弦级数；?,2,1,0=n（2）若为奇函数，则，f0=na?,2,1,0=n，()=0sin2nxdxxfbn，此时的傅氏级数常称为正弦级数?,2,1=n注注 对给予,0区间上的函数，常作奇（偶）延拓，使其傅氏级数简

13、单 5 以为周期的函数的展开式 5 以为周期的函数的展开式 2l设函数是以为周期，且在fl 2ll,上按段光滑的函数，则llx,，有()()200+xfxf()=+=10sincos2nnnnxbnxaa，其中()=llndxlxnxflacos1，?,2,1,0=n，()=llndxlxnxflbsin1，?,2,1=nII 例题选解 II 例题选解 一 函数列的收敛与一致收敛 一 函数列的收敛与一致收敛 例 1例 1 证明函数列，在上收敛，但非一致收敛 1,)1()(=nxnxxfnn 1,0证证 当或时，0=x1=x1,0)(=nxfn，当)1,0(x时，,(级数收敛),所以110，有，

14、0，当,),(0baxUx时，有 N 当时，有2Nn 时，有 2)()()()()()(00 有=N 当时，Nn,bax，有 1)()(xfxfn，特别地，有1)()(+xf0m2m=，0N，当时，Nn,bax，有 2)()(mxfxfn，所以当时，在无零点同时，我们有 Nn)(xfn,ba)()(4)()()()()(1)(12xfxfmxfxfxfxfxfxfnnnn=，由一致收敛的定义立得)(1xfn?,),()(1baxnxf 例例 6（华东师大 2001）设在上连续，)(xf 1,00)1(=f证明：（1）nx在上不一致收敛；1,0（2）nxxf)(在上一致收敛 1,0证证（1）由于

15、=，当 1,1(x时，有)(xf，从而当 1,1(x时，有M 1,0 xMxf)(，于是有 0)1(lim)(suplim1,0=nnnxnMxxf，从而当 n 充分大时，有 0)(sup1,0nxxxf，即nxxf)(在上一致收敛于 0 1,0例 7例 7（河北师大）（1）设（i）),2,1()(?=nxfn在上连续；),ba（ii）在上一致收敛于；)(xfn),ba)(xf(iii)在上，),ba1),()(1+nxfxfnn试证：)(xfne在上一致收敛于),ba)(xfe（2）若将（1）中条件（iii）去掉，（1）中结论是否还成立？试证明你的结论 证证（1）由例 4 的结论知，baM,

16、max，使得 1),)(,)(nbaxMxfMxfn 令，则在上连续，从而一致连续，即xexg=)()(xg,MM,0,0 当，且,21MMxx21xx时，有，当，有 0N),baxNn)()(xfxfn，从而有 M,1baxn，有MxfMxfn)(,)(；（2）若在内连续，则在上一致收敛到)(xg),(+)(xfgn,ba)(xfg例例 8（北京大学 1996）设在上，一致收敛于，一致收敛于若存在正数列，使得,ba)(xfn)(xf)(xgn)(xgnM1,)(,)(nbaxMxgMxfnnn 证明：在上一致收敛于)()(xgxfnn,ba)()(xgxf 提示提示：仿例 4 可证和均在上一

17、致有界，然后利用定义即可)(),(xfxfn)(),(xgxgn,ba 例 9例 9（中科院 2000）设函数在上有连续的导函数)(xf,ba)(xf，ba，,21baxx，当21xx时，有 bN1,1max，则当时，Nn,ax，有,1banx+，从而由上式和微分中值定理得)0()()()()(1+=nxfxfxfxfnnn，即在)(xfn,a上一致收敛于)(xf思考题 3思考题 3（北航）证明：对任意实数x，级数?+xxxsinsinsinsinsinsin 收敛 提示：提示：利用 Leibniz 判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 二 函数列与函数级数的一致收敛判别法 1 定义法

18、 1 定义法 例10例10 设在()xfR上 有 连 续 的 导 函 数，()()()xfexfexfnnn+=（）证明：在任一有限区间?,2,1=n()xfn()ba,内一致收敛于()xf 解解 由微分中值定理得()()()()()()()xffxfexfexfxfxfnnn=+=，nexx+，0（1），当，1,21+baxx21xx时，有()()bax,，有()()，有 0NNn Ix()()，当 1,2+bax21xx时，有 NNn=N)1,0)2(1,21000=+=nxNNn，有 000001)211(2)211(2)211(2)()(00=nnnnxSxS，由定义知在上非一致收敛=

19、0nnx)1,0注注 在证法二中运用了贝努里不等式：当1x时，有可用数学归纳法证明这个结论 nxxn+1)1(思考题思考题 5（同济大学）证明：在上处处收敛，但非一致收敛=1)1(nnnxx 1,0提示提示：当时显然收敛，当1=x)1,0 x时，收敛 非一致收敛类似上题证法一=1211)1(nnnnnnnxxxx思考题思考题 6（中科院）证明：函数级数=+031nxnn在内收敛，但非一致收敛)1,0(提示提示：证明非一致收敛时取 30=nx例 13例 13（吉林大学）设?,2,1,sin,01=p2p时发散 证证 由第一章例 26 得 13lim=nxnn，由此立得结论成立 2 放大法 2 放

20、大法 对于函数列，将()()xfxfn适当放大至一个与x无关的收敛于零的数列（无穷小量），即()()0nnxfxf（n）其中n与x无关 对于级数，则讨论其余项，即()xRn()0nnxR（n），其中n与x无关 实现放大有很多技巧，如通过已知的不等式，求极值，余项估计，递推放大等 例 14例 14 设在上可积，()xfnba,?,2,1=n，()xf，()xg在ba,上也可积，且()()0lim2=banndxxfxf，记，则在()()()=xadttgtfxh()()()=xanndttgtfxhba,上()xhn?()xh)(n证证（不等式法）由于()()()()()()=xanndttgt

21、ftfxhxh()()()xandttgtftf()()()212212xaxandttgdttftf ()()()0212212babandttgdttftf)(n 所以，?，()xhn()xh)(n,bax 例 15例 15（广西大学）给定函数列()()xnnnxxfln=（?,4,3,2=n）试求当为何值时，在上一致收敛 ()xfn)+,0解解（极值法）由()()=+xnnnxfxnln1ln1知：当nxln1时，严减，因此函数在()xfn()xfnnxln1=处取最在值，最大值为nfnln1此外，易求极限函数为，于是，当()0 xfn时，有()()()()()()+=+,1,1,1,0

22、ln1lnlnln1sup11ln1ln1ln11),0eneennnnfxfxfnnnnnx 所以当且仅当()xfn1时，在)+,0上一致收敛 例 16例 16（湖北大学 2002）试问为何值时，在knxknexnxf=)(),0+上一致收敛 解解 ，有),0+x0lim)(lim)(=nxknnnexnxfxf，而，令)1()(nxenxfnxkn=0)(=xfn得，且，所以为其极大值点，又1=nx0)(11=+ennfk1=nx0)(lim,0)0(=xffnxn，所以也是其最大值点，于是 111),0)()()(sup+=knnxnenfxfxf，由此可得，当时，在1a解解 原级数可写

23、成()()()()()()()=+=+1111121111211nnnxnxxnxxnxxxnx?，(+,0 x)，级数()()(=+11211nnxxxnx?收敛（()()()()1111111+M()Mxf1，bax,从而()()()axMdttfxfxa12，()()()(223!2axMdtatMdttfxfxaxa=)，一般地，若对有n()()()1!1nnaxnMxf，则()()()()()nxanxannaxnMdtatnMdttfxf=+!111，从而有()()0!1+nabMxfnn（n），故()xfn?0（n），bax,注 注 将区间换成便是北航 1999 年考研题,ba,

24、0a例例 20（华中师大 2002，东北师大）设在矩形),(txG,babaD=上连续，在上连续，令证明在上一致收敛)(0 xu,ba,2,1,)()(1baxndxxuxuxann=?)(xun,ba证证 在D上连续，从而在D上有界，即),(txG01M，有DtxMtxG),(,),(1；又在上连续，则有界，故存在，有)(0 xu,ba02M,)(20baxMxu于是)()()(),()(212101abMMaxMMdxxutxGxuxa，!2)()()(),()(222122112abMMdtatMMdttutxGxuxaxa，由数学归纳法易证：1,!)()(21nnabMMxunnn 由

25、比式判别法知!)(21nabMMnn收敛，所以0!)(lim221=nabMMnn，从而0)(suplim,=xunbaxn，即)(xun在上一致收敛,ba例例 21（南京大学，吉林大学）假设（i）在()xf(+),内连续；（ii）时，0 x()xxf；（iii）令()()xfxf=1，()()()xffxf12=，()()()xffxfnn1=，试证在上一致收敛（其中()xfnAA,A为正常数）证证 由（ii）知()xxf（A），当,x时，()xf；当 AAx,时，)(xf在其上连续，则存在最大值 M，由条件（ii）知AM，故 存在小于 1 的正数q，使得，于是，当qAM AAx,时，有()

26、qAxf,max 由 此 易 得：AAx,，若()xf，则()()()()=xfxffxf2，若()Axf,A，则()()()()Aqxfqxffxf22=，所以总有()Aqxf22,max 依次下去，可得()Aqxfnn,max，?,2,1=n 由于，所以当充分大时，从而有10qnn，0lim=nn，()nnxu（当Ix），且()()0=xuxuji（ji）试证：在()=1nnxuI一致收敛（这里I是任意区间）证证 ，由（Ix()()0=xuxujiji）知()xun中至多有一项不为零，因此，该级数的余项满足：()xRn()()0supsupnnkknknxuxR（n）故在()=1nnxuI

27、上一致收敛 3 Cauchy 收敛准则收敛准则 只需判定任意两个函数之差任意小，不需求出极限函数，这一点比用定义法优越 例例 23（上海交大（上海交大 2000）设可微函数列)(xfn在上收敛，,ba)(xfn在上一致有界证明：在上一致收敛,ba)(xfn,ba证证 由条件：，使得0M1,nbax，有Mxfn)(于是，,0 03=M，当,21baxx21xx时，对一切正整数，都有 n3)()()(2121=iiixNN，有 piNn 3)()(p，bax,，i，使x属于第i个小区间，于是由（1）和（2）式得)()()()()()()()(xfxfxfxfxfxfxfxfnininipnipnp

28、nnpn+=+=+，()0,0=xNN，当，有 Nn()210+=pnnkkxu，p 取c4=，则当bax,，p时，有()()()()+=+=+=+=+pnnkkpnnkkpnnkkpnnkkxuxuxuxu101011()+=222010 xxcxxupnnkk，即()这样，当取遍中所有点时，得0 xba,ba,的开覆盖()baxxUx,，在每个小区间上式成立由有限覆盖定理，存在有限子覆盖，设为()iixU,，取li,2,1?=(ixNN,max)=，当，Nn p，bax,，都有()，取充分大，将mba,m等分，使每个小区间的长度c4=ixNN，有 pNn()21p，bax,，i，使x属于第

29、i个小区间，有()()()+=+=+=+=xxpnnkkpnnkikpnnkkidttuxuxu111()()=+，当),(11yx,),(22dcbayx2121,yyxx时，有，0N，当时，都有 Nn,bax,bax，由（1）式得，0N，当时，Nn p，有+=pnnkkb1 记，于是+=innkkibS1iS，从而由阿贝尔变换得?,2,1=i()pnppnpnpnnnnpnnkkkfSffSffSffSxfb+=+113222111?pnfM+而Mffffffffpnpnpn2121100+=+?，故()Mxfbpnnkkk31，np=，(),040Unx=，有 021210424sin2

30、14sin1sin=+=+=nnknnkkkkx，由柯西收敛准则知=1sinnnnx非一致收敛 M4 判别法判别法 关键在于寻找适当的收敛的正项级数，常用方法除观察法之外，还有求在()xunI上的最大值；利用已知的不等式；Taylor 公式；微分中值定理等 例例 28（安徽大学）证明：在()=121nnxx1,0上一致收敛 证证（最大值法）记()()21xxxunn=，则()()()xxxnxxunnn=12121 令得稳定点()0=xun2,1,0+=nnx，而()()0102=+nnnuunnu，所以在上的最大值为()xun1,0+2nnun，从而()222242221212nnnnnnn

31、nxunn+=+由=124nn收敛知在上一致收敛()=121nnxx1,0例例 29 证明：=+1322arctannnxx在()+,内一致收敛 分析分析：（不等式法）233232122arctannnxxnxx+例例 30（北京大学）证明：函数项级数=+111nnxnxen在任意有穷区间上一致收敛，在)ba,(+,上非一致收敛 分析分析：首先建立不等式：对任意自然数，当nnt 时，有 tntentnte21，（吉林工业大学）事实上，原式等价于：ntenttn211，记()=tnentnttf112，只需证（当）而()0tfnt()=+=1112112ntnttnntentnteentnttf

32、 用表示方程112ntnte0=的根（倘若存在的话），则极值点可能是，0=t=t及，但 nt=()00=f，()=nnennfn1211122（所满足的方程）()011222+=nnn，()+=1nnf，由此得()()()00min=ftftfnt 其次，不妨设有限区间满足：ba,Ma，Mb，则由所证不等式有 MxnxenMenxnxen222211+由此立得一致收敛 最后，在()+,上，n，当+x时，+nxnxen11，即通项在上不可能一致收敛于零，从而非一致收敛(+,)例例 31（中国科技大学）设一元函数在f0=x的某邻域内有二阶连续导数，函数是的次复合证明：级数在()00=f()100充

33、分小时，则在()xf ,连续，故，有0M()Mxf 由泰勒定理得()()()()()()22!210!2100 xfxfxfxffxf+=+=，（x）从而当,x时，有()()xqMfxxf=+210，其中()Mfq210+=由的任意性可使1q（因为()100 f）由此可得()()()()222qxqxfqxffxf=，()()nnnqxfqxf?1，由M判别法知一致收敛（且绝对收敛）()=1nnxf例例 32（西南师大）证明：在=12nnxex()+,0内一致收敛 提示提示：222222222221nxnxxnnxxexnx=b?,21aa=1nna=xtnnndtetna01!1在上一致收敛

34、 b,0分析分析：（1）收敛，从而一致收敛；=1nna（2）()11!1!1!1000=+=+nndtetndtetntnxtn，一致有界；（3）()+=+xtnxtnxtndtetndtetntndtetn0001!11!1!11（当时）bn 即xtndtetn0!1关于单减由阿贝尔判别法知其在上一致收敛 n,ba例例 35（北师大）证明：2ln211)1(lim111=+=nnnnxxxn 证证 级数=11)1(nnn收敛，从而一致收敛，又 1,0 x，nnxx+1单调递减，且11+nnxx，由 Abel 判别法知其在上一致收敛，所以 1,02ln21)1(21)1lim)1(1)1(li

35、m11111111=+=+=nnnnnxnnnnnxnxxnxxn，其中最后一步是由于 1,1(,)1()1ln(11=+=xnxxnnn 6 Dirichlet 判别法判别法 例例 36（四川大学）证明：级数()=+12321nxnnne在任何有限区间ba,上一致收敛，但在任何一点处不绝对收敛 0 x分析分析：第二结论易证下面仅分析证明第一结论（也可用 Abel 判别法）证法一 （1），即部分和一致有界；()211=nkk（2）()1111232323222+=+nnennennexxx，?,2,1=n，单减；（3）当时，bax,0232322+nnennecx（bac,max=）因此232

36、nnex+0（）由 Dirichlet 判别法知其一致收敛 n证法二证法二 原级数可化为()()=+11231112nnnxnnne，显然()=12311nnn与()=11nnn关于x一致收敛，又在上有界，一致收敛级数各项同乘以一有界函数后仍一致收敛，故2xeba,()=12321nxnne一致收敛，从而原级数一致收敛 证法三证法三 容易证明原级数是 Leibniz 级数（由证法一立明）则其余项和的绝对值满足：()()()01111232322+nnennexrcxn 从而 0（），故一致收敛()xrnn注注：此例说明：一致收敛并不意味着绝对收敛 思考题思考题 7（华中科技大学）证明：=+12

37、2)1(nnnnx在任何有限区间上一致收敛，但在任何一点都不绝对收敛,baAbel 判别法与 Dirichlet 判别法有时连环使用 例例 37 证明：()=12sin11nnnnxxxx在1,21内一致收敛 证证 ()()=+=112sin1111sin11nnnnnnnnxxxxxnxxxx显然：nx+11在1,21是关于单调，且一致有界根据阿贝尔判别法，只需证明n()=1sin11nnnnxxxx在1,21上一致收敛 事实上，（1）的部分和在=1sinnnx1,21上一致有界，41sin12sin1sin1=xkxnk（2）()12111+=nnnnxxxxxxx?关于单减（n1,21x

38、，且 0110112，使得0N，Nn bax,()0 xrn取，1=N11n，bax,1，使()011xRn；取，使1nN=12nn bax,2()22xRn，如此下去得一子列knR，使得()0knxRk，?,2,1=k （1）由致密性定理，有界数列中存在收敛子列kx jkx：baxxjk,0由题设知()=1nnxu是同号级数，因此关于单调递减，所以由（1）得：当时，)(xRnnmnjk()()0jjkjknkmxRxR 由于()()()xSxfxRmm=连续，故当+j时，()00 xRm，这与在上收敛相矛盾，故一致收敛()=1nnxuba,例例 39（武汉大学）在闭区间上，1,0（1）证明：

39、函数列+nnx1（?,3,2,1=n）一致收敛；（2）证明：函数列()nnxnnxexf+=11（?,3,2,1=n）一致收敛；（3）求出极限：+1011limdxnxennxn（?,3,2,1=n）解解（1）证法一证法一：xnenx+1，且均在1,0上非负连续，由 Dini 定理知其一致收敛；证法二证法二：首先xnenx+1（n），其次 0111+=+nxxnxnxenxe（1,0 x）知nxnxe+1关于x单增，故1,0 x时，011101+nnxnenxe（n）所以在上，1,0nnx+1单增趋于（xen）（2）由 Dini 定理知其一致收敛事实上，)(11)(+nexfxn，且)1()1(1)1(11)1(1)()(nnxxxnnxxnnxnnxeeenxeenxexfxf+=1)1(1)1(1+nnxnxxnenxeeenx，由已证结论（1）知上式右端一致收敛于 0（3）()eeedeedxnxedxxxxxnnxn+=+=+=+11ln1111lim101010